人教版七年级数学上册常考点提分精练专题11数字类规律探索(原卷版+解析)

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专题11数字类规律探索1．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（       ）A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60）2．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（　　）A．1326 B．1327C．1328 D．13293．a不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（       ）A． B． C．4 D．4．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（   ）A．3 B．5 C．7 D．95．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（       ）A． B． C． D．6．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n个数记为，则与斐波那契数列中的第________个数相同．7．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的数为_____，这样第_____次移动到的点到原点的距离为2020．8．观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．9．把正偶数从小到大按如下规律排列：第一组：2，4； 第二组：6，8，10，12 第三组：14，16，18，20，22，24 第四组：26，28，30，32，34，36，38，40 ……现用 An=（i，j）表示正偶数 n 是第i组第j 个数（从左到右数），如 A10=（2，3）， A20=（3，4），若 A2022=（a，b），则 a= ________．b= ________．10．已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|…依次类推，则a2020的值为_____________．11．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？12．观察：下列算式：   ①32－4×12＝5，②52－4×22＝9，③72－4×32＝13，…尝试：请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；发现：请你把这个规律用含字母的式子表示出来；应用：计算40412－4×20202= ．13．观察下列式子中的运算规律：……(1)观察规律，写出第11个等式；(2)设表示自然数，请根据这个规律把第个等式表示出来，并利用所学知识来验证这个等式成立．14．观察下列等式的规律，解答下列问题：；；；；(1)第5个等式为 ，第n个等式为 （用含n的式子表示，n为正整数）；(2)设，，，……，，求的值．15．正整数按照如图规律排列，请问 ①18这个数排在第 排，第 个位置，100 这个数排在第 排，第 个位置．②7这个数在第4排第1个，可以记作（4,1），则50这个数可以记作（ ）,那么一个数可以记作（10,3）,则这个数为 ．③请问第n排的最后一个数字是 ，第n排的第二个数字是 （请用含n的式子表示）.16．如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．(1)当时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．①数轴上原点的位置可能在（       ）A．在点A左侧或在A、B两点之间B．在点C右侧或在A、B两点之间C．在点A左侧或在B、C两点之间D．在点C右侧或在B、C两点之间②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．(2)将点C向右移动个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，80时，对应的a的值分别为，，，…，，求的值．17．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．18．将连续的偶数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a其余各数分别用b，c、d表示：(1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：b＝______；c＝_____；d＝______；(2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）；(3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由；（列方程解答）专题11 数字类规律探索1．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（       ）A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60）【答案】D【分析】根据图中的数字，探究发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2021在第多少排，然后即可写出表示2021的有序数对，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，则前n排的数字共有个数，∵当n=64时，=2080，∴第64排第1个数为2080，此排数字从2080由大到小排列，∵2080-2021+1=60，∴表示2021的有序数对是（64，60），故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，探究发现数字的变化特点，写出表示2021的有序数对．2．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（　　）A．1326 B．1327C．1328 D．1329【答案】A【分析】将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．【详解】解：将所给数列分为两个新数列，第1个数列由a1＝1，a3＝3，a5＝6，a7＝10……组成，∵a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，a7=10=1+2+3+4，∴a99是新数列第50项，a99=1+2+3+…+50=1275；第2个数列由a2=2，a4=3，a6=4，a8=5……组成，∵a2=2，a4=3，a6=4，a8=5，∴a100是新数列第50项，a100=51，∴a99+a100=1275+51=1326，故选A．【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．3．a不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（       ）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2022除以3，根据余数的情况确定出与a2022相同的数即可得解．【详解】∵∴a2=，a3=，a4=，…∴每3个数为一周期循环，∵2022÷3=674，∴a2022=a3=4，故选：C．【点睛】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（   ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．【详解】解：由题意可知，，，，，，，，，，即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，，的末位数字与的末位数字相同，为2；由题意可知，，，，，，，以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，，所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D．【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题的关键．5．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是，第9行的第一个数是，第10行的第一个数是 ；再按照上面的规律，可得：第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：，第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：，第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：，第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：，则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：．故选：C．【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律．6．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n个数记为，则与斐波那契数列中的第________个数相同．【答案】2022【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列中的1可记作a2，这样，，…，依次化简，结论可得．【详解】解：∵斐波那契数列中，∴1=，∴……故答案为：2022.【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键．7．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的数为_____，这样第_____次移动到的点到原点的距离为2020．【答案】     7     1346【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解．【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点B向右移动12个单位长度至点E，则E表示的数为﹣5+12＝7；…；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1），当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：，当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）＝﹣2020，n＝（舍去），当移动次数为偶数时，＝2020，n＝1346．故答案为：7，1346．【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键．8．观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．【答案】          【分析】由题意推导可得an=，即可求解．【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，∵，∴2+=7，∴a4=，∵，∴a5=，同理可求a6=，∴an=，∴a2022=，故答案为：，．【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．9．把正偶数从小到大按如下规律排列：第一组：2，4； 第二组：6，8，10，12 第三组：14，16，18，20，22，24 第四组：26，28，30，32，34，36，38，40 ……现用 An=（i，j）表示正偶数 n 是第i组第j 个数（从左到右数），如 A10=（2，3）， A20=（3，4），若 A2022=（a，b），则 a= ________．b= ________．【答案】     32     19【分析】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为 2×2×(1+2+3⋯+n)=2n(n+1) ，计算n=31时即第31组最后一个偶数为1984，继而得到答案．【详解】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为 2×2×(1+2+3⋯+n)=2n(n+1) ，∵第31组最后一个偶数为 2×31×32=1984 ，而 ，∴，故填：32，19．【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含n的代数式表示规律由此解决问题是解题的关键．10．已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|…依次类推，则a2020的值为_____________．【答案】【分析】先求出前6个值，从而得出，据此可得答案．【详解】解：由题意得：a1=0， a2=-|a1+1|=-1， a3=-|a2+2|=-1， a4=-|a3+3|=-2， a5=-|a4+4|=-2， a6=-|a5+5|=-3， …， 所以a2020的值为-1010． 故答案为：-1010．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，从而得出的规律．三、解答题(共0分)11．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？【答案】(1)正数(2)B和D的位置(3)负数，D的位置．【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；（2）观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数；（3）∵2023÷4=505......3，∴第2023个数排在D的位置，是负数．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．12．观察：下列算式：   ①32－4×12＝5，②52－4×22＝9，③72－4×32＝13，…尝试：请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；发现：请你把这个规律用含字母的式子表示出来；应用：计算40412－4×20202= ．【答案】尝试：第④个算式：，第⑤个算式:；发现：；应用：8081【分析】尝试：根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；发现：将发现的规律，由特殊到一般，用含字母的式子表示出来，得出结论；应用：根据规律进行计算即可求解．【详解】解：尝试：第④个算式：，第⑤个算式:，发现：，应用：40412－4×20202=，故答案为：8081．【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键．13．观察下列式子中的运算规律：……(1)观察规律，写出第11个等式；(2)设表示自然数，请根据这个规律把第个等式表示出来，并利用所学知识来验证这个等式成立．【答案】(1)113×117＝11×12×100＋21(2)（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21；验证见解析【分析】（1）根据已知条件得出用含n的式子表示运算规律，再写出第11个等式即可；（2）由（1）得出（10n＋3）（10n＋7）＝100n（n＋1）＋21；把式子左右两边进行运算对比即可．（1）解：∵13×17＝1×2×100＋21＝1×（1＋1）×100＋21；23×27＝2×3×100＋21＝2×（2＋1）×100＋21；33×37＝3×4×100＋21＝3×（3＋1）×100＋21；…∴第n个式子为：（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21，∴第11个等式为：（10×11＋3）×（10×11＋7）＝11×（11＋1）×100＋21，即113×117＝11×12×100＋21．（2）根据解析（1）可知，用含n的式子表示运算规律的式子为：（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21，∵（10n＋3）（10n＋7）＝100n2＋70n＋30n＋21＝100n2＋100n＋21，n（n＋1）×100＋21＝100n2＋100n＋21，∴左边＝右边，故原等式成立．【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是根据所给的等式得出规律．14．观察下列等式的规律，解答下列问题：；；；；(1)第5个等式为 ，第n个等式为 （用含n的式子表示，n为正整数）；(2)设，，，……，，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，找出规律即可作答；（2）将分别表示出来即可进行计算．（1）根据题意得，、，故答案为：，；（2）．【点睛】本题主要考查了找出式子的变化规律，仔细读题找出其中的规律是解题的关键．15．正整数按照如图规律排列，请问 ①18这个数排在第 排，第 个位置，100 这个数排在第 排，第 个位置．②7这个数在第4排第1个，可以记作（4,1），则50这个数可以记作（ ）,那么一个数可以记作（10,3）,则这个数为 ．③请问第n排的最后一个数字是 ，第n排的第二个数字是 （请用含n的式子表示）.【答案】①6,3,14,9; ②（10,5），48; ③，.【详解】试题分析：①由表可知，第6排第1个数是16，故第3个数是18；由第13行的最后一个为91，故100在第14行，第14行第1个数是92.所以100是第9个数；②根据1+2+3+…+n=知，第n-1排最后一个数是，第n排最后一个数是.易知第9排最后一个数是45，第10排的第一个数是46，故50这个数可记作（10，5），则（10，3）表示的数是48；③先计算出第n行前面共有个数，然后得到第n行的第二个数字和最后一个数字.试题解析：①     6，3，14，9；②（10，5），48     ③∵第n行前面共有1+2+3+⋯+n-1=，∴第n行的最后一个数字为+1+n-1=，第n行的第二个数字为：+2=.16．如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．(1)当时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．①数轴上原点的位置可能在（       ）A．在点A左侧或在A、B两点之间B．在点C右侧或在A、B两点之间C．在点A左侧或在B、C两点之间D．在点C右侧或在B、C两点之间②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．(2)将点C向右移动个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，80时，对应的a的值分别为，，，…，，求的值．【答案】(1)①B；②(2)-1720【分析】（1）①把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；②分三种情形构建方程即可解决问题．（2）依据题意得，b=a+1，c=b+n+1=a+n+2，d=c+n+2=a+2n+4．根据a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，即可得出用含n的式子表示a，由a为整数，分两种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时，得出a1=-2，a2=-2，a3=-3，a4=-3，…，，，从而得出．（1）①B把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，∵a、b、c三个数的乘积为负数，∴从而可得出在在点C右侧或在A、B两点之间；选B．②，当时，（不满足三个数积为负，舍去）当时，（不满足三个数积为负，舍去）当时，综上，．（2）依据题意得，，，∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，∴a、b为负，c、d为正．（排除四个数同正或同负情况）∴或．【排除，，（变分数），（c变原点）四种情况】∴或；∵a为整数，n为正整数，∴当n为奇数时，，当n为偶数时，．∴，，，，…，，，∴．【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．17．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．【答案】(1)16，20；，4n＋4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的白砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16图4的白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图灰砖的数量为图1白砖的数量为8=图2白砖的数量为12=图3白砖的数量为16=图4白砖的数量为20=得图白砖的数量为故答案为：16，20；，4n＋4．（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1∴白砖数量为，灰砖数量为∴=∴∴∴，或（舍去）故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1故答案为：存在．【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．18．将连续的偶数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a其余各数分别用b，c、d表示：(1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：b＝______；c＝_____；d＝______；(2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）；(3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由；（列方程解答）【答案】(1)；；(2)；(3)会，．【分析】（1）随机用正方形圈四个数，观察其规律即可发现a、b、c、d的关系；（2）利用（1）中结论可知：将这四个数相加即可；（3）假设会，则利用求出a的值，a应为偶数．(1)解：通过观察可以发现，，，(2)解：利用（1）中结论可知：；(3)解：假设会，则当时，，，∵22是偶数，∴和会等于112．【点睛】本题考查用代数式表示数的规律，数字规律探索，解该类题型的关键是要发现其中的规律，之后的题就会迎刃而解．