人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.5一元二次方程的根与系数的关系特训(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.5一元二次方程的根与系数的关系特训(原卷版+解析)，共14页。
2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.5一元二次方程的根与系数的关系【名师点睛】根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ba，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【例1】（2022•丰台区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．【变式】（2021秋•攸县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个实数根为x1和x2，且x12﹣x1x2＝0，求k的值．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•碑林区校级模拟）若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（　　）A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣72．（2022春•眉山期中）下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是（　　）A．x2﹣2x+2＝0 B．x2﹣2x+2022＝0 C．x2﹣2x﹣2022＝0 D．x2+2x﹣2＝03．（2020•潮阳区一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　）A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣44．（2021•潮南区校级一模）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）A．0 B．1 C．2021 D．20205．（2022春•西湖区校级期中）已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　）A．2019 B．2018 C．2021 D．20206．（2022•叙永县模拟）设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（　　）A．2022 B．2021 C．2020 D．20197．（2022•金平区一模）若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是（　　）A．6 B．9 C．12 D．138．（2022•姑苏区一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．（2022春•东阳市校级月考）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A． B． C．k＜﹣且k≠﹣1 D．k≤﹣且k≠﹣110．（2021•泸县模拟）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　）A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d二．填空题（共6小题）11．（2022•景德镇模拟）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为 　 　．12．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：　 　．13．（2022•南京二模）设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 　 　．14．（2022•赣州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0的两个根x1＝2，则2m﹣5x1•x2＝　 　．15．（2021•娄底模拟）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　．16．（2021•通州区模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　 　．三．解答题（共4小题）17．（2022春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．18．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．19．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．20．（2021秋•宜宾期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.5一元二次方程的根与系数的关系【名师点睛】根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ba，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【例1】（2022•丰台区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．【分析】（1）计算根判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，利用非负数的意义得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用根与系数的关系得到m+2＝0，解关于m的方程即可求解．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×（m+1）＝m2+4m+4﹣4m﹣4＝m2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得m+2＝0，解得m＝﹣2，故m的值为﹣2．【变式】（2021秋•攸县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个实数根为x1和x2，且x12﹣x1x2＝0，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝22﹣4×1×（k﹣1）＝﹣4k+8≥0，解之可得．（2）由根与系数的关系及条件可得x1＝k﹣1＝0，代入原方程可得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（k﹣1）＝﹣4k+8≥0，解得k≤2．（2）∵原方程的两实数根为x1和x2，∴x12﹣2x1+k﹣1＝0，x1x2＝k﹣1，∴x12＝2x1﹣k+1，∵x12﹣x1x2＝0，∴2x1﹣k+1﹣（k﹣1）＝0，∴x1＝k﹣1，代入方程可得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1＝0，∴k＝1或k＝2．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•碑林区校级模拟）若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（　　）A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣7【分析】由根与系数的关系得x1+x2＝5，从而可求解．【解答】解：∵设方程x2﹣5x+a＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝5，∵x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，∴2+x2＝5，解得：x2＝3．故选：B．2．（2022春•眉山期中）下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是（　　）A．x2﹣2x+2＝0 B．x2﹣2x+2022＝0 C．x2﹣2x﹣2022＝0 D．x2+2x﹣2＝0【分析】根据根的判别式的意义对A、B进行判断；根据根与系数的关系对C、D进行判断．【解答】解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣2）2﹣4×2022＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根的和为2，所以C选项符合题意；D．方程x2+2x﹣2＝0的两个实数根的和为﹣2，所以D选项不符合题意；故选：C．3．（2020•潮阳区一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　）A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，∴x1•x2＝﹣1．故选：C．4．（2021•潮南区校级一模）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）A．0 B．1 C．2021 D．2020【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2021、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．故选：D．5．（2022春•西湖区校级期中）已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　）A．2019 B．2018 C．2021 D．2020【分析】根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0，进一步可得2m2+4m＝2021，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，即可求出代数式的值．【解答】解：根据题意，得2m2+4m﹣2021＝0，∴2m2+4m＝2021，∵m+n＝﹣＝﹣2，∴2m2+5m+n＝2021﹣2＝2019，故选：A．6．（2022•叙永县模拟）设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（　　）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝1，结合a2﹣a﹣2021＝0，可得a2+b＝a+b+2021，即可得出答案．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝1，a2﹣a﹣2021＝0，即a2＝a+2021，∴a2+b＝a+b+2021＝1+2021＝2022．故选：A．7．（2022•金平区一模）若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是（　　）A．6 B．9 C．12 D．13【分析】把x＝p代入方程求出p2+4p的值，利用根与系数的关系求出p+q的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，∴p+q＝﹣4，p2+4p﹣9＝0，即p2+4p＝9，则原式＝（p2+4p）﹣（p+q）＝9﹣（﹣4）＝9+4＝13．故选：D．8．（2022•姑苏区一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根据菱形的性质可知AB＝BC，利用根的判别式Δ＝0可求出m值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，解得m1＝m2＝1．故选B．9．（2022春•东阳市校级月考）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A． B． C．k＜﹣且k≠﹣1 D．k≤﹣且k≠﹣1【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得：k≤﹣且k≠﹣1．故选：D．10．（2021•泸县模拟）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　）A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d【分析】由x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与dx+e＝0的一个公共解，可得x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．根据根与系数的关系得出x1+x1＝﹣，整理后即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，∵有两个相等的实数根，∴x1+x1＝﹣，整理得：d＝a（x2﹣x1）．故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022•景德镇模拟）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为 　﹣2　．【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于﹣，即可求出m+n的值．【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2．故答案为：﹣2．12．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：　x2﹣4x+2＝0　．【分析】设此一元二次方程为x2+px+q＝0，根据两根之和是4，两根之积是2，求出p、q的值即可．【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q＝0，∵它的两根之和是4，两根之积是2，∴﹣p＝4，q＝2，∴p＝﹣4，∴这个方程为：x2﹣4x+2＝0．故答案为：x2﹣4x+2＝0．13．（2022•南京二模）设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 　﹣3　．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（2022•赣州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0的两个根x1＝2，则2m﹣5x1•x2＝　﹣4　．【分析】利用根与系数的关系得2+x2＝m，2x2＝2，则可求出x2＝1，m＝3，然后代入2m﹣5x1•x2中计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝2，即2+x2＝m，2x2＝2，解得x2＝1，m＝3，所以2m﹣5x1•x2＝2×3﹣5×2＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（2021•娄底模拟）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2029　．【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2021，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2021+2×4＝2021+8＝2029．故答案为：2029．16．（2021•通州区模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　4042　．【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣2x1＝2021，x1+x2＝2，代入原式＝2021（x1+x2）＝2021×2＝4042．【解答】解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，则原式＝2021x1+2021x2＝2021（x1+x2）＝2021×2＝4042．故答案为：4042．三．解答题（共4小题）17．（2022春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，则由x1+x2+2x1x2＝3得到﹣（m+2）+2m＝3，然后解关于m的方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，∵x1+x2+2x1x2＝3，∴﹣（m+2）+2m＝3，解得m＝5，即m的值为5．18．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，继而求得实数m的取值范围；（2）由方程的两个实数根为x1、x2，且，可得方程m2+2m﹣3＝0，解关于m的方程求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，即m＞﹣1；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣m，∵，∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或m＝1，而m＞﹣1，∴m的值为1．19．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式得到m的取值范围；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，再利用完全平方公式把（x1﹣x2）2+m2＝13变形为（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，所以（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．【解答】解：（1）由题意得：Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣，即m的取值范围为m≥﹣；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，∵（x1﹣x2）2+m2＝13，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，∴（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝﹣6，m2＝2，∵m≥﹣，∴m的值为2．20．（2021秋•宜宾期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．【分析】（1）由一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，即4m2﹣12m+9﹣4m2≥0，解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣（2m﹣3），x1x2＝m2，代入代数式求出m的值即可．【解答】解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＝4m2﹣12m+9﹣4m2＝﹣12m+9，∵△≥0∴﹣12m+9≥0，∴m≤；（2）由题意可得x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，又∵x1+x2＝6﹣x1x2，∴3﹣2m＝6﹣m2，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，又∵m≤，∴m＝﹣1．