人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题24.5点与圆的位置关系特训(原卷版+解析)

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【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.5点与圆的位置关系【名师点睛】1.点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d=r ①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【典例剖析】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．【变式1】若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O______．（填“上”、“内”、“外”）【例2】．（2020·福建南平·九年级期中）已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若已知△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离OD=8，BC=12，求⊙O的半径．【变式2】（2020·江苏·建湖县秀夫初级中学九年级阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　 　条．【例3】（2021•福田区校级三模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．【变式3】（2021•西湖区一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•北海二模）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（　　）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定2．（2022•宿豫区二模）⊙O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（　　）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°3．（2022•浦江县模拟）在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（　　）A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A外 C．点P在⊙A上 D．不能确定4．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　）A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．5．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块6．（2021秋•萧山区期中）下列说法：①等弧所对的圆心角相等；②经过三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于这条弦；④圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2022•阿城区模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，∠CAD＝15°，则∠ABC的度数为（　　）A．75° B．70° C．65° D．60°8．（2022•固安县模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C、D分别是AB、BP的中点．若AB＝8，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（　　）A． B．4 C． D．89．（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值10．（2021•湖北）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（　　）A．10 B．8 C．6 D．4二．填空题（共8小题）11．（2022春•东莞市校级期中）⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是 　 　．12．（2022春•杨浦区校级期中）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是 　 　．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4，则△ABC面积的最大值为 　 　．14．（2019•青神县模拟）如图，若△ABC内接于半径为4的⊙O，且∠C＝60°，则边AB的长为 　 　．15．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为　 　．16．（2021•随县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为4，则CD的长为　 　．17．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　 　．18．（2019秋•潢川县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　 　．三．解答题（共4小题）19．（2021秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．20．（2021秋•高淳区期中）如图，BD、CE是△ABC的高．（1）求证：B、C、D、E四个点在同一个圆上；（2）若∠BDE＝45°，∠DEC＝15°，BE＝5，则∠EBD＝　 　°，DE＝　 　．21．（2021秋•东港区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE．（1）求证：PD＝CE；（2）求证：点P、D、C、E在同一个圆上．22．（2021秋•日照期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为　 　；（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.5点与圆的位置关系【名师点睛】1.点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d=r ①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【典例剖析】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．【答案】5