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沪科版（2024）九年级上册21.1 二次函数课后作业题
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这是一份沪科版（2024）九年级上册21.1 二次函数课后作业题，共22页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【题型1 二次函数的识别】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 2
\l "_Tc13671" 【题型3 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 2
\l "_Tc322" 【题型4 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc322 \h 3
\l "_Tc3710" 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 PAGEREF _Tc3710 \h 4
\l "_Tc8205" 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc8205 \h 5
\l "_Tc23690" 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 PAGEREF _Tc23690 \h 6
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2−1x+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2−2m−1是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．−1±2
【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝ 时，它是一次函数；当a＝ 时，它是二次函数．
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100D．常数项是20000
【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2−2m−1+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2−52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【题型4 判断二次函数的关系式】
【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D．正方形的周长C与边长a之间的关系
【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】
理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】
【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】
【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【变式6-2】（2022秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【变式6-3】（2022秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x−995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99−x5×10）
【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】
【例7】（2022秋•交城县期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A．S=14x2−10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【变式7-2】（2022秋•鄞州区期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43−x）D．y=12x（43−x）
【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式 ．
专题21.1 二次函数的定义【七大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【题型1 二次函数的识别】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 3
\l "_Tc13671" 【题型3 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 4
\l "_Tc322" 【题型4 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc322 \h 5
\l "_Tc3710" 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 PAGEREF _Tc3710 \h 8
\l "_Tc8205" 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc8205 \h 9
\l "_Tc23690" 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 PAGEREF _Tc23690 \h 11
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2−1x+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意；
②该函数是二次函数，故本选项符合题意；
③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据二次函数的定义，判断即可．
【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x，
所以，共有3个，
故选：B．
【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y=1x2−3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函数．
∴只有②④⑥一定是二次函数．
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数，
故选：B．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2−2m−1是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．−1±2
【分析】让x的次数为2，系数不为0即可．
【解答】解：根据题意得：m2−2m−1=2m2+m≠0，
解得：m=3或−1m≠0且m≠−1，
∴m＝3，
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝ 时，它是一次函数；当a＝ 时，它是二次函数．
【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答．
【解答】解：当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是一次函数时，a2+4a+5＝1或a﹣5＝0，
解得a＝﹣2或a＝5，
即当a＝﹣2或5时，它是一次函数；
当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是二次函数时，a2+4a+5＝2且a﹣5≠0．
解得a＝﹣1或a＝﹣3．
即当a＝﹣1或﹣3时，它是二次函数．
故答案是：﹣2或5；﹣1或﹣3．
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100D．常数项是20000
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．
【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，
A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；
C、一次项是100x，故C错误；
D、常数项是20000，故D正确；
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．
【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，
故答案为＜．
【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2−2m−1+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】根据二次函数定义可得m2−2m−1=2m2−m≠0，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项．
【解答】解：根据题意可得m2−2m−1=2m2−m≠0，
解得：m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，二次函数为y＝2x2﹣4x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数项为1；
当m＝3时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9．
【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2−52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【分析】根据二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函数，是一次函数；
（2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；
（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数项是0；
（4）y=12（x﹣1）2−52=12x2﹣x+12−52=12x2﹣x﹣2，是二次函数，二次项系数是12、一次项系数是﹣1，常数项是﹣2；
（5）y=83x2不是二次函数；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函数．
【题型4 判断二次函数的关系式】
【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y=12hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D．正方形的周长C与边长a之间的关系
【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】解：A、由题意可得：t=Sv是反比例函数，故此选项错误；
B、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S＝πR2，是二次函数，正确；
D、C＝4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
【解答】解：①依题意得：y＝x2，属于二次函数关系，故符合题意；
②依题意得：y=12x（x﹣1）=12x2−12x，属于二次函数关系，故符合题意；
③依题意得：y＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意；
④依题意得：y＝120x，属于一次函数关系，故不符合题意；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
【分析】先证明△BEF≌△CEG，可得CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，
∵EF⊥EG，
∴∠BEC＝∠FEG＝90°，
∴∠BEF＝∠CEG，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，
∵∠BEG＝90°，
∴∠GEF＝90°，
∴FG2＝2EF2，
在Rt△CFG中，FG2＝CF2+CG2，
即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2﹣10x+25，
∵y=12EG•EF=12EF2，
∴y=14FG2=14（2x2﹣10x+25）=12x2−52x+254，
∴y与x满足的函数关系是二次函数．
故选：C．
【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】
理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】
【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意得，
y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．
故选：C．
【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【分析】利用增长率公式得到y＝2（1﹣x）2．
【解答】解：根据题意得y＝2（1﹣x）2，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），然后根据已知条件可得出函数关系式．
【解答】解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，
依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，
则y＝a（1+x）（1+2x）．
故选：A．
【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】
【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．
【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：
y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．
故选：D．
【变式6-2】（2022秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【分析】设每本书降价x元，则每星期可售出（200+5x）本，根据每星期的销售总额＝销售单价×每星期的销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设每本书降价x元，则每星期可售出（200+x2×10）＝（200+5x）本，
∴每星期售出此文学书的销售额y＝（30﹣x）（200+5x）．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x−995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99−x5×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+99−x5×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+99−x5×10），
故选：D．
【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】
【例7】（2022秋•交城县期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A．S=14x2−10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【分析】由AB＝AD＝xcm，求得BD＝（20﹣2x）cm，CE＝（10﹣x）cm，然后利用三角形面积公式列出函数关系式并整理成二次函数的一般形式．
【解答】解：∵AB＝AD＝xcm，且△ABD的周长为20cm，
∴BD＝（20﹣2x）cm，
又∵CE=12BD，
∴CE=12（20﹣2x）＝（10﹣x）cm，
∴S△BCD=12BD•CE=12（20﹣2x）（10﹣x），
整理，得：S＝x2﹣20x+100，
故选：C．
【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，
∴y=1810x2+52，
故选：A．
【变式7-2】（2022秋•鄞州区期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43−x）D．y=12x（43−x）
【分析】根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到EC边的高和EC的长，从而可以表示出△EFC的面积．
【解答】解：作FH⊥EC于点H，如右图所示，
则∠FHE＝90°，
∴∠FEH+∠EFH＝90°
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠DEB，
在△DEB和△EFH中，
∠B=∠FHE∠DEB=∠EFHDE=EF，
∴△DEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝HF，
∵BE＝x，
∴HF＝x，
∵MB＝4，∠B＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝43，
∴EC＝BC﹣BE＝43−x，
∴△EFC的面积为是：12x(43−x)，
即y=12x(43−x)，
故选：D．
【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式 ．
【分析】在BC上截取CH＝CM，连接MH，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，证出∠BHM＝∠MDF，∠1＝∠2，由ASA证明△BHM≌△MDF，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠C＝∠CDA＝90°＝∠ADE，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=12∠ADE＝45°，
∴∠MDF＝90°+45°＝135°．
在BC上截取CH＝CM，连接MH，如图，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，
∴∠CHM＝∠CMH＝45°，
∴∠BHM＝135°，
∴∠1+∠HMB＝45°，∠BHM＝∠MDF，
∵FM⊥BM，
∴∠FMB＝90°，
∴∠2+∠BMH＝45°，
∴∠1＝∠2．
在△BHM与△MDF中，
∠1=∠2BH=MD∠BHM=∠MDF，
∴△BHM≌△MDF（ASA），
∴BH＝MD＝2﹣x，
∴y与x之间的函数关系式为y=12x（2﹣x）=−12x2+x．
故答案为：y=−12x2+x．
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【题型1 二次函数的识别】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 2
\l "_Tc13671" 【题型3 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 2
\l "_Tc322" 【题型4 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc322 \h 3
\l "_Tc3710" 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 PAGEREF _Tc3710 \h 4
\l "_Tc8205" 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc8205 \h 5
\l "_Tc23690" 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 PAGEREF _Tc23690 \h 6
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2−1x+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2−2m−1是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．−1±2
【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝ 时，它是一次函数；当a＝ 时，它是二次函数．
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100D．常数项是20000
【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2−2m−1+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2−52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【题型4 判断二次函数的关系式】
【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D．正方形的周长C与边长a之间的关系
【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】
理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】
【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】
【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【变式6-2】（2022秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【变式6-3】（2022秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x−995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99−x5×10）
【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】
【例7】（2022秋•交城县期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A．S=14x2−10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【变式7-2】（2022秋•鄞州区期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43−x）D．y=12x（43−x）
【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式 ．
专题21.1 二次函数的定义【七大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【题型1 二次函数的识别】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 3
\l "_Tc13671" 【题型3 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 4
\l "_Tc322" 【题型4 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc322 \h 5
\l "_Tc3710" 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 PAGEREF _Tc3710 \h 8
\l "_Tc8205" 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc8205 \h 9
\l "_Tc23690" 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 PAGEREF _Tc23690 \h 11
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 二次函数的识别】
【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2−1x+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意；
②该函数是二次函数，故本选项符合题意；
③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据二次函数的定义，判断即可．
【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2−1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x，
所以，共有3个，
故选：B．
【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y=1x2−3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函数．
∴只有②④⑥一定是二次函数．
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数，
故选：B．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2−2m−1是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．−1±2
【分析】让x的次数为2，系数不为0即可．
【解答】解：根据题意得：m2−2m−1=2m2+m≠0，
解得：m=3或−1m≠0且m≠−1，
∴m＝3，
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝ 时，它是一次函数；当a＝ 时，它是二次函数．
【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答．
【解答】解：当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是一次函数时，a2+4a+5＝1或a﹣5＝0，
解得a＝﹣2或a＝5，
即当a＝﹣2或5时，它是一次函数；
当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是二次函数时，a2+4a+5＝2且a﹣5≠0．
解得a＝﹣1或a＝﹣3．
即当a＝﹣1或﹣3时，它是二次函数．
故答案是：﹣2或5；﹣1或﹣3．
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100D．常数项是20000
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．
【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，
A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；
C、一次项是100x，故C错误；
D、常数项是20000，故D正确；
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac 0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．
【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，
故答案为＜．
【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2−2m−1+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】根据二次函数定义可得m2−2m−1=2m2−m≠0，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项．
【解答】解：根据题意可得m2−2m−1=2m2−m≠0，
解得：m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，二次函数为y＝2x2﹣4x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数项为1；
当m＝3时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9．
【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2−52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【分析】根据二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函数，是一次函数；
（2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；
（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数项是0；
（4）y=12（x﹣1）2−52=12x2﹣x+12−52=12x2﹣x﹣2，是二次函数，二次项系数是12、一次项系数是﹣1，常数项是﹣2；
（5）y=83x2不是二次函数；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函数．
【题型4 判断二次函数的关系式】
【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y=12hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D．正方形的周长C与边长a之间的关系
【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】解：A、由题意可得：t=Sv是反比例函数，故此选项错误；
B、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S＝πR2，是二次函数，正确；
D、C＝4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
【解答】解：①依题意得：y＝x2，属于二次函数关系，故符合题意；
②依题意得：y=12x（x﹣1）=12x2−12x，属于二次函数关系，故符合题意；
③依题意得：y＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意；
④依题意得：y＝120x，属于一次函数关系，故不符合题意；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不是
【分析】先证明△BEF≌△CEG，可得CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，
∵EF⊥EG，
∴∠BEC＝∠FEG＝90°，
∴∠BEF＝∠CEG，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，
∵∠BEG＝90°，
∴∠GEF＝90°，
∴FG2＝2EF2，
在Rt△CFG中，FG2＝CF2+CG2，
即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2﹣10x+25，
∵y=12EG•EF=12EF2，
∴y=14FG2=14（2x2﹣10x+25）=12x2−52x+254，
∴y与x满足的函数关系是二次函数．
故选：C．
【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】
理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】
【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意得，
y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．
故选：C．
【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【分析】利用增长率公式得到y＝2（1﹣x）2．
【解答】解：根据题意得y＝2（1﹣x）2，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），然后根据已知条件可得出函数关系式．
【解答】解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，
依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，
则y＝a（1+x）（1+2x）．
故选：A．
【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】
【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．
【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：
y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．
故选：D．
【变式6-2】（2022秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【分析】设每本书降价x元，则每星期可售出（200+5x）本，根据每星期的销售总额＝销售单价×每星期的销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设每本书降价x元，则每星期可售出（200+x2×10）＝（200+5x）本，
∴每星期售出此文学书的销售额y＝（30﹣x）（200+5x）．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x−995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99−x5×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+99−x5×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+99−x5×10），
故选：D．
【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】
【例7】（2022秋•交城县期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A．S=14x2−10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【分析】由AB＝AD＝xcm，求得BD＝（20﹣2x）cm，CE＝（10﹣x）cm，然后利用三角形面积公式列出函数关系式并整理成二次函数的一般形式．
【解答】解：∵AB＝AD＝xcm，且△ABD的周长为20cm，
∴BD＝（20﹣2x）cm，
又∵CE=12BD，
∴CE=12（20﹣2x）＝（10﹣x）cm，
∴S△BCD=12BD•CE=12（20﹣2x）（10﹣x），
整理，得：S＝x2﹣20x+100，
故选：C．
【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，
∴y=1810x2+52，
故选：A．
【变式7-2】（2022秋•鄞州区期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43−x）D．y=12x（43−x）
【分析】根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到EC边的高和EC的长，从而可以表示出△EFC的面积．
【解答】解：作FH⊥EC于点H，如右图所示，
则∠FHE＝90°，
∴∠FEH+∠EFH＝90°
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠DEB，
在△DEB和△EFH中，
∠B=∠FHE∠DEB=∠EFHDE=EF，
∴△DEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝HF，
∵BE＝x，
∴HF＝x，
∵MB＝4，∠B＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝43，
∴EC＝BC﹣BE＝43−x，
∴△EFC的面积为是：12x(43−x)，
即y=12x(43−x)，
故选：D．
【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式 ．
【分析】在BC上截取CH＝CM，连接MH，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，证出∠BHM＝∠MDF，∠1＝∠2，由ASA证明△BHM≌△MDF，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠C＝∠CDA＝90°＝∠ADE，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=12∠ADE＝45°，
∴∠MDF＝90°+45°＝135°．
在BC上截取CH＝CM，连接MH，如图，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，
∴∠CHM＝∠CMH＝45°，
∴∠BHM＝135°，
∴∠1+∠HMB＝45°，∠BHM＝∠MDF，
∵FM⊥BM，
∴∠FMB＝90°，
∴∠2+∠BMH＝45°，
∴∠1＝∠2．
在△BHM与△MDF中，
∠1=∠2BH=MD∠BHM=∠MDF，
∴△BHM≌△MDF（ASA），
∴BH＝MD＝2﹣x，
∴y与x之间的函数关系式为y=12x（2﹣x）=−12x2+x．
故答案为：y=−12x2+x．
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