沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第09讲函数的表示法(2大考点)(原卷版+解析)

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第09讲 函数的表示法（2大考点）考点考向1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．2.列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．3，图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．考点精讲题型一：函数的三种表示方法一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ）A． B． C． D．．2．（2019·上海·八年级期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：下列说法一定错误的是（　　）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm题型二：用关系式表示变量之间的关系一、单选题1．（2022·上海·八年级期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ）A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100二、解答题2．（2021·上海市民办扬波中学八年级期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元．(1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数．巩固提升一、单选题1．（2020·上海市市西初级中学）若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数和（且）的图象大致是（ ）A． B． C． D．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一水池蓄水20 m3，打开阀门后每小时流出5 m3，放水后池内剩余的水量Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为(　　)A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（ ）A． B． C． D．．二、填空题5．（2019·上海八年级课时练习）把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为 _________ ．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题．（1）风力持续增强了______小时． （2）风力最高达到_______ 级．（3）风力从_______点开始明显减弱．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数的部分对应值如下表：根据表格回答：（1）_________， ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．8．（2018·上海普陀区·八年级期中）已知一台装有30升柴油的柴油机，工作时平均每小时耗油3升，请写出柴油机剩余油量Q关于时间t的函数关系式_________（不要求写定义域）三、解答题9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）“十一”黄金周的某一天，小王全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离（千米）与小汽车离家后时间（时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题：（1）“番茄农庄”离家________千米；（2）小王全家在“番茄农庄”游玩了________小时；（3）去时小汽车的平均速度是________千米/小时；（4）回家时小汽车的平均速度是________千米/小时.10．（2018·上海市西南模范中学八年级月考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？11.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：（1）________先到达终点；（2）第________秒时，_________追上__________；（3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式__________．12.如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式．13.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0 < x ≤ 9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式 ．1234562.414.910.3317.2125.9337.02x/kg012345y/cm1010.51111.51212.51234562.414.910.3317.2125.9337.02…012……202…第09讲 函数的表示法（2大考点）考点考向1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．2.列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．3，图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．考点精讲题型一：函数的三种表示方法一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ）A． B． C． D．．【答案】A【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12；4.9-1=3.9，接近22；10.33-1=9.33，接近32；17.21-1=16.21，接近42；25.931=24.93，接近52；37.021=36.02，接近62；故m与v之间的关系最接近于v=m2+1．故选：A．【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式．2．（2019·上海·八年级期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：下列说法一定错误的是（　　）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm【答案】B【分析】根据变量与常量，函数的表示方法，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；B．弹簧不挂重物时的长度，即当x=0时y的值，此时y=10cm，因此该选项是错误的，符合题意；C．物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，是正确的，因此该选项不符合题意；D．根据物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，可得出所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，是正确的，因此该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键．题型二：用关系式表示变量之间的关系一、单选题1．（2022·上海·八年级期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ）A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100【答案】D【分析】根据“汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可．【详解】解：∵汽车的速度是平均每小时80千米，∴它行驶x小时走过的路程是80x，∴汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是y＝100﹣80x＝﹣80x+100，故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键．二、解答题2．（2021·上海市民办扬波中学八年级期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元．(1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数．【答案】(1)(2)50棵【分析】（1）根据购买树苗的费用=购买香樟树的费用+购买杨树的费用，列出关系式即可；（2）设现计划平均每天种植树苗a棵，然后 根据如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，列出方程求解即可．(1)解：由题意可得，，即y与x之间的函数关系式是：．(2)解：设现计划平均每天种植树苗a棵，由题意得：，解得，a＝50或a＝－40（舍去），检验：当a＝50时，，故原分式方程的解是a＝50，答：现计划平均每天种植50棵．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和分式方程的实际应用，正确理解题意，列出方程和关系式是解题的关键．巩固提升一、单选题1．（2020·上海市市西初级中学）若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【答案】C【分析】根据k值判断函数图像及增减性，再利用增减性比较大小即可.【详解】∵k＞0，∴函数图象分布于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵y1>y2.故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握k值的意义是解题关键.2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数和（且）的图象大致是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答．【详解】由条件可知，，当时的图像经过第二、四象限，当时的图像经过第一、三象限，故选B．【点睛】本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k的关系．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一水池蓄水20 m3，打开阀门后每小时流出5 m3，放水后池内剩余的水量Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为(　　)A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）【答案】D【分析】由生活经验可知：水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．池内剩下的水的立方数Q （m3）与放水时间t（时）都应该是非负数．由此即可解答.【详解】选项A，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而增长，选项A错误；选项B，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q的量不变，选项B错误；选项C，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了20 m3，选项C错误；选项D，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而减少，选项D正确．故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，根据实际情况确定图象是解题的基本思路．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（ ）A． B． C． D．．【答案】A【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12；4.9-1=3.9，接近22；10.33-1=9.33，接近32；17.21-1=16.21，接近42；25.931=24.93，接近52；37.021=36.02，接近62；故m与v之间的关系最接近于v=m2+1．故选：A．【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式．二、填空题5．（2019·上海八年级课时练习）把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为 _________ ．【答案】y=2x﹣3【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式.【详解】解：2x﹣y=3，移项得y=2x﹣3.故答案为：y=2x﹣3.【点睛】本题主要考查函数的一般形式. y=kx+b（k≠0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k，截距是b.6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题．（1）风力持续增强了______小时． （2）风力最高达到_______ 级．（3）风力从_______点开始明显减弱．【答案】20 12 20 【分析】根据图象进行解答即可．【详解】由图象可知，从0点到20点图象呈上升趋势，在20点达到最高，然后图象开始下降，∴风力持续增强了20小时，最高达到12级，从20点开始明显下降．故答案为：20；12；20．【点睛】本题考查了变量之间的关系-图象法，读懂图象是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数的部分对应值如下表：根据表格回答：（1）_________， ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．【答案】2 8 一切实数 y 【分析】（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，可得，把x=2，y=b代入中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y值，然后观察数据即可得到结论．【详解】（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，∴函数解析式为：，把x=2，y=b代入中，得b=8，故答案为：a=2，b=8．（2）函数的解析式为，定义域是一切实数，故答案为：，一切实数．（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y轴对称．故答案为：y．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．8．（2018·上海普陀区·八年级期中）已知一台装有30升柴油的柴油机，工作时平均每小时耗油3升，请写出柴油机剩余油量Q关于时间t的函数关系式_________（不要求写定义域）【答案】Q=30-3t【解析】分析：余油量=原有油-每小时用油×时间，据此写出函数关系式．详解：剩余油量Q升与工作时间t小时之间的关系式为：Q=30−3t(0⩽t⩽10).故答案是：Q=30−3t.点睛：本题考查根据实际问题列函数关系式.找出实际问题中的等量关系是列函数关系的关键.三、解答题9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）“十一”黄金周的某一天，小王全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离（千米）与小汽车离家后时间（时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题：（1）“番茄农庄”离家________千米；（2）小王全家在“番茄农庄”游玩了________小时；（3）去时小汽车的平均速度是________千米/小时；（4）回家时小汽车的平均速度是________千米/小时.【答案】（1）180；（2）4；（3）90；（4）60【分析】（1）根据s轴上的最高点即可确定答案；（2）根据s轴上不变的时间即可解答；（3）根据去时路程除以去的时间即得答案；（4）根据图象上14-15时所走的路程解答即可.【详解】解：（1）由图可知：“番茄农庄”离家180千米；（2）14－10=4小时，所以小王全家在“番茄农庄”游玩了4小时；（3）千米/小时，所以去时小汽车的平均速度是90千米/小时；（4）由图象可得：14-15时，汽车行驶了（180－120）=60千米，所以回家时小汽车的平均速度是60千米/小时.故答案为：180；4；90；60.【点睛】本题考查了函数的图象，读懂图象提供的信息、正确理解横、纵坐标的含义是解题的关键.10．（2018·上海市西南模范中学八年级月考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得，解得：，∴该一次函数解析式为y=﹣x+60；（2）当y=﹣x+60=8时，解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.11.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：（1）________先到达终点；（2）第________秒时，_________追上__________；（3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式__________．【难度】★★★【答案】（1）乙；（2）40，乙，甲；（3）乙； （4）．【解析】（1）根据图像可知，线段表示先到达 终点，即乙先到达终点；两人相遇，即两者距离为0，由图像可知在 时两人相遇，甲在前，即乙追上甲；乙的图像为一条直线，表示速度不变；乙为优胜者，函数图像为正比例函数，可设函 数解析式为，时乙到达终点，即函数 过点，则有，解得：，即相应函数解析式为．【总结】考查根据函数图像判断运动情况，函数图像倾斜程度表示速度大小．12.如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式．【难度】★★★【答案】，．【解析】根据矩形的性质可知、两点关于轴对称，、 两点关于轴对称，矩形长为25，宽为16， 可得，，、为正比例函数， 可分别设、解析式为，，则有，， 解得：，，即得相应函数解析式．【总结】考查根据正比例函数上的点确定相应正比例函数解析式，结合矩形性质的应用．13.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0 < x ≤ 9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式 ．【难度】★★★【答案】【解析】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此 可知题目需进行以下分类讨论： 当时，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：； 当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：； 当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变．【总结】考查图形叠加性质的综合应用，注意叠加图形的形状和长度与相关变量的1234562.414.910.3317.2125.9337.02x/kg012345y/cm1010.51111.51212.51234562.414.910.3317.2125.9337.02…012……202…