初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数单元测试复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数单元测试复习练习题，共21页。试卷主要包含了17第22章二次函数单元测试，73），19或x＝4﹣3≈﹣1，2米．等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共25题．选择10道、填空8道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•金川区校级期末）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．直线x＝1D．直线x＝2
2．（2022•浦东新区二模）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝5（x+1）2B．y＝5（x﹣1）2C．y＝5x2+1D．y＝5x2﹣1
3．（2021秋•崇川区校级月考）函数y＝（a﹣3）x|a﹣1|+（a﹣1）x+3的图象是抛物线，则a的值是（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．a≠3
4．（2021•斗门区一模）对于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．与x轴有两个交点D．顶点坐标是（﹣1，﹣2）
5．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
6．（2022•老河口市模拟）如图，二次函数y＝αx2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．αbc＞0B．b2﹣4αc＞0C．2α﹣b＝0D．3α+2c＜0
7．（2021•天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②③
8．（2021•金州区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（ ）
A．m＜nB．m＝nC．m＞nD．无法判断
9．（2022•湖口县二模）已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点在第一象限
C．a≥1
D．当x＞1时，y的最小值为﹣1
10．（2022•谷城县模拟）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：
①此函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同
②此函数的图象的顶点一定在抛物线y＝x2+1上
③当m+1≤x≤m+2时，此函数的最大值为m2+1
④此函数图象与x轴一定有两个不同交点
以上结论正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•拱墅区校级期中）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为 ．
12．（2021•罗湖区校级模拟）抛物线y＝2（x+1）2﹣4顶点坐标是 ．
13．（2021秋•泰山区期中）抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1，若其顶点在x轴上，则m＝ ．
14．（2021秋•连山区月考）已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ ．
15．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 ．
16．（2021•新吴区二模）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ．
17．（2020秋•阜宁县期末）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第 秒时炮弹位置达到最高．
18．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•金川区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
20．（2021秋•潼南区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
21．（2021秋•宿松县校级期末）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
22．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
23．（2021秋•东城区期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
24．（2021•栖霞区开学）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
25．（2022•碧江区 一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
x
…
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+c
…
n
3
m
3
…
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题22.17第22章二次函数单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共25题．选择10道、填空8道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•金川区校级期末）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．直线x＝1D．直线x＝2
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴．
【解析】∵抛物线y＝3（x﹣2）2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
故选：D．
2．（2022•浦东新区二模）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝5（x+1）2B．y＝5（x﹣1）2C．y＝5x2+1D．y＝5x2﹣1
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解析】将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：y＝5x2+1．
故选：C．
3．（2021秋•崇川区校级月考）函数y＝（a﹣3）x|a﹣1|+（a﹣1）x+3的图象是抛物线，则a的值是（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．a≠3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解析】由题意可得，
，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
4．（2021•斗门区一模）对于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．与x轴有两个交点D．顶点坐标是（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，将二次函数化为一般形式，根据Δ＞0从而可判断抛物线与x轴有两个公共点．
【解析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，故A，B，D错误，
令y＝0，即（x﹣1）2﹣2x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象与x轴有两个交点，
故C正确，
故选：C．
5．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解析】y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
6．（2022•老河口市模拟）如图，二次函数y＝αx2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．αbc＞0B．b2﹣4αc＞0C．2α﹣b＝0D．3α+2c＜0
【分析】由图可知开口向下，即a＜0，图象交于y轴正半轴，可得c＞0，对称轴x＝＝﹣1，可得b＜0和2a﹣b＝0，可判断A选项和C选项；
由图可得二次函数与x轴有两个不同的交点，可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可判断B选项；
由图可得当x＝1时，y＝a+b+c＝0，由2a﹣b＝0可得b＝2a，即a+2a+c＝0，可得3a+2c＞0，即可判断D选项．
【解析】∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵图象交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确，不符合题意；
∵二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
故B选项正确，不符合题意；
∵对称轴x＝＝﹣1，
∴﹣b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝0，
故C选项正确，不符合题意；
∵2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
即a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∵c＞0，
∴3a+2c＞0，
故D选项错误，符合题意；
故选：D．
7．（2021•天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②③
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
8．（2021•金州区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（ ）
A．m＜nB．m＝nC．m＞nD．无法判断
【分析】根据二次函数图象具有对称性和表格中的数据，可以得到该函数的对称轴x＝，顶点y＜0，根据﹣1，1到对称轴的距离可判断．
【解析】由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝，
∵当x＝时，与其对应的函数值y＜0，由表格可知是最小值，
∴抛物线开口向上，
∴1离对称轴比较近，
∴n＞m，
故选：A．
9．（2022•湖口县二模）已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点在第一象限
C．a≥1
D．当x＞1时，y的最小值为﹣1
【分析】由抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点为（﹣1，﹣1），得到顶点在第三象限，由二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限可知抛物线开口向上，a﹣1≥0，即可得到a≥1，根据二次的性质即可得到x≥﹣1时，y的最小值为﹣1．
【解析】∵y＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣1），
∴顶点在第三象限，
∵二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，
∴抛物线开口向上，a﹣1≥0，
∴a≥1，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴x≥﹣1时，y的最小值为﹣1，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
10．（2022•谷城县模拟）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：
①此函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同
②此函数的图象的顶点一定在抛物线y＝x2+1上
③当m+1≤x≤m+2时，此函数的最大值为m2+1
④此函数图象与x轴一定有两个不同交点
以上结论正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由二次函数解析式中二次项系数为﹣1可判断①，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断②，由抛物线开口方向及对称轴可判断③，由抛物线开口方向及顶点位置可判断④．
【解析】∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，
∴两函数图象形状相同，①正确．
∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），
∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴x＞m时，y随x增大而减小，
∴m+1≤x≤m+2时，当x＝m+1时，y＝m2为最大值．③错误．
∵抛物线开口向下，顶点（m，m2+1）在x轴上方，
∴抛物线与x轴有两个交点，④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•拱墅区校级期中）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为 4 ．
【分析】直接把x的值代入进而求出答案．
【解析】当x＝0时，函数y＝2x2+4＝0+4＝4．
故答案为：4．
12．（2021•罗湖区校级模拟）抛物线y＝2（x+1）2﹣4顶点坐标是 （﹣1，﹣4） ．
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标．
【解析】∵抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣1，﹣4）．
13．（2021秋•泰山区期中）抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1，若其顶点在x轴上，则m＝ ﹣3 ．
【分析】抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标＝0，从而可以求得m的值．
【解析】∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．（2021秋•连山区月考）已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ 0或1或2 ．
【分析】根据题意，分三种情况讨论：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线，它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，据此求出m的值是多少即可；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，函数的图象一定经过原点，据此求出m的值是多少即可．
【解析】（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
15．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 1 ．
【分析】根据二次函数解析式可以求出对称轴，顶点坐标，然后根据函数的性质求最小值．
【解析】∵y＝2x2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1），
∴当x＝0时，y有最小值1，
∴当﹣1≤x≤5时，y的最小值是1，
故答案为1．
16．（2021•新吴区二模）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
17．（2020秋•阜宁县期末）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，则第 9 秒时炮弹位置达到最高．
【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
【解析】∵此炮弹在第5秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝9，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第9秒．
故答案为：9．
18．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解析】y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•金川区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
20．（2021秋•潼南区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式即可；
（2）根据题意画出函数的图象即可；
（3）观察图象写出函数y的取值范围．
【解析】（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，
即y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
二次函数的图象如图所示：
（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，
当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．
21．（2021秋•宿松县校级期末）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
【分析】（1）销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【解析】（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
22．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
【解析】（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
23．（2021秋•东城区期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可；
（2）根据函数的性质求最值即可．
【解析】（1）由题意得：y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤25，
∴≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，≤x＜20，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为200，
答：当x＝10时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
24．（2021•栖霞区开学）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
【分析】（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，求得该函数的图象与x轴有（m，0），（m+6，0）两个交点；
（2）求得对称轴，代入解析式即可求得a的值，根据函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），即可求得m的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）分三种情况讨论即可．
【解析】（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+6，
∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，0），（m+6，0）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，顶点A的纵坐标为﹣9，
∴当x＝m+3时，y＝﹣9a＝﹣9，
∴a＝1，
∵该函数图象与y轴交于B（0，﹣5），
∴y＝（0﹣m）（0﹣m﹣6）＝﹣5，即m2+6m+5＝0，
∴（m+1）（m+5）＝0，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5，
当m＝﹣5时，y＝（x+5）（x﹣1）＝x2+4x﹣5；
当m＝﹣1时，y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5；
∴该函数的表达式为y＝x2+4x﹣5或y＝x2﹣4x﹣5；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3，
当m+3＝＝﹣2时，
即当m＝﹣5时，y1＝y2，
当m＞﹣5时，y1＞y2，
当m＜﹣5时，y1＜y2．
25．（2022•碧江区 一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），利用待定系数法求得其解析式，用含t的式子表示点P和点M的坐标，从而用含t的式子表示出线段PM，根据二次函数的性质可得答案；
（3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c写成顶点式，求得顶点D的坐标，由以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，且EF∥BD，可得EF＝BD，设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝|m2﹣m﹣2|，根据EF＝BD得出关于m的方程，求解即可．
【解析】（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，横坐标为t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+1；
∵PM∥y轴，点M在AC上，
∴点M的坐标为（t，t+1），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）
＝﹣t2+t+2
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，PM的长最大，最大值为；
（3）以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵直线AC的解析式为y＝x+1，抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，
∴B（1，2），
∴BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），
∴EF＝|m+1﹣（﹣m2+2m+3）|
＝|m2﹣m﹣2|，
∵EF∥BD，
∴EF＝BD，
∴|m2﹣m﹣2|＝2，
∴m2﹣m﹣2＝2或m2﹣m﹣2＝﹣2，
解得：m1＝0，m2＝1（舍），m3＝，m4＝．
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/1 14:54:06；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.cm；学号：25670025
x
…
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+c
…
n
3
m
3
…