沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第11讲线段垂直平分线、角平分线及轨迹(4大考点)(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第11讲线段垂直平分线、角平分线及轨迹(4大考点)(原卷版+解析)，共63页。
第11讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（4大考点）考点考向1.逆命题和逆定理逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题；逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理；2.线段的垂直平分线3.角的平分线4.轨迹考点精讲一．四种命题及其关系（共2小题）1．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　 　，该命题是 　 　命题（填真或假）．2．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：　 　．二．角平分线的性质（共5小题）3．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 　 　．4．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　 　．5．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．6．（2020秋•长宁区期末）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5.57．（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．（1）求证：PC∥OB；（2）求∠CPO的度数．三．线段垂直平分线的性质（共10小题）8．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（　　）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE9．（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）A．3 B．6 C．12 D．1610．（2021秋•松江区期末）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝　 　度．11．（2020秋•浦东新区校级期末）已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 　 　．12．（2020秋•闵行区期末）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，联结BD，那么∠CDB的度数是 　 　．13．（2020秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝　 　°．14．（2020秋•松江区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝　 　．15．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB＝CD，那么∠A＝　 　°．16．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）A．35° B．40° C．50° D．55°17．（2021秋•虹口区校级期末）锐角△ABC中，∠A＝68°，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于O点，则∠BOC＝　 　．四．轨迹（共6小题）18．（2021秋•浦东新区期末）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 　 　．19．（2021秋•松江区期末）已知两个定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米的点的轨迹是　 　．20．（2020秋•虹口区期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　 　．21．（2020秋•浦东新区校级期末）经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是　 　．22．（2020秋•宝山区校级期末）以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹是：　 　．23．（2021秋•徐汇区期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 　 　．巩固提升一、单选题1．（2019·全国·八年级课时练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点2．（2022·上海·八年级期末）下列命题的逆命题正确的是(     )A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等3．（2022·上海市罗星中学八年级期末）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（    ）A． B． C． D．4．（2021·上海·八年级专题练习）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（    ）A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，．将绕直角顶点逆时针旋转得△；则点转过的路径长为（    ）A． B． C． D．6．（2021·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等7．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（    ）（1）全等三角形的对应边相等； （2）对顶角相等；（3）等角对等边；             （4）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，点，分别在轴，轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为（   ）A．3 B．4 C． D．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长是（   ）A．2 B． C． D．10．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（    ）A． B．C． D．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（    ）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题12．（2022·上海·八年级期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是______．13．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．14．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．15．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．16．（2022·上海徐汇·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=____°．17．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）18．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．19．（2022·上海·上外附中八年级期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则____________20．（2022·上海浦东新·八年级期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么______．21．（2022·上海徐汇·八年级期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是_____．22．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，.若为等腰三角形，则的度数为___________；23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么___________；24．（2022·上海·八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．25．（2021·上海·八年级专题练习）在中，边、的垂直平分线分别交边于点、点，，则______°.三、解答题26．（2021·上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．27．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．(1)求证：AD⊥BD；(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．28．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E是CD的中点.（1）求证：AB=AD＋BC（2）求证：AE⊥BE                                    29．（2019·上海市西南模范中学八年级期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，　 　．求证、　 　．证明、　 　．30．（2022·上海·八年级期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：（1）；（2）垂直平分．31．（2022·上海·八年级期末）作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）32．（2021·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．    （1）求证：AD为∠BDC的平分线；（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．33．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°.（1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程.（2）当∠BPC=125°时，∠A= .（3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 .第11讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（4大考点）考点考向1.逆命题和逆定理逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题；逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理；2.线段的垂直平分线3.角的平分线4.轨迹考点精讲一．四种命题及其关系（共2小题）1．（2011秋•徐汇区校级期中）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　如果a2＝b2，那么a＝b　，该命题是 　假　命题（填真或假）．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题．故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．2．（2006秋•静安区期末）命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：　如果a＝b，那么　．【分析】将原命题的题设和结论交换，得到逆命题．【解答】解：命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么．故答案为：如果a＝b，那么．【点评】本题考查了逆命题的概念．关键是明确交换原命题的题设和结论，得到逆命题．二．角平分线的性质（共5小题）3．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 　4　．【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到S△ABD+S△ACD＝S△ABC，再利用三角形面积公式得到×8×DE+×DE×16＝48，然后求出DE即可．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴AB•DE+AC•DF＝48，即×8×DE+×DE×16＝48，∴DE＝4，即点D到AB的距离为4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积．4．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　　．【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，先利用角平分线的性质得到∠POD＝∠POC，PD＝PH，再利用平行线的性质证明∠CPO＝∠POC得到PC＝OC＝2，然后利用含30度的直角三角形三边的关系．【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴∠POD＝∠POC，PD＝PH，∵PC∥OA，∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°，∴∠CPO＝∠POC，∴PC＝OC＝2，在Rt△PCH中，∵∠PCH＝60°，∴CH＝PC＝1，∴PH＝CH＝，∴PD＝．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．5．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线定义不难得出∠ABC+∠CAB＝90°，再由三角形内角和等于180°，即可得出∠ACB是直角；（2）过C点作CF∥AM，交AB于F，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系．【解答】证明：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，∴△ACB是直角三角形；（2）过C点作CF∥AM，交AB于F．∵AM∥BN，CF∥AM，∴CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，∴AF＝CF＝FB，∴F为AB的中点，又CF∥AD∥BE，根据平行线等分线段定理得到C为DE中点，∴CD＝CE．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识，准确作出辅助线得出F为AB的中点是解题的关键．6．（2020秋•长宁区期末）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5.5【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分线，∴DF＝DE＝3，∴DP≥3，故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．7．（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．（1）求证：PC∥OB；（2）求∠CPO的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠AOP＝∠CPO，根据角平分线的定义得出∠AOP＝∠BOP，求出∠BOP＝∠CPO即可；（2）根据角平分线的性质得出AP＝BP，求出AP＝PC，求出∠ACP＝30°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠ACP＝30°，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵PC＝OC，∴∠AOP＝∠CPO，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∴∠BOP＝∠CPO，∴PC∥OB；（2）解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴AP＝BP，∵BP＝PC，∴AP＝PC，∵PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠ACP＝30°，∵PC∥OB，∴∠AOB＝∠ACP＝30°，∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，∴∠CPO＝30°＝15°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．三．线段垂直平分线的性质（共10小题）8．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（　　）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝EC，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A、在Rt△ACE中，AE＝2CE，故本选项正确；B、∠B＝∠CAE正确，故本选项错误；C、∵∠DEA＝90°﹣30°＝60°，2∠B＝2×30°＝60°，∴∠DEA＝2∠B，故本选项错误；D、在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键．9．（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）A．3 B．6 C．12 D．16【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．（2021秋•松江区期末）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝　40　度．【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，进而求出∠DAB+∠PAC，结合图形计算即可．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，同理可得：∠PAC＝∠C，∴∠DAB+∠PAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．（2020秋•浦东新区校级期末）已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 　（0，﹣2）　．【分析】利用勾股定理用y表示出BC、AC，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝AC，列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设C点的坐标为（0，y），由勾股定理得：BC2＝12+（2﹣y）2，AC2＝42+（﹣1﹣y）2，∵点C在线段AB的垂直平分线上，∴BC＝AC，∴12+（2﹣y）2＝42+（﹣1﹣y）2，解得：y＝﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理、坐标与图形性质，根据线段垂直平分线的性质得出BC＝AC是解题的关键．12．（2020秋•闵行区期末）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，联结BD，那么∠CDB的度数是 　30°　．【分析】连接AD，由线段垂直平分线性的性质结合作图可证明△ABD为等边三角形，即可得∠B＝60°，金额认可求解∠CDB的度数．【解答】解：连接AD，∵CD垂直平分AB，∴AD＝BD，∠BCD＝90°，∵BA＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠CDB＝30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，证明△ABD为等边三角形是解题的关键．13．（2020秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝　55　°．【分析】连接AF并延长至点D，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：连接AF并延长至点D，∵点F是边AB、AC的中垂线的交点，∴FA＝FB，FA＝FC，∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，∴∠BAD＝∠BFD，∠CAF＝∠CFD，∴∠BAC＝∠BFC＝×110°＝55°，故答案为：55．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2020秋•松江区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝　10°　．【分析】由直角三角形两锐角的关系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，进而求得∠CAD．【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．【点评】本题考查三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．15．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB＝CD，那么∠A＝　74　°．【分析】连接DB，根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠BDA＝2∠C，证明BA＝BD，得到∠A＝∠BDA，只要证明∠A＝2∠C即可解决问题．【解答】解：连接DB，∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠BDA＝2∠C，∵AB＝CD，DB＝DC，∴BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，∴∠A＝2∠C，∵∠C＝37°，∴∠A＝74°，故答案为74．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）A．35° B．40° C．50° D．55°【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝70°，∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，＝110°﹣70°＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．17．（2021秋•虹口区校级期末）锐角△ABC中，∠A＝68°，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于O点，则∠BOC＝　136°　．【分析】过O作射线AN，根据线段垂直平分线性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠ABO，∠ACO＝∠OAC，求出∠ABO+∠ACO＝∠OAB+∠OAC＝68°，再根据三角形的外角性质得出即可．【解答】解：过O作射线AN，∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于O点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠ABO，∠ACO＝∠OAC，∵∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝68°，∴∠ABO+∠ACO＝∠OAB+∠OAC＝68°，∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠OAC＝（∠ABO+∠ACO）+（∠BAO+∠CAO）＝68°+68°＝136°，故答案为：136°．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形外角性质和等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．四．轨迹（共6小题）18．（2021秋•浦东新区期末）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 　以点A为圆心，6cm为半径的圆　．【分析】根据圆的定义直接得出答案即可．【解答】解：由题知，到点A的距离等于6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．【点评】本题主要考查圆的定义，熟练掌握圆的定义是解题的关键．19．（2021秋•松江区期末）已知两个定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米的点的轨迹是　线段AB　．【分析】定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米，通过这两个数据不能联想到这个点恰好在线段AB上．【解答】解：不妨设这个点为P，由AP+BP≥AB，取等号的条件是P在线段AB上故答案为：线段AB【点评】本题考查了三边关系中，取等号的条件，难度不大，答案书写要规范．20．（2020秋•虹口区期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　角平分线　．【分析】根据角平分线的判定可知．【解答】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故答案为：角平分线．【点评】本题主要考查了角平分线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．21．（2020秋•浦东新区校级期末）经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是　线段AB的垂直平分线　．【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为：线段AB的垂直平分线．【点评】此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．22．（2020秋•宝山区校级期末）以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹是：　线段BC的垂直平分线，不包括BC的中点O　．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：如图，以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹是：线段BC的垂直平分线，不包括BC的中点O，故答案为：线段BC的垂直平分线，不包括BC的中点O．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，注意点D的轨迹不包括BC的中点．23．（2021秋•徐汇区期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 　线段AB的垂直平分线（AB中点除外）　．【分析】根据∠CAB和∠CBA的平分线交于点P，则∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠CBA，说明∠PAB＝∠PBA，得PA＝PB，从而得出答案．【解答】解：如图，CA＝CB，∠CAB和∠CBA的平分线交于点P，则∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠CBA，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上（AB中点除外），故答案为：线段AB的垂直平分线（AB的中点除外）．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定等知识，证明PA＝PB是解题的关键．巩固提升一、单选题1．（2019·全国·八年级课时练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ）A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭应在三条角平分线的交点处．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．2．（2022·上海·八年级期末）下列命题的逆命题正确的是(     )A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．3．（2022·上海市罗星中学八年级期末）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直平分线可得AB=AC，即可得到．【详解】∵垂直平分线段，∴AB=AC，∴故选：C．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是找到等腰三角形．4．（2021·上海·八年级专题练习）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（    ）A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P在∠A的角平分线上；∵PA＝PB，∴P在AB的垂直平分线上，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，．将绕直角顶点逆时针旋转得△；则点转过的路径长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理求出的长，即为所在的圆的半径，由旋转可知，求出的长即为点转过的路径长．【详解】解：在中，，，．，，将绕直角顶点逆时针旋转得△，，，点转过的路径长为，故选：C．【点睛】此题考查旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质、有关点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确理解旋转的性质并且由旋转的性质得出旋转角的度数是解题的关键．6．（2021·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．7．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（    ）（1）全等三角形的对应边相等； （2）对顶角相等；（3）等角对等边；             （4）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，正确；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是：等边对等角，正确；（4）逆命题是：面积相等，两三角形全等，错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，点，分别在轴，轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为（   ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C点坐标（），得出C点在直线y＋x=3（0≤x≤3）上，分别讨论A在O点和A′时C，D的坐标，结合图形求解，从而确定D点的轨迹为线段．【详解】解：如图，OA＋OB=6，点C为线段AB的中点∴C点坐标（），，即C点在直线y＋x=3（0≤x≤3）上设A（3，0），则B（0，3）∴当点在点处时，C（0，3），此时D（3，0）∴∠BAO=45°当点在处时即处，C（3，0），此时D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△为等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到线段 AD ∴当C点由B到A时，D点由A到D′∴点移动的路径长为故选：C【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转的特征，直线上坐标的特征，由C点的坐标关系得出C点的轨迹再结合图形得出D点的轨迹是解题关键．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长是（   ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，证明，进而得到，再计算出即可求出点所经过的路径长．【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，，和是等边三角形，，，，，，，，，又点在处时，，点在处时，点与点重合，点所经过的路径的长为从C点运动到点运动的路径长．故选：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是求出点N的运动轨迹的路径长等于线段DM的长．10．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案．【详解】解：、，且，，又平分，，故．正确，不符合题意；、在与中，，，根据三角形内角和定理．正确，不符合题意；、，且，∴EB=EA，正确，不符合题意；、不一定成立，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（    ）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【答案】D【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．【详解】如图，设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），由图形可知：当x=1时，y＜3，∴k=xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选D．【点睛】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理解x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．二、填空题12．（2022·上海·八年级期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是______．【答案】相等的角是对顶角【分析】对顶角相等的题设是：两个角是对顶角，结论是这两个角相等，把条件与结论互换就可以得到逆命题．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对顶角．故答案为：相等的两个角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案．【详解】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键．14．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是_____．【答案】线段AB的垂直平分线【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为：线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键．15．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．16．（2022·上海徐汇·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=____°．【答案】74【分析】连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解．【详解】解：连接BD，如图所示：∵DE垂直平分BC，AB=CD，∴BD=CD=AB，∵∠C=37°，∴∠DBC=∠C=37°，∴∠ADB=2∠C=74°，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB=74°，故答案为74．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）【答案】【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案为：．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．18．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．【答案】55【分析】连接并延长至点，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：连接并延长至点，点是边、的中垂线的交点，，，，，，，，故答案为：55．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．19．（2022·上海·上外附中八年级期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则____________【答案】##136度【分析】根据垂直平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求出，从而可求出【详解】解：如图，根据直平分线的性质可得，∵ ∴∴ ∴ 故答案为：136°【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．解题的关键是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理．20．（2022·上海浦东新·八年级期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么______．【答案】32°##32度【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE，设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案为：32°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．21．（2022·上海徐汇·八年级期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是_____．【答案】线段AB的垂直平分线（AB中点除外）【分析】根据等边对等角，得到两个底角相等，两个底角的一半也是相等的，利用等角对等边，交点到A，B的距离相等，得到结论．【详解】如图，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴∠CAB=∠CBA，∴∠DAB=∠DBA，∴D在AB的垂直平分线上，故答案为：线段AB的垂直平分线（AB中点除外）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的逆定理，熟练等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．22．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，.若为等腰三角形，则的度数为___________；【答案】60°.【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理即可解答．【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∵BD平分，∴∠ABC =48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=∠FBC=24°，∴∠BFE=90°-24°=66°，∴∠DFC=180°-66°-66°=48°，∵为等腰三角形，∴∠DFC=∠DCF=48°，∴∠ACB=∠DFC+∠FCB=48°+24°=72°，∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=60°.故答案为60°.【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么___________；【答案】3【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．【详解】由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，∵BC=5，CD=2，∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．故答案为3．【点睛】此题考查基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．24．（2022·上海·八年级期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．【答案】．【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可．【详解】解：如图示，，，，则，根据题意，作的角平分线交于点，过点，作交于点，过点，作交于点，则∵，，则（）故答案是：．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键．25．（2021·上海·八年级专题练习）在中，边、的垂直平分线分别交边于点、点，，则______°.【答案】80或100【分析】根据题意，点D和点E的位置不确定，需分析谁靠近B点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E距离点B近，根据垂直平分线性质可知，，从而有，再根据三角形的内角和定理可得，联立即可求得；（2）图2中，点D距离点B近，根据垂直平分线性质可知，，从而有，由三角形的内角和定理得，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，，（等边对等角），两式相加得，又，由三角形内角和定理得，，；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，，（等边对等角），两式相加得，又，，由三角形内角和定理得，，.故答案为80或100.  【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.三、解答题26．（2021·上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．【答案】证明过程见详解【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F． ∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．27．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．(1)求证：AD⊥BD；(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证；（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得．(1)解：证明：为中点，，平分，，，，，，，，，，，；(2)解：延长，交于点，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形．28．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E是CD的中点.（1）求证：AB=AD＋BC（2）求证：AE⊥BE                                    【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】(1) 延长AE交BC的延长线于点F，根据角平分线和平行线的性质得到 ，然后等角对等边AB=BF ，再证明△FCE≌△ADE，进而等量代换求解；(2)由全等得出AE=EF，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可得结论；【详解】解：如图：延长AE交BC的延长线于点F，∵AE平分∠BAD∴∵E是DC中点∴DE=CE∵AD∥BC∴∴∴AB=BF又∵在△FCE和△ADE中， ∴△FCE≌△ADE，∴AD=CF∴AB=BF=BC+CF=BC+AD即AB=AD＋BC（2）由（1）可知△FCE≌△ADE∴AE=FE又∵BA=BF∴根据等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥BE.【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，根据题意适当作出辅助线是解题关键.29．（2019·上海市西南模范中学八年级期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，　 　．求证、　 　．证明、　 　．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求证FB=FC．想办法证明EF是线段BC的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求证FB=FC．理由：延长EF交BC于H．∵EA=ED，EF⊥AD，∴AH=HD，∵AB=DC，∴BH=CH，∵FH⊥BC，∴FB=FC．故答案为EA=ED，EF⊥AD，AB=DC；FB=FC；延长EF交BC于H．∵EA=ED，EF⊥AD，∴AH=HD，∵AB=DC，∴BH=CH，∵FH⊥BC，∴FB=FC．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．30．（2022·上海·八年级期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：（1）；（2）垂直平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．【详解】（1）∵分别是上的中线，∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，∵BC=CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB=∠DBC，∴OB=OC；（2）设AO与DE的交点为F，∵△EBC≌△DCB，∴EC=DB，∵OB=OC；∴OD=OE，∴点O在线段DE的垂直平分线上，∵AE=AD，∴点A在线段DE的垂直平分线上，∴直线AO是线段DE的垂直平分线，∴垂直平分．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．31．（2022·上海·八年级期末）作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）【答案】图见解析．【分析】根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可．【详解】如图，先作的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与角平分线的交点即为点P．【点睛】本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键．32．（2021·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．    （1）求证：AD为∠BDC的平分线；（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F， ∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中，∴△EAD≌△HAD（ASA），∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中，∴△EAB≌△HAC（SAS），∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．33．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A=n°.（1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程.（2）当∠BPC=125°时，∠A= .（3）当n=60°时，EB=7，BC=12，DC的长为 .【答案】（1）∠BPC=90°+n，推理过程见解析；（2）70°；（3）5.【分析】（1）根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求证∠BPC=90°+n；（2）根据（1）可知∠BPC=90°+n，把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数；（3）当n=60°时，即可求出∠BPC=120°，作辅助线在CB上截取CG=CD，可证出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可证出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC．【详解】解：（1）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB.∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)，∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)，∴∠A=-180°+2∠BPC，∴2∠BPC=180°+∠A，∴∠BPC=90°+ ∠A,∴∠BPC=90°+n（2）由（1）知∠BPC=90°+ ∠A∴当∠BPC=125°时，∠A =2×（125°-90°）= 70°；（3）在CB上截取CG=CD，连接GP，CE平分 ∴∠GCP=∠PCD，在△PCD和△PCG中， ∴△PCD≌△CGP（SAS），∴∠GPC=∠CPD，PG=PD，由∠BPG+∠GPC=120°，又∵∠BPG+2∠GPC=180°，解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60°在△BEP和△BGP中， ∴△BEP≌△BGP（ASA），∴BE=BG，∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5∴CD=CG=5．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质，难度较大．