苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题7.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D．2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）．A． B． C． D．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ）A． B． C．2 D．4．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在中，，则（    ）A． B．2 C． D．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长 5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在中，，若，则的长为（    ）A．8 B．12 C． D．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（    ）米A． B． C． D．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（    ）A． B． C． D．8．（2021·广东深圳·中考真题）计算的值为（    ）A． B．0 C． D．【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·模拟预测）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为（    ）A．40° B．30° C．20° D．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知是锐角，则的度数为（    ）A． B． C． D．【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：的结果是（    ）A． B． C． D．12．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|＋＋（）0的结果是（    ）A．6 B．12 C．2＋ D．2＋2【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（    ）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ）A． B． C． D．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）A． B．3 C．2 D．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里．A． B． C． D．18．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心处水平向前走米到点处，再沿着坡度为的斜坡走一段距离到达点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在点观察到观景塔顶端的仰角为再往前沿水平方向走米到处，观察到观景塔顶端的仰角是，则观景塔的高度为（  ）（tan22°≈0.4）A．米 B．米 C．米 D．米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，）A．43 B．45 C．47 D．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（    ）A． B． C． D．22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（    ）A． B．C． D．【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（    ）A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（    ）A．15海里 B．（15﹣15）海里C．（15﹣15）海里 D．15海里【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）A． B． C． D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（    ）．A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ）A．米 B．米 C．米 D．米28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（    ）A．B． C． D．二、填空题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长 33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角中，，根据作图痕迹，若，，则________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣）﹣2﹣4sin30°＝___．36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：________．【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则∠α等于_____________度．38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sinA＝，则tanA＝_____．【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：________．【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在中,若，则是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝_____．【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，是等边三角形，延长到点，使，连接．若，则的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度___________m．（取值1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点处，如图所示，直线表示公路，一辆小汽车由公路上的处向处匀速行驶，用时5秒，经测量，点在点北偏东45°方向上，点在点北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为______（结果精确到）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故选：D．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选： D．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．解：连接BD，如图所示：根据网格特点可知，，∴，∵， ，∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．故选：D．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．解：∵∠C=90°，，∴，，故C正确．故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.6．C【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．解：∵PA⊥PB，∴∠APC=90°，∵PC=50米，∠PCA=44°，∴tan44°=，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=，∵α为锐角，∴α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：∵是锐角，∴=30°，故选A．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式．故选：．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝ ﹣（2﹣）+3+1＝﹣2++3+1＝2+2．故选：D．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键.13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．解：∵，都是锐角，且，，∴，，∴，∴的形状是直角三角形．故选D．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．15．D【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故选D．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，进而问题可求解．解：由题意得：MN垂直平分AD，，∴，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，∴AD=4，AF=2，，∴；故选A．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．解：作于点，甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，，，，乙货船从港沿西北方向出发，，，，答：港与港相距海里，故选：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口.18．A【分析】作交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,根据AB的坡度，设表示出 在中， 在中， 根据 列出式子，求出的值，即可求解.解：如图，作交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形, 可以假设 则， 在中， 在中， 解得： 答：观景塔的高度DE为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.解：作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：∵∠ACD=135°∴∠ACN=45°在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°∴AN=CN=18在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，设∴解得或（不符合题意，舍去）∴AH=45∴HN=AH-AN=45-18=27∵四边形DGHN是矩形∴DG=HN=27在Rt△DEG中，∴故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，  ∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，∴设AE=xcm，则AD=3x，∵∠AEB=120°，∴∠EAB=30°，∴AB=2AF=，∵六角星纸板的面积为cm2  ， ∴AB•AD=，即，解得x=，∴AD=，AB=3，∴矩形ABCD的周长=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：， 解得，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：∠ABD=∠EAB=60°，进而得出∠ABC=∠BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：∠EAC=80°，∠EAB=60°，∠DBC=40°，BC=40×2=80（海里），∴∠BAC=80°-60°=20°，∠BCA=60°，∵AE∥BD，∴∠ABD=∠EAB=60°，∵∠DBC=40°，∴∠ABC=60°-40°=20°，∴∠ABC=∠BAC=20°，∴BC=AC=80（海里）．∴C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x海里，则x+x+2x＝AB，可得：x＝，可知AS＝（15﹣15）海里．解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，设CS＝x海里，在Rt△ASC中，∠CAS＝30°，∴AC＝x（海里），AS＝DS＝BD＝2x（海里），∵AB＝30海里，∴x+x+2x＝30，解得：x＝，∴AS＝（15﹣15）海里．故选：B．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．解：∵，，∴，解得：，则．故选：A．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：∵米∴米故选：D．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC= sinαAB=12 sinα（米），故选：A．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得故答案为：．【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，∵sinB＝，∴∠B＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．【分析】利用CDAB，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，可得sin∠ACD==，从而可得答案．解：如图：∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC＝AB＝3．在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．故答案为：．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案为：．【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．33．【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．解：∵∠C=90°，AC=3cm，，∴，∴BC=4cm，∴，由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．解：在中，在矩形中，故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36．【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：故答案为：．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．37．75【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：∵sin（α+15°）=1，∴α+15°=90°，∴α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，然后求出tanA的值．解：∵sinA＝，∴∠A＝30°，则tanA＝．故答案为：．【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．39．4##【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+，故答案为：4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：，．40．【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式．故答案为：．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案.解：∵∴，∴∠A=30°，∠B=30°∴△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，则cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键．44．105°．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=1，则tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案为105°．45．3.5【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．解：∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴（m）．故答案为：3.5.【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC＝BC，需要熟练掌握三角形函数定义，此题难度不大．46．（2+2）【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC•cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2+2（km），故答案是：（2+2）．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．47．20【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，由题意得：，，，在中，，，在中，，，在中，，即这架无人机的飞行高度大约是，故答案为：20．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．48．没有超速【分析】作⊥直线于，根据求出BC，进而求出小汽车的速度，即可进行判断.解：作⊥直线于，在中，，∴，在中，，则，∴（米），小汽车的速度为：（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为没有超速．【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.49．14．【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可．解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，（米），（米）；故答案为：14．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算．50．【分析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°∴∠CAD=30°∴△ADC是等腰三角形，∴DA=DC又DC=5米故AD=5米在Rt△ADB中，∠ADB=60°∴AB=sin60°×AD=米故答案为：【点拨】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键51．50【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，∴，∴BP=，故答案为：50．【点拨】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．52．50【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD=AC=50海里．解：过点A作AD⊥BC于D，根据题意得，∠ABC=30°，∠ACD=60°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°=∠ABC．∴CA=CB．∵CB=50×2=100（海里），∴CA=100（海里）．在Rt△ADC中，∠ACD=60°，∴（海里）．故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．故答案为：50【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，点到直线的距离垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，53．50【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，∴，∵BC＝30m，∴，解得：AB=50m，即迎水坡面AB的长度为50m．故答案为：50【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．54．【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．解：设BC=x，则AB=7x， 由题意得： ，解得：x=，故答案为：．【点拨】u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．55．4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∵，∴，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴，即的长度为4.4m．故答案为：4.4m.【点拨】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．56．326【分析】根据正切的定义即可求出BC．解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，，∴（米）故答案为：326【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．