苏科版（2024）七年级上册3.6 整式的加减复习练习题

这是一份苏科版（2024）七年级上册3.6 整式的加减复习练习题，共49页。试卷主要包含了6 整式的加减，4＝2×2×0等内容，欢迎下载使用。

知识点
整式的加减
◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
◆2、整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
题型一 利用整式的加减计算
【例题1】（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1B．5x2+2x﹣9C．x2﹣1D．4x2﹣x﹣1
【变式1-1】（2023•盐都区一模）墨迹覆盖了等式﹣（x2+1）＝3x中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．x+2B．﹣x2+3x﹣1C．﹣x2+3x+1D．x2+3x+1
【变式1-2】（2022秋•沙坪坝区期末）一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A．﹣x2+5x﹣3B．﹣x2+x﹣1C．x2﹣5x+3D．x2﹣5x﹣3
【变式1-3】（2022秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（ ）
A．3x2y﹣4xy2B．x2y﹣4xy2C．﹣3x2y+2xy2D．﹣x2y+2xy2
【变式1-4】（2022秋•清水县校级期末）计算：
（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；
（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．
【变式1-5】已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值．
题型二 整式的化简求值---直接代入求值
【例题2】（2022秋•渠县校级期末）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y），其中x＝2，y＝﹣1．
【变式2-1】（2022秋•苍南县期末）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a=12，b＝﹣3．
【变式2-2】（2022秋•宣城期末）先化简，再求值：12x−2(x−13y2)+(−32x+13y2)，
其中x＝﹣2，y＝3．
【变式2-3】（2022秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值：
已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．
【变式2-4】（2022秋•长沙期末）已知A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8．
（1）化简3A+2B．
（2）当|x﹣3|+（y+2）2＝0，求3A+2B的值．
题型三 整式的化简求值---整体代入求值
【例题3】求值：
（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．
（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6(56b+a−ab)的值．
【变式3-1】（2022秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（ ）
A．2B．﹣4C．﹣2D．8
【变式3-2】（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+12)的值．
【变式3-3】我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．
【变式3-4】（2023春•南宁期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在方程、多项式的求值中应用极为广泛．
（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x﹣2y＝1，求3x﹣6y﹣5的值．
（3）拓展探索：已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
题型四 整式加减中的错看问题
【例题4】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4B．﹣x2+3x﹣1C．﹣3x2﹣x﹣7D．x2+3x﹣7
【变式4-1】（2022秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（ ）
A．8x2﹣2x﹣6B．14x2﹣12x﹣5C．2x2+8x﹣8D．﹣x2+13x﹣9
【变式4-2】（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6
【变式4-3】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4B．﹣x2+3x﹣1C．﹣3x2﹣x﹣7D．x2+3x﹣7
【变式4-4】小明同学写一道数学作业题时，误将求“A﹣B”看成求“A+B”，结果求出的答案是x2﹣2x+5．已知A＝4x2﹣3x﹣6．请你帮助小明同学求出A﹣B．
【变式4-5】马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．
（1）请根据现有条件求多项式A；
（2）计算2A+B的正确答案．
题型五 整式加减中与某个字母无关问题
【例题5】（2022秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m的值（ ）
A．2B．﹣3C．4D．﹣2
【变式5-1】（2022秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【变式5-2】（2022秋•平城区校级期末）若多项式2（x2﹣xy﹣3y）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．0D．1
【变式5-3】（2022秋•包头期末）要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m﹣2的是（ ）
A．﹣6B．4C．﹣8D．6
【变式5-4】（2022秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值．
【变式5-5】（2022秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关．
（1）求a，b的值．
（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．
题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合
【例题6】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（ ）
A．﹣3a+2bB．2b﹣aC．a﹣2bD．﹣a
【变式6-1】已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结果是（ ）
A．3a﹣cB．﹣2a+cC．a+cD．﹣2b﹣c
【变式6-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2aB．﹣2bC．﹣2a﹣2bD．2a﹣2b
【变式6-3】（2022秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则
（1）b﹣a 0，a﹣c 0，b+c 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|
【变式6-4】（2022秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．
【变式6-5】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；
（1）求：a+c与ca的值
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．
题型七 利用整式加减解决数学问题
【例题7】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 ．
（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 ．
（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？
【变式7-1】（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【变式7-2】（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．
（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．
①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 （用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 （用含x的式子表示）；
②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由；
（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由．
题型八 利用整式加减进行新定义运算
【例题8】阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义是abcd=ad﹣bc．
例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，请你计算1−23−1的值；
（2）按照这个规定，请你化简−3x2+yx2+y32．
【变式8-1】（1）先化简再求值：当x=−12，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值．
（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．
①求2*（﹣3）的值；
②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
【变式8-2】（2022秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义
是abcd=ad﹣bc
例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规定，请你计算6523的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，12xy+3y−13x−1的值．
【变式8-3】（2022秋•锦江区校级期中）阅读材料：
对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，试计算的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0时，求的值．
【变式8-4】（2022秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．
（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；
（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值．
题型九 运用整式的加减解决实际问题
【例题9】长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（ ）
A．14a+6bB．7a+3bC．10a+10bD．12a+8b
【变式9-1】（2022秋•定陶区期末）一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是 人．
【变式9-2】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
A．﹣aB．aC．−12aD．12a
【变式9-3】（2022秋•方城县期末）某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包m+n2元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（ ）
A．盈利了B．亏损了
C．不赢不亏D．盈亏不能确定
【变式9-4】某冰箱销售商，今年四月份销售冰箱（a﹣1）台，五月份销售冰箱比四月份的2倍少1台，六月份销售冰箱比前两个月的总和还多5台．
（1）求五月份和六月份分别销售冰箱多少台？
（2）六月份比五月份多销售冰箱多少台？
【变式9-5】为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米．
（1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？
（2）当x＝3米时，求草坪的面积．
（苏科版）七年级上册数学《第3章 代数式》
3.6 整式的加减

知识点
整式的加减
◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
◆2、整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
题型一 利用整式的加减计算
【例题1】（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1B．5x2+2x﹣9C．x2﹣1D．4x2﹣x﹣1
【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：∵A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，
∴A+B＝3x2+x﹣5+（﹣x﹣2x2+4）
＝3x2+x﹣5﹣x﹣2x2+4
＝x2﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
【变式1-1】（2023•盐都区一模）墨迹覆盖了等式﹣（x2+1）＝3x中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．x+2B．﹣x2+3x﹣1C．﹣x2+3x+1D．x2+3x+1
【分析】根据被减数＝差+减数，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：覆盖的多项式＝3x+x2+1，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握被减数＝差+减数是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•沙坪坝区期末）一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A．﹣x2+5x﹣3B．﹣x2+x﹣1C．x2﹣5x+3D．x2﹣5x﹣3
【分析】直接利用整式的加减运算法则，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：3x﹣2﹣（x2﹣2x+1）
＝3x﹣2﹣x2+2x﹣1
＝﹣x2+5x﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式1-3】（2022秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（ ）
A．3x2y﹣4xy2B．x2y﹣4xy2C．﹣3x2y+2xy2D．﹣x2y+2xy2
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，
∴这个多项式是：﹣x2y﹣3xy2+2x2y﹣xy2
＝x2y﹣4xy2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式1-4】（2022秋•清水县校级期末）计算：
（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；
（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2y3+2y3﹣xy2﹣2xy2
＝﹣3xy2．
（2）原式＝5x2﹣（3x2+2x2﹣8x）
＝5x2﹣（5x2﹣8x）
＝5x2﹣5x2+8x
＝8x．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
【变式1-5】已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值．
【分析】把A与B代入A﹣3B，去括号合并后，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5
∴A﹣3B＝2a2﹣5a﹣3a2﹣9a+15＝﹣a2﹣14a+15，
当a＝﹣1时，原式＝﹣1+14+15＝28．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型二 整式的化简求值---直接代入求值
【例题2】（2022秋•渠县校级期末）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y），其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】先去括号，然后合并同类项得出最简整式，继而代入x和y的值即可．
【解答】解：原式＝（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y）
＝3x2y﹣xy2+4xy2﹣2x2y
＝x2y+3xy2；
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝22×（﹣1）+3×2×（﹣1）2
＝﹣4+6
＝2．
【点评】此题考查了整式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材，难度一般．
【变式2-1】（2022秋•苍南县期末）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a=12，b＝﹣3．
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将a=12，b＝﹣3代入化简结果进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9）
＝4a2+6ab﹣4a2﹣4ab+9
＝（4a2﹣4a2）+（6ab﹣4ab）+9
＝2ab+9；
当a=12，b＝﹣3时，
原式＝2×12×（﹣3）+9
＝﹣3+9
＝6．
【点评】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•宣城期末）先化简，再求值：12x−2(x−13y2)+(−32x+13y2)，
其中x＝﹣2，y＝3．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后把xy的值代入求出即可．
【解答】解：12x−2(x−13y2)+(−32x+13y2)
=12x﹣2x+23y2−32x+13y2
＝﹣3x+y2
当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣3×（﹣2）+32＝15．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，主要考查学生的计算和化简能力．
【变式2-3】（2022秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值：
已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．
【分析】首先利用去括号法则去括号，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出x，y的值，进而求出即可．
【解答】解：原式＝﹣6xy+2x2﹣（2x2﹣15xy+6x2﹣xy）
＝﹣6xy+2x2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy
＝﹣6x2+10xy
∵|x+2|+（y﹣3）2＝0
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝﹣6x2+10xy
＝﹣6×（﹣2）2+10×（﹣2）×3
＝﹣24﹣60
＝﹣84．
【点评】此题主要考查了整式的加减运算以及非负数的性质，正确化简整式是解题关键．
【变式2-4】（2022秋•长沙期末）已知A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8．
（1）化简3A+2B．
（2）当|x﹣3|+（y+2）2＝0，求3A+2B的值．
【分析】（1）把A，B表示的式子代入3A+2B，去括号合并同类项即可；
（2）先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入（1）中化简的结果计算．
【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8，
∴3A+2B
＝3（2x2﹣3xy+4）+2（﹣3x2+5xy﹣8）
＝6x2﹣9xy+12﹣6x2+10xy﹣16
＝xy﹣4；
（2）∵|x﹣3|+（y+2）2＝0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∵3A+2B＝xy﹣4＝3×（﹣2）﹣4＝﹣10．
【点评】本题考查了非负数的性质，整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则，将所给代数式化简．
题型三 整式的化简求值---整体代入求值
【例题3】求值：
（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．
（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6(56b+a−ab)的值．
【分析】（1）把15x﹣6y﹣8化为3（5x﹣2y）﹣8后，再把5x﹣2y＝3代入即可求出结果；
（2）把整式去括号、合并同类项化简后，把a﹣b＝5，﹣ab＝3代入计算即可得出结果．
【解答】解：（1）15x﹣6y﹣8
＝3（5x﹣2y）﹣8，
当5x﹣2y＝3时，
原式＝3×3﹣8
＝9﹣8
＝1；
（2）(7a+4b+ab)−6(56b+a−ab)
＝7a+4b+ab﹣5b﹣6a+6ab
＝a﹣b+7ab，
∵﹣ab＝3，
∴ab＝﹣3，
当a﹣b＝5，ab＝﹣3时，
原式＝5+7×（﹣3）
＝5﹣21
＝﹣16．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确的化简是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（ ）
A．2B．﹣4C．﹣2D．8
【分析】将已知的两个等式相减便可求得结果．
【解答】解：∵x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，
∴x2﹣xy﹣（3xy+y2）＝3﹣5，
∴x2﹣4xy﹣y2＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了整数的减法，关键是灵活应用整式的减法法则进行计算．
【变式3-2】（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+12)的值．
【分析】将已知等式化成x2﹣5x＝4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣4＝0，
∴x2﹣5x＝4，
∴2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+12)
＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1
＝x2﹣5x+5
＝4+5
＝9．
【点评】本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化．
【变式3-3】我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．
【分析】（1）根据整体思想进行同类项合并即可求出答案．
（2）将原式化为4（x2﹣2y）﹣2，然后将x2﹣2y＝3代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣8+6）（a﹣b）2
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
（2）∵x2﹣2y＝3，
∴﹣8y+4x2﹣2
＝4（x2﹣2y）﹣2
＝12﹣2
＝10．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是正确理解题意，运用整体思想，本题属于基础题型．
【变式3-4】（2023春•南宁期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在方程、多项式的求值中应用极为广泛．
（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x﹣2y＝1，求3x﹣6y﹣5的值．
（3）拓展探索：已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并同类项即可；
（2）把3x﹣6y﹣5的前两项提取公因式3，然后整体代入求值；
（3）把式子（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）先去括号，再利用加法的交换结合律变形为（a﹣2b）、（2b﹣d）、（2b﹣c）和的形式，最后整体代入求值．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2
＝（3﹣5）（a﹣b）2
＝﹣2（a﹣b）2；
故答案为：﹣2（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝1，
∴原式＝3（x2﹣2y）﹣5
＝3×1﹣5
＝﹣2；
（3）∵a﹣2b＝﹣1，2b﹣c＝5，c﹣d＝﹣10，
∴原式＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c
＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）
＝﹣1+5+（﹣10）
＝﹣1+5﹣10
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体的思想是解决本题的关键．
题型四 整式加减中的错看问题
【例题4】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4B．﹣x2+3x﹣1C．﹣3x2﹣x﹣7D．x2+3x﹣7
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果．
【解答】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7，
则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3
＝x2+8x﹣4，
故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3）
＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3
＝﹣x2+3x﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式4-1】（2022秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（ ）
A．8x2﹣2x﹣6B．14x2﹣12x﹣5C．2x2+8x﹣8D．﹣x2+13x﹣9
【分析】根据整式的加减运算先求出这个多项式，然后再根据题意列出算式即可求出答案．
【解答】解：该多项式为：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1）
＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1
＝2x2+8x﹣8，
∴正确结果为：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1）
＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1
＝﹣x2+13x﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
【变式4-2】（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，
故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）
＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5
＝﹣a2﹣2a+1，
则﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）
＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5
＝﹣3a2﹣5a+6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式4-3】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4B．﹣x2+3x﹣1C．﹣3x2﹣x﹣7D．x2+3x﹣7
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果．
【解答】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7，
则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3
＝x2+8x﹣4，
故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3）
＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3
＝﹣x2+3x﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式4-4】小明同学写一道数学作业题时，误将求“A﹣B”看成求“A+B”，结果求出的答案是x2﹣2x+5．已知A＝4x2﹣3x﹣6．请你帮助小明同学求出A﹣B．
【分析】B等于A与B的和减去A，求出B，再计算A﹣B．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【解答】解：由题意可知：B＝x2﹣2x+5﹣（4x2﹣3x﹣6）
＝x2﹣2x+5﹣4x2+3x+6
＝﹣3x2+x+11，
所以A﹣B＝4x2﹣3x﹣6﹣（﹣3x2+x+11）
＝4x2﹣3x﹣6+3x2﹣x﹣11
＝7x2﹣4x﹣17．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数用减法，这也适用于代数式．注意掌握去括号法则以及合并同类项．
【变式4-5】马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．
（1）请根据现有条件求多项式A；
（2）计算2A+B的正确答案．
【分析】（1）根据题意，可知A＝（9x2+x﹣7）﹣2B，从而可以计算出多项式A；
（2）根据（1）中求得的A和题目中的B，可以计算出2A+B的正确答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
A＝（9x2+x﹣7）﹣2（x2﹣2x+6）
＝9x2+x﹣7﹣2x2+4x﹣12
＝7x2+5x﹣19，
即多项式A为7x2+5x﹣19；
（2）由（1）知A＝7x2+5x﹣19，
∵B＝x2﹣2x+6，
∴2A+B
＝2（7x2+5x﹣19）+（x2﹣2x+6）
＝14x2+10x﹣38+x2﹣2x+6
＝15x2+8x﹣32，
即2A+B的正确答案是15x2+8x﹣32．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
题型五 整式加减中与某个字母无关问题
【例题5】（2022秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m的值（ ）
A．2B．﹣3C．4D．﹣2
【分析】先将多项式A、B代入A+B，再根据去括号法则、合并同类项法则化简，由多项式A+B不含一次项可得一次项系数为0，以此即可求解．
【解答】解：A+B＝（3x2+2x﹣1）+（mx+1）＝3x2+2x﹣1+mx+1＝3x2+（m+2）x，
∵多项式A+B不含一次项，
∴m+2＝0，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减，正确地去括号和合并同类项是解题关键．
【变式5-1】（2022秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【分析】先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项，二次项系数为0得出方程，即可得出答案．
【解答】解：（mx2+2xy﹣x）﹣（3x2﹣2nxy+3y）
＝mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y
＝（m﹣3）x2+（2+2n）xy﹣x﹣3y，
∵关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y差不含二次项，
∴m﹣3＝0，2+2n＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴nm＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是关键．
【变式5-2】（2022秋•平城区校级期末）若多项式2（x2﹣xy﹣3y）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．0D．1
【分析】直接去括号进而合并同类项，再利用xy项的系数为零得出答案．
【解答】解：∵2（x2﹣xy﹣3y2）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，
∴2x2﹣2xy﹣6y2﹣3x2+axy﹣y2
＝﹣x2﹣7y2+（a﹣2）xy，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
【变式5-3】（2022秋•包头期末）要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m﹣2的是（ ）
A．﹣6B．4C．﹣8D．6
【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的二次项的系数为零即可求出答案．
【解答】解：原式＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2
＝2x2+4x2+mx2﹣6x﹣14
＝（6+m）x2﹣6x﹣14，
令6+m＝0，
∴m＝﹣6，
∴m﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-4】（2022秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值．
【分析】根据题意列出关系式，由结果与x的值无关，确定出a与b的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：（x2+ax﹣y+b）﹣（bx2﹣3x+6y﹣3）＝x2+ax﹣y+b﹣bx2+3x﹣6y+3＝（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3，
由差与x的值取值无关，得到1﹣b＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，b＝1，
则原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣4a2﹣4ab﹣4b2＝﹣a2﹣10ab﹣7b2＝﹣9+30﹣7＝14．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-5】（2022秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关．
（1）求a，b的值．
（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后根据代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关得出关于a和b的方程，计算即可．
（2）先将4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]去括号，合并同类项，再将A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2代入化简，然后将a与b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）2x2−12bx2﹣y+6＝（2−12b）x2﹣y+6，ax+17x﹣5y﹣1＝（a+17）x﹣5y﹣1，
∵关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，
∴2−12b＝0，a+17＝0，
∴a＝﹣17，b＝4．
（2）4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]
＝4A+2A﹣B﹣3A﹣3B
＝3A﹣4B，
∵A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，
∴3A﹣4B
＝3（4a2﹣ab+4b2）﹣4（3a2﹣ab+3b2）
＝12a2﹣3ab+12b2﹣12a2+4ab﹣12b2
＝ab，
由（1）知a＝﹣17，b＝4，
∴原式＝（﹣17）×4＝﹣68．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键．
题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合
【例题6】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（ ）
A．﹣3a+2bB．2b﹣aC．a﹣2bD．﹣a
【分析】根据数轴可以判断a，b，a﹣b，b﹣a的正负情况，从而可以把绝对值符号去掉，然后化简即可解答本题．
【解答】解：根据题目中的数轴可得，a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0．
∴|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|
＝﹣a﹣（b﹣a）+（b﹣a）
＝﹣a．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值、数轴和整式的加减，解题的关键是去绝对值符号时，判断绝对值内式子的值的正负．
【变式6-1】已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结果是（ ）
A．3a﹣cB．﹣2a+cC．a+cD．﹣2b﹣c
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
则原式＝a﹣b+a﹣c+b+c+c﹣a＝a+c，
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2aB．﹣2bC．﹣2a﹣2bD．2a﹣2b
【分析】根据数轴比较a﹣b、c﹣a、b﹣c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简．
【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝a﹣b﹣c+a﹣b+c
＝2a﹣2b
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减运算，涉及数轴比较数的大小，绝对值的性质．
【变式6-3】（2022秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则
（1）b﹣a 0，a﹣c 0，b+c 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|
【分析】（1）根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a、b、c的大小关系，根据有理数的加法法则判断符号；
（2）根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）根据数轴可得b＜a，a＞c，c＜b＜0．
则b﹣a＜0，a﹣c＞0，b+c＜0．
故答案为：＜，＞，＜；
（2）原式＝a﹣b﹣（a﹣c）﹣（b+c）
＝a﹣b﹣a+c﹣b﹣c
＝﹣2b．
【点评】本题考查了利用数轴比较数的大小，右边的数总是大于左边的数，以及绝对值的性质，正确根据性质去掉绝对值符号是关键．
【变式6-4】（2022秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＝|c|＞|b|，
所以a+c＝0，b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0，
则原式＝0﹣2b+b﹣a+c﹣b+a+b＝﹣b+c．
【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-5】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；
（1）求：a+c与ca的值
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．
【分析】（1）由题意得到a与c互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果；
（2）由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）由数轴上点的位置得：a与c互为相反数，
则a+c＝0，ca=−1；
（2）由数轴得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣c＞0，b﹣a＜0，a+c＝0，
则原式＝a﹣c+b﹣a＝b﹣c．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型七 利用整式加减解决数学问题
【例题7】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 ．
（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 ．
（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？
【分析】（1）根据百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c表示出M即可；
（2）同（1）可表示出N；
（3）列出整式相加减的式子，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）M为：100a+10b+c；
故答案为：100a+10b+c；
（2）N为：100c+10b+a；
故答案为：100c+10b+a；
（3）∵N﹣M＝（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）
＝99c﹣99a
＝99（c﹣a）．
∴N﹣M能被11整除．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【变式7-1】（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【分析】（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，则“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，由此可得结论；
（2）按题意列代数式即可；
（3）由110y+11x＝11（10y+x）可得结论．
【解答】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，
∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，
当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110，
当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990，
故答案为：110，990；
（2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a，
∴该“和谐数”为：110b﹣99a；
（3）能，理由：
由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，
∵110y+11x＝11（10y+x），
∴任意一个三位“和谐数”能被11整除．
【点评】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
【变式7-2】（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．
（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．
①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 （用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 （用含x的式子表示）；
②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由；
（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由．
【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可求解；
（2）设中间一行的中间数为m，分别表示出其余数字，进行求和即可解答．
【解答】解：（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x，
则第一行的三个数字分别表示为：x，x+1，x+2，第二行的三个数字分别表示为：x+7，x+8，x+9，第三行的三个数字分别表示为：x+14，x+15，x+16，
九个数的和为：x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16＝9x+72，
故答案为：x+16；9x+72；
②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍；
理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为a﹣8，a﹣7，a﹣6，中间一行数为a﹣1，a，a+1，下面一行数为a+6，a+7，a+8，围住的9个数之和为（a﹣8）+（a﹣7）+（a﹣6）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）＝9a，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍；
（2）满足；
理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为m﹣7，m﹣6，m﹣5，中间一行数为m﹣1m，m+1，下面一行数为m+5，m+6，m+7，则阴影的9个数之和是（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣5）+（m﹣1）+m+（m+1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）＝9m．
【点评】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，发现这个规律是解题的关键．
题型八 利用整式加减进行新定义运算
【例题8】阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义是abcd=ad﹣bc．
例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，请你计算1−23−1的值；
（2）按照这个规定，请你化简−3x2+yx2+y32．
【分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据定义以及整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）13−2−1=1×（﹣1）﹣3×（﹣2）
＝﹣1+6＝5．
（2）−3x2+yx2+y32．
＝2（﹣3x2+y）﹣3（x2+y）
＝﹣6x2+2y﹣3x2﹣3y
＝﹣9x2﹣y．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式8-1】（1）先化简再求值：当x=−12，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值．
（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．
①求2*（﹣3）的值；
②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项得到最简结果，将x，y的值代入求解即可．
（2）①根据新运算可知，2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3），即可得出答案．
②由①可得2*（﹣3）的值，再根据新运算求（﹣2）*[2*（﹣3）]即可．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣6xy﹣3x2+2y﹣2xy﹣2y
＝﹣8xy．
当x=−12，y＝﹣3时，原式＝﹣8×（−12）×（﹣3）＝﹣12．
（2）①2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝4+3﹣6＝1．
②由①可得2*（﹣3）＝1，
∴（﹣2）*1＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1＝4﹣1﹣2＝1．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、有理数的混合运算，理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式8-2】（2022秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义
是abcd=ad﹣bc
例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规定，请你计算6523的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，12xy+3y−13x−1的值．
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出x+y与xy的值，原式利用题中新定义变形，把x+y与xy的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：6523=6×3﹣2×5
＝18﹣10
＝8；
（2）∵|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0，
∴x+y＝2，xy＝﹣1，
则原式＝1×（3x﹣1）﹣（﹣1）×（2xy+3y）
＝3x﹣1+2xy+3y
＝3（x+y）+2xy﹣1
＝3×2+2×（﹣1）﹣1
＝3．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键．
【变式8-3】（2022秋•锦江区校级期中）阅读材料：
对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，试计算的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0时，求的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；
（2）利用非负数的性质求出x+y与xy的值，原式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：﹣5×8﹣（﹣2）×6＝﹣40+12＝﹣28；
（2）∵|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0，
∴x+y＝﹣5，xy＝2，
则原式＝（6x+1）﹣（﹣3）（8xy+2y）
＝6x+1+24xy+6y
＝6（x+y）+24xy+1
＝﹣30+48+1
＝19．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-4】（2022秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．
（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；
（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值．
【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简运算即可．
【解答】解：（1）∵1−13=23，2×1×13=23，
∴1−13=2×1×13，
∴数对（1，13）是“有趣数对”；
∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9，
∴1.5﹣3≠2×1.5×3，
∴数对（1.5，3）不是“有趣数对”；
∵−12−（﹣1）=12，2×(−12)×（﹣1）＝1，
∴−12−（﹣1）≠2×（−12）×1，
∴数对（−12，﹣1）不是“有趣数对”．
综上，是“有趣数对”的是（1，13），
故答案为：（1，13）；
（2）∵（k，﹣3）是“有趣数对”，
∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），
∴k+3＝﹣6k，
∴7k＝﹣3，
∴k=−37；
（3）8[3mn−12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2
＝8（3mn−12m﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12m2
＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2
＝8mn﹣4m+4n+16，
∵（m，n）是“有趣数对”，
∴m﹣n＝2mn．
∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16
＝8mn﹣4×2mn+16
＝8mn﹣8mn+16
＝16．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
题型九 运用整式的加减解决实际问题
【例题9】长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（ ）
A．14a+6bB．7a+3bC．10a+10bD．12a+8b
【分析】首先求出长方形的另一边长，然后根据周长公式得出结果．
【解答】解：由题意知，长方形的另一边长等于（3a+2b）+（a﹣b）＝3a+2b+a﹣b＝4a+b，
所以这个长方形的周长是2（3a+2b+4a+b）＝2（7a+3b）＝14a+6b．
故选：A．
【点评】长方形的周长是长与宽的和的2倍．注意整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
【变式9-1】（2022秋•定陶区期末）一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是 人．
【分析】先求出中途下车后车上剩余的人数，然后用最后车上的人数减去中途下车后剩余的人数就是上车的人数．
【解答】解：根据题意，中途下车后车上剩余的人数为：
12×（6a﹣2b）＝3a﹣b，
（12a﹣5b）﹣（3a﹣b）
＝12a﹣5b﹣3a+b
＝9a﹣4b．
故答案为：（9a﹣4b）．
【点评】本题主要考查了整式的加减，求出中途下车后剩余的人数是解题的关键，计算时要注意符号的处理，这是本题容易出错的地方．
【变式9-2】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
A．﹣aB．aC．−12aD．12a
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形宽为b，表示出x、y、a、b之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，
根据题意得：x+2y＝a，x＝2y，即y=14a，
图①中阴影部分的周长为2（b﹣2y+a）＝2b﹣4y+2a，图②中阴影部分的周长2b+2y+2（a﹣x）
则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长之差为2b﹣4y+2a﹣[2b+2y+2（a﹣x）]＝﹣2y=−a2．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式9-3】（2022秋•方城县期末）某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包m+n2元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（ ）
A．盈利了B．亏损了
C．不赢不亏D．盈亏不能确定
【分析】根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据m大于n判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利了．
【解答】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为40（m+n2−m）＝20（m+n）﹣40m＝20n﹣20m；
在乙批发市场茶叶的利润为60（m+n2−n）＝30（m+n）﹣60n＝30m﹣30n，
∴该商店的总利润为20n﹣20m+30m﹣30n＝10m﹣10n＝10（m﹣n），
∵m＞n，∴m﹣n＞0，即10（m﹣n）＞0，
则这家商店盈利了．
故选：A．
【点评】此题考查了整式加减运算的应用，解题的关键是理解利润＝（售价﹣进价）×数量．
【变式9-4】某冰箱销售商，今年四月份销售冰箱（a﹣1）台，五月份销售冰箱比四月份的2倍少1台，六月份销售冰箱比前两个月的总和还多5台．
（1）求五月份和六月份分别销售冰箱多少台？
（2）六月份比五月份多销售冰箱多少台？
【分析】（1）分别表示出五月份和六月份销售的台数即可；
（2）用六月份减去五月份的销量即可求解．
【解答】解：（1）五月份的销量为：2（a﹣1）﹣1＝2a﹣3，
六月份的销量为：（a﹣1）+（2a﹣3）+5＝3a+1；
（2）3a+1﹣（2a﹣3）＝3a+1﹣2a+3＝a+4．
故六月份比五月份多销售冰箱（a+4）台．
【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
【变式9-5】为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米．
（1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？
（2）当x＝3米时，求草坪的面积．
【分析】（1）小路的面积等于长为30米，宽为x米和长为20米，宽为x米的长方形的面积之和减去一个边长为x米的正方形的面积．
（2）将x＝3米代入（1）中所得的草坪的面积表达式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
小路的面积为：30x+20x﹣x2＝（﹣x2+50x）平方米；
草坪的面积为：
20×30﹣（50x﹣x2）
＝（600﹣50x+x2）平方米．
（2）当x＝3米时，草坪的面积为：
600﹣50x+x2
＝600﹣50×3+32
＝600﹣150+9
＝459（平方米）．
【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
解题技巧提炼
用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简.
解题技巧提炼
进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可.
解题技巧提炼
先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可．
解题技巧提炼
看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可.
解题技巧提炼
整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0.
解题技巧提炼
先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解题技巧提炼
根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
解题技巧提炼
将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去
括号．
解题技巧提炼
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法
则计算出最后的结果.
解题技巧提炼
用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简.
解题技巧提炼
进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可.
解题技巧提炼
先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可．
解题技巧提炼
看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可.
解题技巧提炼
整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0.
解题技巧提炼
先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解题技巧提炼
根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
解题技巧提炼
将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去
括号．
解题技巧提炼
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法
则计算出最后的结果.