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初中数学苏科版（2024）七年级上册第2章 有理数2.7 有理数的乘方测试题
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这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册第2章 有理数2.7 有理数的乘方测试题，共42页。试卷主要包含了7 有理数的乘方，4×108B．0，4，等内容，欢迎下载使用。
知识点一
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写.
（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.
（3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数.
知识点二
有理数的乘方的运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点三
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
题型一 有理数乘方的概念
【例题1】（2023•普宁市一模）式子﹣22的意义是（ ）
A．2的平方B．﹣2的平方
C．2的平方的相反数D．﹣2的平方的相反数
【变式1-1】（2022秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【变式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
【变式1-3】﹣53表示的意义为（ ）
A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）B．﹣5×5×5
C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）D．（﹣5）×3
【变式1-4】（2023春•肇东市期末）已知4个数中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-5】设n是一个正整数，则10n是（ ）
A．10个n相乘所得的积B．一个（n﹣1）位整数
C．一个n位整数D．一个1后面有n个0的数
【变式1-6】（2023•许昌一模）计算2×2×⋯×2︷m个23+3+3+⋯+3︸n个3=（ ）
A．2m3nB．2m3nC．2mn3D．m23n
【变式1-7】（2022秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的D．a2+1的值中，最大值是1
题型二 有理数的乘方运算
【例题2】下列各组数中，结果一定相等的是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2B．22与（﹣2）2
C．22与﹣（﹣2）2D．（﹣2）2与﹣（﹣2）
【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．﹣42和34B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣42和（﹣4）2D．(23)3和(32)2
【变式2-2】计算：(−25)3= ，平方等于4的数是 ．
【变式2-3】（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．（﹣3）3与﹣33B．|﹣33|与|33|C．（﹣3）4与﹣34D．（﹣3）2与32
【变式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×13）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式2-5】（2022•新都区模拟）计算（﹣2）×（﹣5）2的结果等于（ ）
A．10B．﹣50C．50D．20
【变式2-6】计算：
； （2）；
； （4）；
（5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12；
【变式2-7】计算：(1)－(－3)3; (2)(－eq \f(3,4))2； (3)(－eq \f(2,3))3; (4)(－1)2015.
题型三 非负数的性质：偶次方
【例题3】（2022秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【变式3-1】（2022秋•澄海区期末）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则nm的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
【变式3-2】（2022秋•嘉祥县期末）已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2022D．﹣2022
【变式3-3】（2022秋•越城区期中）根据右边的数值转换器，当输入的x与y满足|x+1|+(y−12)2=0时，请列式求出输出的结果．
【变式3-4】（2023•沙坪坝区校级开学）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，则n﹣m﹣2x﹣2y的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【变式3-5】（2022秋•龙马潭区期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．
【变式3-6】已知有理数x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反数的倒数．
【变式3-7】如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)的值．
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
【例题4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．
【变式4-1】下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和13
【变式4-2】已知a、b互为相反数，e的绝对值为3，m与n互为倒数，则a+b3+e2−9mn的值为（ ）
A．1B．3C．0D．无法确定
【变式4-3】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.
【变式4-4】（2022秋•东西湖区期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．
【变式4-5】已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值．
【变式4-6】已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．
【变式4-7】（2022秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．
【变式4-8】（2022秋•磁县期中）已知a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．
题型五 利用有理数的乘方解决实际问题
【例题5】（2022秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n﹣1根B．2n根C．2n+1根D．（12）n+1根
【变式5-1】（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭B．103圭C．104圭D．105圭
【变式5-2】手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第 次捏合后可拉出128根面条．
【变式5-3】（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【变式5-4】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，
每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度
是（ ）
A．1−125B．1−124C．125D．124
【变式5-5】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【变式5-6】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【变式5-7】已知某细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂t次后，数量变为2t个，细菌每15分钟分裂1次，试回答下列问题：
（1）如果现在瓶子里有这种细菌100个，那么30分钟后，瓶子里有多少个这种细菌？
（2）3小时后这种细菌的数量是1小时后的几倍？
题型六 科学记数法
【例题6】（2023春•琼海期末）新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹1340000000件，同比增长2.3%，其中1340000000用科学记数法表示为（ ）
A．13.4×108B．0.134×1010C．1.34×109D．1.34×108
【变式6-1】（2023•思明区校级模拟）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个．将数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A．160×104B．16×105C．1.6×106D．1.6×107
【变式6-2】（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【变式6-3】（2023•长沙一模）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.114×107B．1.14×106C．11.4×105D．114×104
【变式6-4】（2023•顺德区校级三模）2023年五莲高铁将开工！京沪高铁辅助通道潍坊至宿迁铁路工程（新开工），日照境内约49.8公里，设五莲北站、莒县北站，投资约94.42亿元．将数据94.42亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.9442×1012B．9.442×109
C．9.442×1010D．94.42×108
【变式6-5】（2023春•丰宁县期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（ ）
A．9.46×1013B．18.92×1012C．1.892×1013D．1.892×1014
【变式6-6】（2023•龙江县三模）商业航天在近几年得到快速成长并初具规模，2022年中国商业航天的市场规模突破1.5万亿元．将1.5万亿用科学记数法表示为 ．
【变式6-7】经测算，如果全国每年能减少十分之一的包装纸用量，则能减少3.12×106吨二氧化碳的排放量，将用科学记数法表示的数3.12×106还原正确的是（ ）
A．31200000B．312000000C．3120000D．312000
【变式6-8】每年的12月2日是“全国交通安全日”，最新数据显示，我国机动车和驾驶人数量持续增长，目前机动车保有量已达3.93×108辆．将用科学记数法表示的数还原正确的是（ ）
A．39300000B．393000000
C．3930000000D．39300000000
【变式6-9】把下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 km；
（2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 m；
（3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记
作 万元；
（4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 元．
【变式6-10】将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）1.2×105
（2）2.3×107
（3）3.6×108
（4）﹣4.2×106．
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.7 有理数的乘方
知识点一
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写.
（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.
（3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数.
知识点二
有理数的乘方的运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点三
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
题型一 有理数乘方的概念
【例题1】（2023•普宁市一模）式子﹣22的意义是（ ）
A．2的平方B．﹣2的平方
C．2的平方的相反数D．﹣2的平方的相反数
【分析】根据乘方的意义和相反数的定义进行判断．
【解答】解：﹣22的意义为2的平方的相反数．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．也考查了相反数．
【变式1-1】（2022秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【分析】（﹣3）3表示三个﹣3的乘积，﹣33表示3个3乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，
∴（﹣3）3和﹣33底数不同，运算结果相同．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键．
【变式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】解：把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是（﹣3）3，底数是﹣3，指数是3，
故答案为：（﹣3）3，﹣3，3．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式1-3】﹣53表示的意义为（ ）
A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）B．﹣5×5×5
C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）D．（﹣5）×3
【分析】根据有理数的乘方的意义，即可作出判断．
【解答】解：﹣53表示的意义为﹣5×5×5，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-4】（2023春•肇东市期末）已知4个数中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据有理数的乘方，相反数的定义分别计算后，再由正数、负数的意义进行判断即可．
【解答】解：（﹣1）2005＝﹣1，结果是负数，
﹣（﹣1.5）＝1.5，结果是正数，
﹣32＝﹣9，结果是负数，
0既不是正数，也不是负数，
综上所述，结果是正数的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查正数、负数，相反数以及有理数的乘方，理解正数、负数的意义是正确判断的关键．
【变式1-5】设n是一个正整数，则10n是（ ）
A．10个n相乘所得的积B．一个（n﹣1）位整数
C．一个n位整数D．一个1后面有n个0的数
【分析】根据乘方的含义，求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
【解答】解：n是一个正整数，则10n表示的是n个10相乘所得的结果，它是一个（n+1）位的整数．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘方的定义，解决本题的关键是一定要完全理解an中表示的含义，才能做到灵活应用．如本题所示的10n的意义．
【变式1-6】（2023•许昌一模）计算2×2×⋯×2︷m个23+3+3+⋯+3︸n个3=（ ）
A．2m3nB．2m3nC．2mn3D．m23n
【分析】根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案．
【解答】解：原式=2m3n，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键．
【变式1-7】（2022秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的D．a2+1的值中，最大值是1
【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可．
【解答】解：（a+1）2≥0，A错误；
a2+1＞0，B正确；
﹣（a+1）2，≤0，C错误；
a2+1的值中，最小值是1，D错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键．
题型二 有理数的乘方运算
【例题2】下列各组数中，结果一定相等的是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2B．22与（﹣2）2
C．22与﹣（﹣2）2D．（﹣2）2与﹣（﹣2）2
【分析】根据有理数的乘方的定义与运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，结果不相等，故此选项不符合题意；
B、22＝4，（﹣2）2＝4，结果相等，故此选项符合题意；
C、22＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，结果不相等，故此选项不符合题意；
D、（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，结果不相等，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值的定义和相反数的定义及有理数的乘方的定义与运算法则．
【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．﹣42和34B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣42和（﹣4）2D．(23)3和(32)2
【分析】根据有理数的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据有理数的乘方，﹣42＝﹣16，34＝81，那么﹣42≠34，故A不符合题意．
B．根据有理数的乘方，﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，那么﹣53＝（﹣5）3，故B符合题意．
C．根据有理数的乘方，﹣42＝﹣16，（﹣4）2＝16，那么﹣42≠（﹣4）2，故C不符合题意．
D．根据有理数的乘方，(23)3=827，(32)2=94，那么(23)3≠(32)2，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．
【变式2-2】计算：(−25)3= ，平方等于4的数是 ．
【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=−8125，
平方等于4的数是±2，
故答案为：−8125，±2．
【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算法则，本题属于基础题型．
【变式2-3】（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．（﹣3）3与﹣33B．|﹣33|与|33|C．（﹣3）4与﹣34D．（﹣3）2与32
【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算．
【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意；
B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意；
C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意；
D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键．
【变式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×13）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【分析】根据有理数的乘方的定义化简后，再根据负数＜0＜正数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：a＝﹣2×（13）2=−29，b＝（﹣2×13）2=49，c＝﹣（2×13）2=−49，
∵|−29|=29，|−49|=49，而29＜49，
∴−49＜−29＜49，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
【变式2-5】（2022•新都区模拟）计算（﹣2）×（﹣5）2的结果等于（ ）
A．10B．﹣50C．50D．20
【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）×25＝﹣50．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，乘法，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
【变式2-6】计算：
； （2）；
； （4）；
（5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12；
【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：（1）﹣（﹣3）2=﹣（﹣3）×（﹣3）=﹣9；
（2）﹣32=﹣3×3=﹣9；
（3）（﹣5）3=（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）=﹣125；
（4）0.13=0.1×0.1×0.1=0.001；
（5）（﹣1）9=﹣1；
（6）（﹣1）12=1；
【点评】本题考查了有理数的乘方计算，把乘方运算转化成乘法计算是解题的关键．
【变式2-7】计算：(1)－(－3)3; (2)(－eq \f(3,4))2； (3)(－eq \f(2,3))3; (4)(－1)2015.
【分析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；
【解答】解：(1)﹣(﹣3)3＝﹣(﹣33)＝33＝3×3×3＝27；
(2)(﹣eq \f(3,4))2＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4) ＝eq \f(9,16)；
(3)(﹣eq \f(2,3))3＝﹣(eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3))＝﹣eq \f(8,27)；
(4)(﹣1)2015＝﹣1.
【点评】本题考查了有理数的乘方计算，把乘方运算转化成乘法计算是解题的关键．
题型三 非负数的性质：偶次方
【例题3】（2022秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【分析】根据题意得a=−13，b＝3，将a=−13，b＝3代入（ab）2022，进行计算即可得．
【解答】解：∵|3a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴3a+1＝0，b﹣3＝0，
解得，a=−13，b＝3，
则(ab)2022=[(−13)×3]2022=1，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，代数式求值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【变式3-1】（2022秋•澄海区期末）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则nm的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
【分析】首先根据互为相反数的定义，可得（m﹣2）2+|n+3|＝0，再根据乘方运算及绝对值的非负性，即可求得m、n的值，据此即可解答．
【解答】解：∵（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，
∴（m﹣2）2+|n+3|＝0，
∴m﹣2＝0，n+3＝0，
解得m＝2，n＝﹣3，
∴nm＝（﹣3）2＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了互为相反数的性质，乘方运算及绝对值的非负性，代数式求值问题，求得m、n的值是解决本题的关键．
【变式3-2】（2022秋•嘉祥县期末）已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2022D．﹣2022
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴（a+b）2022＝（3﹣2）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方或绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋•越城区期中）根据右边的数值转换器，当输入的x与y满足|x+1|+(y−12)2=0时，请列式求出输出的结果．
【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值，再由转换器（x2+2y+1）÷2，求得输出的值即可．
【解答】解：∵|x+1|+(y−12)2=0，
∴x+1＝0，y−12=0，
解得x＝﹣1，y=12，
把x＝﹣1，y=12代入（x2+2y+1）÷2，得（1+2）÷2＝1.5，
故答案为1.5．
【点评】本题考查了非负数的性质，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
把转换器用数学符号表示是解决此题的关键．
【变式3-4】（2023•沙坪坝区校级开学）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，则n﹣m﹣2x﹣2y的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性得出x+y＝3，m﹣n＝﹣1，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，而|x+y﹣3≥0，（m﹣n+1）2≥0，
∴x+y﹣3＝0，m﹣n+1＝0，
即x+y＝3，m﹣n＝﹣1，
∴n﹣m﹣2x﹣2y
＝﹣（m﹣n）﹣2（x+y）
＝1﹣6
＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值、偶次方的非负性，掌握绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出x+y，m﹣n的值是得出正确答案的关键．
【变式3-5】（2022秋•龙马潭区期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．
【分析】根据|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，由非负数性质可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴（a+b）2018﹣3abc
＝（﹣1）2018﹣3×1×（﹣2）×3
＝1+18
＝19．
【点评】本题考查数字的变化类、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
【变式3-6】已知有理数x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反数的倒数．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，
|x﹣3|≥0，2|y+1|≥0，7（2z+1）2≥0
∴x﹣3＝0，y+1＝0，2z+1＝0
解得x＝3，y＝﹣1，z=−12，
∴x+y+z=32，
∴x+y+z的相反数的倒数是−23．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式3-7】如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)的值．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式裂项求解即可．
【解答】解：由题意得，ab﹣2＝0，1﹣b＝0，
解得a＝2，b＝1，
所以，1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)，
=11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019，
＝1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019，
＝1−12019，
=20182019．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，本题难点在于裂项．
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
【例题4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．
【分析】先根据绝对值的性质去绝对值符号，再根据a＜b确定出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，
∴a＝±3，
∵|b|＝2，
∴b＝±2，
又∵a＜b，
∴a＝﹣3，b＝±2．
当a＝﹣3，b＝2时．
∴（a+b）3＝（﹣3+2）3＝﹣1．
当a＝﹣3，b＝﹣2时．
∴（a+b）3＝（﹣3﹣2）3＝﹣53＝﹣125．
∴（a+b）3的值是﹣1或﹣125．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键．
【变式4-1】下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和13
【分析】根据相反数，绝对值，有理数的乘方化简各选项中的数，根据相反数的定义判断即可得出答案．
【解答】解：A选项，1和1不是相反数，故该选项不符合题意；
B选项，﹣3和2不是相反数，故该选项不符合题意；
C选项，4和﹣4是相反数，故该选项符合题意；
D选项，﹣3和13不是相反数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【变式4-2】已知a、b互为相反数，e的绝对值为3，m与n互为倒数，则a+b3+e2−9mn的值为（ ）
A．1B．3C．0D．无法确定
【分析】根据互为相反数的定义可得a+b＝0，根据绝对值求出e的值，根据互为倒数的定义可得mn＝1，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵m与n互为倒数，
∴mn＝1，
∵e的绝对值为3，
∴e＝±3，
∴e2＝9，
∴a+b3+e2−9mn=0+9﹣9＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义以及绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.
【分析】根据绝对值和有理数的乘方求出x，y的值，根据x＞y分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；
当x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣5；
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的思想，根据x＞y分两种情况分别计算是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋•东西湖区期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．
【分析】先根据|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1可得：∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，
再根据ab＜0时，a和b同号，求出a、b的值，最后代入求解．
【解答】解：∵|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，
∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，
∵ab＜0，
∴当a＝﹣1时，b＝3，a+b＝2，
当a＝﹣1时，b＝1，a+b＝0．
【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值及有理数的乘方，分类讨论思想是解题的关键．
【变式4-5】已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值．
【分析】根据有理数与倒数的定义及乘方的运算法则得出a，b，c的值，再分情况求解可得．
【解答】解：根据题意知a＝0，b＝1或b＝﹣1，c＝2或c＝﹣2，
当a＝0，b＝1，c＝2时，原式＝0+1+2＝3；
当a＝0，b＝1，c＝﹣2时，原式＝0+1﹣2＝﹣1；
当a＝0，b＝﹣1，c＝2时，原式＝0﹣1+2＝1；
当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，原式＝0﹣1﹣2＝﹣3；
综上，a+b+c的值为±1或±3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数与倒数的定义及乘方的运算法则，有理数的混合运算顺序和运算法则．
【变式4-6】已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．
【分析】根据题意z是绝对值最小的有理数可知，z＝0，且互为相反数的两数和为0，注意平方和绝对值都具有非负性．
【解答】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∵z是绝对值最小的有理数，∴z＝0．
（x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式4-7】（2022秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．
【分析】根据条件分别求出a，b，c的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，
∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，
∵a＜b＜0，
∴a＝﹣5，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴a+b+c＝﹣5+（﹣2）+（﹣2）＝﹣9，
∴a+b+c的值为﹣9．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方知识点，根据题意求出符合条件的值是解本题的关键，综合性较强，难度不大．
【变式4-8】（2022秋•磁县期中）已知a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．
【分析】由a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，可得a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，再分情况整体代入代数式2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023求值即可．
【解答】解：∵a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，
∴a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，
∴cd＝﹣1，
当x＝1时，原式＝2×12+（0﹣1）×1+02022+12023＝2﹣1+0+1＝2；
当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2+（0﹣1）×（﹣1）+02022+12023＝2﹣（﹣1）+0+1＝4．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到相反数，倒数，绝对值的性质，求代数式的值，掌握“整体代入法求代数式的值”是解本题的关键．
题型五 利用有理数的乘方解决实际问题
【例题5】（2022秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n﹣1根B．2n根C．2n+1根D．（12）n+1根
【分析】本题可通过题目和图形的结合得出前几组的数，然后进行归纳即可得出答案．
【解答】解：设面条的根数为x，
则依题意得：n＝1，x＝2＝21．
n＝2，x＝2×2＝4＝22．
n＝3，x＝2×2×2＝8＝23．
…
依此类推可知，当n＝n时，x＝2n．
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【变式5-1】（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭B．103圭C．104圭D．105圭
【分析】结合实际问题运用乘方的概念进行求解．
【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，
∴十合＝10×104圭＝105圭，
故选：D．
【点评】此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
【变式5-2】手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第 次捏合后可拉出128根面条．
【分析】根据拉面的变化，求出变化的规律，即可求出答案．
【解答】解：第一次﹣﹣﹣﹣﹣﹣2根面条；
第二次﹣﹣﹣﹣﹣﹣22根面条；
第三次﹣﹣﹣﹣﹣﹣23根面条；
…
第x次﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2x根面条．
于是2x＝128＝2 7，
x＝7．
故答案为7．
【点评】此题考查了乘方的应用，找出规律是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【分析】根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．
【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
【变式5-4】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，
每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度
是（ ）
A．1−125B．1−124C．125D．124
【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．
【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1−12）=12，
第二次截取后剩余长度为12×（1−12）=14=122，
第三次截取后剩余长度为122×(1−12)=123，
…，
第n次截取后剩余长度为12n，
∴第五次截取后剩余长度为125，
故选：C．
【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，掌握有理数乘方的意义是解题关键．
【变式5-5】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【分析】（1）面条对折1次再拉开，面条的数量是2，
面条对折2次再拉开，面条的数量是22，
面条对折3次再拉开，面条的数量是23，…，
面条对折7次再拉开，面条的数量是27．
（2）由发现的规律知，将这个流程重复8次后，面条的数量是28，因为每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，所以8次后，平均每一根面条横截面积＝刚开始时的面条的横截面积÷面条总条数，求出结果．
【解答】解：（1）27＝128（根）
∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．
（2）将这个流程重复8次后，面条的数量是28．
∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，
∴8次后，平均每一根面条横截面积＝8÷28＝23÷28=132（cm2）
【点评】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．
【变式5-6】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【分析】（1）通过例举寻找规律即可；
（2）先算对折7次总共有多少张纸的厚度，再算对折7次时纸的总厚度即可．
【解答】解：（1）∵对折1次，层数＝21，
对折2次，层数＝22，
对折3次，层数＝23，
∴对折n次，层数＝2n；
（2）0.05×27
＝0.05×128
＝6.4（毫米），
答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．
【点评】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．
【变式5-7】已知某细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂t次后，数量变为2t个，细菌每15分钟分裂1次，试回答下列问题：
（1）如果现在瓶子里有这种细菌100个，那么30分钟后，瓶子里有多少个这种细菌？
（2）3小时后这种细菌的数量是1小时后的几倍？
【分析】根据细菌分裂规律，利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）30分钟后，瓶子里的细菌个数为：
30÷15＝2（次），
100×22＝400（个），
答：30分钟后，瓶子里有400个这种细菌．
（2）60÷15＝4（次），
3×60÷15＝12（次），
212÷24＝28＝256，
答：3小时后这种细菌的数量是1小时后的256倍．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
题型六 科学记数法
【例题6】（2023春•琼海期末）新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹1340000000件，同比增长2.3%，其中1340000000用科学记数法表示为（ ）
A．13.4×108B．0.134×1010C．1.34×109D．1.34×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1340000000＝1.34×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
【变式6-1】（2023•思明区校级模拟）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个．将数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A．160×104B．16×105C．1.6×106D．1.6×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1600000＝1.6×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-2】（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：数据53.278亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【变式6-3】（2023•长沙一模）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.114×107B．1.14×106C．11.4×105D．114×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1140000＝1.14×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-4】（2023•顺德区校级三模）2023年五莲高铁将开工！京沪高铁辅助通道潍坊至宿迁铁路工程（新开工），日照境内约49.8公里，设五莲北站、莒县北站，投资约94.42亿元．将数据94.42亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.9442×1012B．9.442×109
C．9.442×1010D．94.42×108
【分析】将一个数表示成a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：94.42亿＝9442000000＝9.442×109，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式6-5】（2023春•丰宁县期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（ ）
A．9.46×1013B．18.92×1012C．1.892×1013D．1.892×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2光年＝2×9.46×1012km＝1.892×1013km．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-6】（2023•龙江县三模）商业航天在近几年得到快速成长并初具规模，2022年中国商业航天的市场规模突破1.5万亿元．将1.5万亿用科学记数法表示为 ．
【分析】首先把1.5万亿化为1500000000000，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1.5万亿＝1500000000000＝1.5×1012，
故答案为：1.5×1012．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-7】经测算，如果全国每年能减少十分之一的包装纸用量，则能减少3.12×106吨二氧化碳的排放量，将用科学记数法表示的数3.12×106还原正确的是（ ）
A．31200000B．312000000C．3120000D．312000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：3.12×106＝3120000，
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【变式6-8】每年的12月2日是“全国交通安全日”，最新数据显示，我国机动车和驾驶人数量持续增长，目前机动车保有量已达3.93×108辆．将用科学记数法表示的数还原正确的是（ ）
A．39300000B．393000000
C．3930000000D．39300000000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.93×108辆＝393000000辆．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-9】把下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 km；
（2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 m；
（3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记
作 万元；
（4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 元．
【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
【解答】解：（1）1.28×107m＝12800000m＝12800km；
（2）4.0×109km＝4000000000km＝4000000000000m；
（3）1.20×1010元＝12000000000元＝1200000万元；
（4）2.61×106万元＝2610000万元＝26100000000元．
故答案为：12800，4000000000000，1200000，26100000000．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
【变式6-10】将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）1.2×105
（2）2.3×107
（3）3.6×108
（4）﹣4.2×106．
【分析】（1）把1.2的小数点向右移动5位即可；
（2）把2.3的小数点向右移动7位即可；
（3）把3.6的小数点向右移动8位即可；
（4）把﹣4.2的小数点向右移动6位即可．
【解答】解：（1）1.2×105＝12 0000；
（2）2.3×107＝2300 0000；
（3）3.6×108＝3 6000 0000；
（4）﹣4.2×106＝﹣420 0000．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
解题技巧提炼
有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
解题技巧提炼
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
解题技巧提炼
偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解题技巧提炼
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
解题技巧提炼
用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学
问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等
都利用2n或.
解题技巧提炼
1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
解题技巧提炼
有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
解题技巧提炼
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
解题技巧提炼
偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解题技巧提炼
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
解题技巧提炼
用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学
问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等
都利用2n或.
解题技巧提炼
1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
知识点一
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写.
（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.
（3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数.
知识点二
有理数的乘方的运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点三
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
题型一 有理数乘方的概念
【例题1】（2023•普宁市一模）式子﹣22的意义是（ ）
A．2的平方B．﹣2的平方
C．2的平方的相反数D．﹣2的平方的相反数
【变式1-1】（2022秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【变式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
【变式1-3】﹣53表示的意义为（ ）
A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）B．﹣5×5×5
C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）D．（﹣5）×3
【变式1-4】（2023春•肇东市期末）已知4个数中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-5】设n是一个正整数，则10n是（ ）
A．10个n相乘所得的积B．一个（n﹣1）位整数
C．一个n位整数D．一个1后面有n个0的数
【变式1-6】（2023•许昌一模）计算2×2×⋯×2︷m个23+3+3+⋯+3︸n个3=（ ）
A．2m3nB．2m3nC．2mn3D．m23n
【变式1-7】（2022秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的D．a2+1的值中，最大值是1
题型二 有理数的乘方运算
【例题2】下列各组数中，结果一定相等的是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2B．22与（﹣2）2
C．22与﹣（﹣2）2D．（﹣2）2与﹣（﹣2）
【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．﹣42和34B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣42和（﹣4）2D．(23)3和(32)2
【变式2-2】计算：(−25)3= ，平方等于4的数是 ．
【变式2-3】（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．（﹣3）3与﹣33B．|﹣33|与|33|C．（﹣3）4与﹣34D．（﹣3）2与32
【变式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×13）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式2-5】（2022•新都区模拟）计算（﹣2）×（﹣5）2的结果等于（ ）
A．10B．﹣50C．50D．20
【变式2-6】计算：
； （2）；
； （4）；
（5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12；
【变式2-7】计算：(1)－(－3)3; (2)(－eq \f(3,4))2； (3)(－eq \f(2,3))3; (4)(－1)2015.
题型三 非负数的性质：偶次方
【例题3】（2022秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【变式3-1】（2022秋•澄海区期末）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则nm的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
【变式3-2】（2022秋•嘉祥县期末）已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2022D．﹣2022
【变式3-3】（2022秋•越城区期中）根据右边的数值转换器，当输入的x与y满足|x+1|+(y−12)2=0时，请列式求出输出的结果．
【变式3-4】（2023•沙坪坝区校级开学）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，则n﹣m﹣2x﹣2y的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【变式3-5】（2022秋•龙马潭区期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．
【变式3-6】已知有理数x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反数的倒数．
【变式3-7】如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)的值．
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
【例题4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．
【变式4-1】下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和13
【变式4-2】已知a、b互为相反数，e的绝对值为3，m与n互为倒数，则a+b3+e2−9mn的值为（ ）
A．1B．3C．0D．无法确定
【变式4-3】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.
【变式4-4】（2022秋•东西湖区期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．
【变式4-5】已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值．
【变式4-6】已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．
【变式4-7】（2022秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．
【变式4-8】（2022秋•磁县期中）已知a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．
题型五 利用有理数的乘方解决实际问题
【例题5】（2022秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n﹣1根B．2n根C．2n+1根D．（12）n+1根
【变式5-1】（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭B．103圭C．104圭D．105圭
【变式5-2】手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第 次捏合后可拉出128根面条．
【变式5-3】（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【变式5-4】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，
每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度
是（ ）
A．1−125B．1−124C．125D．124
【变式5-5】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【变式5-6】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【变式5-7】已知某细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂t次后，数量变为2t个，细菌每15分钟分裂1次，试回答下列问题：
（1）如果现在瓶子里有这种细菌100个，那么30分钟后，瓶子里有多少个这种细菌？
（2）3小时后这种细菌的数量是1小时后的几倍？
题型六 科学记数法
【例题6】（2023春•琼海期末）新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹1340000000件，同比增长2.3%，其中1340000000用科学记数法表示为（ ）
A．13.4×108B．0.134×1010C．1.34×109D．1.34×108
【变式6-1】（2023•思明区校级模拟）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个．将数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A．160×104B．16×105C．1.6×106D．1.6×107
【变式6-2】（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【变式6-3】（2023•长沙一模）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.114×107B．1.14×106C．11.4×105D．114×104
【变式6-4】（2023•顺德区校级三模）2023年五莲高铁将开工！京沪高铁辅助通道潍坊至宿迁铁路工程（新开工），日照境内约49.8公里，设五莲北站、莒县北站，投资约94.42亿元．将数据94.42亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.9442×1012B．9.442×109
C．9.442×1010D．94.42×108
【变式6-5】（2023春•丰宁县期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（ ）
A．9.46×1013B．18.92×1012C．1.892×1013D．1.892×1014
【变式6-6】（2023•龙江县三模）商业航天在近几年得到快速成长并初具规模，2022年中国商业航天的市场规模突破1.5万亿元．将1.5万亿用科学记数法表示为 ．
【变式6-7】经测算，如果全国每年能减少十分之一的包装纸用量，则能减少3.12×106吨二氧化碳的排放量，将用科学记数法表示的数3.12×106还原正确的是（ ）
A．31200000B．312000000C．3120000D．312000
【变式6-8】每年的12月2日是“全国交通安全日”，最新数据显示，我国机动车和驾驶人数量持续增长，目前机动车保有量已达3.93×108辆．将用科学记数法表示的数还原正确的是（ ）
A．39300000B．393000000
C．3930000000D．39300000000
【变式6-9】把下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 km；
（2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 m；
（3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记
作 万元；
（4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 元．
【变式6-10】将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）1.2×105
（2）2.3×107
（3）3.6×108
（4）﹣4.2×106．
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.7 有理数的乘方
知识点一
有理数的乘方的意义
◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写.
（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.
（3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数.
知识点二
有理数的乘方的运算
◆1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
◆2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
有相反意义的量就可以用负数表示．
知识点三
科学记数法
◆1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
◆2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
题型一 有理数乘方的概念
【例题1】（2023•普宁市一模）式子﹣22的意义是（ ）
A．2的平方B．﹣2的平方
C．2的平方的相反数D．﹣2的平方的相反数
【分析】根据乘方的意义和相反数的定义进行判断．
【解答】解：﹣22的意义为2的平方的相反数．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．也考查了相反数．
【变式1-1】（2022秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【分析】（﹣3）3表示三个﹣3的乘积，﹣33表示3个3乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，
∴（﹣3）3和﹣33底数不同，运算结果相同．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键．
【变式1-2】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】解：把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）写成幂的形式是（﹣3）3，底数是﹣3，指数是3，
故答案为：（﹣3）3，﹣3，3．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式1-3】﹣53表示的意义为（ ）
A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）B．﹣5×5×5
C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5）D．（﹣5）×3
【分析】根据有理数的乘方的意义，即可作出判断．
【解答】解：﹣53表示的意义为﹣5×5×5，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-4】（2023春•肇东市期末）已知4个数中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据有理数的乘方，相反数的定义分别计算后，再由正数、负数的意义进行判断即可．
【解答】解：（﹣1）2005＝﹣1，结果是负数，
﹣（﹣1.5）＝1.5，结果是正数，
﹣32＝﹣9，结果是负数，
0既不是正数，也不是负数，
综上所述，结果是正数的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查正数、负数，相反数以及有理数的乘方，理解正数、负数的意义是正确判断的关键．
【变式1-5】设n是一个正整数，则10n是（ ）
A．10个n相乘所得的积B．一个（n﹣1）位整数
C．一个n位整数D．一个1后面有n个0的数
【分析】根据乘方的含义，求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
【解答】解：n是一个正整数，则10n表示的是n个10相乘所得的结果，它是一个（n+1）位的整数．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘方的定义，解决本题的关键是一定要完全理解an中表示的含义，才能做到灵活应用．如本题所示的10n的意义．
【变式1-6】（2023•许昌一模）计算2×2×⋯×2︷m个23+3+3+⋯+3︸n个3=（ ）
A．2m3nB．2m3nC．2mn3D．m23n
【分析】根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案．
【解答】解：原式=2m3n，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键．
【变式1-7】（2022秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的D．a2+1的值中，最大值是1
【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可．
【解答】解：（a+1）2≥0，A错误；
a2+1＞0，B正确；
﹣（a+1）2，≤0，C错误；
a2+1的值中，最小值是1，D错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键．
题型二 有理数的乘方运算
【例题2】下列各组数中，结果一定相等的是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2B．22与（﹣2）2
C．22与﹣（﹣2）2D．（﹣2）2与﹣（﹣2）2
【分析】根据有理数的乘方的定义与运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，结果不相等，故此选项不符合题意；
B、22＝4，（﹣2）2＝4，结果相等，故此选项符合题意；
C、22＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，结果不相等，故此选项不符合题意；
D、（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，结果不相等，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值的定义和相反数的定义及有理数的乘方的定义与运算法则．
【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．﹣42和34B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣42和（﹣4）2D．(23)3和(32)2
【分析】根据有理数的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据有理数的乘方，﹣42＝﹣16，34＝81，那么﹣42≠34，故A不符合题意．
B．根据有理数的乘方，﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，那么﹣53＝（﹣5）3，故B符合题意．
C．根据有理数的乘方，﹣42＝﹣16，（﹣4）2＝16，那么﹣42≠（﹣4）2，故C不符合题意．
D．根据有理数的乘方，(23)3=827，(32)2=94，那么(23)3≠(32)2，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．
【变式2-2】计算：(−25)3= ，平方等于4的数是 ．
【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=−8125，
平方等于4的数是±2，
故答案为：−8125，±2．
【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算法则，本题属于基础题型．
【变式2-3】（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．（﹣3）3与﹣33B．|﹣33|与|33|C．（﹣3）4与﹣34D．（﹣3）2与32
【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算．
【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意；
B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意；
C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意；
D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键．
【变式2-4】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×13）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【分析】根据有理数的乘方的定义化简后，再根据负数＜0＜正数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：a＝﹣2×（13）2=−29，b＝（﹣2×13）2=49，c＝﹣（2×13）2=−49，
∵|−29|=29，|−49|=49，而29＜49，
∴−49＜−29＜49，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
【变式2-5】（2022•新都区模拟）计算（﹣2）×（﹣5）2的结果等于（ ）
A．10B．﹣50C．50D．20
【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）×25＝﹣50．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，乘法，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
【变式2-6】计算：
； （2）；
； （4）；
（5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12；
【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：（1）﹣（﹣3）2=﹣（﹣3）×（﹣3）=﹣9；
（2）﹣32=﹣3×3=﹣9；
（3）（﹣5）3=（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）=﹣125；
（4）0.13=0.1×0.1×0.1=0.001；
（5）（﹣1）9=﹣1；
（6）（﹣1）12=1；
【点评】本题考查了有理数的乘方计算，把乘方运算转化成乘法计算是解题的关键．
【变式2-7】计算：(1)－(－3)3; (2)(－eq \f(3,4))2； (3)(－eq \f(2,3))3; (4)(－1)2015.
【分析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；
【解答】解：(1)﹣(﹣3)3＝﹣(﹣33)＝33＝3×3×3＝27；
(2)(﹣eq \f(3,4))2＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4) ＝eq \f(9,16)；
(3)(﹣eq \f(2,3))3＝﹣(eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3))＝﹣eq \f(8,27)；
(4)(﹣1)2015＝﹣1.
【点评】本题考查了有理数的乘方计算，把乘方运算转化成乘法计算是解题的关键．
题型三 非负数的性质：偶次方
【例题3】（2022秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【分析】根据题意得a=−13，b＝3，将a=−13，b＝3代入（ab）2022，进行计算即可得．
【解答】解：∵|3a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴3a+1＝0，b﹣3＝0，
解得，a=−13，b＝3，
则(ab)2022=[(−13)×3]2022=1，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，代数式求值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【变式3-1】（2022秋•澄海区期末）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则nm的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
【分析】首先根据互为相反数的定义，可得（m﹣2）2+|n+3|＝0，再根据乘方运算及绝对值的非负性，即可求得m、n的值，据此即可解答．
【解答】解：∵（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，
∴（m﹣2）2+|n+3|＝0，
∴m﹣2＝0，n+3＝0，
解得m＝2，n＝﹣3，
∴nm＝（﹣3）2＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了互为相反数的性质，乘方运算及绝对值的非负性，代数式求值问题，求得m、n的值是解决本题的关键．
【变式3-2】（2022秋•嘉祥县期末）已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2022D．﹣2022
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴（a+b）2022＝（3﹣2）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方或绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋•越城区期中）根据右边的数值转换器，当输入的x与y满足|x+1|+(y−12)2=0时，请列式求出输出的结果．
【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值，再由转换器（x2+2y+1）÷2，求得输出的值即可．
【解答】解：∵|x+1|+(y−12)2=0，
∴x+1＝0，y−12=0，
解得x＝﹣1，y=12，
把x＝﹣1，y=12代入（x2+2y+1）÷2，得（1+2）÷2＝1.5，
故答案为1.5．
【点评】本题考查了非负数的性质，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
把转换器用数学符号表示是解决此题的关键．
【变式3-4】（2023•沙坪坝区校级开学）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，则n﹣m﹣2x﹣2y的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性得出x+y＝3，m﹣n＝﹣1，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，而|x+y﹣3≥0，（m﹣n+1）2≥0，
∴x+y﹣3＝0，m﹣n+1＝0，
即x+y＝3，m﹣n＝﹣1，
∴n﹣m﹣2x﹣2y
＝﹣（m﹣n）﹣2（x+y）
＝1﹣6
＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值、偶次方的非负性，掌握绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出x+y，m﹣n的值是得出正确答案的关键．
【变式3-5】（2022秋•龙马潭区期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．
【分析】根据|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，由非负数性质可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴（a+b）2018﹣3abc
＝（﹣1）2018﹣3×1×（﹣2）×3
＝1+18
＝19．
【点评】本题考查数字的变化类、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
【变式3-6】已知有理数x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反数的倒数．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，
|x﹣3|≥0，2|y+1|≥0，7（2z+1）2≥0
∴x﹣3＝0，y+1＝0，2z+1＝0
解得x＝3，y＝﹣1，z=−12，
∴x+y+z=32，
∴x+y+z的相反数的倒数是−23．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式3-7】如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)的值．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式裂项求解即可．
【解答】解：由题意得，ab﹣2＝0，1﹣b＝0，
解得a＝2，b＝1，
所以，1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2017)(b+2017)，
=11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019，
＝1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019，
＝1−12019，
=20182019．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，本题难点在于裂项．
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
【例题4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．
【分析】先根据绝对值的性质去绝对值符号，再根据a＜b确定出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，
∴a＝±3，
∵|b|＝2，
∴b＝±2，
又∵a＜b，
∴a＝﹣3，b＝±2．
当a＝﹣3，b＝2时．
∴（a+b）3＝（﹣3+2）3＝﹣1．
当a＝﹣3，b＝﹣2时．
∴（a+b）3＝（﹣3﹣2）3＝﹣53＝﹣125．
∴（a+b）3的值是﹣1或﹣125．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键．
【变式4-1】下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和13
【分析】根据相反数，绝对值，有理数的乘方化简各选项中的数，根据相反数的定义判断即可得出答案．
【解答】解：A选项，1和1不是相反数，故该选项不符合题意；
B选项，﹣3和2不是相反数，故该选项不符合题意；
C选项，4和﹣4是相反数，故该选项符合题意；
D选项，﹣3和13不是相反数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【变式4-2】已知a、b互为相反数，e的绝对值为3，m与n互为倒数，则a+b3+e2−9mn的值为（ ）
A．1B．3C．0D．无法确定
【分析】根据互为相反数的定义可得a+b＝0，根据绝对值求出e的值，根据互为倒数的定义可得mn＝1，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵m与n互为倒数，
∴mn＝1，
∵e的绝对值为3，
∴e＝±3，
∴e2＝9，
∴a+b3+e2−9mn=0+9﹣9＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义以及绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.
【分析】根据绝对值和有理数的乘方求出x，y的值，根据x＞y分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；
当x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣5；
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的思想，根据x＞y分两种情况分别计算是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋•东西湖区期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．
【分析】先根据|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1可得：∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，
再根据ab＜0时，a和b同号，求出a、b的值，最后代入求解．
【解答】解：∵|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，
∴a＝5或a＝﹣1，b＝3或b＝1，
∵ab＜0，
∴当a＝﹣1时，b＝3，a+b＝2，
当a＝﹣1时，b＝1，a+b＝0．
【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值及有理数的乘方，分类讨论思想是解题的关键．
【变式4-5】已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值．
【分析】根据有理数与倒数的定义及乘方的运算法则得出a，b，c的值，再分情况求解可得．
【解答】解：根据题意知a＝0，b＝1或b＝﹣1，c＝2或c＝﹣2，
当a＝0，b＝1，c＝2时，原式＝0+1+2＝3；
当a＝0，b＝1，c＝﹣2时，原式＝0+1﹣2＝﹣1；
当a＝0，b＝﹣1，c＝2时，原式＝0﹣1+2＝1；
当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，原式＝0﹣1﹣2＝﹣3；
综上，a+b+c的值为±1或±3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数与倒数的定义及乘方的运算法则，有理数的混合运算顺序和运算法则．
【变式4-6】已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．
【分析】根据题意z是绝对值最小的有理数可知，z＝0，且互为相反数的两数和为0，注意平方和绝对值都具有非负性．
【解答】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∵z是绝对值最小的有理数，∴z＝0．
（x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式4-7】（2022秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．
【分析】根据条件分别求出a，b，c的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，
∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，
∵a＜b＜0，
∴a＝﹣5，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴a+b+c＝﹣5+（﹣2）+（﹣2）＝﹣9，
∴a+b+c的值为﹣9．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方知识点，根据题意求出符合条件的值是解本题的关键，综合性较强，难度不大．
【变式4-8】（2022秋•磁县期中）已知a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．
【分析】由a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，可得a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，再分情况整体代入代数式2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023求值即可．
【解答】解：∵a与﹣b互为相反数，﹣c与d互为倒数，|x|＝1，
∴a﹣b＝0，﹣cd＝1，x＝±1，
∴cd＝﹣1，
当x＝1时，原式＝2×12+（0﹣1）×1+02022+12023＝2﹣1+0+1＝2；
当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2+（0﹣1）×（﹣1）+02022+12023＝2﹣（﹣1）+0+1＝4．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到相反数，倒数，绝对值的性质，求代数式的值，掌握“整体代入法求代数式的值”是解本题的关键．
题型五 利用有理数的乘方解决实际问题
【例题5】（2022秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n﹣1根B．2n根C．2n+1根D．（12）n+1根
【分析】本题可通过题目和图形的结合得出前几组的数，然后进行归纳即可得出答案．
【解答】解：设面条的根数为x，
则依题意得：n＝1，x＝2＝21．
n＝2，x＝2×2＝4＝22．
n＝3，x＝2×2×2＝8＝23．
…
依此类推可知，当n＝n时，x＝2n．
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【变式5-1】（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭B．103圭C．104圭D．105圭
【分析】结合实际问题运用乘方的概念进行求解．
【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，
∴十合＝10×104圭＝105圭，
故选：D．
【点评】此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
【变式5-2】手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第 次捏合后可拉出128根面条．
【分析】根据拉面的变化，求出变化的规律，即可求出答案．
【解答】解：第一次﹣﹣﹣﹣﹣﹣2根面条；
第二次﹣﹣﹣﹣﹣﹣22根面条；
第三次﹣﹣﹣﹣﹣﹣23根面条；
…
第x次﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2x根面条．
于是2x＝128＝2 7，
x＝7．
故答案为7．
【点评】此题考查了乘方的应用，找出规律是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【分析】根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可．
【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
【变式5-4】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，
每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度
是（ ）
A．1−125B．1−124C．125D．124
【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．
【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1−12）=12，
第二次截取后剩余长度为12×（1−12）=14=122，
第三次截取后剩余长度为122×(1−12)=123，
…，
第n次截取后剩余长度为12n，
∴第五次截取后剩余长度为125，
故选：C．
【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，掌握有理数乘方的意义是解题关键．
【变式5-5】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【分析】（1）面条对折1次再拉开，面条的数量是2，
面条对折2次再拉开，面条的数量是22，
面条对折3次再拉开，面条的数量是23，…，
面条对折7次再拉开，面条的数量是27．
（2）由发现的规律知，将这个流程重复8次后，面条的数量是28，因为每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，所以8次后，平均每一根面条横截面积＝刚开始时的面条的横截面积÷面条总条数，求出结果．
【解答】解：（1）27＝128（根）
∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．
（2）将这个流程重复8次后，面条的数量是28．
∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，
∴8次后，平均每一根面条横截面积＝8÷28＝23÷28=132（cm2）
【点评】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．
【变式5-6】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【分析】（1）通过例举寻找规律即可；
（2）先算对折7次总共有多少张纸的厚度，再算对折7次时纸的总厚度即可．
【解答】解：（1）∵对折1次，层数＝21，
对折2次，层数＝22，
对折3次，层数＝23，
∴对折n次，层数＝2n；
（2）0.05×27
＝0.05×128
＝6.4（毫米），
答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．
【点评】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．
【变式5-7】已知某细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂t次后，数量变为2t个，细菌每15分钟分裂1次，试回答下列问题：
（1）如果现在瓶子里有这种细菌100个，那么30分钟后，瓶子里有多少个这种细菌？
（2）3小时后这种细菌的数量是1小时后的几倍？
【分析】根据细菌分裂规律，利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）30分钟后，瓶子里的细菌个数为：
30÷15＝2（次），
100×22＝400（个），
答：30分钟后，瓶子里有400个这种细菌．
（2）60÷15＝4（次），
3×60÷15＝12（次），
212÷24＝28＝256，
答：3小时后这种细菌的数量是1小时后的256倍．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
题型六 科学记数法
【例题6】（2023春•琼海期末）新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹1340000000件，同比增长2.3%，其中1340000000用科学记数法表示为（ ）
A．13.4×108B．0.134×1010C．1.34×109D．1.34×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1340000000＝1.34×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
【变式6-1】（2023•思明区校级模拟）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个．将数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A．160×104B．16×105C．1.6×106D．1.6×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1600000＝1.6×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-2】（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：数据53.278亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【变式6-3】（2023•长沙一模）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.114×107B．1.14×106C．11.4×105D．114×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1140000＝1.14×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-4】（2023•顺德区校级三模）2023年五莲高铁将开工！京沪高铁辅助通道潍坊至宿迁铁路工程（新开工），日照境内约49.8公里，设五莲北站、莒县北站，投资约94.42亿元．将数据94.42亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.9442×1012B．9.442×109
C．9.442×1010D．94.42×108
【分析】将一个数表示成a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：94.42亿＝9442000000＝9.442×109，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式6-5】（2023春•丰宁县期末）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（ ）
A．9.46×1013B．18.92×1012C．1.892×1013D．1.892×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2光年＝2×9.46×1012km＝1.892×1013km．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-6】（2023•龙江县三模）商业航天在近几年得到快速成长并初具规模，2022年中国商业航天的市场规模突破1.5万亿元．将1.5万亿用科学记数法表示为 ．
【分析】首先把1.5万亿化为1500000000000，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1.5万亿＝1500000000000＝1.5×1012，
故答案为：1.5×1012．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-7】经测算，如果全国每年能减少十分之一的包装纸用量，则能减少3.12×106吨二氧化碳的排放量，将用科学记数法表示的数3.12×106还原正确的是（ ）
A．31200000B．312000000C．3120000D．312000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：3.12×106＝3120000，
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【变式6-8】每年的12月2日是“全国交通安全日”，最新数据显示，我国机动车和驾驶人数量持续增长，目前机动车保有量已达3.93×108辆．将用科学记数法表示的数还原正确的是（ ）
A．39300000B．393000000
C．3930000000D．39300000000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.93×108辆＝393000000辆．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式6-9】把下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 km；
（2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 m；
（3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记
作 万元；
（4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 元．
【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
【解答】解：（1）1.28×107m＝12800000m＝12800km；
（2）4.0×109km＝4000000000km＝4000000000000m；
（3）1.20×1010元＝12000000000元＝1200000万元；
（4）2.61×106万元＝2610000万元＝26100000000元．
故答案为：12800，4000000000000，1200000，26100000000．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
【变式6-10】将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）1.2×105
（2）2.3×107
（3）3.6×108
（4）﹣4.2×106．
【分析】（1）把1.2的小数点向右移动5位即可；
（2）把2.3的小数点向右移动7位即可；
（3）把3.6的小数点向右移动8位即可；
（4）把﹣4.2的小数点向右移动6位即可．
【解答】解：（1）1.2×105＝12 0000；
（2）2.3×107＝2300 0000；
（3）3.6×108＝3 6000 0000；
（4）﹣4.2×106＝﹣420 0000．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
解题技巧提炼
有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
解题技巧提炼
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
解题技巧提炼
偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解题技巧提炼
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
解题技巧提炼
用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学
问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等
都利用2n或.
解题技巧提炼
1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
解题技巧提炼
有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
解题技巧提炼
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
解题技巧提炼
偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解题技巧提炼
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
解题技巧提炼
用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学
问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等
都利用2n或.
解题技巧提炼
1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1．
2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
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