初中数学沪科版（2024）九年级上册23.1 锐角的三角函数课后测评

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册23.1 锐角的三角函数课后测评，共54页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16346" 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 PAGEREF _Tc16346 \h 1
\l "_Tc23852" 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc23852 \h 2
\l "_Tc7706" 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc7706 \h 4
\l "_Tc18387" 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc18387 \h 5
\l "_Tc8076" 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc8076 \h 6
\l "_Tc2660" 【题型6 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2660 \h 7
\l "_Tc25027" 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 PAGEREF _Tc25027 \h 8
\l "_Tc2592" 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】 PAGEREF _Tc2592 \h 8
\l "_Tc25360" 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】 PAGEREF _Tc25360 \h 9
\l "_Tc2524" 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】 PAGEREF _Tc2524 \h 10
【知识点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
【知识点2 特殊角的三角函数值】
【题型1 锐角的三角函数概念辨析】
【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，则（ ）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求：
(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．
(2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB=34．
【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】
【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为( )．
A．13B．45C．23D．35
【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A．12B．2C．52D．55
【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cs∠BDE的值等于（ ）
A．52B．53C．23D．34
【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（ ）
A．12B．22C．32D．33
【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．22D．32
【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13，则tan∠BCD的值是（ ）
A．13B．1C．223D．332
【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．
【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为 _____．
【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（ ）
A．3B．22+2C．4D．2+2
【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A．32B．332C．6D．3
【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC=43，则AC的长为______．
【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．
(1)求证：四边形BCED是菱形．
(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cs∠ABC=0.6，请直接写出BE的长度．
【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ）
①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12+tanA−32=0，则∠C=__________度．
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当∠POQ=______度时，线段OQ的最小值为______．
【题型6 求特殊角的三角函数值】
【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：
(1)3tan30°+tan45°+2sin30°．
(2)cs230°+tan30°×sin60°−2cs45°．
【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin∠ABC＝____．
【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．

【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】
【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填序号）
①sin2α+cs2α=1；②cs2α=2csα；③当0°<α<β<90°时，0【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅csα=18，且0°<α<45°，则csα−sinα的值为___．
【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α＝1．
要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）
②根据①中所画图形证明该命题．
【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，csα为方程x2+px+q=0的两根，则p、q应满足的关系式为_______.
【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】
【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于( )
A．25B．35C．45D．34
【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且csα＝1213，则sin(90°－α)的值是( )
A．513B．1213C．512D．125
【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+csβ=3，则α=________．
【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：
tan7°⋅tan83°=1
tan22°⋅tan68°=1
tan29°⋅tan61°=1
tan37°⋅tan53°=1
tan45°⋅tan45°=1
根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tanα⋅tan90°−α=1
（1）当α=30°时，验证tanα⋅tan90°−α=1是否成立；
（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2b1≠b2，k1⋅k2≠0根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时k1和k2的数量关系，并画图证明．
【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知32A．30°【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡
B．csA的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关
【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．
(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)点P运动几秒，DQ最短；
(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；
(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．
【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为_______________．
【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．
（1）求证：ΔADG∽ΔABF；
（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．
【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF的数量关系是 ．
（2）【拓展探究】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，试猜想AE与CF的数量关系，并加以证明．
（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E为AC的中点，F为边BC上一点，CE＝CF，P为AB上一点（不与A、B重合），D为射线EF上一点，当△CDP为等腰直角三角形时．
①tan∠EFC＝ ．
②求出BP的长度．
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
1
专题23.1 锐角的三角函数【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16346" 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 PAGEREF _Tc16346 \h 2
\l "_Tc23852" 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc23852 \h 5
\l "_Tc7706" 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc7706 \h 9
\l "_Tc18387" 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc18387 \h 14
\l "_Tc8076" 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc8076 \h 20
\l "_Tc2660" 【题型6 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2660 \h 24
\l "_Tc25027" 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 PAGEREF _Tc25027 \h 27
\l "_Tc2592" 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】 PAGEREF _Tc2592 \h 30
\l "_Tc25360" 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】 PAGEREF _Tc25360 \h 33
\l "_Tc2524" 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】 PAGEREF _Tc2524 \h 35
【知识点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
【知识点2 特殊角的三角函数值】
【题型1 锐角的三角函数概念辨析】
【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，则（ ）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
则csA＝ACAB＝4a5a=45，故A错误；
sinB＝BCAB＝4a5a=45，故B错误；
tanA＝BCAC=3a4a=34，故C错误；
tanB＝ACBC=4k3k＝43，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴csB=CDAC，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，csB=BDCB，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=CDCB，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠CDCB，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，csB=CBAB，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．
【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
【答案】D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝ac，则a=c·sinA，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝ab，则b＝atanA，故B选项错误；
csB＝ac，则a＝ccsB，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求：
(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．
(2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB=34．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（1）根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边互相平行即可作出；
（2）根据正切值的定义即可作出△ABD．
（1）
解：作图如下：
根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，
再由平行四边形的对边互相平行可知，AD∥BC，
由BC平移可以得到AD，
∵点B向上平移三个单位，向右平移一个单位，得到点A，
∴点C向上平移三个单位，向右平移一个单位，即可得到点D．
（2）
△ABD如下图，
BE=3，DE=4，∠BED=90°，
tan∠ADB=BEDE=34．
【点睛】本题考查在网格中作图，需要熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，正切值的定义．
【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】
【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为( )．
A．13B．45C．23D．35
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，进而得CF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，根据勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
∵在Rt△ABF中，BF=AF2−AB2=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则DE=EF=3−x，
∵在Rt△ECF中， CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=3−x2，解得：x=43，
∴EF=3−x=53，
∴sin∠EFC=CEEF=45．
故选B．
【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质以及勾股定理和正弦三角函数的定义，掌握勾股定理，列方程，是解题的关键．
【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A．12B．2C．52D．55
【答案】B
【分析】在直角三角形ADE中，csA=35=AEAD=AB−BEAD，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．
【详解】设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t−2．
∴csA=35=AEAD=AB−BEAD，
∴35=t−2t，
∴t＝5．
∴AE＝5−2＝3．
∴DE＝AD2−AE2＝52−32＝4．
∴tan∠DBE＝DEBE=42＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．
【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cs∠BDE的值等于（ ）
A．52B．53C．23D．34
【答案】B
【分析】如图所示，连接AD，由D为BC中点得出BD=DC=4，AD⊥BC，从而根据勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD，最后根据三角函数定义即可得出答案．
【详解】如图所示，连接AD，
∵AB=AC=6，BC=8，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=DC=4，
∴AD=AB2−BD2=62−42=25，
∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴cs∠BDE=cs∠BAD=ADAB=256=53．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过等量代换得出∠BDE=∠BAD，进而得出答案．
【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（ ）
A．12B．22C．32D．33
【答案】B
【分析】连接EF，求证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+∠2=45∘，即可求解．
【详解】解：连接EF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，
在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，
∴DE2=AD2+AE2=32+22=13，
∵AB=5，
∴BE=AB-AE=3，
∵CF=1，
∴BF=BC-CF=2，
在在Rt△EBF中，
∴EF2=BE2+BF2=32+22=13，
∴EF=DE
在Rt△CDF中，
∴DF2=DC2+CF2=52+12=26，
∵26=13+13，即：DF2=DE2+EF2，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠DFE=45°，
∴∠1+∠2=∠ADC−∠EDF=45∘，
∴sin∠1+∠2=sin45∘=22．
故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出△DEF是等腰直角三角形是解题的关键．
【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．22D．32
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】：连接CM，DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴CN=2,DN=18=32，
∴tan∠DCN＝DNCN＝322＝3，
∴∠APD的正切值为：3，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切函数的概念是解题关键 ．
【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13，则tan∠BCD的值是（ ）
A．13B．1C．223D．332
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可．
【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE
∴∠A=∠EDB
∴△ACB∽△DEB（AA）
∵BDAD=13，
∴BDAB=14
又∵AB=3，BC=1
∴BE=14，CE=34，BD=34
∵Rt△BDE
∴DE=BD2−BE2=22
∵BC=1
∴CE=BC−BE=34
∴tan∠BCD=DECE=223
故选C．
【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点．
【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．
【答案】7
【分析】如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，设FH=EH=y，根据勾股定理可得x2−y2=(x+42)2−(12−y)2,证明△EFD∽△CEA，可得4212−2y=2yx,解方程组，进而根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x，
∵CF=CE，CH⊥EF，
∴FH=EH，设FH=EH=y，
则有x2−y2=(x+42)2−(12−y)2,
整理得2x+3y=14①，
∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，
∴∠FED=∠ECA，
∴△EFD∽△CEA，
∴DFAE=EFEC，
∴4212−2y=2yx,整理得2x=6y−y2②，
由①②可得x=42，y=2，
∴CH=x2−y2=27，
∴tan∠CEF=CHEH=272=7，
故答案为7．
【点睛】本题考查翻折变换、求正切、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题
【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为 _____．
【答案】32
【分析】过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用锐角三角函数的定义可设DM＝a，则CM＝2a，然后证明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，从而利用相似三角形的性质可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，进而可得AC＝2a，CB＝43a，最后进行计算即可解答．
【详解】解：过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，
∴∠DMC＝90°，
在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12，
∴tan∠DCM＝DMCM＝12，
设DM＝a，则CM＝2a，
∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ACB∽△DMB，
∴ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，
∴AC＝2DM＝2a，
∴CB=23CM=43a，
∴ACBC＝2a4a3＝32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（ ）
A．3B．22+2C．4D．2+2
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，设AB=AC=x，则AD=x-2，根据等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根据BD为△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，运用∠C的正弦即可求得．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵sinC=sin45°=DECD=22，
∴x−22=22，
∴x=2+2，即AB=2+2．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．
【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A．32B．332C．6D．3
【答案】B
【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝23 ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出BGBC=GMBE ，则可求出答案．
【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23，
∴CN＝CD•sin60°＝23×32=3，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴BGBC=GMBE，
∴423=3BE，
∴BE＝323 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC=43，则AC的长为______．
【答案】41
【分析】取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，根据三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的运用求解即可解答．
【详解】解：取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，
∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠DAC，
在△ABD和△CAH，
AB=AC∠ABD=∠DACBD=AH，
∴△ABD ≅△CAH(SAS)，
∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，
又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，
∴∠DHC=∠BAC，
∴tan∠DHC=43，
又∵AD⊥CD，
∴DCHD=43，
∴HD=34DC，
∴AD=HC=2+34DC，
∵HD2+DC2=HC2，
∴34DC2+DC2=2+34DC2，
解得：DC=4，
∴AD=5，
∴AC=DC2+AD2=42+52=41．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．
(1)求证：四边形BCED是菱形．
(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cs∠ABC=0.6，请直接写出BE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)7.2
【分析】（1）通过三角形全等证明相应角和相应边相等，再根据CE∥BD证明内错角相等，从而得到CE=BD，从而证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）先连接CD，再根据锐角三角函数的比值求出BF的长度，从而求出BC的长度，再求出BH的长度，从而求出BE的长度．
(1)
解：∵△ABC≌△ABD
∴∠ABC=∠ABD，CB=BD
∵CE∥BD
∴∠CEB=∠ABD
∴∠CEB=∠ABC
∴CE=BC
∴CE=BD
∵CE=BD，CE∥BD
∴四边形BCED为平行四边形
∵CB=BD
∴四边形BCED为菱形
(2)
解：连接CD交AB与点H，如图所示
∵四边形BCED为菱形
∴BH=EH，BE⊥CD
∴∠CHB=90°
∵GF⊥BC
∴∠GFB=90°
∵BG=5，cs∠ABC=0.6
∴BFBG=0.6
∴BF=3
∵点F为BC中点
∴BC=6
∵cs∠ABC=BHBC=0.6
∴BH=3.6
∴EH=3.6
∴BE=7.2
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用，熟练掌握全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用是解答本题的关键．
【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ）
①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据三角形的中线性质，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分线性质得到AB=AC；②因为BC=2AC根据直角三角形特殊三角函数值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根据三角形中的特殊角的角边关系即可确定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中线上，根据等腰三角形三线合一可确定AD为中线，故重心在AD上．
【详解】①因为D为BC中点，所以S△ABD=S△ACD,又因为AD平分∠BAC，则点D到线段AB、AC的距离相等，所以AB=AC，故①正确；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B的正弦值为12，则∠B=30°，故②正确；
③若∠B=30°，且BC=2AC，过点C作线段AB的垂线段恰好与AC重合，则∠BAC=90°，故③正确；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根据三线合一，AD为BC边中线，则△ABC的重心在AD上．
故答案选D
【点睛】本题考查了三角形的中线性质，角平分线性质，特殊角三角行的角边关系，熟练掌握三角形的角平分线性质，中线性质，灵活运用三角形角边关系是解题的关键．
【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12+tanA−32=0，则∠C=__________度．
【答案】90
【分析】用非负数的性质和特殊角的三角函数值解答．
【详解】∵sinB−12+tanA−32=0，
∴sinB−12=0，tanA−3=0,
sinB=12，tanA=3，
∠B=30°，∠A=60°，
∠C=180-（∠A+∠B）=90°．
故答案为90．
【点睛】本题考查了非负数性质和特殊角的三角函数，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键．
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【答案】D
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性质得到AB=22，利用正弦的定义得到∠B=45°，则∠C=135°，从而得到∠C:∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，
∵菱形的周长为82，
∴AB=22，
在RtΔABH中，sinB=AHAB=222=22，
∴∠B=45°，
∵AB//CD，
∴∠C=135°，
∴∠C:∠B=3:1．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当∠POQ=______度时，线段OQ的最小值为______．
【答案】 30 2
【分析】过点P作PM⊥OA 于点M，设P(t,−33t+3)，由三角形相似可得MQ的长，设OQ=m ，则可得方程4t2−(6+3m)t+9=0，再由根的判别式与根的关系以及二次函数图像与性质即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA 于点M，
∵动点P在线段AB上，
∴设P(t,−33t+3) ，
∴PM=−33t+3 ，OM=t ，
∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90° ， ∠BOP=∠OQP，
∴∠POM=∠QPM ，
∵∠OMP=∠PMQ=90° ，
∴△OPM∽△PQM ，
∴PMQM=OMPM ，
∴MQ=PM2OM=(−33t+3)2t ，
设OQ=m ，
∵OQ=OM+MQ ，
∴m=t+(−33t+3)2t ，
整理得：4t2−(6+3m)t+9=0 ，
∴Δ=b2−4ac=36+36m+9m2−144≥0 ，
整理可得： m2+4m−12≥0，
设y=m2+4m−12，
则其与x轴的两个交点为(−6,0),(2,0) ，
∵a=1＞0 ，开口向上，
∴当y=m2+4m−12≥0时m≤−6 或者m≥2 ，
∵OQ=m≥0，
∴m≥2，
∴OQ的最小值为2，
将m=2 代入4t2−(6+3m)t+9=0，
可得：4t2−12t+9=0 ，
解得t=32 ，
∴PM=−33t+3=32，OM=32，
在Rt△POM中，tan∠POM=PMOM=32×23=33，
∴∠POM=30° ，
即∠POQ=30°．
故答案为：30，2．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式与根的关系等知识，牢固掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
【题型6 求特殊角的三角函数值】
【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
【答案】C
【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．
【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：
(1)3tan30°+tan45°+2sin30°．
(2)cs230°+tan30°×sin60°−2cs45°．
【答案】(1)3+2
(2)14
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．
（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．
（1）
解：原式＝3×33+1+2×12
=3+1+1
=3+2；
（2）
解：原式＝322 +33×32−2×22
=34+12−1
=14．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin∠ABC＝____．
【答案】12##0.5
【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得sin∠ABC的值．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC=90°−∠A=30，
∴sin∠ABC=sin30°=12．
故答案为∶12．
【点睛】考查了直角三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．

【答案】1
【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】解：连接AB，
由勾股定理得：AB＝12+32=10，AO＝12+32=10，OB＝22+42=25，
∴AB＝AO，OA2+AB2=102+102=20=OB2，
∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴tan∠AOB＝tan45°=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】
【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填序号）
①sin2α+cs2α=1；②cs2α=2csα；③当0°<α<β<90°时，0【答案】①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①如图，在Rt△ABC中，
∵sinα=BCAB，csα=ACAB，
∴sin2α+cs2α=BC2AB2+AC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1，故①正确；
②若α=30°，则csα=32，
2α=60°，cs2α=12
∴cs60°≠2cs30°
∴cs2α≠2csα，故②错误；
③当0°<α<β<90°时，sinα=对边斜边，
∴α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时，0④∵sinα=对边斜边，csα=邻边斜边，tnα=对边邻边，
∴sinα=csα⋅tanα，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅csα=18，且0°<α<45°，则csα−sinα的值为___．
【答案】32
【分析】首先证明sin2α+cs2α=1，把已知条件两边都乘以2，然后再根据cs2α+sin2α=1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出csα与sinα的取值范围，从而得到csα−sinα>0，然后开方即可得解．
【详解】解：如图，△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=ac，csA=bc，
而a2+b2=c2，
∴sin2A+cs2A=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1，
即sin2α+cs2α=1，
∵sinα·csα=18，
∴2sinα·csα=14，
∴cs2α+sin2α−2sinα·csα=1−14，
即(csα−sinα)2=34，
∵0°<α<45°，
∴ 22∴csα−sinα>0，
∴csα−sinα=32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好cs2α+sin2α=1，并求出csα−sinα>0是解题的关键．
【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α＝1．
要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）
②根据①中所画图形证明该命题．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】①点A为圆心，m长为半径，在射线AM上截取AC=m；以点C为圆心作弧，与射线AM交于两点，分别以这两点为圆心，大于其距离的一半为半径作两条弧，交于一点，连接点C与这一点，得到过点C的AM的垂线，该垂线交AN于点B，RtΔABC即为所求．
②根据三角函数的定义以及勾股定理证明即可．
【详解】解：①如图，Rt△ABC即为所求．
②∵在RtΔABC中，∠ACB=90°,
∴sinα=BCAB，csα=ACAB，AB2=BC2+AC2，
∴sin2α+cs2α=BC2AB2+AC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1．
【点睛】本题考查尺规作图、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，csα为方程x2+px+q=0的两根，则p、q应满足的关系式为_______.
【答案】p2−2q−1=0
【分析】由一元二次方程根与系数关系可得sinα+csα=-p①，sinαcsα=q②，①两边平方，代入②和sin2α+cs2α=1即可得到结论.
【详解】解：∵sinα，csα为方程x2+px+q=0的两个根，
∴sinα+csα=-p①，sinαcsα=q②，
①两边平方得：(sinα+csα)2=p2，
∴sin2α+cs2α+2 sinαcsα= p2，
∵sin2α+cs2α=1，sinαcsα=q，
∴1+2q= p2，
即p2-2q-1=0.
故答案为p2-2q-1=0.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系和同角三角函数的关系，熟记根与系数的关系和同角正弦和正切的关系是解决此题的关键.
【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】
【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于( )
A．25B．35C．45D．34
【答案】C
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sin2A+sin2B=1，sinB>0，
∵sinA=35，
∴sinB=1−(35)2=45.
故选C.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且csα＝1213，则sin(90°－α)的值是( )
A．513B．1213C．512D．125
【答案】B
【分析】根据：若α+β=90°，则csα=sinβ.
【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)= csα＝1213
故选B
【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键．
【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+csβ=3，则α=________．
【答案】60°
【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出csβ=sinα，求出sinα=32，即可得出答案．
【详解】解：∵α+β=90°，
∴csβ=sinα，
∵sinα+csβ=3，
2sinα=3，sinα=32，
∴锐角α=60°.
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出sinα的值．
【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：
tan7°⋅tan83°=1
tan22°⋅tan68°=1
tan29°⋅tan61°=1
tan37°⋅tan53°=1
tan45°⋅tan45°=1
根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tanα⋅tan90°−α=1
（1）当α=30°时，验证tanα⋅tan90°−α=1是否成立；
（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2b1≠b2，k1⋅k2≠0根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时k1和k2的数量关系，并画图证明．
【答案】（1）成立，见解析；（2）成立，见解析；（3）k1⋅k2=−1，见解析
【分析】（1）通过直角三角形两锐角互余求出另一角为60°，再利用特殊角三角函数值即可得证；（2）作直角三角形，利用正切的定义用线段比表示互余两角的正切值，发现其互为倒数，即可得证；（3）在直角坐标系中作两条直线相互垂直且垂足不在坐标轴上，一直线k>0,一直线k<0，在两直线与x轴围成的直角三角形中同（2）的方法即可得证．
【详解】（1）当α=30°时，90°−α=60°，
tanα⋅tan90°−α=tan30°×tan60°=1，
∴当α=30°时tanα⋅tan90°−α=1成立．
（2）答：成立．
证明：如右图，作Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AC为斜边，BA，BC为两直角边．
设∠A=α则∠C=90°−α，
tanα=tanA=BCAB，tan90°−α=tanC=ABCB，
tanα⋅tan90°−α=BCAB⋅ABCB=1，
∴tanα⋅tan90°−α=1成立．
（3）作如图平面直角坐标系xOy，l1⊥l2，垂足为A．
设l1交x轴于B，y轴于D，l2交x轴于C，y轴于E．
∵l1⊥l2于A ∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°−∠ACB
依题意得k1=tan∠ABC=DOBO，k2=−tan∠ACB=−OEOC，
k1⋅k2=tan∠ABC⋅(−tan∠ACB) =tan90°−∠ACB⋅(−tan∠ACB)
=−tan90°−∠ACB⋅tan∠ACB．
由（2）知tanα⋅tan90°−α=1．
∴k1⋅k2=−1．
【点睛】本题主要考查了正切的概念、一次函数增减性求参数、互余两角的三角函数关系．充分理解正切的概念和一次函数的系数与图像的关系是解答本题的关键．
【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【答案】A
【分析】首先把sin40°、cs16°转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1＞sin74°＞sin40°，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50°＞tan45°=1，即可得出正确选项．
【详解】解：∵sinα=cs90°−α（0≤α≤90°），
∴cs16°=sin90°−16°=sin74°，sin90°=1
∴1＞sin74°＞sin40°，
∵tan50°＞tan45°=1，
∴tan50°>sin74°>sin40°，
∴tan50°>cs16°>sin40°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．
【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA【答案】B
【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知32A．30°【答案】D
【分析】首先明确32=cs30°，再根据锐角范围内，余弦函数随角增大而减小进行分析．
【详解】∵32∵32=cs30°，
当0<α<90°，α越大，csα越小，
故B故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值．
【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡
B．csA的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误；
B选项，csA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确；
C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；
D选项，梯子倾斜程度与∠A的函数值有关，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小．
【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．
(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)点P运动几秒，DQ最短；
(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；
(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．
【答案】(1)20cm，82cm
(2)4秒
(3)17
(4)8+83或8+833
【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函数求出AD，即可得到BD；
（2）当PD⊥BC时，PD最短，即DQ最短，利用面积求出PD，即可得到运动时间；
（3）分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，证明△DGQ≌△PHD，推出QG = DH，DG = PH，利用面积求出DH=QG=2，求出DG即可求出结果；
（4）过点D作DM⊥BC于点M，则MD=MB=22BD=8，分两种情况，①当点Q在BC左侧时，得∠BPD =30°，求出PM 即可；②当点Q在BC右侧时，得到∠BPD =60°，求出PM即可．
（1）
解：∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，
∴BC=2AB=20cm，
∵tan∠ACD＝15，
∴ADAC=AD102=15，
解得AD=22cm，
∴BD=AB-AD=82cm，
故答案为：20cm，82cm；
（2）
如图，当PD⊥BC时，PD最短，即DQ最短，
∵S△BCD=12BC⋅PD=12BD⋅AC，
∴20PD=82×102，
得PD=8，
∴点P运动8÷2=4秒，
∴点P运动4秒时DQ最短；
（3）
分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，则BH= PH，∠QGD=∠PHD =90°，
∵∠QDG+ ∠DQG =90°，∠QDG+∠PDH=90°，
∴∠DQG=∠PDH，
又∵PD= QD，
∴△DGQ≌△PHD，
∴QG = DH，DG = PH，
∵S△BDQ=12BD⋅QG=8，BD=82，
∴DH=QG=2，
∵DG= PH= BH= BD -DH=72，
∴tan∠BDQ=QGDG=17；
（4）
过点D作DM⊥BC于点M，则MD=MB=22BD=8，
分两种情况，
①当点Q在BC左侧时，如图（1），
由题意知∠QPD =45°，
又∵ BPQ=15°，
∴∠BPD =30°，
∴PM =3MD=83，
∴BP= BM + PM=8+83；
②当点Q在BC右侧时，如图（2），
∵∠QPD =45°， BPQ=15°，
∴∠BPD =60°，
∴PM =33MD=833，
∴BP= BM + PM=8+833；
故BP的长度为8+83或8+833．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及掌握锐角三角函数是解题的关键．
【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为_______________．
【答案】320222
【分析】过点A2作A2C1⊥x轴，设∠OB0A1 =α，tan∠OB0A1=A1OB0O=12，进而分别计算出A1B1=2，A2B2=32，A3B3=92……找到规律即可求解．
【详解】解：∵B0(−2,0)，A1 (0,−1)
∴OB0=2,OA1=1
∴A1B0=5
∴tan∠OB0A1=A1OB0O=12
设∠OB0A1 =α
∵ △A1B1B2是等腰直角三角形，
∴A1B1O=45°
∴A1B1=2,B1B2=2A1B1=2,
∴B1−1,0，B21,0
∴B2B0=3
过点A2作A2C1⊥x轴，
∵ △A2B2B3是等腰直角三角形
∴A2C1=B2C1
则tanα=A2C1B0C1=12
即A2C1B2C1+B2B0=12,
∴A2C1=B2C1=3
∴A2B2=32
∴B2B3=2A2C1=6
∴B0B3=B0B2+B2B3=3+6=9
同理可得tanα=A3C2B0C2=12,得A3C2=9,
∴A3B3=92
……
∴ AnBn=3n2，
∴ A2022B2022=320222．
故答案为：320222．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，找到规律是解题的关键．
【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．
（1）求证：ΔADG∽ΔABF；
（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．
【答案】(1)证明见详解；(2)tan∠AGD =25；(3)结论是：DG=EG，且DG⊥EG，证明见详解．
【分析】（1）由ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可证∠DAG=∠BAF，可求ADAB=AGAF=22，可证△ADG∽△ABF；
（2）由∠BAC=90°，ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可证点D，A，F三点共线，证△ADG∽△ABF；可得∠AGD=∠AFB，可求BD=AD=2，AF=3，DF= =5，利用三角函数求tan∠AGD=tan∠AFB=DBDF=25；
（3）结论是：DG=EG，且DG⊥EG，证△ECG∽△BCF，可得BF=2EG，∠EGC=∠BFC，由△ADG∽△ABF得BF= 2 EG，∠AGD=∠AFB，可得DG=EG，∠DGE=90°即可．
【详解】（1）∵ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAG=∠DAB+∠BAC=∠CAF+∠DAB=∠BAF，
∴AD=ABcs45°=22AB，
∴ADAB=22，
∵点G是AC的中点，
∴AG=12AC，
∵AF= ACcs45°=22AC，
∴AF=22AC，
∴AGAF=12AC22AC=22，
∴ADAB=AGAF=22，又∠DAG =∠BAF，
∴△ADG∽△ABF；
（2）∵∠BAC=90°，ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAF=∠DAB+∠BAC+∠CAF=45°+90°+45°=180°，
∴点D，A，F三点共线，
∵∠DAB=90°即∠FDB=90°，
∴△DBF为直角三角形，
∵△ADG∽△ABF；
∴∠AGD=∠AFB，
∵AB=22，AC=32，
∴BD=AD=ABcs45°=22AB=22×22=2，AF= ACcs45°=22AC=22×32=3，
∴DF=AF+AD=3+2=5，
∴tan∠AGD=tan∠AFB=DBDF=25；
（3）结论是：DG=EG，且DG⊥EG，
理由如下：
∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，
∴∠BCE=∠ACB=45°，
∴EC=BCcs45°=22BC，
∴CEBC=22，
∵点G是AC的中点，
∴CG=12AC，
∴CF=AF= ACcs45°=22AC，
∴CF=22AC，
∴CGCF=12AC22AC=22，
∴ECBC=CGCF=22，
∴∠BCE+∠ACB=∠ACF+∠ACB，
即∠ECG=∠BCF，
∴△ECG∽△BCF，
∴BF=2EG，∠EGC=∠BFC，
由△ADG∽△ABF得BF=2EG，∠AGD=∠AFB，
∴DG=EG，∠AGD+∠EGC=∠AFB+∠BFC=90°，
∴∠DGE=90°，
∴DG=EG，且DG⊥EG．
【点睛】本题考查三角形相似判定，三点共线，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段中点，掌握三角形相似判定，三点共线，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段中点是解题关键．
【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF的数量关系是 ．
（2）【拓展探究】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，试猜想AE与CF的数量关系，并加以证明．
（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E为AC的中点，F为边BC上一点，CE＝CF，P为AB上一点（不与A、B重合），D为射线EF上一点，当△CDP为等腰直角三角形时．
①tan∠EFC＝ ．
②求出BP的长度．
【答案】（1）AE=CF；（2）AECF=33，证明见解析；（3）① 2；②BP=43或BP=143
【分析】（1）由∠ACE+∠BCF=∠ACE+∠CAE=90°可得∠BCF=∠CAE，证明△BCF≌△CAEAAS，进而结论得证；
（2）由∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°可得∠CAE=∠BCF，证明△ACE∽△CBF，则AECF=ACBC=tan30°，可证结论；
（3）①如图3，作EM⊥CF于M，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2求AC的值，EM是△ABC的中位线，求出EM，CM，FM的值，根据tan∠EFC=EMFM求解即可；②分情况求解：当∠CDP=90°时，如图4，过D作MN∥BC，交PB延长线于M，CN⊥MN于N，作EG⊥MN于G，交BC于K，利用全等与线段的数量关系求解；当∠CPD=90°时，如图5，过P作MN∥BC，交EF于K，作DM⊥MN于M，CN⊥MN于N，作EG⊥MN于G，EG⊥BC于H，同理可求解BP的值；当∠PCD=90°时，如图6，P在AB延长线上，不符合题意；进而可得BP的所有值．
【详解】解：（1）AE=CF．
∵∠ACE+∠BCF=∠ACE+∠CAE=90°
∴∠BCF=∠CAE
在△BCF和△CAE中
∵∠BCF=∠CAE∠CFB=∠AEC=90°CB=CA
∴△BCF≌△CAEAAS
∴AE=CF
故答案为：AE=CF；
（2）解：AECF=33．
证明如下：
∵∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°
∴∠CAE=∠BCF
又∵∠AEC=∠CFB=90°
∴△ACE∽△CBF
∴AECF=ACBC=tan30°=33．
（3）①解：如图3，作EM⊥CF于M，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=10
∵EM⊥CF，E为AC中点
∴CF=CE=12AC=5，EM是△ABC的中位线
∴EM=12AB=4，CM=12BC=3
∴FM=CF−CM=2
∴tan∠EFC=EMFM=2
故答案为：2．
②解：当∠CDP=90°时，如图4，过D作MN∥BC，交PB延长线于M，CN⊥MN于N，作EG⊥MN于G，交BC于K，
由题意知，EK=4，MD+DN=6，tan∠EDG=tan∠EFC=2，
∵△CDP是等腰直角三角形
∴由（1）可知△PMD≌△DNC
∴MD=NC，PM=DN
设MD=NC=x，则EG=4+x ，DG=4+x2
∵MD=MG−DG=3−4+x2
∴x=3−4+x2
解得x=23
∴DN=MN−MD=6−23=163
∴BP=PM−BM=163−23=143；
当∠CPD=90°时，如图5，过P作MN∥BC，交EF于K，作DM⊥MN于M，CN⊥MN于N，作EG⊥MN于G，EG⊥BC于H，

由题意知，EH=4，PN=6，tan∠EKG=tan∠EFC=2，
∵△CDP是等腰直角三角形
∴由（1）可知△PMD≌△CNP
∴MD=PN=6，PM=CN
设BP=PM=CN=x，则EG=4−x ，KG=4−x2，MK=x+3−4−x2
∵tan∠DKM=DMMK=tan∠EKG=2
∴6x+3−4−x2=2
解得x=43
∴BP=43；
当∠PCD=90°时，如图6，P在AB延长线上，不符合题意；
综上所述，BP的长为43或143．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正切值，勾股定理等知识．分类讨论与对知识熟练灵活的运用是解题的关键．定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
1