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初中数学苏科版（2024）七年级上册2.8 有理数的混合运算达标测试
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这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册2.8 有理数的混合运算达标测试，共46页。试卷主要包含了8 有理数的混合运算，9)2．，5．等内容，欢迎下载使用。
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 有理数的混合运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8
C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42
【变式1-1】计算6÷（−32）×（﹣2）3的结果是 ．
【变式1-2】（2021秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（ ）
A．4B．﹣12C．﹣18D．﹣28
【变式1-3】下列各式中．计算结果得0的是（ ）
A．﹣22+（﹣2）2B．﹣22﹣22C．﹣22﹣（﹣2）2D．（﹣2）2+22
【变式1-4】（2023春•黄浦区期中）计算：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2．
【变式1-5】（2023春•闵行区期末）计算：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
【变式1-6】（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1)2022−(−2)3+6÷(12−13)时，步骤如下：
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 ；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
【变式1-7】（2022秋•长寿区期末）计算：
（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（−12）；
（2）﹣14+[4﹣（38+16−34）×24]÷5．
【变式1-8】（2022秋•黄石港区期末）计算与化简：
（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)．
【变式1-9】计算：
（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|．
【变式1-10】（2022秋•仁怀市期中）计算：
（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；
（2）−5×2+3÷13−(−1)；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12．
题型二 含乘方的程序图运算题
【例题2】如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 ．
【变式2-1】（2022秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 ．
【变式2-2】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 ．
【变式2-3】按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为 ．
【变式2-4】（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ．
【变式2-5】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【变式2-6】（2022秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【变式2-7】按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【变式2-8】（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．
（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；
（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？
（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．
题型三 含乘方的新定义运算问题
【例题3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为 ．
【变式3-1】（2022秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝ ．
【变式3-2】用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝ ．
【变式3-3】对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝ ．
【变式3-4】（2022秋•泊头市期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到运算a⋆b=|2−a2|−1b+1．按此程序（﹣3）⋆（﹣2）＝ ．
【变式3-5】定义一种运算：acbd=ad﹣bc，如1−3−20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d=14−|−34|时，求acbd的值．
【变式3-6】（2023春•大丰区月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以
（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ；
（2）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c．
【变式3-7】规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（﹣1）的值；
（2）求（﹣4）※（12※2）的值；
（3）若m※5的值为40，求m的值．
【变式3-8】（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；
（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；
0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．
0*0＝02+02＝0
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝ ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
题型四 含乘方的探究规律题
【例题4】（2022秋•淮南期末）观察下面三行数．
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…
﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）
（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；
（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．
【变式4-1】观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝ ．
【变式4-2】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
【变式4-3】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③
（1）请直接写出第①行数的第100项： ，第n项： ；
（2）第②行数的第2012项： ；
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和．
【变式4-4】观察下面三行数：
﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．
（1）第一行第十个数是 ；
（2）第二行第n个数是（n为正整数）；
（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．
【变式4-5】观察下列运算过程：
S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①
①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②
②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=32018−12．
用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．
【变式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=14×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝ =14× 2× 2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝ 14× ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
【变式4-7】（2022秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3；
1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4；
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5；
1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6．
…
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7= 625×7 ；
1+16×8= 726×8 ；
1+12n×(2n+2)= (2n+1)22n(2n+2) ．（n为正整数）
（2）根据规律计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）．
【变式4-8】【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（−12）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（−12）⑩＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ．
（3）算一算122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19．
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.8 有理数的混合运算
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 有理数的混合运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8
C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42
【分析】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）
＝（﹣27）×（﹣2）÷（﹣6）
＝54÷（﹣6）
＝﹣9，
故A不符合题意；
B、﹣（﹣1）200×（﹣2）4
＝﹣1×（16）
＝﹣16，
故B不符合题意；
C、（﹣8）×3÷（﹣2）2
＝﹣24÷4
＝﹣6，
故C不符合题意；
D、12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2
＝12+28+8÷4
＝40+2
＝42．
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．
【变式1-1】计算6÷（−32）×（﹣2）3的结果是 ．
【分析】根据有理数的乘方和有理数的乘法，除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝6×（−23）×（﹣8）
＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，有理数的乘方，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．
【变式1-2】（2021秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（ ）
A．4B．﹣12C．﹣18D．﹣28
【分析】原式先算乘方，再算加减即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16
＝﹣4﹣8﹣16
＝﹣12﹣16
＝﹣28．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
【变式1-3】下列各式中．计算结果得0的是（ ）
A．﹣22+（﹣2）2B．﹣22﹣22C．﹣22﹣（﹣2）2D．（﹣2）2+22
【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本选项正确；
B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误；
C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误；
D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意﹣22与（﹣2）2的区别．
【变式1-4】（2023春•黄浦区期中）计算：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2
=209×（﹣1）−3625÷0.81
=−209−169
=−369
＝﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式1-5】（2023春•闵行区期末）计算：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
＝﹣4﹣25×125+83×35．
＝﹣4﹣1+85．
=−175．
【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可．
【变式1-6】（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1)2022−(−2)3+6÷(12−13)时，步骤如下：
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 ；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
【分析】（1）根据幂的运算即可判断；
（2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（12−13）＝6÷16=36，
∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷16，
∴开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①；
（2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷16
＝1+8+6×6
＝1+8+36
＝45．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序．
【变式1-7】（2022秋•长寿区期末）计算：
（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（−12）；
（2）﹣14+[4﹣（38+16−34）×24]÷5．
【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣4﹣7+3+1＝﹣7；
（2）原式＝﹣1+（4﹣9﹣4+18）÷5＝﹣1+95=45．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-8】（2022秋•黄石港区期末）计算与化简：
（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)．
【分析】（1）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题；
（2）根据乘法分配律、有理数的乘除法和加法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4
＝﹣4+|﹣18+6|÷4
＝﹣4+12÷4
＝﹣4+3
＝﹣1；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)
＝（14−49）×36+7×（﹣2）
＝9+（﹣16）+（﹣14）
＝﹣21．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式1-9】计算：
（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
（3）先去绝对值、计算小括号内的式子和有理数的乘方，然后计算乘除法，最后算加法即可．
（4）先算乘方，再算绝对值和括号里面的，最后算乘法和加减；
【解答】解：（1）原式＝2×（﹣27）﹣4×（﹣3）+15
＝﹣54+12+15
＝﹣27；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3
＝|−16|×（﹣12）−18×（﹣8）
=16×（﹣12）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）
＝﹣9÷9+（−16）×（﹣12）
＝﹣1+2
＝1．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|
＝﹣1−12×13−|1﹣25|
＝﹣1−16−24
＝﹣2516；
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键．
【变式1-10】（2022秋•仁怀市期中）计算：
（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；
（2）−5×2+3÷13−(−1)；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；
（2）先算乘除法，再算加减法即可；
（3）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后算加减法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
【解答】解：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）
＝（﹣23）+（﹣59）+（﹣41）+59
＝﹣64；
（2）−5×2+3÷13−(−1)
＝﹣10+3×3+1
＝﹣10+9+1
＝0；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3
＝﹣1+（﹣2）2−14÷（−18）
＝﹣1+4−14×（﹣8）
＝﹣1+4+2
＝5；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12
＝﹣48×18+48×13−48×14+4×2
＝﹣6+16﹣12+8
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
题型二 含乘方的程序图运算题
【例题2】如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 ．
【分析】首先求出﹣1的平方是多少，然后用﹣1的平方乘﹣3，求出积是多少，再用所得的积减去2，求出输出的数值为多少即可．
【解答】解：当输入x的值为﹣1时，输出的数值为：
（﹣1）2×（﹣3）﹣2
＝1×（﹣3）﹣2
＝﹣3﹣2
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
【变式2-1】（2022秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 ．
【分析】根据运算程序计算，若结果大于0，则符合题意，若结果小于0，则输入程序重新计算即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，（﹣2）2﹣8＝﹣4＜0，
当x＝﹣4时，（﹣4）2﹣8＝8＞0，
∴输出的结果为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了代数式求值以及有理数的混合运算，解题的关键是根据程序列出正确的计算式．
【变式2-2】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 ．
【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案．
【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4；
若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2，
∵﹣2＜0，
∴（﹣2）2×2﹣4＝4，
∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4，
故答案为：4，4．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解图中的计算程序．
【变式2-3】按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为 ．
【分析】首先用输入x的值乘（﹣2），结果是6，第二次输入，62×（﹣2），结果小于0，可得结论．
【解答】解：∵﹣3×（﹣2）＝6＞0，
∴y＝62×（﹣2）＝﹣72，
故答案为：﹣72．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将x＝﹣3开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方．
【变式2-4】（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ．
【分析】认真读懂题意，根据题目的计算程序进行计算，然后判断即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，10﹣（﹣3）2＝1，
1＞0，
∴根据题意继续计算10﹣12＝9，
9＞0，
∴根据题意继续计算10﹣92＝﹣71，
﹣71＜0，
∴输出结果为﹣71．
故答案为：﹣71．
【点评】本题考查了代数求值，解题的关键要读懂题意，能根据题意进行代数计算，最后得到符合题意的结果．
【变式2-5】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果．
【解答】解：把x＝﹣2代入可得：[(−2)2−8]×(14−12)=1，
再把x＝1代入可得：[12−8]×(14−12)=74＞1，
所以y=74，
故答案为：74
【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【变式2-6】（2022秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为3，将x＝3代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果．
【解答】解：把x＝﹣2代入可得：
（﹣2﹣1）3×（−19）
＝（﹣3）3×（−19）
＝﹣27×（−19）
＝3，
再把x＝3代入可得：
（3﹣1）3×（−19）
＝23×（−19）
＝8×（−19）
=−89＜1．
故最后输出的结果y是−89．
故答案为：−89．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【变式2-7】按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可．
【解答】解：把18输入得：18×|−12|÷[﹣（12）2]
＝18×12÷（−14）
＝﹣36＜100，
把﹣36输入得：﹣36×|−12|÷[﹣（12）2]
＝﹣36×12÷（−14）
＝72＜100，
把72输入得：72×|−12|÷[﹣（12）2]
＝72×12÷（−14）
＝﹣144＜100，
把﹣144输入得：﹣144×|−12|÷[﹣（12）2]
＝﹣144×12÷（−14）
＝288＞100，
则输出的数字为288．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-8】（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．
（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；
（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？
（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．
【分析】（1）把﹣3和●表示的数输入计算程序中计算即可求出值；
（2）设●表示的数为x，根据计算程序列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）把a与b代入计算程序中计算，使其结果为0，得到a与b的数量关系即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
（﹣3）×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2
＝12÷2﹣1﹣2
＝6﹣1﹣2
＝3；
（2）设●表示的数为x，
根据题意得：4×（﹣4）+2+（﹣1）﹣x＝8，
解得：x＝﹣17；
（3）由题意得：−4a2+（﹣1）﹣b＝0，
整理得：b＝﹣2a﹣1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的运算是解本题的关键．
题型三 含乘方的新定义运算问题
【例题3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为 ．
【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a☆b＝ab2+2ab+a，
∴（﹣2）☆3
＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32．
【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝ ．
【分析】根据a*b＝ab2+2a，可得：3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3，据此求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵a*b＝ab2+2a，
∴3*（﹣2）
＝3×（﹣2）2+2×3
＝3×4+6
＝12+6
＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式3-2】用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝ ．
【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a☆b＝3ab2+2ab+a，
∴（﹣2）☆3
＝3×（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣54﹣12﹣2
＝﹣68．
故答案为：﹣68．
【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键．
【变式3-3】对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝ ．
【分析】根据新定义运算法则列出算式，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣10*[（﹣4+5）2×（5+4）]
＝﹣10*（1×9）
＝﹣10*9
＝（﹣10+9）2×[9﹣（﹣10）]
＝（﹣1）2×（9+10）
＝1×19
＝19，
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
【变式3-4】（2022秋•泊头市期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到运算a⋆b=|2−a2|−1b+1．按此程序（﹣3）⋆（﹣2）＝ ．
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：(−3)⋆(−2)=|2−(−3)2|−1−2+1
=|2−9|+12+1
=7+12+1
＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
【变式3-5】定义一种运算：acbd=ad﹣bc，如1−3−20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d=14−|−34|时，求acbd的值．
【分析】首先分别求出a、b、c、d的值各是多少；然后根据acbd=ad﹣bc，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：a＝（﹣2）2＝4
b＝﹣（﹣1）3+1＝2
c＝﹣32+5＝﹣9+5＝﹣4
d=14−|−34|=−12
∴acbd
＝ad﹣bc
＝4×（−12）﹣2×（﹣4）
＝﹣2+8
＝6
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式3-6】（2023春•大丰区月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以
（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ；
（2）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c．
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算；
（2）利用新定义计算并证明a+b＝c．
【解答】解：（1）（2，8）＝3，（2，14）＝﹣2；
故答案为：3，﹣2；
（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∵12×5＝60，
∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，
∴a+b＝c．
【点评】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．
【变式3-7】规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（﹣1）的值；
（2）求（﹣4）※（12※2）的值；
（3）若m※5的值为40，求m的值．
【分析】（1）根据a※b＝ab﹣2a+b2，可以求得所求式子的值；
（2）先算后面括号内的式子，然后再根据题目中的新法则计算即可；
（3）根据m※5的值为40，可以得到5m﹣2m+52＝40，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
3※（﹣1）
＝3×（﹣1）﹣2×3+（﹣1）2
＝（﹣3）﹣6+1
＝﹣8；
（2）（﹣4）※（12※2）
＝（﹣4）※（12×2﹣2×12+22）
＝（﹣4）※（1﹣1+4）
＝（﹣4）※4
＝（﹣4）×4﹣2×（﹣4）+42
＝（﹣16）+8+16
＝8；
（3）∵m※5的值为40，
∴5m﹣2m+52＝40，
解得m＝5，
即m的值是5．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
【变式3-8】（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；
（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；
0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．
0*0＝02+02＝0
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝ ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行*
运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）（+1）*[0*（﹣2）]
＝（+1）*（﹣2）2
＝（+1）*4
＝+（12+42）
＝1+16
＝17；
（3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0，
∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0
∴m﹣1＝0，n+2＝0，
解得m＝1，n＝﹣2．
故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；﹣3．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
题型四 含乘方的探究规律题
【例题4】（2022秋•淮南期末）观察下面三行数．
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…
﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）
（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；
（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）观察发现第一行数的规律为（﹣2）”，（﹣2）“即为第一行的第n个数；
（2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第n个数是（﹣2）”+1，第三行的第n个数是2×（﹣2）”，再求出第二行的第6个数和第三行的第7个数即可；
（3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解方程得x＝﹣32，然后根据第一行数的规律得到（﹣2）k＝﹣32，所以k＝5．
【解答】解：（1）第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…，
所以第一行的第n个数是（﹣2）n．
（2）∵同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，
∴第二行的第n个数是（﹣2）n+1，第三行的第n个数是2x（﹣2）n；
第二行的第6个数是（﹣2）6+1＝65，第三行的第7个数是2×（﹣2）7＝﹣256；
（3）能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，
根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，
解得x＝﹣32，
∴（﹣2）k＝﹣32，
∴k＝5，
∴k的值为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键．
【变式4-1】观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝ ．
【分析】根据已知等式知，从1开始的连续n个奇数的和等于序数加1和的平方，据此可知第n个等式的和为（n+1）2，据此求解即可．
【解答】解：∵第1个等式：1+3＝4＝22；
第2个等式：1+3+5＝9＝32；
第3个等式：1+3+5+7＝16＝42；
第4个等式：1+3+5+7+9＝25＝52；
…，
∴第n个等式：1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝（n+1）2，
当2n+1＝2021时，解得：n＝1010，
∴1+3+5+7+9+…+2021
＝（1010+1）2
＝10112．
故答案为：10112．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据已知等式发现规律并会用代数式表示是关键．
【变式4-2】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）观察不难发现，第①行数后一个数是前一个数的（﹣2）倍，写出第n项的表达式，然后把n＝7、8代入进行计算即可得解；
（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半减1，分别写出第n个数的表达式，然后把n＝7代入求解即可；
（3）根据各行的表达式求出第9个数，然后相加即可得解．
【解答】解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，
∴第n个数是（﹣2）n，
∴第7个数是（﹣2）7＝﹣128，
第8个数是（﹣2）8＝256；
（2）观察发现，第②行为第①行的数加2，所以，第②行的第n个数为（﹣2）n+2，
所以，第7个数是（﹣2）7+2＝﹣128+2＝﹣126；
第③行为第①行的数的一半减1，所以，第③行的第n个是为12×（﹣2）n﹣1，
所以，第7个数为12×（﹣2）7﹣1＝﹣64﹣1＝﹣65；
（3）第①行的第9个数为（﹣2）9＝﹣512，
第②行的第9个数为（﹣2）9+2＝﹣510，
第③的第9个数为12×（﹣2）9﹣1＝﹣257，
所以，这三个数的和为：（﹣512）+（﹣510）+（﹣257）＝﹣1279．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．
【变式4-3】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③
（1）请直接写出第①行数的第100项： ，第n项： ；
（2）第②行数的第2012项： ；
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）根据观察，可发现规律：第n个数是（﹣1）n•2n；
（2）第①行的每一项都加2，可得第②行；
（3）第①行的每一项都乘以（−14），可得第③行；
（4）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）请直接写出第①行数的第100项：200，第n项：（﹣1）n•2n；
（2）第②行数的第2012项是（﹣1）2012×22012+2＝22012+2
（3）第一行的每一项都乘以（−14）等于第三行的项；
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和
[（﹣1）10×210]+[（﹣1）10×210+2]+[（﹣1）10×210×（−14）]
＝1024+1026﹣256
＝1794．
故答案为：2100，（﹣1）n•2n；22012+2．
【点评】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键，利用（﹣1）的乘方得出每项的符号是解（1）的关键．
【变式4-4】观察下面三行数：
﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．
（1）第一行第十个数是 ；
（2）第二行第n个数是（n为正整数）；
（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）根据第①行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以写出第十个数；
（2）根据第②行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以解答本题；
（3）根据第③行的数的变化特点，可以写出第n个数，然后再根据（1）和（2）中发现的规律，即可分别写出前三行中的第十个数字，然后相加，即可解答本题．
【解答】解：（1）∵第①行的数为：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…，
∴第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），
∴当n＝10时，这个为（﹣1）10•（4×10﹣3）＝37，
故答案为：37；
（2）∵第②行的数为：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，
∴第n个数为（﹣1）n•2n，
（3）∵第③行的数为：﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…，
∴第n个数为（﹣1）n•n2，
∵第①行第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），第②行第n个数为（﹣1）n•2n，
∴当n＝10时，第①行的数为37，第②行的数为210＝1024，第③行的数为102＝100，
∵37+1024+100＝1161，
∴取每行数的第十个数，这三个数的和是1161．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚题中的数所存在的规律．
【变式4-5】观察下列运算过程：
S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①
①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②
②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=32018−12．
用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．
【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017，
则5S＝5+52+53+…+52018，
5S﹣S＝52018﹣1，
4S＝52018﹣1，
则S=52018−14，
故答案为：52018−14．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=14×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝ =14× 2× 2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝ 14× ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3=14×n2×（n+1）2；
（3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案．
【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝225=14×52×62
（2）猜想：13+23+33+…+n3=14×n2×（n+1）2
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403．
解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
=14×402×412−14×102×112
＝672400﹣3025
＝669375
【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键．
【变式4-7】（2022秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3；
1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4；
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5；
1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6．
…
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7= 625×7 ；
1+16×8= 726×8 ；
1+12n×(2n+2)= (2n+1)22n(2n+2) ．（n为正整数）
（2）根据规律计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果；
（2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）1+15×7=5×7+15×7=365×7=625×7，
1+16×8=6×8+16×8=496×8=726×8，
1+12n×(2n+2)=2n×(2n+2)+12n×(2n+2)=(2n+1)22n(2n+2)，
故答案为：625×7，726×8，(2n+1)22n(2n+2)；
（2）（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）
=221×3×322×4×423×5×524×6×⋯×99298×100×100299×101
=22×32×42×52×⋯×992×1002(1×2×3×⋯×99)×(3×4×⋯×101)
=2×100101
=200101．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式4-8】【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（−12）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（−12）⑩＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ．
（3）算一算122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19．
【分析】【初步探究】
（1）利用除方的定义解答即可；
（2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可；
【深入思考】
（1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可；
（2）利用（1）中的规律写出即可；
（3）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：【初步探究】
（1）2③＝2÷2÷2=12，（−12）⑤＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8，
故答案为：12；﹣8；
（2）∵根据除方的定义，任何非零数的圈2次方都等于1，
∴A选项说法正确；
∵根据除方的定义，对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1，
∴B选项说法正确；
∵7⑨＝7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7=(17)7，
8⑧＝8÷8÷8÷8÷8÷8÷8÷8=(18)6，
∴7⑨≠8⑧．
∴C选项说法不正确；
∵几个不等于0的有理数相除，商的符号由负因数的个数决定，负因数的个数为奇数商为负，负因数的个数为偶数商为正，
∴根据除方的定义，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，
∴D选项正确．
综上所述，说法错误的是：7⑨≠8⑧．
故选：C．
【深入思考】
（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）=(−13)2，
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×15×15×15×15=(15)4，
（−12）⑩＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）
＝1×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）8，
故答案为：(−13)2；(15)4；（﹣2）8．
（2）由（1）可知：
将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于(1a)n−2，
故答案为：(1a)n−2．
（3）122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19
＝144÷（﹣3）2×（﹣2）6﹣318×(−13)19
＝16×64+13
＝102413．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
解题技巧提炼
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12−6÷13⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．
解题技巧提炼
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12−6÷13⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 有理数的混合运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8
C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42
【变式1-1】计算6÷（−32）×（﹣2）3的结果是 ．
【变式1-2】（2021秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（ ）
A．4B．﹣12C．﹣18D．﹣28
【变式1-3】下列各式中．计算结果得0的是（ ）
A．﹣22+（﹣2）2B．﹣22﹣22C．﹣22﹣（﹣2）2D．（﹣2）2+22
【变式1-4】（2023春•黄浦区期中）计算：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2．
【变式1-5】（2023春•闵行区期末）计算：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
【变式1-6】（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1)2022−(−2)3+6÷(12−13)时，步骤如下：
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 ；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
【变式1-7】（2022秋•长寿区期末）计算：
（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（−12）；
（2）﹣14+[4﹣（38+16−34）×24]÷5．
【变式1-8】（2022秋•黄石港区期末）计算与化简：
（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)．
【变式1-9】计算：
（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|．
【变式1-10】（2022秋•仁怀市期中）计算：
（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；
（2）−5×2+3÷13−(−1)；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12．
题型二 含乘方的程序图运算题
【例题2】如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 ．
【变式2-1】（2022秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 ．
【变式2-2】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 ．
【变式2-3】按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为 ．
【变式2-4】（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ．
【变式2-5】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【变式2-6】（2022秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【变式2-7】按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【变式2-8】（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．
（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；
（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？
（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．
题型三 含乘方的新定义运算问题
【例题3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为 ．
【变式3-1】（2022秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝ ．
【变式3-2】用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝ ．
【变式3-3】对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝ ．
【变式3-4】（2022秋•泊头市期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到运算a⋆b=|2−a2|−1b+1．按此程序（﹣3）⋆（﹣2）＝ ．
【变式3-5】定义一种运算：acbd=ad﹣bc，如1−3−20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d=14−|−34|时，求acbd的值．
【变式3-6】（2023春•大丰区月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以
（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ；
（2）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c．
【变式3-7】规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（﹣1）的值；
（2）求（﹣4）※（12※2）的值；
（3）若m※5的值为40，求m的值．
【变式3-8】（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；
（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；
0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．
0*0＝02+02＝0
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝ ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
题型四 含乘方的探究规律题
【例题4】（2022秋•淮南期末）观察下面三行数．
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…
﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）
（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；
（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．
【变式4-1】观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝ ．
【变式4-2】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
【变式4-3】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③
（1）请直接写出第①行数的第100项： ，第n项： ；
（2）第②行数的第2012项： ；
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和．
【变式4-4】观察下面三行数：
﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．
（1）第一行第十个数是 ；
（2）第二行第n个数是（n为正整数）；
（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．
【变式4-5】观察下列运算过程：
S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①
①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②
②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=32018−12．
用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．
【变式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=14×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝ =14× 2× 2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝ 14× ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
【变式4-7】（2022秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3；
1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4；
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5；
1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6．
…
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7= 625×7 ；
1+16×8= 726×8 ；
1+12n×(2n+2)= (2n+1)22n(2n+2) ．（n为正整数）
（2）根据规律计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）．
【变式4-8】【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（−12）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（−12）⑩＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ．
（3）算一算122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19．
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.8 有理数的混合运算
知识点
有理数的混合运算
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 有理数的混合运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8
C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42
【分析】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）
＝（﹣27）×（﹣2）÷（﹣6）
＝54÷（﹣6）
＝﹣9，
故A不符合题意；
B、﹣（﹣1）200×（﹣2）4
＝﹣1×（16）
＝﹣16，
故B不符合题意；
C、（﹣8）×3÷（﹣2）2
＝﹣24÷4
＝﹣6，
故C不符合题意；
D、12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2
＝12+28+8÷4
＝40+2
＝42．
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．
【变式1-1】计算6÷（−32）×（﹣2）3的结果是 ．
【分析】根据有理数的乘方和有理数的乘法，除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝6×（−23）×（﹣8）
＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，有理数的乘方，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．
【变式1-2】（2021秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（ ）
A．4B．﹣12C．﹣18D．﹣28
【分析】原式先算乘方，再算加减即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16
＝﹣4﹣8﹣16
＝﹣12﹣16
＝﹣28．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
【变式1-3】下列各式中．计算结果得0的是（ ）
A．﹣22+（﹣2）2B．﹣22﹣22C．﹣22﹣（﹣2）2D．（﹣2）2+22
【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本选项正确；
B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误；
C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误；
D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意﹣22与（﹣2）2的区别．
【变式1-4】（2023春•黄浦区期中）计算：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：229×(−1)9−(−115)2÷(−0.9)2
=209×（﹣1）−3625÷0.81
=−209−169
=−369
＝﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式1-5】（2023春•闵行区期末）计算：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：﹣22﹣（﹣5）2×125−（﹣223）÷123．
＝﹣4﹣25×125+83×35．
＝﹣4﹣1+85．
=−175．
【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可．
【变式1-6】（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1)2022−(−2)3+6÷(12−13)时，步骤如下：
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 ；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
【分析】（1）根据幂的运算即可判断；
（2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（12−13）＝6÷16=36，
∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷16，
∴开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①；
（2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷16
＝1+8+6×6
＝1+8+36
＝45．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序．
【变式1-7】（2022秋•长寿区期末）计算：
（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（−12）；
（2）﹣14+[4﹣（38+16−34）×24]÷5．
【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣4﹣7+3+1＝﹣7；
（2）原式＝﹣1+（4﹣9﹣4+18）÷5＝﹣1+95=45．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式1-8】（2022秋•黄石港区期末）计算与化简：
（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)．
【分析】（1）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题；
（2）根据乘法分配律、有理数的乘除法和加法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4
＝﹣4+|﹣18+6|÷4
＝﹣4+12÷4
＝﹣4+3
＝﹣1；
（2）（14−49）×（﹣6）2+7÷(−12)
＝（14−49）×36+7×（﹣2）
＝9+（﹣16）+（﹣14）
＝﹣21．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式1-9】计算：
（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
（3）先去绝对值、计算小括号内的式子和有理数的乘方，然后计算乘除法，最后算加法即可．
（4）先算乘方，再算绝对值和括号里面的，最后算乘法和加减；
【解答】解：（1）原式＝2×（﹣27）﹣4×（﹣3）+15
＝﹣54+12+15
＝﹣27；
（2）|13−12|÷(−112)−18×(−2)3
＝|−16|×（﹣12）−18×（﹣8）
=16×（﹣12）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12−23）×（﹣12）
＝﹣9÷9+（−16）×（﹣12）
＝﹣1+2
＝1．
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13−|1﹣（﹣5）2|
＝﹣1−12×13−|1﹣25|
＝﹣1−16−24
＝﹣2516；
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键．
【变式1-10】（2022秋•仁怀市期中）计算：
（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；
（2）−5×2+3÷13−(−1)；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；
（2）先算乘除法，再算加减法即可；
（3）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后算加减法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
【解答】解：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）
＝（﹣23）+（﹣59）+（﹣41）+59
＝﹣64；
（2）−5×2+3÷13−(−1)
＝﹣10+3×3+1
＝﹣10+9+1
＝0；
（3）−12+(3−5)2−|−14|÷(−12)3
＝﹣1+（﹣2）2−14÷（−18）
＝﹣1+4−14×（﹣8）
＝﹣1+4+2
＝5；
（4）(−48)×(18−13+14)+(−2)2÷12
＝﹣48×18+48×13−48×14+4×2
＝﹣6+16﹣12+8
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
题型二 含乘方的程序图运算题
【例题2】如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 ．
【分析】首先求出﹣1的平方是多少，然后用﹣1的平方乘﹣3，求出积是多少，再用所得的积减去2，求出输出的数值为多少即可．
【解答】解：当输入x的值为﹣1时，输出的数值为：
（﹣1）2×（﹣3）﹣2
＝1×（﹣3）﹣2
＝﹣3﹣2
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
【变式2-1】（2022秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 ．
【分析】根据运算程序计算，若结果大于0，则符合题意，若结果小于0，则输入程序重新计算即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，（﹣2）2﹣8＝﹣4＜0，
当x＝﹣4时，（﹣4）2﹣8＝8＞0，
∴输出的结果为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了代数式求值以及有理数的混合运算，解题的关键是根据程序列出正确的计算式．
【变式2-2】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 ．
【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案．
【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4；
若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2，
∵﹣2＜0，
∴（﹣2）2×2﹣4＝4，
∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4，
故答案为：4，4．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解图中的计算程序．
【变式2-3】按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为 ．
【分析】首先用输入x的值乘（﹣2），结果是6，第二次输入，62×（﹣2），结果小于0，可得结论．
【解答】解：∵﹣3×（﹣2）＝6＞0，
∴y＝62×（﹣2）＝﹣72，
故答案为：﹣72．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将x＝﹣3开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方．
【变式2-4】（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ．
【分析】认真读懂题意，根据题目的计算程序进行计算，然后判断即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，10﹣（﹣3）2＝1，
1＞0，
∴根据题意继续计算10﹣12＝9，
9＞0，
∴根据题意继续计算10﹣92＝﹣71，
﹣71＜0，
∴输出结果为﹣71．
故答案为：﹣71．
【点评】本题考查了代数求值，解题的关键要读懂题意，能根据题意进行代数计算，最后得到符合题意的结果．
【变式2-5】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果．
【解答】解：把x＝﹣2代入可得：[(−2)2−8]×(14−12)=1，
再把x＝1代入可得：[12−8]×(14−12)=74＞1，
所以y=74，
故答案为：74
【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【变式2-6】（2022秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为3，将x＝3代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果．
【解答】解：把x＝﹣2代入可得：
（﹣2﹣1）3×（−19）
＝（﹣3）3×（−19）
＝﹣27×（−19）
＝3，
再把x＝3代入可得：
（3﹣1）3×（−19）
＝23×（−19）
＝8×（−19）
=−89＜1．
故最后输出的结果y是−89．
故答案为：−89．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【变式2-7】按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可．
【解答】解：把18输入得：18×|−12|÷[﹣（12）2]
＝18×12÷（−14）
＝﹣36＜100，
把﹣36输入得：﹣36×|−12|÷[﹣（12）2]
＝﹣36×12÷（−14）
＝72＜100，
把72输入得：72×|−12|÷[﹣（12）2]
＝72×12÷（−14）
＝﹣144＜100，
把﹣144输入得：﹣144×|−12|÷[﹣（12）2]
＝﹣144×12÷（−14）
＝288＞100，
则输出的数字为288．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-8】（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．
（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；
（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？
（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．
【分析】（1）把﹣3和●表示的数输入计算程序中计算即可求出值；
（2）设●表示的数为x，根据计算程序列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）把a与b代入计算程序中计算，使其结果为0，得到a与b的数量关系即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
（﹣3）×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2
＝12÷2﹣1﹣2
＝6﹣1﹣2
＝3；
（2）设●表示的数为x，
根据题意得：4×（﹣4）+2+（﹣1）﹣x＝8，
解得：x＝﹣17；
（3）由题意得：−4a2+（﹣1）﹣b＝0，
整理得：b＝﹣2a﹣1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的运算是解本题的关键．
题型三 含乘方的新定义运算问题
【例题3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为 ．
【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a☆b＝ab2+2ab+a，
∴（﹣2）☆3
＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32．
【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝ ．
【分析】根据a*b＝ab2+2a，可得：3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3，据此求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵a*b＝ab2+2a，
∴3*（﹣2）
＝3×（﹣2）2+2×3
＝3×4+6
＝12+6
＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式3-2】用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝ ．
【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a☆b＝3ab2+2ab+a，
∴（﹣2）☆3
＝3×（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣54﹣12﹣2
＝﹣68．
故答案为：﹣68．
【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键．
【变式3-3】对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝ ．
【分析】根据新定义运算法则列出算式，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣10*[（﹣4+5）2×（5+4）]
＝﹣10*（1×9）
＝﹣10*9
＝（﹣10+9）2×[9﹣（﹣10）]
＝（﹣1）2×（9+10）
＝1×19
＝19，
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
【变式3-4】（2022秋•泊头市期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到运算a⋆b=|2−a2|−1b+1．按此程序（﹣3）⋆（﹣2）＝ ．
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：(−3)⋆(−2)=|2−(−3)2|−1−2+1
=|2−9|+12+1
=7+12+1
＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
【变式3-5】定义一种运算：acbd=ad﹣bc，如1−3−20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d=14−|−34|时，求acbd的值．
【分析】首先分别求出a、b、c、d的值各是多少；然后根据acbd=ad﹣bc，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：a＝（﹣2）2＝4
b＝﹣（﹣1）3+1＝2
c＝﹣32+5＝﹣9+5＝﹣4
d=14−|−34|=−12
∴acbd
＝ad﹣bc
＝4×（−12）﹣2×（﹣4）
＝﹣2+8
＝6
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式3-6】（2023春•大丰区月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以
（3，9）＝2．
（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ；
（2）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c．
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算；
（2）利用新定义计算并证明a+b＝c．
【解答】解：（1）（2，8）＝3，（2，14）＝﹣2；
故答案为：3，﹣2；
（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∵12×5＝60，
∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，
∴a+b＝c．
【点评】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．
【变式3-7】规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（﹣1）的值；
（2）求（﹣4）※（12※2）的值；
（3）若m※5的值为40，求m的值．
【分析】（1）根据a※b＝ab﹣2a+b2，可以求得所求式子的值；
（2）先算后面括号内的式子，然后再根据题目中的新法则计算即可；
（3）根据m※5的值为40，可以得到5m﹣2m+52＝40，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
3※（﹣1）
＝3×（﹣1）﹣2×3+（﹣1）2
＝（﹣3）﹣6+1
＝﹣8；
（2）（﹣4）※（12※2）
＝（﹣4）※（12×2﹣2×12+22）
＝（﹣4）※（1﹣1+4）
＝（﹣4）※4
＝（﹣4）×4﹣2×（﹣4）+42
＝（﹣16）+8+16
＝8；
（3）∵m※5的值为40，
∴5m﹣2m+52＝40，
解得m＝5，
即m的值是5．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
【变式3-8】（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；
（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；
0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．
0*0＝02+02＝0
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝ ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行*
运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）（+1）*[0*（﹣2）]
＝（+1）*（﹣2）2
＝（+1）*4
＝+（12+42）
＝1+16
＝17；
（3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0，
∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0
∴m﹣1＝0，n+2＝0，
解得m＝1，n＝﹣2．
故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；﹣3．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
题型四 含乘方的探究规律题
【例题4】（2022秋•淮南期末）观察下面三行数．
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…
﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）
（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；
（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）观察发现第一行数的规律为（﹣2）”，（﹣2）“即为第一行的第n个数；
（2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第n个数是（﹣2）”+1，第三行的第n个数是2×（﹣2）”，再求出第二行的第6个数和第三行的第7个数即可；
（3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解方程得x＝﹣32，然后根据第一行数的规律得到（﹣2）k＝﹣32，所以k＝5．
【解答】解：（1）第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…，
所以第一行的第n个数是（﹣2）n．
（2）∵同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，
∴第二行的第n个数是（﹣2）n+1，第三行的第n个数是2x（﹣2）n；
第二行的第6个数是（﹣2）6+1＝65，第三行的第7个数是2×（﹣2）7＝﹣256；
（3）能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，
根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，
解得x＝﹣32，
∴（﹣2）k＝﹣32，
∴k＝5，
∴k的值为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键．
【变式4-1】观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝ ．
【分析】根据已知等式知，从1开始的连续n个奇数的和等于序数加1和的平方，据此可知第n个等式的和为（n+1）2，据此求解即可．
【解答】解：∵第1个等式：1+3＝4＝22；
第2个等式：1+3+5＝9＝32；
第3个等式：1+3+5+7＝16＝42；
第4个等式：1+3+5+7+9＝25＝52；
…，
∴第n个等式：1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝（n+1）2，
当2n+1＝2021时，解得：n＝1010，
∴1+3+5+7+9+…+2021
＝（1010+1）2
＝10112．
故答案为：10112．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据已知等式发现规律并会用代数式表示是关键．
【变式4-2】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）观察不难发现，第①行数后一个数是前一个数的（﹣2）倍，写出第n项的表达式，然后把n＝7、8代入进行计算即可得解；
（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半减1，分别写出第n个数的表达式，然后把n＝7代入求解即可；
（3）根据各行的表达式求出第9个数，然后相加即可得解．
【解答】解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，
∴第n个数是（﹣2）n，
∴第7个数是（﹣2）7＝﹣128，
第8个数是（﹣2）8＝256；
（2）观察发现，第②行为第①行的数加2，所以，第②行的第n个数为（﹣2）n+2，
所以，第7个数是（﹣2）7+2＝﹣128+2＝﹣126；
第③行为第①行的数的一半减1，所以，第③行的第n个是为12×（﹣2）n﹣1，
所以，第7个数为12×（﹣2）7﹣1＝﹣64﹣1＝﹣65；
（3）第①行的第9个数为（﹣2）9＝﹣512，
第②行的第9个数为（﹣2）9+2＝﹣510，
第③的第9个数为12×（﹣2）9﹣1＝﹣257，
所以，这三个数的和为：（﹣512）+（﹣510）+（﹣257）＝﹣1279．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．
【变式4-3】观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③
（1）请直接写出第①行数的第100项： ，第n项： ；
（2）第②行数的第2012项： ；
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）根据观察，可发现规律：第n个数是（﹣1）n•2n；
（2）第①行的每一项都加2，可得第②行；
（3）第①行的每一项都乘以（−14），可得第③行；
（4）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）请直接写出第①行数的第100项：200，第n项：（﹣1）n•2n；
（2）第②行数的第2012项是（﹣1）2012×22012+2＝22012+2
（3）第一行的每一项都乘以（−14）等于第三行的项；
（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和
[（﹣1）10×210]+[（﹣1）10×210+2]+[（﹣1）10×210×（−14）]
＝1024+1026﹣256
＝1794．
故答案为：2100，（﹣1）n•2n；22012+2．
【点评】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键，利用（﹣1）的乘方得出每项的符号是解（1）的关键．
【变式4-4】观察下面三行数：
﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．
（1）第一行第十个数是 ；
（2）第二行第n个数是（n为正整数）；
（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）根据第①行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以写出第十个数；
（2）根据第②行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以解答本题；
（3）根据第③行的数的变化特点，可以写出第n个数，然后再根据（1）和（2）中发现的规律，即可分别写出前三行中的第十个数字，然后相加，即可解答本题．
【解答】解：（1）∵第①行的数为：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…，
∴第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），
∴当n＝10时，这个为（﹣1）10•（4×10﹣3）＝37，
故答案为：37；
（2）∵第②行的数为：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，
∴第n个数为（﹣1）n•2n，
（3）∵第③行的数为：﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…，
∴第n个数为（﹣1）n•n2，
∵第①行第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），第②行第n个数为（﹣1）n•2n，
∴当n＝10时，第①行的数为37，第②行的数为210＝1024，第③行的数为102＝100，
∵37+1024+100＝1161，
∴取每行数的第十个数，这三个数的和是1161．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚题中的数所存在的规律．
【变式4-5】观察下列运算过程：
S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①
①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②
②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=32018−12．
用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．
【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017，
则5S＝5+52+53+…+52018，
5S﹣S＝52018﹣1，
4S＝52018﹣1，
则S=52018−14，
故答案为：52018−14．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=14×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝ =14× 2× 2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝ 14× ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3=14×n2×（n+1）2；
（3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案．
【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝225=14×52×62
（2）猜想：13+23+33+…+n3=14×n2×（n+1）2
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403．
解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
=14×402×412−14×102×112
＝672400﹣3025
＝669375
【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键．
【变式4-7】（2022秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3；
1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4；
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5；
1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6．
…
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7= 625×7 ；
1+16×8= 726×8 ；
1+12n×(2n+2)= (2n+1)22n(2n+2) ．（n为正整数）
（2）根据规律计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果；
（2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）1+15×7=5×7+15×7=365×7=625×7，
1+16×8=6×8+16×8=496×8=726×8，
1+12n×(2n+2)=2n×(2n+2)+12n×(2n+2)=(2n+1)22n(2n+2)，
故答案为：625×7，726×8，(2n+1)22n(2n+2)；
（2）（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+198×100）×（1+199×101）
=221×3×322×4×423×5×524×6×⋯×99298×100×100299×101
=22×32×42×52×⋯×992×1002(1×2×3×⋯×99)×(3×4×⋯×101)
=2×100101
=200101．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式4-8】【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（−12）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（−12）⑩＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ．
（3）算一算122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19．
【分析】【初步探究】
（1）利用除方的定义解答即可；
（2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可；
【深入思考】
（1）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可；
（2）利用（1）中的规律写出即可；
（3）将算式中的除方化成乘方的形式，按有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：【初步探究】
（1）2③＝2÷2÷2=12，（−12）⑤＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8，
故答案为：12；﹣8；
（2）∵根据除方的定义，任何非零数的圈2次方都等于1，
∴A选项说法正确；
∵根据除方的定义，对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1，
∴B选项说法正确；
∵7⑨＝7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7=(17)7，
8⑧＝8÷8÷8÷8÷8÷8÷8÷8=(18)6，
∴7⑨≠8⑧．
∴C选项说法不正确；
∵几个不等于0的有理数相除，商的符号由负因数的个数决定，负因数的个数为奇数商为负，负因数的个数为偶数商为正，
∴根据除方的定义，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，
∴D选项正确．
综上所述，说法错误的是：7⑨≠8⑧．
故选：C．
【深入思考】
（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）=(−13)2，
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×15×15×15×15=(15)4，
（−12）⑩＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）
＝1×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）8，
故答案为：(−13)2；(15)4；（﹣2）8．
（2）由（1）可知：
将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于(1a)n−2，
故答案为：(1a)n−2．
（3）122÷（−13）④×（−12）⑧﹣（13）⑳×（−13）19
＝144÷（﹣3）2×（﹣2）6﹣318×(−13)19
＝16×64+13
＝102413．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
解题技巧提炼
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12−6÷13⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．
解题技巧提炼
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12−6÷13⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
解题技巧提炼
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．
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