还剩71页未读，
继续阅读
所属成套资源：苏科版七年级数学上册同步精讲精练(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
初中数学苏科版（2024）七年级上册第2章 有理数2.6 有理数的乘法与除法练习题
展开
这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册第2章 有理数2.6 有理数的乘法与除法练习题，共74页。试卷主要包含了6 有理数的乘法与除法，7米；等内容，欢迎下载使用。
知识点一
有理数的乘法
◆有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
◆有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
知识点二
倒数
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．
知识点三
多个有理数的乘法
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
知识点四
有理数的乘法运算律
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
知识点五
有理数的除法
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
知识点六
有理数的加减乘除混合运算
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘
【例题1】（2022•碑林区校级四模）计算（﹣114）×（45）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．15D．−15
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．同号两数相乘，符号不变
B．两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数
C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0
D．两数相乘，积一定大于每一个因数
【变式1-2】计算：|﹣3|×（−23）＝ ．
【变式1-3】在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【变式1-4】计算：
（1）56×（﹣12）；
（2）（﹣312）×（﹣4）；
（3）﹣423×0.25；
（4）（−65）×（﹣2.5）．
题型二 多个有理数相乘
【例题2】（2022秋•中江县校级月考）四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1B．0C．3D．1或3
【变式2-1】下列各式中乘积为负数的是（ ）
A．（﹣2）×3×4×（﹣1）B．（﹣5）×（﹣6）×3×1
C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）
【变式2-2】（2022秋•南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数D．a为负数，b为正数
【变式2-3】（2022秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定异号D．一定同号
【变式2-4】计算下列各题：
(1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)－；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
题型三 倒数的概念及运用
【例题3】（2023•永丰县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．−12023C．﹣2023D．12023
【变式3-1】（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（ ）
A．2的倒数是﹣2B．3的相反数是13
C．绝对值最小的数是1D．0的相反数是0
【变式3-2】（2023•邹城市二模）﹣3的倒数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
【变式3-3】﹣3的倒数是 ，−76的绝对值是 ，﹣123的倒数的相反数是 ．
【变式3-4】两个有理数之积是1，已知一个数是−217，则另一个数是 ．
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
【例题4】计算（﹣3）×（4−12），用分配律计算过程正确的是（ ）
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（−12）
C．3×4﹣（﹣3）×（−12）D．（﹣3）×4+3×（−12）
【变式4-1】简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律C．乘法结合律D．乘法分配律
【变式4-2】（2022•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−994748)变形成最合适的形式是（ ）
A．24×（﹣100+148）B．24×（﹣100−148）
C．24×（﹣99−4748）D．24×（﹣99+4748）
【变式4-3】若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（ ）
A．p﹣1B．p+2022C．p﹣2022D．p+1
【变式4-4】（2022秋•东海县月考）用简便方法计算：
（1）（−37）×0.25×（﹣213）×（﹣8）；
（2）91819×15；
（3）（−12−73+34）×（﹣60）；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）．
题型五 有理数的除法
【例题五】（2022•山西模拟）计算(−9)÷12的结果为（ ）
A．92B．−92C．18D．﹣18
【变式5-1】（2022秋•鹿城区校级期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数
B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数
D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【变式5-2】（2022秋•七台河期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0；
③若a＝0，b≠0，则ab=0；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-3】计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣eq \f(1,4))；
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-).
【变式5-4】化简下列分数：
(1)eq \f(－21,－7) ； (2)eq \f(－3,6) ； (3)eq \f(－6,－0.3) ； (4)－eq \f(28,－49)．
【变式5-5】（1）两数的积是1，已知一个数是﹣237，求另一个数；
（2）两数的商是﹣312，已知被除数是412，求除数．
题型六 有理数的乘除混合运算
【例题6】（2022秋•垫江县期末）计算16×（﹣6）÷（−16）×6的结果是（ ）
A．6B．36C．﹣1D．1
【变式6-1】（2022秋•城阳区期末）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（−94）÷（﹣1）=32；④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16．其中正确的个数（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式6-2】（−34）×（−12）÷（﹣214）．
【变式6-3】（2022春•普陀区校级期中）计算：（−25）×（−43）÷（﹣325）÷317．
【变式6-4】计算：
（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
【例题7】“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于24，你的运算式是 ．
【变式7-1】计算：(−34−16+512)÷136．
【变式7-2】计算：512÷(0.75−23)×6.8．
【变式7-3】（2022秋•青浦区校级期中）计算：89×[0.75−(716−0.25)]．
【变式7-4】计算：
（1）−1÷(−18)−3÷(−12)；
（2）−81÷13−13÷(−19)．
（3）−1+5÷(−16)×(−6)；
（4）(13−12)÷114÷110．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
【例题8】（2022秋•澄海区期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
ab＞0B．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＞1
【变式8-1】（2022秋•行唐县校级期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的商为1
【变式8-2】（2023•茂南区三模）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【变式8-3】如图，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-4】（2022秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
【例题9】（2022秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，则m+n的值等于 ．
【变式9-1】（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 ．
【变式9-2】（2022秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
【变式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．
【变式9-4】已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，cd= ．
（2）求：m3+ab+c+d4m−cd的值．
【变式9-5】已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc的值；
（2）若a+b+c＜0，求|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc的值．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
【例题10】某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时能降到所需要的温度？
【变式10-1】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．7升B．8升C．10升D．1007升
【变式10-2】煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时间．
【变式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
【变式10-4】某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【变式10-5】（2022秋•巴中期末）诺水河风景区是国家级地质公园，其中诺水河溶洞漂流被誉为“亚洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出现了罕见的高温天气，漂流成了人们较喜欢的消暑方式．预计巴中市民每天在抖音平台上购票70张，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，表是某周的销售情况[超额记为正，不足记为负．（单位：张）]：
（1）根据记录的数据可知销售量最少的一天卖出了 张，销售最多的一天比销售量最少的一天多销售 张；
（2）每张票120元，若在抖音平台上购买享受九折优惠，求巴中市民本周在抖音平台购票一共消费多少元？
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
【例题11】（2022•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣4，则输出的数值为 ．
【变式11-1】按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .
【变式11-2】如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．
【变式11-3】按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣5D．4
【变式11-4】如图，按照运算程序（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），如果输入的数值是﹣4，求输出的结果．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
【例题12】对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
【变式12-1】规定a※b=1a÷(−b2)，例如2※3=12÷(−32)=−13，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
【变式12-2】（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【变式12-3】对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．
【变式12-4】（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【变式12-5】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
（1）计算（﹣5）⊗4的值；
（2）求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
（3）填空：3⊗（﹣2） （﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题
【例题13】阅读下列材料：
计算：50÷（13−14+112）．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（412−312+112）＝50÷212=50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（13−14+112）÷50＝（13−14+112）×150=13×150−14×150+112×150=1300
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（−142）÷（16−314+23−27）．
【变式13-1】阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（13−12）×6
解：原式＝（﹣15）÷(−16)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．
（2）把正确的解题过程写出来．
【变式13-2】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军的解法：原式=(49+2425)×(−5)=49×(−5)+2425×(−5)=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把492425看作(50−125)，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：956×（﹣3）．
【变式13-3】阅读材料，回答问题
(1+12)×(1−13)=32×23=1
(1+12)×(1+14)×(1−13)×(1−15)=32×54×23×45=(32×23)×(54×45)=1×1＝1．
根据以下信息，请求出下式的结果.(1+12)×(1+14)×(1+16)×⋯×(1+120)×(1−13)×(1−15)×(1−17)×⋯×(1−121)．
【变式13-4】阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36= ；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
题型十四 有理数乘除法规律探究题
【例题13】观察下列各式：
11×2=1−12，11×3=12×(1−13)；
12×3=12−13，13×5=12×(13−15)；
13×4=13−14，15×7=12×(15−17)；
解答下列各题：
（1）尝试并计算：11×2+12×3+13×4+...+12017×2018；
（2）尝试并计算：11×3+13×5+15×7+...+199×101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|；
（4）尝试并计算：13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102．
【变式14-1】观察下列各式：
12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
（1）猜想12×23×34×⋯×nn+1= ；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1100−1）×（199−1）×（198−1）×…×（14−1）×（13−1）×（12−1）
②将2016减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，以此类推，直到最后减去余下的12016，最后结果是多少？
【变式14-2】（2022秋•成县期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算11×2+12×3+13×4+14×5．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
11×2+12×3+13×4+14×5=（1−12）+（12−13）+（13−14）+（14−15）＝1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45．
任务：
（1）猜想并写出：1n(n+1)= ；（n为正整数）
（2）①应用上面的方法计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022．
②直接写出下列式子的计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12020×2022．
（苏科版）七年级上册数学《第二章 有理数》
2.6 有理数的乘法与除法
知识点一
有理数的乘法
◆有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
◆有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
知识点二
倒数
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．
知识点三
多个有理数的乘法
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
知识点四
有理数的乘法运算律
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
知识点五
有理数的除法
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
知识点六
有理数的加减乘除混合运算
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘
【例题1】（2022•碑林区校级四模）计算（﹣114）×（45）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．15D．−15
【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值．
【解答】解：原式=−54×45=−1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．同号两数相乘，符号不变
B．两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数
C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0
D．两数相乘，积一定大于每一个因数
【分析】通过举反例的办法，判断每个说法．
【解答】解：A．∵（﹣3）×（﹣2）＝6，∴选项A“同号两数相乘，符号不变“说法错误；
B．∵（﹣4）×（﹣1）＝6，∴选项B“两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数”说法错误；
C．∵a×0＝0，0×0＝0，∴“两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0”说法正确；
D．∵（﹣1）×（2）＝﹣2，﹣2＜﹣1，﹣2＜2，∴“两数相乘，积一定大于每一个因数“说法错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，掌握乘法法则是解决本题的关键．
【变式1-2】计算：|﹣3|×（−23）＝ ．
【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则即可得出答案．
【解答】解：原式＝3×（−23）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了绝对值和有理数的乘法法则，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
【变式1-3】在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于负数，可知同号两数相乘的结果大于异号两数相乘的结果．故本题只需要计算两种情况，计算后比较即可．
【解答】解：2×4＝8，（﹣3）×（﹣5）＝15，
15＞8．
∴积最大是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．
【变式1-4】计算：
（1）56×（﹣12）；
（2）（﹣312）×（﹣4）；
（3）﹣423×0.25；
（4）（−65）×（﹣2.5）．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则即可求解；
（2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则即可求解；
（3）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则即可求解；
（4）先将小数化成分数，再根据有理数的乘法法则即可求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣（56×12）＝﹣10；
（2）原式=72×4=14；
（3）原式=−143×14=−76；
（4）原式=65×52=3．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
题型二 多个有理数相乘
【例题2】（2022秋•中江县校级月考）四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1B．0C．3D．1或3
【分析】利用有理数的乘法计算判断积的符号．
【解答】解：∵四个不为零的数相乘，积为负数，
∴四个数中有1个或3个为负数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
【变式2-1】下列各式中乘积为负数的是（ ）
A．（﹣2）×3×4×（﹣1）B．（﹣5）×（﹣6）×3×1
C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）
【分析】根据有理数的乘法运算符号法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个负因数相乘，积为正数；
B、两个负因数相乘，积为正数，；
C、有因式0，积是0，0既不是正数也不是负数；
D、有3个负因数，积是负数；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
【变式2-2】（2022秋•南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数D．a为负数，b为正数
【分析】根据有理数乘法的运算法则，有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数．
【解答】解：∵a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）中共有3个负数相乘，
∴a为负数，
∵b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘，
∴b为正数，
∴a为负数，b为正数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘法中符号的运算规律，其依据是：有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数．
【变式2-3】（2022秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定异号D．一定同号
【分析】根据有理数乘法法则进行解答便可．
【解答】解：∵a与b同号，
∴ab＞0，
∵abcd＜0，
∴cd＜0，
∴c、d异号，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数乘法，熟记有理数乘法法则是解题的关键．有理数乘法法则：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘都得0．
【变式2-4】计算下列各题：
(1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)－；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
【分析】先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可．
【解答】解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；
(2)原式＝30×(－7)＝－210；
(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；
(4)原式＝；
(5)原式＝0.
【点评】本题考查多个有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．
题型三 倒数的概念及运用
【例题3】（2023•永丰县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．−12023C．﹣2023D．12023
【分析】运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
【解答】解：∵﹣2023×（−12023）＝1，
∴﹣2023的倒数是−12023，
故选：B．
【点评】此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式3-1】（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（ ）
A．2的倒数是﹣2B．3的相反数是13
C．绝对值最小的数是1D．0的相反数是0
【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，有理数的绝对值都是非负数，由此即可得到答案．
【解答】解：A、2的倒数是12，故A不符合题意；
B、3的相反数是﹣3，故B不符合题意；
C、绝对值最小的数是0，故C不符合题意；
D、0的相反数是0，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数、相反数的定义，绝对值的意义．
【变式3-2】（2023•邹城市二模）﹣3的倒数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
【分析】依据倒数和绝对值的性质求解即可．
【解答】解：﹣3的倒数是−13，
−13的绝对值是13．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是倒数和绝对值的性质，熟练掌握倒数和绝对值的性质是解题的关键．
【变式3-3】﹣3的倒数是 ，−76的绝对值是 ，﹣123的倒数的相反数是 ．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：﹣3的倒数是−13，−76的绝对值是76，﹣123的倒数是−35，−35的相反数是35．
故答案为：−13，76，35．
【点评】本题考查了倒数，绝对值以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
【变式3-4】两个有理数之积是1，已知一个数是−217，则另一个数是 ．
【分析】两个有理数之积是1，则这两个有理数互为倒数，本题即求−217的倒数．
【解答】解：∵−217×（−715）＝1，
∴−217的倒数是−715．
答：另一个数是−715．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
【例题4】计算（﹣3）×（4−12），用分配律计算过程正确的是（ ）
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（−12）
C．3×4﹣（﹣3）×（−12）D．（﹣3）×4+3×（−12）
【分析】乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac．
【解答】解：原式＝（﹣3）×[4+（−12）]
＝（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法分配律在计算题中的应用．
【变式4-1】简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律C．乘法结合律D．乘法分配律
【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此判断即可．
【解答】解：简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是乘法分配律．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式4-2】（2022•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−994748)变形成最合适的形式是（ ）
A．24×（﹣100+148）B．24×（﹣100−148）
C．24×（﹣99−4748）D．24×（﹣99+4748）
【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．
【解答】解：∵﹣100+148=−（﹣100−148）=−994748，
∴根据有理数的乘法分配律，把24×(−994748)变形成最合适的形式为24×（﹣100+148）＝
﹣24×100+24×148=−47992，可以简便运算．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式4-3】若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（ ）
A．p﹣1B．p+2022C．p﹣2022D．p+1
【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解．
【解答】解：（﹣2022）×63
＝（﹣2022）×（62+1）
＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1
＝（﹣2022）×62﹣2022，
又∵（﹣2022）×63＝p，
∴（﹣2022）×62﹣2022＝p，
∴（﹣2022）×62＝p+2022，
故选：B．
【变式4-4】（2022秋•东海县月考）用简便方法计算：
（1）（−37）×0.25×（﹣213）×（﹣8）；
（2）91819×15；
（3）（−12−73+34）×（﹣60）；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）．
【分析】（1）利用乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）原式变形为（10−119）×15，再利用乘法分配律展开、计算即可；
（3）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；
（4）逆用乘法分配律变形为（﹣713）×（5+12+7），再进一步计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（−37）×（−73）×14×（﹣8）
＝1×（﹣2）
＝﹣2；
（2）原式＝（10−119）×15
＝10×15−119×15
＝150−1519
＝149419；
（3）原式=−12×（﹣60）−73×（﹣60）+34×（﹣60）
＝30+140﹣45
＝170﹣45
＝125；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）
＝（﹣713）×（5+12+7）
=−223×24
＝﹣176．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
题型五 有理数的除法
【例题五】（2022•山西模拟）计算(−9)÷12的结果为（ ）
A．92B．−92C．18D．﹣18
【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣9×2
＝﹣18．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•鹿城区校级期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数
B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数
D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【分析】应用有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；
B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；
C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；
D．若两个数的商是正数，这两数的和、差、积的正负都能确定正负，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法及有理数的加减法，熟练掌握有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
【变式5-2】（2022秋•七台河期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0；
③若a＝0，b≠0，则ab=0；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用有理数的除法运算计算并判断正误．
【解答】解：
①−ab=a−b=−ab，正确；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0，错误；
③若a＝0，b≠0，则ab=0，正确；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b，错误，
∴正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则．
【变式5-3】计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣eq \f(1,4))；
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-).
【分析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
【解答】（1）(﹣15)÷(﹣3)＝＋(15÷3)＝5；
（2）12÷(﹣eq \f(1,4))＝﹣(12÷eq \f(1,4))＝﹣48；
（3）(﹣0.75)÷(0.25)＝﹣(0.75÷0.25)＝﹣3.
（4）(-)÷(-)=+（）=.
【点评】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式5-4】化简下列分数：
(1)eq \f(－21,－7) ； (2)eq \f(－3,6) ； (3)eq \f(－6,－0.3) ； (4)－eq \f(28,－49)．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】(1)eq \f(－21,－7)＝eq \f(－7×3,－7)＝3；
(2)eq \f(－3,6)＝eq \f(－3,（－3）×（－2）)＝－eq \f(1,2)；
(3)eq \f(－6,－0.3)＝eq \f(（－0.3）×20,－0.3)＝20；
(4)－eq \f(28,－49)＝eq \f(28,49)＝eq \f(4×7,7×7)＝eq \f(4,7).
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
【变式5-5】（1）两数的积是1，已知一个数是﹣237，求另一个数；
（2）两数的商是﹣312，已知被除数是412，求除数．
【分析】根据题意列出算式即可求出答案．
【解答】解：（1）1÷（﹣237）＝1×（−717）=−717；
（2）412÷（﹣312）=92×（−27）=−97
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
题型六 有理数的乘除混合运算
【例题6】（2022秋•垫江县期末）计算16×（﹣6）÷（−16）×6的结果是（ ）
A．6B．36C．﹣1D．1
【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【解答】解：16×（﹣6）÷（−16）×6
=16×（﹣6）×（﹣6）×6
＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
【变式6-1】（2022秋•城阳区期末）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（−94）÷（﹣1）=32；④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16．其中正确的个数（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别进行计算即可．
【解答】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6，故原题计算错误；
②（﹣36）÷（﹣9）＝4，故原题计算错误；
③23×（−94）÷（﹣1）=32，故原题计算正确；
④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16，故原题计算正确，
正确的计算有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是注意结果符号的判断．
【变式6-2】（−34）×（−12）÷（﹣214）．
【分析】先将除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝（−34）×（−12）×（−49）
=−16．
【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，也可以按照从左往右的顺序进行．
【变式6-3】（2022春•普陀区校级期中）计算：（−25）×（−43）÷（﹣325）÷317．
【分析】先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式=−25×43×517×173
=−89．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则．
【变式6-4】计算：
（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）．
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3=−35×72×45×13=−1425；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）＝﹣8×32×32×19=−2．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握乘除法则是解本题的关键．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
【例题7】“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于24，你的运算式是 ．
【分析】考虑3×8＝24，4+20＝24，28﹣4＝24，可得结论．
【解答】解：根据有理数的运算可得：3×（4﹣6+10）＝24，[10﹣3×（﹣6）]﹣4＝24，4﹣10×（﹣6）÷3＝24等．
故答案为：3×（4﹣6+10）＝24（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【变式7-1】计算：(−34−16+512)÷136．
【分析】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：(−34−16+512)÷136
=(−34−16+512)×36
=−34×36−16×36+512×36
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．
【变式7-2】计算：512÷(0.75−23)×6.8．
【分析】根据有理数的乘除运算以及有理数减法运算法则即可求出答案、
【解答】解：原式=512÷（34−23）×6.8
=512÷112×6.8
=512×12×6.8
＝5×6.8
＝34．
【点评】本题考查有理数的乘除法以及减法运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除法以及减法运算法则，本题属于基础题型．
【变式7-3】（2022秋•青浦区校级期中）计算：89×[0.75−(716−0.25)]．
【分析】利用有理数的乘法运算，先去小括号，再去中括号．
【解答】解：89×[0.75−(716−0.25)]
=89×（0.75−716+0.25）
=89×（0.75+0.25−716）
=89×（1−716）
=89×916
=12．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘法法则．
【变式7-4】计算：
（1）−1÷(−18)−3÷(−12)；
（2）−81÷13−13÷(−19)．
（3）−1+5÷(−16)×(−6)；
（4）(13−12)÷114÷110．
【分析】（1）（2）（3）根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算，然后根据有理数的乘法运算法则和加法运算法则进行计算即可得解；
（4）先算小括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算并把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣1÷（−18）﹣3÷（−12）
＝﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2）
＝8+6
＝14；
（2）﹣81÷13−13÷（−19）
＝﹣81×3−13×（﹣9）
＝﹣243+3
＝﹣240；
（3）﹣1+5÷（−16）×（﹣6）
＝﹣1+5×（﹣6）×（﹣6）
＝﹣1+180
＝179；
（4）（13−12）÷114÷110
=−16×45×10
=−43．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，有理数的加减法运算，熟记运算法则和运算顺序是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
【例题8】（2022秋•澄海区期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＞1
【分析】先根据数轴上两数，右边的数总是大于左边的数，即可得到：a＜0＜b，且|a|＞|b|，再根据有理数的运算法则逐项判断即可得到答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故A选项不符合题意；
B、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，故B选项不符合题意；
C、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，故C选项符合题意；
D、∵a＜0＜b，∴ab＜0＜1，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴上两数比较大小的方法以及有理数的运算法则，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•行唐县校级期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的商为1
【分析】根据数轴直观得出四个选项是否正确．
【解答】解：由图形可知A表示﹣2，B表示2，
|﹣2|＝|2|；﹣2与2互为相反数；﹣2+2＝0；﹣2÷2＝﹣1．
∴A、B、C正确，D错．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的有关知识，掌握数轴的有关知识是解题的关键．
【变式8-2】（2023•茂南区三模）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】由数轴可得b＜0＜a，然后利用实数的运算法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得b＜0＜a，
那么ab＜0，ab＜0，
则①正确，②错误；
∵b＜a，
∴a﹣b＞0，﹣a＜﹣b，
则③错误，④正确；
综上，正确的个数为2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及实数的相关运算法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式8-3】如图，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由a、b在数轴上的位置可知：-11， <0，再结合有理数的加法、减法、乘法及除法法则即可判断求解.
【解答】解：由数轴可知，-11， <0，，A选项错；
a-b<0，B选项错；
∵b>1，∴b-1>0，∵a<0，∴ ，C选项正确；
∵a>-1，∴a+1>0，∵b>1，∴b-1>0，∴ >0，D选项错.
故答案为：C.
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
【分析】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据题意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∵﹣3＜a＜﹣2，
∴|a|＜3，
∴①不正确；
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴②正确；
∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∴b+c＞0，
∴③不正确；
∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，
∴b﹣a＞0，
∴④正确，
∴四个结论中，所有正确结论是②、④．
故答案为：②、④．
【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
【例题9】（2022秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，则m+n的值等于 ．
【分析】根据绝对值的性质可得m＝±6，n＝±2，再由mn＞0，可得到m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，再代入，即可求解．
【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，
∴m＝±6，n＝±2，
∵mn＞0，
∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，
当m＝6，n＝2时，m+n＝6+2＝8；
当m＝﹣6，n＝﹣2时，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；
综上所述，m+n的值等于±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法，求代数式的值，能正确得出相应字母的值是解本题的关键．
【变式9-1】（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 ．
【分析】根据最小正整数的定义、最大的负整数的定义和绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，从而求出结论．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴abc＝1×（﹣1）×0＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查的是有理数的大小比较，掌握最小正整数为1、最大的负整数为﹣1、绝对值最小的有理数为0和有理数的乘法法则是解题的关键．
【变式9-2】（2022秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
【分析】根据两数相乘同号为正，异号为负可知b＞0，再由a+b＜0，可得b（a+b）＜0，b＜﹣a即可判断①，②；由b＞0，a＜0，a﹣b＜0，化简绝对值|−b|b+a−b|a−b|−|a|a即可判断③；根据a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，推出b＝a+6，再由|b﹣c|＝2，得到a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，即可判断④．
【解答】解：∵a＜0，ab＜0，
∴b＞0，
∵a+b＜0，
∴b（a+b）＜0，b＜﹣a，故①错误，②正确；
∵b＞0，a＜0，
∴a﹣b＜0，
∴|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=bb+a−b−(a−b)−−aa=1−1+1=1，故③正确；
∵a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，
∴a﹣b＝﹣6，
∴b＝a+6，
∵|b﹣c|＝2，
∴b﹣c＝2或b﹣c＝﹣2，
∴a+6﹣c＝2或a+6﹣c＝﹣2，
∴a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，
∴|a﹣c|＝4或|a﹣c|＝8，故④错误；
∴正确的有②③．
故答案为：②③．
【点评】【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．
【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，
∴x＝±2，y＝±5，
∵xy＜0，
∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5，
当x＝2，y＝﹣5时，
2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5）
＝4+15
＝19，
当x＝﹣2，y＝5时，
2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5
＝﹣4﹣15
＝﹣19，
综上所述，2x﹣3y的值为19或﹣19．
【点评】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键．
【变式9-4】已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，cd= ．
（2）求：m3+ab+c+d4m−cd的值．
【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论；
（2）将（1）所得式子代入可得结论．
【解答】解：（1）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c，d互为相反数，
∴c+d＝0，cd=−1，
∵|m|＝3，
∴m＝±3，
故答案为：1，0，±3，﹣1；
（2）当m＝3时，原式=33+1+0﹣（﹣1）＝3，
当m＝﹣3时，原式=−33+1+0﹣（﹣1）＝1．
【点评】本题运用了相反数和倒数、绝对值的概念，以及整体代入的思想．
【变式9-5】已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc的值；
（2）若a+b+c＜0，求|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc的值．
【分析】（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；
（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，
∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，
∴ac＞0，
∴|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc=abab+acac+bcbc=1+1+1＝3；
（2）∵a+b+c＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，
∴|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc=−aa+b−b+−cc+−abcabc=−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
【例题10】某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时能降到所需要的温度？
【分析】根据题意，利用降低的度数除以4列式即可求解．
【解答】解：[（﹣2）﹣（﹣12）]÷4
＝10÷4
＝2.5（小时）．
答：6小时能降到所需要的温度．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，理清题目中的数量关是解决问题关键．
【变式10-1】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．7升B．8升C．10升D．1007升
【分析】用总耗油量除以百千米数即可．
【解答】解：50÷56500−56000100
＝50÷5
＝10（升），
故选：C．
【点评】此题考查了运用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并计算求解．
【变式10-2】煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时间．
【分析】（1）根据经过水平距离10米，海拔上升（或下降）0.4米，由题意列出算式，计算即可；
（2）根据每垂直升高10米用30秒，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得-164.5+（120÷10）×0.4=-159.7（米）；
即B点的海拔为-159.7米；
[-98.8-（-164.5）]÷10×30=197.1（秒），
即从A点到C点所用的时间为197.1秒．
【变式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
【分析】（1）莲花峰的高度＝山顶的温度与山脚的温度之差÷0.8×100．
（2）750米里有几个100米，气温就下降几个0.8℃．
【解答】解：（1）（27﹣19）÷0.8×100
＝8÷0.8×100
＝1000（米）
答：莲花峰的高度约是1000米．
（2）27﹣750÷100×0.8
＝27﹣6
＝21（℃）
答：小红在750米处的温度大约是21℃．
【点评】此题考查的是有理数的加法运算，掌握加法的交换律与结合律是解决此题的关键．
【变式10-4】某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【分析】首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【解答】解：如表格，7×（47+3）+6×（47+2）+3×（47+1）+5×47+4×（47﹣1）+5×（47﹣2）
＝350+294+144+235+184+225
＝1432，
∵30×32＝960，
∴1432﹣960＝472，
∴售完这30件连衣裙后，赚了472元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
【变式10-5】（2022秋•巴中期末）诺水河风景区是国家级地质公园，其中诺水河溶洞漂流被誉为“亚洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出现了罕见的高温天气，漂流成了人们较喜欢的消暑方式．预计巴中市民每天在抖音平台上购票70张，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，表是某周的销售情况[超额记为正，不足记为负．（单位：张）]：
（1）根据记录的数据可知销售量最少的一天卖出了 张，销售最多的一天比销售量最少的一天多销售 张；
（2）每张票120元，若在抖音平台上购买享受九折优惠，求巴中市民本周在抖音平台购票一共消费多少元？
【分析】（1）用标准数70张加上记录中的最小数即可得出销售量最少的一天卖出了多少张；用记录中的最大数减去最小数可得销售最多的一天比销售量最少的一天多销售张；
（2）根据“总价＝单价×数量”可得答案．
【解答】解：（1）70+（﹣11）＝59（张），
即销售量最少的一天卖出了59张；
+20﹣（﹣11）＝20+11＝31（张），
即销售最多的一天比销售量最少的一天多销售31张．
故答案为：59，31
（2）70×7+4﹣4﹣5+12﹣11+20﹣6＝500（张），
120×0.9×500＝54000（元）
答：巴中市民本周在抖音平台购票消费54000元．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是关键．
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
【例题11】（2022•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣4，则输出的数值为 ．
【分析】首先列出式子是：（﹣4）×（﹣3）﹣2，然后正确计算即可．
【解答】解：根据题意得：（﹣4）×（﹣3）﹣2＝12﹣2＝10．
故答案是：10．
【点评】本题考查了代数式的求值，正确列出式子是关键．
【变式11-1】按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .
【分析】根据程序图列出算式，然后计算即可.
【解答】解：输出的值为 ，
故答案为：198.
【变式11-2】如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．
【分析】利用程序图中的程序进行操作即可得出结论．
【解答】解：输入的数字是3，由题意得：
2×（﹣5）＝﹣15，
∵|﹣15|＝15＜40，
∴将﹣15重新输入，则得：
﹣15×（﹣5）＝75，
∵|75|＝75＞40，
∴输出的结果是：75；
故答案为：75．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作型题目，依据程序图中的程序进行运算是解题的关键．
【变式11-3】按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣5D．4
【分析】根据所给程序流程图的运算规律逐项计算即可解答．
【解答】解：x＝﹣1，（﹣1）×（﹣2）+1＝3＜0，
x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，
x＝﹣5，（﹣5）×（﹣2）+1＝11＞0，∴A、B符合题意；
x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，∴C符合题意；
x＝4，4×（﹣2）+1＝﹣7，
x＝﹣7，（﹣7）×（﹣2）+1＝15，∴D不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了代数式的值、有理数混合运算，掌握有理数混合运算顺序，理解所给的流程图逐级运算是解题关键．
【变式11-4】如图，按照运算程序（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），如果输入的数值是﹣4，求输出的结果．
【分析】按运算要求和输出的条件，计算即可．
【解答】解：当输入﹣4时，﹣4×4＝﹣16，
﹣16﹣（﹣8）＝﹣8，
﹣8÷4＝﹣2，
∵﹣2＜2，
∴需重新输入﹣2；
当输入﹣2时，﹣2×4＝﹣8，
﹣8﹣（﹣8）＝0，
0÷4＝0，
∵0＜2，
∴需重新输入﹣0；
当输入0时，0×4＝0，
0﹣（﹣8）＝8，
8÷4＝2，
∵2＝2，
∴需重新输入2；
当输入2时，2×4＝8，
8﹣（﹣8）＝16，
16÷4＝4，
∵4＞2，
∴输出的值是4．
【点评】本题考查了实数的运算，题目难度不大，理解运算顺序和输入输出的条件是解决本题的关键．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
【例题12】对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
【分析】根据新运算*的运算方法进行计算即可得解．
【解答】解：7*（1*2），
＝7*（1×2），
＝7*2，
＝7×8，
＝56．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【变式12-1】规定a※b=1a÷(−b2)，例如2※3=12÷(−32)=−13，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
【分析】根据题意知道a※b等于1a÷(−b2)，用此方法计算[2※（﹣5）]※4的值．
【解答】解：由题意可得：2※（﹣5）=12÷(−−52)=15，
15※4=5÷(−42)=−52，
故答案为：﹣2.5
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题．
【变式12-2】（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【变式12-3】对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）两式利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣3）×4﹣（﹣3）﹣4+1
＝﹣12+3﹣4+1
＝﹣12；
（2）根据题中的新定义得：
5※（﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）+1＝﹣10﹣5+2+1＝﹣12，
（﹣2）※5＝﹣2×5﹣（﹣2）﹣5+1＝﹣10+2﹣5+1＝﹣12，
则5※（﹣2）＝（﹣2）※5．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式12-4】（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．
【解答】解：（1）由题意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；
（2）由题意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，
3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，
∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；
（3）不成立，理由如下：
∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，
∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【点评】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
【变式12-5】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
（1）计算（﹣5）⊗4的值；
（2）求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
（3）填空：3⊗（﹣2） （﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝﹣5×4+|﹣5|﹣4
＝﹣20+5﹣4
＝﹣19；
（2）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣6+2+3）⊗4
＝（﹣1）⊗4
＝﹣4+1﹣4
＝﹣7；
（3）根据题中的新定义得：
3⊗（﹣2）＝﹣6+3+2＝﹣1；（﹣2）⊗3＝﹣6+2﹣3＝﹣7，
则3⊗（﹣2）＞（﹣2）⊗3．
故答案为：＞．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题
【例题13】阅读下列材料：
计算：50÷（13−14+112）．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（412−312+112）＝50÷212=50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（13−14+112）÷50＝（13−14+112）×150=13×150−14×150+112×150=1300
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（−142）÷（16−314+23−27）．
【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．
【解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
故答案为：一；三；
原式的倒数为（16−314+23−27）÷（−142）＝（16−314+23−27）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，
则原式=−114．
【点评】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键．
【变式13-1】阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（13−12）×6
解：原式＝（﹣15）÷(−16)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．
（2）把正确的解题过程写出来．
【分析】（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是得数错误．
（2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．
（2）（﹣15）÷（13−12）×6
＝（﹣15）÷(−16)×6
＝（﹣15）×（﹣6）×6
＝90×6
＝540．
故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．
【点评】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
（2）此题还考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【变式13-2】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军的解法：原式=(49+2425)×(−5)=49×(−5)+2425×(−5)=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把492425看作(50−125)，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：956×（﹣3）．
【分析】（1）小军的方法计算简便；
（2）原式＝（50−125）×（﹣5），再由乘法分配律进行运算即可；
（3）原式＝（10−16）×（﹣3），再运算即可．
【解答】解：（1）小军的解法较好；
（2）492425×（﹣5）
＝（50−125）×（﹣5）
＝50×（﹣5）−125×（﹣5）
＝﹣250+15
＝﹣24945；
（3）956×（﹣3）
＝（10−16）×（﹣3）
＝10×（﹣3）−16×（﹣3）
＝﹣30+12
＝﹣2912．
【点评】本题考查实数的运算，根据所给方法，灵活运用乘法分配律进行计算是解题的关键．
【变式13-3】阅读材料，回答问题
(1+12)×(1−13)=32×23=1
(1+12)×(1+14)×(1−13)×(1−15)=32×54×23×45=(32×23)×(54×45)=1×1＝1．
根据以下信息，请求出下式的结果.(1+12)×(1+14)×(1+16)×⋯×(1+120)×(1−13)×(1−15)×(1−17)×⋯×(1−121)．
【分析】先计算小括号内的数，再利用乘法交换律和结合律进行计算即可得解．
【解答】解：（1+12）×（1+14）×（1+16）×…×（1+120）×（1−13）×（1−15）×（1−17）×…×（1−121）
=32×54×76×⋯×2120×23×45×67×⋯×2021
＝（32×23）×（54×45）×（76×67）×…×（2120×2021）
＝1×1×1×…×1
＝1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，利用乘法交换律和结合律进行计算是解题的关键．
【变式13-4】阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36= ；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；
（2）利用乘法的分配律进行求解即可；
（3）仿照解法三进行解答即可．
【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，
故答案为：一；
（2）(12−14+16)×36
=12×36−14×36+16×36
＝18﹣9+6
＝15，
故答案为：15；
（3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）
＝（37+215−310−521）×（﹣210）
=37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）
＝﹣90﹣28+63+50
＝﹣5，
∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握．
题型十四 有理数乘除法规律探究题
【例题13】观察下列各式：
11×2=1−12，11×3=12×(1−13)；
12×3=12−13，13×5=12×(13−15)；
13×4=13−14，15×7=12×(15−17)；
解答下列各题：
（1）尝试并计算：11×2+12×3+13×4+...+12017×2018；
（2）尝试并计算：11×3+13×5+15×7+...+199×101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|；
（4）尝试并计算：13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102．
【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（2）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解；
（4）利用计算的规律，两次拆分计算即可．
【解答】解：（1）11×2+12×3+13×4+...+12017×2018
＝1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018
＝1−12018
=20172018；
（2）11×3+13×5+15×7+...+199×101
=12×（1−13+13−15+⋯+199−1101）
=12×（1−1101）
=12×100101
=50101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|
＝1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100
＝1−1100
=99100；
（4）13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102
=12×（13×4−14×5+14×5−15×6+⋯+199×100−1100×101+1100×101−1101×102）
=12×（13×4−1101×102）
=12×102903×4×101×102
=171541208．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式14-1】观察下列各式：
12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
（1）猜想12×23×34×⋯×nn+1= ；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1100−1）×（199−1）×（198−1）×…×（14−1）×（13−1）×（12−1）
②将2016减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，以此类推，直到最后减去余下的12016，最后结果是多少？
【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母；
（2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
∴12×23×34×⋯×nn+1=1n+1
故答案为：1n+1；
（2）①原式=−99100×（−9899）×（−9798）×…×（−23）×（−12）
=−1100；
②由题意得，2016×（1−12）×（1−13）×…×（1−12016）＝2016×12016
＝1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式14-2】（2022秋•成县期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算11×2+12×3+13×4+14×5．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
11×2+12×3+13×4+14×5=（1−12）+（12−13）+（13−14）+（14−15）＝1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45．
任务：
（1）猜想并写出：1n(n+1)= ；（n为正整数）
（2）①应用上面的方法计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022．
②直接写出下列式子的计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12020×2022．
【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可；
（2）与（1）一样得到11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1，然后进行合并；
（3）把原式变形为（2）中的形式得到14[（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（11010−11011）]，然后利用（2）中的方法计算．
【解答】解：（1）通过观察可得：1n(n+1)=1n−1n+1；
（2））①11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022
＝1−12+12−13+13−14+•••+12021−12022
＝1−12022
=20212022．
②根据规律可得：原式＝1−1n+1．
故答案为：1−1n+1．
（3）原式=14[（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（11010−11011）]=14×（1−11011）=10104044．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键．
解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题.
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日
15
56000
2021年2月25日
50
56500
售出件数
7
6
5
5
4
3
售价/元
+3
+2
﹣2
0
﹣1
+1
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
﹣4
﹣5
+12
﹣11
+20
﹣6
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题.
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日
15
56000
2021年2月25日
50
56500
售出件数
7
6
5
5
4
3
售价/元
+3
+2
﹣2
0
﹣1
+1
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
﹣4
﹣5
+12
﹣11
+20
﹣6
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
知识点一
有理数的乘法
◆有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
◆有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
知识点二
倒数
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．
知识点三
多个有理数的乘法
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
知识点四
有理数的乘法运算律
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
知识点五
有理数的除法
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
知识点六
有理数的加减乘除混合运算
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘
【例题1】（2022•碑林区校级四模）计算（﹣114）×（45）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．15D．−15
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．同号两数相乘，符号不变
B．两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数
C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0
D．两数相乘，积一定大于每一个因数
【变式1-2】计算：|﹣3|×（−23）＝ ．
【变式1-3】在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【变式1-4】计算：
（1）56×（﹣12）；
（2）（﹣312）×（﹣4）；
（3）﹣423×0.25；
（4）（−65）×（﹣2.5）．
题型二 多个有理数相乘
【例题2】（2022秋•中江县校级月考）四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1B．0C．3D．1或3
【变式2-1】下列各式中乘积为负数的是（ ）
A．（﹣2）×3×4×（﹣1）B．（﹣5）×（﹣6）×3×1
C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）
【变式2-2】（2022秋•南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数D．a为负数，b为正数
【变式2-3】（2022秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定异号D．一定同号
【变式2-4】计算下列各题：
(1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)－；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
题型三 倒数的概念及运用
【例题3】（2023•永丰县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．−12023C．﹣2023D．12023
【变式3-1】（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（ ）
A．2的倒数是﹣2B．3的相反数是13
C．绝对值最小的数是1D．0的相反数是0
【变式3-2】（2023•邹城市二模）﹣3的倒数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
【变式3-3】﹣3的倒数是 ，−76的绝对值是 ，﹣123的倒数的相反数是 ．
【变式3-4】两个有理数之积是1，已知一个数是−217，则另一个数是 ．
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
【例题4】计算（﹣3）×（4−12），用分配律计算过程正确的是（ ）
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（−12）
C．3×4﹣（﹣3）×（−12）D．（﹣3）×4+3×（−12）
【变式4-1】简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律C．乘法结合律D．乘法分配律
【变式4-2】（2022•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−994748)变形成最合适的形式是（ ）
A．24×（﹣100+148）B．24×（﹣100−148）
C．24×（﹣99−4748）D．24×（﹣99+4748）
【变式4-3】若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（ ）
A．p﹣1B．p+2022C．p﹣2022D．p+1
【变式4-4】（2022秋•东海县月考）用简便方法计算：
（1）（−37）×0.25×（﹣213）×（﹣8）；
（2）91819×15；
（3）（−12−73+34）×（﹣60）；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）．
题型五 有理数的除法
【例题五】（2022•山西模拟）计算(−9)÷12的结果为（ ）
A．92B．−92C．18D．﹣18
【变式5-1】（2022秋•鹿城区校级期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数
B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数
D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【变式5-2】（2022秋•七台河期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0；
③若a＝0，b≠0，则ab=0；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-3】计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣eq \f(1,4))；
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-).
【变式5-4】化简下列分数：
(1)eq \f(－21,－7) ； (2)eq \f(－3,6) ； (3)eq \f(－6,－0.3) ； (4)－eq \f(28,－49)．
【变式5-5】（1）两数的积是1，已知一个数是﹣237，求另一个数；
（2）两数的商是﹣312，已知被除数是412，求除数．
题型六 有理数的乘除混合运算
【例题6】（2022秋•垫江县期末）计算16×（﹣6）÷（−16）×6的结果是（ ）
A．6B．36C．﹣1D．1
【变式6-1】（2022秋•城阳区期末）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（−94）÷（﹣1）=32；④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16．其中正确的个数（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式6-2】（−34）×（−12）÷（﹣214）．
【变式6-3】（2022春•普陀区校级期中）计算：（−25）×（−43）÷（﹣325）÷317．
【变式6-4】计算：
（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
【例题7】“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于24，你的运算式是 ．
【变式7-1】计算：(−34−16+512)÷136．
【变式7-2】计算：512÷(0.75−23)×6.8．
【变式7-3】（2022秋•青浦区校级期中）计算：89×[0.75−(716−0.25)]．
【变式7-4】计算：
（1）−1÷(−18)−3÷(−12)；
（2）−81÷13−13÷(−19)．
（3）−1+5÷(−16)×(−6)；
（4）(13−12)÷114÷110．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
【例题8】（2022秋•澄海区期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
ab＞0B．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＞1
【变式8-1】（2022秋•行唐县校级期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的商为1
【变式8-2】（2023•茂南区三模）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【变式8-3】如图，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-4】（2022秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
【例题9】（2022秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，则m+n的值等于 ．
【变式9-1】（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 ．
【变式9-2】（2022秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
【变式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．
【变式9-4】已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，cd= ．
（2）求：m3+ab+c+d4m−cd的值．
【变式9-5】已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc的值；
（2）若a+b+c＜0，求|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc的值．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
【例题10】某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时能降到所需要的温度？
【变式10-1】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．7升B．8升C．10升D．1007升
【变式10-2】煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时间．
【变式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
【变式10-4】某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【变式10-5】（2022秋•巴中期末）诺水河风景区是国家级地质公园，其中诺水河溶洞漂流被誉为“亚洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出现了罕见的高温天气，漂流成了人们较喜欢的消暑方式．预计巴中市民每天在抖音平台上购票70张，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，表是某周的销售情况[超额记为正，不足记为负．（单位：张）]：
（1）根据记录的数据可知销售量最少的一天卖出了 张，销售最多的一天比销售量最少的一天多销售 张；
（2）每张票120元，若在抖音平台上购买享受九折优惠，求巴中市民本周在抖音平台购票一共消费多少元？
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
【例题11】（2022•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣4，则输出的数值为 ．
【变式11-1】按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .
【变式11-2】如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．
【变式11-3】按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣5D．4
【变式11-4】如图，按照运算程序（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），如果输入的数值是﹣4，求输出的结果．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
【例题12】对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
【变式12-1】规定a※b=1a÷(−b2)，例如2※3=12÷(−32)=−13，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
【变式12-2】（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【变式12-3】对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．
【变式12-4】（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【变式12-5】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
（1）计算（﹣5）⊗4的值；
（2）求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
（3）填空：3⊗（﹣2） （﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题
【例题13】阅读下列材料：
计算：50÷（13−14+112）．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（412−312+112）＝50÷212=50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（13−14+112）÷50＝（13−14+112）×150=13×150−14×150+112×150=1300
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（−142）÷（16−314+23−27）．
【变式13-1】阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（13−12）×6
解：原式＝（﹣15）÷(−16)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．
（2）把正确的解题过程写出来．
【变式13-2】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军的解法：原式=(49+2425)×(−5)=49×(−5)+2425×(−5)=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把492425看作(50−125)，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：956×（﹣3）．
【变式13-3】阅读材料，回答问题
(1+12)×(1−13)=32×23=1
(1+12)×(1+14)×(1−13)×(1−15)=32×54×23×45=(32×23)×(54×45)=1×1＝1．
根据以下信息，请求出下式的结果.(1+12)×(1+14)×(1+16)×⋯×(1+120)×(1−13)×(1−15)×(1−17)×⋯×(1−121)．
【变式13-4】阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36= ；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
题型十四 有理数乘除法规律探究题
【例题13】观察下列各式：
11×2=1−12，11×3=12×(1−13)；
12×3=12−13，13×5=12×(13−15)；
13×4=13−14，15×7=12×(15−17)；
解答下列各题：
（1）尝试并计算：11×2+12×3+13×4+...+12017×2018；
（2）尝试并计算：11×3+13×5+15×7+...+199×101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|；
（4）尝试并计算：13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102．
【变式14-1】观察下列各式：
12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
（1）猜想12×23×34×⋯×nn+1= ；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1100−1）×（199−1）×（198−1）×…×（14−1）×（13−1）×（12−1）
②将2016减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，以此类推，直到最后减去余下的12016，最后结果是多少？
【变式14-2】（2022秋•成县期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算11×2+12×3+13×4+14×5．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
11×2+12×3+13×4+14×5=（1−12）+（12−13）+（13−14）+（14−15）＝1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45．
任务：
（1）猜想并写出：1n(n+1)= ；（n为正整数）
（2）①应用上面的方法计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022．
②直接写出下列式子的计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12020×2022．
（苏科版）七年级上册数学《第二章 有理数》
2.6 有理数的乘法与除法
知识点一
有理数的乘法
◆有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
◆有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
知识点二
倒数
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．
知识点三
多个有理数的乘法
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
知识点四
有理数的乘法运算律
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
知识点五
有理数的除法
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
知识点六
有理数的加减乘除混合运算
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘
【例题1】（2022•碑林区校级四模）计算（﹣114）×（45）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．15D．−15
【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值．
【解答】解：原式=−54×45=−1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．同号两数相乘，符号不变
B．两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数
C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0
D．两数相乘，积一定大于每一个因数
【分析】通过举反例的办法，判断每个说法．
【解答】解：A．∵（﹣3）×（﹣2）＝6，∴选项A“同号两数相乘，符号不变“说法错误；
B．∵（﹣4）×（﹣1）＝6，∴选项B“两个有理数相乘，如果积为正数，那么这两个数都为正数”说法错误；
C．∵a×0＝0，0×0＝0，∴“两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0”说法正确；
D．∵（﹣1）×（2）＝﹣2，﹣2＜﹣1，﹣2＜2，∴“两数相乘，积一定大于每一个因数“说法错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，掌握乘法法则是解决本题的关键．
【变式1-2】计算：|﹣3|×（−23）＝ ．
【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则即可得出答案．
【解答】解：原式＝3×（−23）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了绝对值和有理数的乘法法则，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
【变式1-3】在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于负数，可知同号两数相乘的结果大于异号两数相乘的结果．故本题只需要计算两种情况，计算后比较即可．
【解答】解：2×4＝8，（﹣3）×（﹣5）＝15，
15＞8．
∴积最大是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．
【变式1-4】计算：
（1）56×（﹣12）；
（2）（﹣312）×（﹣4）；
（3）﹣423×0.25；
（4）（−65）×（﹣2.5）．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则即可求解；
（2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则即可求解；
（3）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则即可求解；
（4）先将小数化成分数，再根据有理数的乘法法则即可求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣（56×12）＝﹣10；
（2）原式=72×4=14；
（3）原式=−143×14=−76；
（4）原式=65×52=3．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
题型二 多个有理数相乘
【例题2】（2022秋•中江县校级月考）四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1B．0C．3D．1或3
【分析】利用有理数的乘法计算判断积的符号．
【解答】解：∵四个不为零的数相乘，积为负数，
∴四个数中有1个或3个为负数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
【变式2-1】下列各式中乘积为负数的是（ ）
A．（﹣2）×3×4×（﹣1）B．（﹣5）×（﹣6）×3×1
C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）
【分析】根据有理数的乘法运算符号法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个负因数相乘，积为正数；
B、两个负因数相乘，积为正数，；
C、有因式0，积是0，0既不是正数也不是负数；
D、有3个负因数，积是负数；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
【变式2-2】（2022秋•南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数D．a为负数，b为正数
【分析】根据有理数乘法的运算法则，有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数．
【解答】解：∵a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）中共有3个负数相乘，
∴a为负数，
∵b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘，
∴b为正数，
∴a为负数，b为正数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘法中符号的运算规律，其依据是：有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数．
【变式2-3】（2022秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定异号D．一定同号
【分析】根据有理数乘法法则进行解答便可．
【解答】解：∵a与b同号，
∴ab＞0，
∵abcd＜0，
∴cd＜0，
∴c、d异号，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数乘法，熟记有理数乘法法则是解题的关键．有理数乘法法则：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘都得0．
【变式2-4】计算下列各题：
(1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)－；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
【分析】先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可．
【解答】解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；
(2)原式＝30×(－7)＝－210；
(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；
(4)原式＝；
(5)原式＝0.
【点评】本题考查多个有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．
题型三 倒数的概念及运用
【例题3】（2023•永丰县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．−12023C．﹣2023D．12023
【分析】运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
【解答】解：∵﹣2023×（−12023）＝1，
∴﹣2023的倒数是−12023，
故选：B．
【点评】此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式3-1】（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（ ）
A．2的倒数是﹣2B．3的相反数是13
C．绝对值最小的数是1D．0的相反数是0
【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，有理数的绝对值都是非负数，由此即可得到答案．
【解答】解：A、2的倒数是12，故A不符合题意；
B、3的相反数是﹣3，故B不符合题意；
C、绝对值最小的数是0，故C不符合题意；
D、0的相反数是0，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数、相反数的定义，绝对值的意义．
【变式3-2】（2023•邹城市二模）﹣3的倒数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．13D．−13
【分析】依据倒数和绝对值的性质求解即可．
【解答】解：﹣3的倒数是−13，
−13的绝对值是13．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是倒数和绝对值的性质，熟练掌握倒数和绝对值的性质是解题的关键．
【变式3-3】﹣3的倒数是 ，−76的绝对值是 ，﹣123的倒数的相反数是 ．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：﹣3的倒数是−13，−76的绝对值是76，﹣123的倒数是−35，−35的相反数是35．
故答案为：−13，76，35．
【点评】本题考查了倒数，绝对值以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
【变式3-4】两个有理数之积是1，已知一个数是−217，则另一个数是 ．
【分析】两个有理数之积是1，则这两个有理数互为倒数，本题即求−217的倒数．
【解答】解：∵−217×（−715）＝1，
∴−217的倒数是−715．
答：另一个数是−715．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
【例题4】计算（﹣3）×（4−12），用分配律计算过程正确的是（ ）
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（−12）
C．3×4﹣（﹣3）×（−12）D．（﹣3）×4+3×（−12）
【分析】乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac．
【解答】解：原式＝（﹣3）×[4+（−12）]
＝（﹣3）×4+（﹣3）×（−12）．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法分配律在计算题中的应用．
【变式4-1】简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律C．乘法结合律D．乘法分配律
【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此判断即可．
【解答】解：简便运算15×（25+13）＝15×25+15×13运用的运算律是乘法分配律．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式4-2】（2022•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−994748)变形成最合适的形式是（ ）
A．24×（﹣100+148）B．24×（﹣100−148）
C．24×（﹣99−4748）D．24×（﹣99+4748）
【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．
【解答】解：∵﹣100+148=−（﹣100−148）=−994748，
∴根据有理数的乘法分配律，把24×(−994748)变形成最合适的形式为24×（﹣100+148）＝
﹣24×100+24×148=−47992，可以简便运算．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式4-3】若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（ ）
A．p﹣1B．p+2022C．p﹣2022D．p+1
【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解．
【解答】解：（﹣2022）×63
＝（﹣2022）×（62+1）
＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1
＝（﹣2022）×62﹣2022，
又∵（﹣2022）×63＝p，
∴（﹣2022）×62﹣2022＝p，
∴（﹣2022）×62＝p+2022，
故选：B．
【变式4-4】（2022秋•东海县月考）用简便方法计算：
（1）（−37）×0.25×（﹣213）×（﹣8）；
（2）91819×15；
（3）（−12−73+34）×（﹣60）；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）．
【分析】（1）利用乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）原式变形为（10−119）×15，再利用乘法分配律展开、计算即可；
（3）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；
（4）逆用乘法分配律变形为（﹣713）×（5+12+7），再进一步计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（−37）×（−73）×14×（﹣8）
＝1×（﹣2）
＝﹣2；
（2）原式＝（10−119）×15
＝10×15−119×15
＝150−1519
＝149419；
（3）原式=−12×（﹣60）−73×（﹣60）+34×（﹣60）
＝30+140﹣45
＝170﹣45
＝125；
（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣713）×（+7）
＝（﹣713）×（5+12+7）
=−223×24
＝﹣176．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
题型五 有理数的除法
【例题五】（2022•山西模拟）计算(−9)÷12的结果为（ ）
A．92B．−92C．18D．﹣18
【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣9×2
＝﹣18．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•鹿城区校级期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数
B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数
D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【分析】应用有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；
B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；
C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；
D．若两个数的商是正数，这两数的和、差、积的正负都能确定正负，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法及有理数的加减法，熟练掌握有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
【变式5-2】（2022秋•七台河期中）下列说法中正确的有（ ）
①−ab=a−b=−ab；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0；
③若a＝0，b≠0，则ab=0；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用有理数的除法运算计算并判断正误．
【解答】解：
①−ab=a−b=−ab，正确；
②若ab＜0，则a＞0，b＞0，错误；
③若a＝0，b≠0，则ab=0，正确；
④若a＜0，b＜0，则1a＜1b，错误，
∴正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则．
【变式5-3】计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣eq \f(1,4))；
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-).
【分析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
【解答】（1）(﹣15)÷(﹣3)＝＋(15÷3)＝5；
（2）12÷(﹣eq \f(1,4))＝﹣(12÷eq \f(1,4))＝﹣48；
（3）(﹣0.75)÷(0.25)＝﹣(0.75÷0.25)＝﹣3.
（4）(-)÷(-)=+（）=.
【点评】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键．
【变式5-4】化简下列分数：
(1)eq \f(－21,－7) ； (2)eq \f(－3,6) ； (3)eq \f(－6,－0.3) ； (4)－eq \f(28,－49)．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】(1)eq \f(－21,－7)＝eq \f(－7×3,－7)＝3；
(2)eq \f(－3,6)＝eq \f(－3,（－3）×（－2）)＝－eq \f(1,2)；
(3)eq \f(－6,－0.3)＝eq \f(（－0.3）×20,－0.3)＝20；
(4)－eq \f(28,－49)＝eq \f(28,49)＝eq \f(4×7,7×7)＝eq \f(4,7).
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
【变式5-5】（1）两数的积是1，已知一个数是﹣237，求另一个数；
（2）两数的商是﹣312，已知被除数是412，求除数．
【分析】根据题意列出算式即可求出答案．
【解答】解：（1）1÷（﹣237）＝1×（−717）=−717；
（2）412÷（﹣312）=92×（−27）=−97
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
题型六 有理数的乘除混合运算
【例题6】（2022秋•垫江县期末）计算16×（﹣6）÷（−16）×6的结果是（ ）
A．6B．36C．﹣1D．1
【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【解答】解：16×（﹣6）÷（−16）×6
=16×（﹣6）×（﹣6）×6
＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
【变式6-1】（2022秋•城阳区期末）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（−94）÷（﹣1）=32；④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16．其中正确的个数（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别进行计算即可．
【解答】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6，故原题计算错误；
②（﹣36）÷（﹣9）＝4，故原题计算错误；
③23×（−94）÷（﹣1）=32，故原题计算正确；
④（﹣4）÷12×（﹣2）＝16，故原题计算正确，
正确的计算有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是注意结果符号的判断．
【变式6-2】（−34）×（−12）÷（﹣214）．
【分析】先将除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝（−34）×（−12）×（−49）
=−16．
【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，也可以按照从左往右的顺序进行．
【变式6-3】（2022春•普陀区校级期中）计算：（−25）×（−43）÷（﹣325）÷317．
【分析】先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式=−25×43×517×173
=−89．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则．
【变式6-4】计算：
（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）．
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（−35）×（﹣312）÷（﹣114）÷3=−35×72×45×13=−1425；
（2）（﹣8）÷23×（﹣112）÷（﹣9）＝﹣8×32×32×19=−2．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握乘除法则是解本题的关键．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
【例题7】“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于24，你的运算式是 ．
【分析】考虑3×8＝24，4+20＝24，28﹣4＝24，可得结论．
【解答】解：根据有理数的运算可得：3×（4﹣6+10）＝24，[10﹣3×（﹣6）]﹣4＝24，4﹣10×（﹣6）÷3＝24等．
故答案为：3×（4﹣6+10）＝24（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【变式7-1】计算：(−34−16+512)÷136．
【分析】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：(−34−16+512)÷136
=(−34−16+512)×36
=−34×36−16×36+512×36
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．
【变式7-2】计算：512÷(0.75−23)×6.8．
【分析】根据有理数的乘除运算以及有理数减法运算法则即可求出答案、
【解答】解：原式=512÷（34−23）×6.8
=512÷112×6.8
=512×12×6.8
＝5×6.8
＝34．
【点评】本题考查有理数的乘除法以及减法运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除法以及减法运算法则，本题属于基础题型．
【变式7-3】（2022秋•青浦区校级期中）计算：89×[0.75−(716−0.25)]．
【分析】利用有理数的乘法运算，先去小括号，再去中括号．
【解答】解：89×[0.75−(716−0.25)]
=89×（0.75−716+0.25）
=89×（0.75+0.25−716）
=89×（1−716）
=89×916
=12．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘法法则．
【变式7-4】计算：
（1）−1÷(−18)−3÷(−12)；
（2）−81÷13−13÷(−19)．
（3）−1+5÷(−16)×(−6)；
（4）(13−12)÷114÷110．
【分析】（1）（2）（3）根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算，然后根据有理数的乘法运算法则和加法运算法则进行计算即可得解；
（4）先算小括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算并把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣1÷（−18）﹣3÷（−12）
＝﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2）
＝8+6
＝14；
（2）﹣81÷13−13÷（−19）
＝﹣81×3−13×（﹣9）
＝﹣243+3
＝﹣240；
（3）﹣1+5÷（−16）×（﹣6）
＝﹣1+5×（﹣6）×（﹣6）
＝﹣1+180
＝179；
（4）（13−12）÷114÷110
=−16×45×10
=−43．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，有理数的加减法运算，熟记运算法则和运算顺序是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
【例题8】（2022秋•澄海区期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＞1
【分析】先根据数轴上两数，右边的数总是大于左边的数，即可得到：a＜0＜b，且|a|＞|b|，再根据有理数的运算法则逐项判断即可得到答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故A选项不符合题意；
B、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，故B选项不符合题意；
C、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，故C选项符合题意；
D、∵a＜0＜b，∴ab＜0＜1，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴上两数比较大小的方法以及有理数的运算法则，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•行唐县校级期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的商为1
【分析】根据数轴直观得出四个选项是否正确．
【解答】解：由图形可知A表示﹣2，B表示2，
|﹣2|＝|2|；﹣2与2互为相反数；﹣2+2＝0；﹣2÷2＝﹣1．
∴A、B、C正确，D错．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的有关知识，掌握数轴的有关知识是解题的关键．
【变式8-2】（2023•茂南区三模）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣b．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】由数轴可得b＜0＜a，然后利用实数的运算法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得b＜0＜a，
那么ab＜0，ab＜0，
则①正确，②错误；
∵b＜a，
∴a﹣b＞0，﹣a＜﹣b，
则③错误，④正确；
综上，正确的个数为2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及实数的相关运算法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式8-3】如图，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由a、b在数轴上的位置可知：-1
【解答】解：由数轴可知，-1
a-b<0，B选项错；
∵b>1，∴b-1>0，∵a<0，∴ ，C选项正确；
∵a>-1，∴a+1>0，∵b>1，∴b-1>0，∴ >0，D选项错.
故答案为：C.
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
【分析】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据题意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∵﹣3＜a＜﹣2，
∴|a|＜3，
∴①不正确；
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴②正确；
∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∴b+c＞0，
∴③不正确；
∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，
∴b﹣a＞0，
∴④正确，
∴四个结论中，所有正确结论是②、④．
故答案为：②、④．
【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
【例题9】（2022秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，则m+n的值等于 ．
【分析】根据绝对值的性质可得m＝±6，n＝±2，再由mn＞0，可得到m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，再代入，即可求解．
【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，
∴m＝±6，n＝±2，
∵mn＞0，
∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，
当m＝6，n＝2时，m+n＝6+2＝8；
当m＝﹣6，n＝﹣2时，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；
综上所述，m+n的值等于±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法，求代数式的值，能正确得出相应字母的值是解本题的关键．
【变式9-1】（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 ．
【分析】根据最小正整数的定义、最大的负整数的定义和绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，从而求出结论．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴abc＝1×（﹣1）×0＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查的是有理数的大小比较，掌握最小正整数为1、最大的负整数为﹣1、绝对值最小的有理数为0和有理数的乘法法则是解题的关键．
【变式9-2】（2022秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
【分析】根据两数相乘同号为正，异号为负可知b＞0，再由a+b＜0，可得b（a+b）＜0，b＜﹣a即可判断①，②；由b＞0，a＜0，a﹣b＜0，化简绝对值|−b|b+a−b|a−b|−|a|a即可判断③；根据a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，推出b＝a+6，再由|b﹣c|＝2，得到a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，即可判断④．
【解答】解：∵a＜0，ab＜0，
∴b＞0，
∵a+b＜0，
∴b（a+b）＜0，b＜﹣a，故①错误，②正确；
∵b＞0，a＜0，
∴a﹣b＜0，
∴|−b|b+a−b|a−b|−|a|a=bb+a−b−(a−b)−−aa=1−1+1=1，故③正确；
∵a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，
∴a﹣b＝﹣6，
∴b＝a+6，
∵|b﹣c|＝2，
∴b﹣c＝2或b﹣c＝﹣2，
∴a+6﹣c＝2或a+6﹣c＝﹣2，
∴a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，
∴|a﹣c|＝4或|a﹣c|＝8，故④错误；
∴正确的有②③．
故答案为：②③．
【点评】【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．
【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，
∴x＝±2，y＝±5，
∵xy＜0，
∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5，
当x＝2，y＝﹣5时，
2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5）
＝4+15
＝19，
当x＝﹣2，y＝5时，
2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5
＝﹣4﹣15
＝﹣19，
综上所述，2x﹣3y的值为19或﹣19．
【点评】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键．
【变式9-4】已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，cd= ．
（2）求：m3+ab+c+d4m−cd的值．
【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论；
（2）将（1）所得式子代入可得结论．
【解答】解：（1）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c，d互为相反数，
∴c+d＝0，cd=−1，
∵|m|＝3，
∴m＝±3，
故答案为：1，0，±3，﹣1；
（2）当m＝3时，原式=33+1+0﹣（﹣1）＝3，
当m＝﹣3时，原式=−33+1+0﹣（﹣1）＝1．
【点评】本题运用了相反数和倒数、绝对值的概念，以及整体代入的思想．
【变式9-5】已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc的值；
（2）若a+b+c＜0，求|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc的值．
【分析】（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；
（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，
∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，
∴ac＞0，
∴|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc=abab+acac+bcbc=1+1+1＝3；
（2）∵a+b+c＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，
∴|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc=−aa+b−b+−cc+−abcabc=−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
【例题10】某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时能降到所需要的温度？
【分析】根据题意，利用降低的度数除以4列式即可求解．
【解答】解：[（﹣2）﹣（﹣12）]÷4
＝10÷4
＝2.5（小时）．
答：6小时能降到所需要的温度．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，理清题目中的数量关是解决问题关键．
【变式10-1】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．7升B．8升C．10升D．1007升
【分析】用总耗油量除以百千米数即可．
【解答】解：50÷56500−56000100
＝50÷5
＝10（升），
故选：C．
【点评】此题考查了运用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并计算求解．
【变式10-2】煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时间．
【分析】（1）根据经过水平距离10米，海拔上升（或下降）0.4米，由题意列出算式，计算即可；
（2）根据每垂直升高10米用30秒，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得-164.5+（120÷10）×0.4=-159.7（米）；
即B点的海拔为-159.7米；
[-98.8-（-164.5）]÷10×30=197.1（秒），
即从A点到C点所用的时间为197.1秒．
【变式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
【分析】（1）莲花峰的高度＝山顶的温度与山脚的温度之差÷0.8×100．
（2）750米里有几个100米，气温就下降几个0.8℃．
【解答】解：（1）（27﹣19）÷0.8×100
＝8÷0.8×100
＝1000（米）
答：莲花峰的高度约是1000米．
（2）27﹣750÷100×0.8
＝27﹣6
＝21（℃）
答：小红在750米处的温度大约是21℃．
【点评】此题考查的是有理数的加法运算，掌握加法的交换律与结合律是解决此题的关键．
【变式10-4】某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【分析】首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【解答】解：如表格，7×（47+3）+6×（47+2）+3×（47+1）+5×47+4×（47﹣1）+5×（47﹣2）
＝350+294+144+235+184+225
＝1432，
∵30×32＝960，
∴1432﹣960＝472，
∴售完这30件连衣裙后，赚了472元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
【变式10-5】（2022秋•巴中期末）诺水河风景区是国家级地质公园，其中诺水河溶洞漂流被誉为“亚洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出现了罕见的高温天气，漂流成了人们较喜欢的消暑方式．预计巴中市民每天在抖音平台上购票70张，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，表是某周的销售情况[超额记为正，不足记为负．（单位：张）]：
（1）根据记录的数据可知销售量最少的一天卖出了 张，销售最多的一天比销售量最少的一天多销售 张；
（2）每张票120元，若在抖音平台上购买享受九折优惠，求巴中市民本周在抖音平台购票一共消费多少元？
【分析】（1）用标准数70张加上记录中的最小数即可得出销售量最少的一天卖出了多少张；用记录中的最大数减去最小数可得销售最多的一天比销售量最少的一天多销售张；
（2）根据“总价＝单价×数量”可得答案．
【解答】解：（1）70+（﹣11）＝59（张），
即销售量最少的一天卖出了59张；
+20﹣（﹣11）＝20+11＝31（张），
即销售最多的一天比销售量最少的一天多销售31张．
故答案为：59，31
（2）70×7+4﹣4﹣5+12﹣11+20﹣6＝500（张），
120×0.9×500＝54000（元）
答：巴中市民本周在抖音平台购票消费54000元．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是关键．
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
【例题11】（2022•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣4，则输出的数值为 ．
【分析】首先列出式子是：（﹣4）×（﹣3）﹣2，然后正确计算即可．
【解答】解：根据题意得：（﹣4）×（﹣3）﹣2＝12﹣2＝10．
故答案是：10．
【点评】本题考查了代数式的求值，正确列出式子是关键．
【变式11-1】按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .
【分析】根据程序图列出算式，然后计算即可.
【解答】解：输出的值为 ，
故答案为：198.
【变式11-2】如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．
【分析】利用程序图中的程序进行操作即可得出结论．
【解答】解：输入的数字是3，由题意得：
2×（﹣5）＝﹣15，
∵|﹣15|＝15＜40，
∴将﹣15重新输入，则得：
﹣15×（﹣5）＝75，
∵|75|＝75＞40，
∴输出的结果是：75；
故答案为：75．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作型题目，依据程序图中的程序进行运算是解题的关键．
【变式11-3】按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣5D．4
【分析】根据所给程序流程图的运算规律逐项计算即可解答．
【解答】解：x＝﹣1，（﹣1）×（﹣2）+1＝3＜0，
x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，
x＝﹣5，（﹣5）×（﹣2）+1＝11＞0，∴A、B符合题意；
x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，∴C符合题意；
x＝4，4×（﹣2）+1＝﹣7，
x＝﹣7，（﹣7）×（﹣2）+1＝15，∴D不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了代数式的值、有理数混合运算，掌握有理数混合运算顺序，理解所给的流程图逐级运算是解题关键．
【变式11-4】如图，按照运算程序（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），如果输入的数值是﹣4，求输出的结果．
【分析】按运算要求和输出的条件，计算即可．
【解答】解：当输入﹣4时，﹣4×4＝﹣16，
﹣16﹣（﹣8）＝﹣8，
﹣8÷4＝﹣2，
∵﹣2＜2，
∴需重新输入﹣2；
当输入﹣2时，﹣2×4＝﹣8，
﹣8﹣（﹣8）＝0，
0÷4＝0，
∵0＜2，
∴需重新输入﹣0；
当输入0时，0×4＝0，
0﹣（﹣8）＝8，
8÷4＝2，
∵2＝2，
∴需重新输入2；
当输入2时，2×4＝8，
8﹣（﹣8）＝16，
16÷4＝4，
∵4＞2，
∴输出的值是4．
【点评】本题考查了实数的运算，题目难度不大，理解运算顺序和输入输出的条件是解决本题的关键．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
【例题12】对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
【分析】根据新运算*的运算方法进行计算即可得解．
【解答】解：7*（1*2），
＝7*（1×2），
＝7*2，
＝7×8，
＝56．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【变式12-1】规定a※b=1a÷(−b2)，例如2※3=12÷(−32)=−13，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
【分析】根据题意知道a※b等于1a÷(−b2)，用此方法计算[2※（﹣5）]※4的值．
【解答】解：由题意可得：2※（﹣5）=12÷(−−52)=15，
15※4=5÷(−42)=−52，
故答案为：﹣2.5
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题．
【变式12-2】（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【变式12-3】对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）两式利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣3）×4﹣（﹣3）﹣4+1
＝﹣12+3﹣4+1
＝﹣12；
（2）根据题中的新定义得：
5※（﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）+1＝﹣10﹣5+2+1＝﹣12，
（﹣2）※5＝﹣2×5﹣（﹣2）﹣5+1＝﹣10+2﹣5+1＝﹣12，
则5※（﹣2）＝（﹣2）※5．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式12-4】（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．
【解答】解：（1）由题意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；
（2）由题意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，
3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，
∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；
（3）不成立，理由如下：
∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，
∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【点评】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
【变式12-5】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
（1）计算（﹣5）⊗4的值；
（2）求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
（3）填空：3⊗（﹣2） （﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝﹣5×4+|﹣5|﹣4
＝﹣20+5﹣4
＝﹣19；
（2）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣6+2+3）⊗4
＝（﹣1）⊗4
＝﹣4+1﹣4
＝﹣7；
（3）根据题中的新定义得：
3⊗（﹣2）＝﹣6+3+2＝﹣1；（﹣2）⊗3＝﹣6+2﹣3＝﹣7，
则3⊗（﹣2）＞（﹣2）⊗3．
故答案为：＞．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题
【例题13】阅读下列材料：
计算：50÷（13−14+112）．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（412−312+112）＝50÷212=50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（13−14+112）÷50＝（13−14+112）×150=13×150−14×150+112×150=1300
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（−142）÷（16−314+23−27）．
【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．
【解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
故答案为：一；三；
原式的倒数为（16−314+23−27）÷（−142）＝（16−314+23−27）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，
则原式=−114．
【点评】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键．
【变式13-1】阅读下面的解题过程：
计算（﹣15）÷（13−12）×6
解：原式＝（﹣15）÷(−16)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）
＝﹣15（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．
（2）把正确的解题过程写出来．
【分析】（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是得数错误．
（2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．
（2）（﹣15）÷（13−12）×6
＝（﹣15）÷(−16)×6
＝（﹣15）×（﹣6）×6
＝90×6
＝540．
故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．
【点评】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
（2）此题还考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【变式13-2】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式=−124925×5=−12495=−24945；
小军的解法：原式=(49+2425)×(−5)=49×(−5)+2425×(−5)=−24945．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把492425看作(50−125)，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：956×（﹣3）．
【分析】（1）小军的方法计算简便；
（2）原式＝（50−125）×（﹣5），再由乘法分配律进行运算即可；
（3）原式＝（10−16）×（﹣3），再运算即可．
【解答】解：（1）小军的解法较好；
（2）492425×（﹣5）
＝（50−125）×（﹣5）
＝50×（﹣5）−125×（﹣5）
＝﹣250+15
＝﹣24945；
（3）956×（﹣3）
＝（10−16）×（﹣3）
＝10×（﹣3）−16×（﹣3）
＝﹣30+12
＝﹣2912．
【点评】本题考查实数的运算，根据所给方法，灵活运用乘法分配律进行计算是解题的关键．
【变式13-3】阅读材料，回答问题
(1+12)×(1−13)=32×23=1
(1+12)×(1+14)×(1−13)×(1−15)=32×54×23×45=(32×23)×(54×45)=1×1＝1．
根据以下信息，请求出下式的结果.(1+12)×(1+14)×(1+16)×⋯×(1+120)×(1−13)×(1−15)×(1−17)×⋯×(1−121)．
【分析】先计算小括号内的数，再利用乘法交换律和结合律进行计算即可得解．
【解答】解：（1+12）×（1+14）×（1+16）×…×（1+120）×（1−13）×（1−15）×（1−17）×…×（1−121）
=32×54×76×⋯×2120×23×45×67×⋯×2021
＝（32×23）×（54×45）×（76×67）×…×（2120×2021）
＝1×1×1×…×1
＝1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，利用乘法交换律和结合律进行计算是解题的关键．
【变式13-4】阅读下列材料：
计算：124÷(13−14+112)，
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．
所以原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）计算：(12−14+16)×36= ；
（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．
【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；
（2）利用乘法的分配律进行求解即可；
（3）仿照解法三进行解答即可．
【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，
故答案为：一；
（2）(12−14+16)×36
=12×36−14×36+16×36
＝18﹣9+6
＝15，
故答案为：15；
（3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）
＝（37+215−310−521）×（﹣210）
=37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）
＝﹣90﹣28+63+50
＝﹣5，
∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握．
题型十四 有理数乘除法规律探究题
【例题13】观察下列各式：
11×2=1−12，11×3=12×(1−13)；
12×3=12−13，13×5=12×(13−15)；
13×4=13−14，15×7=12×(15−17)；
解答下列各题：
（1）尝试并计算：11×2+12×3+13×4+...+12017×2018；
（2）尝试并计算：11×3+13×5+15×7+...+199×101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|；
（4）尝试并计算：13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102．
【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（2）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解；
（4）利用计算的规律，两次拆分计算即可．
【解答】解：（1）11×2+12×3+13×4+...+12017×2018
＝1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018
＝1−12018
=20172018；
（2）11×3+13×5+15×7+...+199×101
=12×（1−13+13−15+⋯+199−1101）
=12×（1−1101）
=12×100101
=50101；
（3）|12−1|+|13−12|+|14−13|+...+|1100−199|
＝1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100
＝1−1100
=99100；
（4）13×4×5+14×5×6+15×6×7+...+198×99×100+199×100×101+1100×101×102
=12×（13×4−14×5+14×5−15×6+⋯+199×100−1100×101+1100×101−1101×102）
=12×（13×4−1101×102）
=12×102903×4×101×102
=171541208．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式14-1】观察下列各式：
12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
（1）猜想12×23×34×⋯×nn+1= ；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1100−1）×（199−1）×（198−1）×…×（14−1）×（13−1）×（12−1）
②将2016减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，以此类推，直到最后减去余下的12016，最后结果是多少？
【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母；
（2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵12×23=13
12×23×34=14
12×23×34×45=15
…
∴12×23×34×⋯×nn+1=1n+1
故答案为：1n+1；
（2）①原式=−99100×（−9899）×（−9798）×…×（−23）×（−12）
=−1100；
②由题意得，2016×（1−12）×（1−13）×…×（1−12016）＝2016×12016
＝1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式14-2】（2022秋•成县期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算11×2+12×3+13×4+14×5．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
11×2+12×3+13×4+14×5=（1−12）+（12−13）+（13−14）+（14−15）＝1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45．
任务：
（1）猜想并写出：1n(n+1)= ；（n为正整数）
（2）①应用上面的方法计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022．
②直接写出下列式子的计算结果：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12020×2022．
【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可；
（2）与（1）一样得到11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1，然后进行合并；
（3）把原式变形为（2）中的形式得到14[（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（11010−11011）]，然后利用（2）中的方法计算．
【解答】解：（1）通过观察可得：1n(n+1)=1n−1n+1；
（2））①11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022
＝1−12+12−13+13−14+•••+12021−12022
＝1−12022
=20212022．
②根据规律可得：原式＝1−1n+1．
故答案为：1−1n+1．
（3）原式=14[（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（11010−11011）]=14×（1−11011）=10104044．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键．
解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题.
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日
15
56000
2021年2月25日
50
56500
售出件数
7
6
5
5
4
3
售价/元
+3
+2
﹣2
0
﹣1
+1
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
﹣4
﹣5
+12
﹣11
+20
﹣6
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题.
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日
15
56000
2021年2月25日
50
56500
售出件数
7
6
5
5
4
3
售价/元
+3
+2
﹣2
0
﹣1
+1
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
﹣4
﹣5
+12
﹣11
+20
﹣6
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
相关试卷
苏科版（2024）七年级上册3.6 整式的加减复习练习题： 这是一份苏科版（2024）七年级上册<a href="/sx/tb_c77204_t7/?tag_id=28" target="_blank">3.6 整式的加减复习练习题</a>，共49页。试卷主要包含了6 整式的加减，4＝2×2×0等内容，欢迎下载使用。
苏科版（2024）七年级上册3.5 去括号习题： 这是一份苏科版（2024）七年级上册<a href="/sx/tb_c17362_t7/?tag_id=28" target="_blank">3.5 去括号习题</a>，共41页。试卷主要包含了5 去 括 号，5b）﹣，75y3）﹣2，故④对，不符合题意．等内容，欢迎下载使用。
初中数学苏科版（2024）七年级上册第3章 代数式3.4 合并同类项巩固练习： 这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册<a href="/sx/tb_c17363_t7/?tag_id=28" target="_blank">第3章 代数式3.4 合并同类项巩固练习</a>，共41页。试卷主要包含了4 合并同类项等内容，欢迎下载使用。
