沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第06讲函数的概念和正比例函数(10大考点)(原卷版+解析)

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第06讲 函数的概念和正比例函数（10大考点）考点考向函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数.函数记号：，表示x＝a时的函数值.设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数；函数的定义域：满足的实数.2．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式3．正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；(2)图像画法：列表、描点、连线．4．正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小．考点精讲一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 　 　．二．函数的概念（共1小题）2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三．函数关系式（共1小题）3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是　 　．四．函数自变量的取值范围（共3小题）4．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是　 　．5．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为 　 　．6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是 　 　．五．函数值（共3小题）7．（2022春•奉贤区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣1，则f（3）＝　 　．8．（2022春•黄浦区期中）已知f（x）＝，那么＝　 　．9．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝　 　．六．函数的图象（共3小题）10．（2020秋•浦东新区校级期末）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是 　 　．11．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　 　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　 　吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需 　 　分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　 　吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　 　小时．12．（2020秋•宝山区校级期末）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．（1）列车共运行了　 　分钟（2）列车开动后，第3分钟的速度是　 　千米/小时．（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了　 　分钟．（4）列车从　 　分钟开始减速．七．动点问题的函数图象（共1小题）13．（2010秋•浦东新区期中）如图，已知正方形ABCD的边长是3厘米，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA方向运动至点A停止．设点P运动的路程为x厘米，△ABP的面积为y平方厘米．（1）当动点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（2）当动点P在DC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（3）当x取何值时，△ABP的面积为1.5平方厘米？八．正比例函数的定义（共2小题）14．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b15．（2020秋•金山区校级期中）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则m＝　 　．九．正比例函数的性质（共3小题）16．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是 　 　．17．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　 　．18．（2021秋•金山区校级期中）如果函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　 　．一十．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）19．（2020秋•金山区校级期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为 　 　．20．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．巩固提升一、单选题1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（ ）A． B．C． D．2．（2020·上海金山区·）已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（ ）A． B． C． D．二、填空题3．（2021·上海普陀区·八年级期末）已知，那么_______．4．（2021·上海市康城学校八年级期末）如果函数是正比例函数，那么的值为__________．5．（2020·上海金山区·）若函数是正比例函数，且图像在一、三象限，则_________．6．（2021·上海奉教院附中八年级期末）已知函数，那么______．三、解答题7．（2020·上海市风华初级中学八年级月考）已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q(－m，m＋3)，求m的值．8．（2019·上海嘉定区·八年级期中）已知与成正比例，且当时, .（1）求与之间的函数解析式；（2）当时，求的值.9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．10．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象．（1）水池原有水_________；（2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨；（3）________小时把水排空；每小时排水________万吨．11．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．(1)这次比赛的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他们先到达终点的是_______；(4)小李跑步的路程(米)与时间(秒)的函数关系式是_________．12．（2020·上海市川沙中学南校八年级期末）小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：(1)小强去学校时下坡路长 千米；(2)小强下坡的速度为 千米/分钟；(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟.13．（2019·上海松江·八年级期中）已知正比例函数y=kx的图像经过第四象限内一点，求k的值.14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，腰长为ycm，写出y关于x的函数的解析式，并求x的取值范围．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值．16．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图1，某容器外形可看作由三个长方体组成，其中的底面积分别为的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度(单位:）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度(单位：）与注水时间(单位：）的函数图象．在注水过程中，注满所用时间为______________，再注满又用了______________；注满整个容器所需时间为_____________；容器的总高度为____________．17．（2020·上海市格致初级中学）已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上．（1）求k的值；（2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值．18.在直角三角形ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，在CD上取一点P（不与C、D重合），设三角形APB的面积是y，CP的长为x，求y和x的函数关系式，并写出函数的定义域．19.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=5，AD=7，BC=13，，P是一动点，沿AD、DC由A经D点向C点移动，设P点移动的路程是x．（1）当P在AD上运动的时候，设，求y与x之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2）当点P继续沿DC向C移动时，设，求y与x之间的函数关系式．20.已知正比例函数图像上的一点Q在第二象限，（1）化简的值； （2）若a的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点在不在函数图像上．21.已知正比例函数过点A（4，-2），点P在正比例函数图像上，B（0，4）且，求点P的坐标．第06讲 函数的概念和正比例函数（10大考点）考点考向函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数.函数记号：，表示x＝a时的函数值.设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数；函数的定义域：满足的实数.2．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式3．正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；(2)图像画法：列表、描点、连线．4．正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小．考点精讲一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 　20　．【分析】将x＝4代入关系式x（x+1），进而解决此题．【解答】解：当x＝4，则x（x+1）＝4×5＝20＞15．∴输出因变量y＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键．二．函数的概念（共1小题）2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应判断即可．【解答】解：根据函数的概念，可知：图1和图4不能表示y是x的函数，图2和图3能表示y是x的函数，∴上列图象中表示y是x的函数的有2个，故选：B．【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应是解题的关键．三．函数关系式（共1小题）3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是　s＝50﹣13t　．【分析】直接利用总路程﹣行驶路程＝离B地距离，进而得出关系式．【解答】解：由题意可得：s＝50﹣13t．故答案为：s＝50﹣13t．【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意得出等式是解题关键．四．函数自变量的取值范围（共3小题）4．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是　x≥﹣3　．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为 　x≥﹣1且x≠1　．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≥0，1﹣x≠0，解得：x≥﹣1且x≠1，故答案为：x≥﹣1且x≠1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是 　x≥﹣1　．【分析】根据完全平方公式得到x+10﹣6≥0，再根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：x+10﹣6＝x+1﹣6+9＝（﹣3）2≥0，∴当x+1≥0时，函数有意义，即x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．五．函数值（共3小题）7．（2022春•奉贤区校级期中）已知函数f（x）＝2x﹣1，则f（3）＝　5　．【分析】将x＝3代入f（x）＝2x﹣1，求出f（3）的值．【解答】解：∵f（x）＝2x﹣1，∴f（3）＝2×3﹣1＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了函数的值，直接将x的值代入求解即可．8．（2022春•黄浦区期中）已知f（x）＝，那么＝　　．【分析】把x＝代入函数关系式进行计算即可．【解答】解：f（）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查函数值，把自变量x的值代入函数关系式，按照代数式提供的运算顺序和计算方法进行计算是常用的方法．9．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝　　．【分析】把x＝2代入函数表达式进行计算即可．【解答】解：把x＝2代入中得：f（2）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了函数值，把x＝2代入函数表达式进行计算是解题的关键．六．函数的图象（共3小题）10．（2020秋•浦东新区校级期末）汽车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象如图，那么该汽车行驶的速度是 　60km/h　．【分析】根据图象和速度＝解答即可．【解答】解：由图象可得，路程＝180千米，时间＝3小时，∴速度＝＝60（km/h），故答案为：60km/h．【点评】此题考查函数的图象，关键是根据图象和速度＝解答．11．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　40　吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需 　10　分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　0.1　吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　11.5　小时．【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．【解答】解：（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．12．（2020秋•宝山区校级期末）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．（1）列车共运行了　8　分钟（2）列车开动后，第3分钟的速度是　300　千米/小时．（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了　2　分钟．（4）列车从　5　分钟开始减速．【分析】（1）根据函数图象的坐标，解答即可；（2）根据函数图象的坐标，解答即可；（3）根据函数图象的坐标，解答即可；（4）根据函数图象的坐标，解答即可．【解答】解：（1）列车共运行了8分钟；故答案为：8；（2）列车开动后，第3分钟的速度是300千米/小时；故答案为：300；（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了2分钟；故答案为：2；（4）列车从5分钟开始减速．故答案为：5．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．七．动点问题的函数图象（共1小题）13．（2010秋•浦东新区期中）如图，已知正方形ABCD的边长是3厘米，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA方向运动至点A停止．设点P运动的路程为x厘米，△ABP的面积为y平方厘米．（1）当动点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（2）当动点P在DC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（3）当x取何值时，△ABP的面积为1.5平方厘米？【分析】（1）利用当动点P在BC上运动时，利用三角形面积求法得出即可；（2）利用当动点P在DC上运动时，结合图象得出三角形面积是定值；（3）分别利用△ABP的面积为1.5平方厘米，当P在BC上时，以及当P在AD上时，求出即可．【解答】解：（1）∵当动点P在BC上运动时，正方形ABCD的边长是3厘米，∴△ABP的面积为：y＝×AB×BP＝×3x即（0＜x≤3）；（2）∵当动点P在DC上运动时，∴△ABP的面积为：×3×3＝，即，（3≤x≤6）；（3）如图所示：△ABP的面积为1.5平方厘米，当P在BC上时，则y＝x＝1.5，解得：x＝1，当P在AD上时，则y＝×AP×AB＝（9﹣x）＝1.5，解得：x＝8，综上所述：x＝1或x＝8时，△ABP的面积为1.5平方厘米．【点评】此题主要考查了动点函数的应用，利用数形结合以及三角形面积求出是解题关键．八．正比例函数的定义（共2小题）14．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）A．圆的面积S与它的半径r B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h C．正方形的周长C与它的边长a D．周长不变的长方形的长a与宽b【分析】根据正比例函数的定义计算．【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S＝ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意；C、正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，故此选项符合题意；D、设周长为C，则依题意得C＝2（a+b），则a与b不是正比例关系，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．15．（2020秋•金山区校级期中）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则m＝　2　．【分析】由正比例函数的定义，以及图象的位置进行取舍，可求得m的值．【解答】解：∵y＝（m+1）为正比例函数，∴m2﹣3＝1，且m+1≠0，解得m＝±2，∵图象在一、三象限，∴m+1＞0，∴m＞﹣1，∴m＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．九．正比例函数的性质（共3小题）16．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是 　一切实数　．【分析】函数在实数范围内有意义，所以函数的定义域是一切实数．【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，∴函数的定义域是一切实数．故答案为：一切实数．【点评】本题考查了函数的定义域，属于基础题．17．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　﹣　．【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．【解答】解：∵y＝（m+1）x为正比例函数，∴m2﹣1＝1，解得m＝±，∵图象经过第二、四象限，∴m+1＜0，∴m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．18．（2021秋•金山区校级期中）如果函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　1　．【分析】由正比例函数的定义：可得m2﹣1＝0，且m+1≠0，然后解关于m的一元二次方程即可．【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m+1≠0，解得，m＝1；故答案为：1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．一十．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）19．（2020秋•金山区校级期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为 　y＝﹣x　．【分析】本题可设这个正比例函数的解析式是y＝kx，因为点A（2，﹣1）在该正比例函数的图象上，所以有﹣1＝2k，从而可求出k的值，进而解决问题．【解答】解：设这个正比例函数的解析式是y＝kx，∵点A（2，﹣1）在该正比例函数的图象上，∴﹣1＝2k，即k＝﹣，∴这个正比例函数的解析式是：y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．20．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数的定义可设y＝kx，然后把x＝3时，y＝4代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；（2）把x＝﹣1代入（1）的解析式中解方程得出对应的x值．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y＝kx，∵当x＝3时，y＝4，∴4＝3k，解得k＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝x；（2）把x＝﹣1代入y＝x得y＝﹣；【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．巩固提升一、单选题1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大可得出答案．【详解】国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大，可知图象如B选项，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象，掌握生活常识是关键．2．（2020·上海金山区·）已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正比例函数的解析式为，通过待定系数法求出正比例函数的解析式，然后逐一代入验证即可．【详解】设正比例函数的解析式为，∵正比例函数图像经过点，，， ∴正比例函数的解析式为，A中，当时，，∴函数图象过点，故该选项正确；B中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；C中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；D中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海普陀区·八年级期末）已知，那么_______．【答案】【分析】直接将x=代入计算即可【详解】当x=时，f（）=．故答案为：【点睛】本题主要考查了求函数值，涉及了二次根式直接代入求值，是基础题4．（2021·上海市康城学校八年级期末）如果函数是正比例函数，那么的值为__________．【答案】【分析】根据自变量的次数为1，系数不等于0求解即可；【详解】解：∵函数是正比例函数，∴m2-1=1，且，解得m=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．5．（2020·上海金山区·）若函数是正比例函数，且图像在一、三象限，则_________．【答案】2【分析】根据自变量的次数等于1，系数大于0列式求解即可．【详解】解：由题意得m+1>0，m2-3=1，解得m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．6．（2021·上海奉教院附中八年级期末）已知函数，那么______．【答案】【分析】把x=5代入计算即可．【详解】解：把x=5代入，得．故答案为：．【点睛】本题考查了求函数值，以及分母有理化，分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式．三、解答题7．（2020·上海市风华初级中学八年级月考）已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q(－m，m＋3)，求m的值．【答案】m＝3.【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2，∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m，∴m=3．【点睛】本题考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．8．（2019·上海嘉定区·八年级期中）已知与成正比例，且当时, .（1）求与之间的函数解析式；（2）当时，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据已知设y与x的解析式是，把，代入求出k，即得到正比例函数的解析式；（2）把代入(1)中的解析式即可求出．【详解】（1）设，把，代入得：，解得：，函数的解析式为：；（2）把代入得：，解得：．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求正比例函数的解析式，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能求出正比例函数的解析式是解此题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．【答案】3【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m的值即可．【详解】设正比例函数解析式为，因为正比例函数的图像过点P（-3，2），将点P坐标代入得，再代入点Q坐标，即把x=-m，y=m-1代入左右两边，解得m=3．【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象．（1）水池原有水_________；（2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨；（3）________小时把水排空；每小时排水________万吨．【答案】（1）100万吨；（2）3，50；（3）5，50．【分析】（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的质量；（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水的吨数即可；（3）根据函数图象直接可以得到经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水的吨数即可．【详解】解：（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的100万吨故答案为100万吨；（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水150÷3=50万吨故答案为3，50；（2）根据函数图象直接可以得经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水250÷5=50万吨故答案为5，50．【点睛】本题考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需的信息成为解答本题的关键．11．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．(1)这次比赛的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他们先到达终点的是_______；(4)小李跑步的路程(米)与时间(秒)的函数关系式是_________．【答案】(1)； (2)； (3)小李； (4)．试题分析：（1）观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；（2）由速度=路程÷时间即可得到结论；（3）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；（4）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．试题解析：解：（1）根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；（2）从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=；（3）从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S=10t．点睛：本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系．12．（2020·上海市川沙中学南校八年级期末）小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：(1)小强去学校时下坡路长 千米；(2)小强下坡的速度为 千米/分钟；(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟.【答案】（1）2（2）0.5（3）14【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．【详解】（1）由题意和图象可得：小强去学校时下坡路为：3﹣1=2（千米）．故答案为：2；（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）=0.5千米/分钟．故答案为：0.5；（3）小强上坡时的速度为：1÷6=千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：=14（分钟）．故答案为：14．【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．（2019·上海松江·八年级期中）已知正比例函数y=kx的图像经过第四象限内一点，求k的值.【答案】k=-1.【分析】把x=k+2，y=7k+6代入正比例函数y=kx解答即可．【详解】解：把x=k+2，y=7k+6代入正比例函数的y=kx，可得：7k+6=k（k+2），解得：k1＝6，k2=-1.因为正比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二，四象限，所以k＜0，所以k=-1.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式．正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，腰长为ycm，写出y关于x的函数的解析式，并求x的取值范围．【答案】，x的取值范围是0