苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.9 解直角三角形（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题7.9 解直角三角形（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ）．A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）A． B． C． D．3．已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ）A． B．24C． D．4．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（  ）A． B． C． D．5．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ）A．km B．km C．km D．km6．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（  ）A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°7．如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为（    ）A．5 B． C． D．8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为A． B．2 C． D．39．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为(　　)A．( ,1) B．(1, ) C．( +1,1) D．(1,+1)10．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，）A．43 B．45 C．47 D．49二、填空题11．已知,一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进10cm,则此时小球距离地面的高度为______cm．12．如图，在△中，，,.则边的长为___________. 13．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝______．14．如果等腰△ABC中，，，那么______．15．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=___________．16．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是___________．17．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值________.18．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．三、解答题19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．20．如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号）21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．22．如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长．23．某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.  24．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）参考答案1．C【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．解：结合题意，得： ∴ 故选：C．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．2．A【分析】先利用互余的性质证出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出∠B的余弦，即可得出答案.解：∵CD⊥AB，∴∠A +∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A +∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝α，在Rt△ABC中，∵，∴cos∠B＝∴cosα＝.故选A【点拨】本题考查了求三角函数——余弦的值.在图形中找到α的等角是解题的关键.3．D【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可.解：根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D，∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6， ∴sin∠B=，∴AD=，∴S△ABC=故选D.【点拨】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键.4．C【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．解：∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根据勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．5．C【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=3km，在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°=3×=(km)，故选择：C．【点拨】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值．6．C【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．解：作DE⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC∴四边形ABED为平行四边形∴AB=DE=9∴sinC ∴∠C=30°∴∠ADC=150°∴较长的腰与底所成的角为30°或150°故选C．【点拨】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．7．C【分析】过点A作 于H，由折叠知识得： ，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解．解：过点A作 于H，由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，， ，在 中，，， ，， ， ， 四边形AHFG是矩形， ， ．故选：C．【点拨】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．C【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可解：∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=8，∴AD=4，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD•tan30°==，∴AE=AD-DE=，故选C.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.9．C【分析】根据菱形的性质，作轴，先求点坐标，然后求得点的坐标．解：作轴于点，四边形是菱形，，，又为等腰直角三角形，，，则点的坐标为，又，的横坐标为，的纵坐标为，则点的坐标为，．故选：C．【点拨】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，锐角三角函数，解题的关键是掌握菱形的性质，综合性较强．10．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.解：作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：∵∠ACD=135°∴∠ACN=45°在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°∴AN=CN=18在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，设∴解得或（不符合题意，舍去）∴AH=45∴HN=AH-AN=45-18=27∵四边形DGHN是矩形∴DG=HN=27在Rt△DEG中，∴故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.11．．【分析】利用勾股定理及坡度的定义即可得到所求的线段长．解：如图，由题意得，，设由勾股定理得，，即，解得则故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理及坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．12．【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题解：过A作AD⊥BC于D点，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.13．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．14．；【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度．解：过点作于点，过点作于点，，，，AB=AC=3，BE=EC=1，BC=2，又∵，∴BD=,，∵ ，∴，故答案为：.【点拨】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．15．105°．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=1，则tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案为105°．16．13cm【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．解：过点P作PE⊥OB∵CO=5cm，OD=8cm ，∴CD=OD-CO=3又∵PC=PD，PE⊥OB∴CE=∴OE=OC+CE=∴在Rt△POE中，故答案为：13cm．【点拨】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．17．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB= ，∴ ，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴= ，∴CE= ，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD== ，故答案为．【点拨】本题考查三角形函数，相似等知识，解题的关键是恰当添加辅助线．18．          【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案为：3；6-3．【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．sinA=，cosA=，tanA=．【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．解：由勾股定理得，，则，，．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.20．AB两点的距离是米．【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．解：从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，，，，，米， 是等腰直角三角形，米，在中，米，，，米， 答：AB两点的距离是米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．（1）详见分析；（2）2．【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明即可；（2）证是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在和中，，∴（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°， ∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．【点拨】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．解：（1）证明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．23．建筑物的高度为.【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，.∵，∴，∴设，，∴，∴，∴，.根据题意，，，在中，设，∵，∴，∴，∴，在中，∵，.又∵，∴，解得，∴.答：建筑物的高度为.【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.24．拦河大坝的高度为24m．【分析】过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可．解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中，∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，∴BM===，FN=x，∵AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，∴x-10=4+，解得：x=24，答：拦河大坝的高度为24m．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般．