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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第05讲乘法公式(2大考点8种解题方法)特训(原卷版+解析)
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第05讲 乘法公式（2大考点8种解题方法）考点考向1.平方差公式：2.完全平方公式考点精讲考点一：平方差公式题型一：运用平方差根式进行计算一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）二、填空题3．（2021·上海金山·七年级期中）计算：__________．4．（2021·上海奉贤·七年级期中）如果a、b互为相反数，那么a2﹣b2的值是 ___．5．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：________．6．（2021·上海·七年级期中）计算：______．7．（2021·上海·七年级期中）利用乘法公式计算：-20.3×19.7=__________三、解答题8．（2021·上海奉贤·七年级期中）简便计算：23×54+29×31．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）用乘法公式计算：10．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）计算：．11．（2019·上海奉贤·七年级期末）计算：．12．（2021·上海·七年级期中）计算：题型二:平方差公式与几何图形一、单选题1．（2021·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A． B．C． D．．2．（2021·上海·七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）3．（2019·上海市真北中学七年级阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A． B．C． D．4．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A．B．C．D．5．（2022·上海·七年级期末）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．二、填空题6．（2022·上海·七年级期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．三、解答题7．（2022·上海·七年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）8．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．画出拼好的长方形，并标注相应的数据；求拼好后长方形的周长；若，，求拼好后长方形的面积．9．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．10．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为的正方形的边长增加，得到一个边长为的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为的正方形的面积.方式1：方式2：因此，（1）请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证；（2）如图3，在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证.考点二：完全平方公式题型三：运用完全平方公式进行计算一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）无论x、y为任何实数，多项式x2+y2−4x−2y+8的值总是( )A．正数 B．负数 C．零 D．不确定二、填空题2．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：＝____________．3．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）已知，则=_____________三、解答题4．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．6．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．7．（2021·上海松江·七年级期中）计算：8．（2021·上海黄浦·七年级期中）先化简，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．9．（2022·上海·七年级专题练习）求的值，其中．10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）先化简，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．11．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称为这个数为“和谐数”．例如：因为13＝22+32，所以13是“和谐数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“和谐数”．（1）判断53是否为“和谐数”；（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“和谐数”，并说明理由．12．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．（1）用a，b表示的面积，并化简；（2）如果点M是线段的中点，联结、、，①用a，b表示的面积，并化简；②比较的面积和的面积的大小．题型四：通过对完全平方公式变形求值一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断二、填空题2．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：，则____．3．（2022·上海·七年级专题练习）若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=____________4．（2021·上海·七年级期中）已知：，计算：______．5．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）若不论取何值，二次三项式的值恒大于10，则的取值范围是___．三、解答题6．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，求的值．8．（2022·上海·七年级专题练习）已知a、b满足，求的值．9．（2021·上海松江·七年级期中）观察下列各式：，，，……（1）按此规律，则______；（2）若，你能根据上述规律求出代数式的值吗？（3）若，直接写出代数式______．10．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）_______（2）__________利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．已知：，．计算下列各式：（3）；（4）；（5）．11．（2021·上海·七年级期中）阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．题型五：求完全平方公式中的字母系数一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知是一个完全平方式，那么m为（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A．4x B．4 C．4 D．3．（2021·上海·七年级期中）如果是一个完全平方式，则n值为（ ）A．3； B．-3； C．6； D．±3．二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则的值是 ___________．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如果二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是 ___．6．（2019·上海嘉定·七年级期中）如果是完全平方式，则m的值是________．7．（2021·上海·七年级期中）若是完全平方式，则常数=__________8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习） (3x+____)2=________________；9．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则m=_____.10．（2021·上海·七年级期中）已知关于的代数式是完全平方式，则____________11．（2021·上海黄浦·七年级期中）多项式恰好是另一个多项式的平方，则________．题型六：完全平方式在几何图形中的应用一、填空题1．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____．二、解答题2．（2021·上海·七年级期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或 a2+2ab+b2∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）3．（2021·上海·七年级期中）如图,用两个边长分别为a，b的正方形，和两个a×b的长方形，拼成图案（1）,图案(1)里含有一个乘法公式，你发现了吗？请写出来: .(2)请你用同样的四个图形，再拼出一个图案来，要求也可以说明这个公式，并且同时是对称图形.(3)现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）题型七：整式的混合运算一、解答题1．（2022·上海·七年级期末）计算：.2．（2021·上海杨浦·七年级期中）先化简，再求值：其中3．（2021·上海·七年级期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x= ，y=2．题型八：完全平方公式在几何图形中的应用一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期中）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A．ab B． C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．3．（2019·上海·七年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____．三、解答题4．（2021·上海·七年级期中）阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．5．（2020·上海闵行·七年级期中）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．6．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .7．（2019·上海嘉定·七年级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个大小、形状都一样的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.求：（1）用a和b的代数式表示正方形ABCD的面积S；（2）当a=4，b=3时，求S的值. 8．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，求的值；(2)填空：①若，则＝ ；②若，则＝ ．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．巩固提升选择题1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.； B. ； C. ； D..2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）A. (-a+b)(a-b) B. -(-a-b)(b-a)C. (a+b)(-a+b) D. (a-b)(a+b)3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.； B. ； C. ； D..4.（张江2019期中23）多项式的最小值为（ ）A. B. C. D. 5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（ ）A. B. C. D. 6.（延安中学2019期中19）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.x; B.-x; C.x4; D.-x4.二、填空题7.（嘉定区2020期末10）计算：_____________.8.（莘松中学2019期中12）计算：____________.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a+2b﹣c）2＝ ．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：= .11.（卢湾中学2020期末10）如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）．12.（西延安2019期中14）已知：则_________.13.（张江2019期中13）已知，，代数式的值是__________14.（张江2019期中17）已知实数、满足，则的最小值是__________15.（西延安2019期中26）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）三、解答题16.（川中南2019期中23）利用乘法公式计算：.17.（西延安2019期中20-4）计算:（简便运算）18.（浦东南片联合2019期中22）计算：.19.（2019宝教院附中10月考24）计算：.20.（浦东南片联合2019期中27）已知：，求的值.21.（张江2019期中33）已知：，求的值．22.（浦东南片联合2019期中25）先化简，后求值：，其中.23.（2019徐汇中学10月考31）如图，已知线段AB=2，点P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作两个正方形.（1）如果AP=x, 求两个正方形的面积之和S；（2）当点P是AB的中点时，求两个正方形的面积之和；（3）当点P不是AB的中点时，比较（1）中的S与（2）中的大小.24.（卢湾中学2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积. 第05讲 乘法公式（2大考点8种解题方法）考点考向1.平方差公式：2.完全平方公式考点精讲考点一：平方差公式题型一：运用平方差根式进行计算一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可．【详解】解：A. =y2-x2，∴不符合题意；B. ，∴不符合题意；C. ∴不符合题意；D. ，不能用平方差公式进行计算，∴符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）【答案】D【分析】根据平方差公式的形式判断即可；【详解】，故A不符合题意；（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确分析判断是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海金山·七年级期中）计算：__________．【答案】9960【分析】根据平方差公式得到原式=（99.8+0.2）（99.8-0.2），然后先计算括号得到原式=100×99.6，这样易得到结果．【详解】解：原式=（99.8+0.2）（99.8-0.2）=100×99.6=9960．故答案为：9960．【点睛】本题考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，比较基础．4．（2021·上海奉贤·七年级期中）如果a、b互为相反数，那么a2﹣b2的值是 ___．【答案】0【分析】根据相反数的定义得到a+b=0，再把a2﹣b2变形即可求解．【详解】∵a、b互为相反数，∴a+b=0∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=0×（a-b）=0故答案为：0．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．5．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：________．【答案】【分析】在原式前乘以（2-1），故可根据平方差公式进行求解．【详解】=（2-1）====．故答案为：．【点睛】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．6．（2021·上海·七年级期中）计算：______．【答案】【分析】直接利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式=[（x-（2y-3））][x+（2y-3）]=x2-（2y-3）2=x2-4y2+12y-9【点睛】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练运用熟练应用乘法公式是解题关键．．7．（2021·上海·七年级期中）利用乘法公式计算：-20.3×19.7=__________【答案】【分析】将-20.3看成-20-0.3，19.7看成20-0.3，然后使用平方差公式求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的运算，属于基础题，计算过程中细心即可．三、解答题8．（2021·上海奉贤·七年级期中）简便计算：23×54+29×31．【答案】5899．【分析】利用同底数幂的乘法逆运算54变为53×5，23×53=（2×5）3再与5相乘，而29×31=（30-1）（30+1）利用平方差公式计算，把它们相加即可．【详解】解：23×54+29×31，=，==，=，=5899．【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆运用，积的乘方逆运用，平方差公式的运用，掌握同底数幂的乘法的逆运用，积的乘方逆运用，平方差公式的运用是简算的关键．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）用乘法公式计算：【答案】【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则进行解题．10．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）计算：．【答案】【分析】根据平方差公式运算即可；【详解】原式；【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确分析计算是解题的关键．11．（2019·上海奉贤·七年级期末）计算：．【答案】．【分析】利用平方差公式展开即可．【详解】原式 ．【点睛】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解题关键．12．（2021·上海·七年级期中）计算：【答案】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．题型二:平方差公式与几何图形一、单选题1．（2021·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A． B．C． D．．【答案】C【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．【详解】解：如图，由于S长方形B=S长方形C，因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C，而S长方形A+S长方形B=（a+b）（a-b），S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D-S长方形D，=a2-b2，∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，故选：C．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）【答案】C【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【详解】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键在于能够根据题意得到两部分的阴影面积相等．3．（2019·上海市真北中学七年级阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝（a＋b）（a−b）．即：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．所以验证成立的公式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2＝（a＋b）（a−b）．4．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别用面积公式表示出阴影部分图形的面积和梯形面积即可得出答案.【详解】∵左边阴影面积为右边梯形面积为∴故答案选择A.【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义：.5．（2022·上海·七年级期末）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．【答案】A【分析】图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，由此即可解答.【详解】∵图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.故选:A【点睛】本题考查了平方差公式的几何表示法，根据两个图形的面积相等列出等式是解决问题的关键.二、填空题6．（2022·上海·七年级期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．【答案】3【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积．【详解】解：设大、小正方形边长为a、b，则有a2=15，阴影部分面积 ，即a2-b2=12，可得b2=3，即所求面积是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．三、解答题7．（2022·上海·七年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）【答案】(1)①；②a和a＋6(2)12【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．(1)解：① 根据题意，得：答：裁剪正方形后剩余部分的面积为；②拼成的长方形的宽是：a＋3－3＝a，长为a＋6，答：拼成的长方形的边长分别为a和a＋6；(2)解：设盒子底部长方形的长BC＝x＋4，则宽AB＝x， 则，，所以．故答案为12．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．8．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．画出拼好的长方形，并标注相应的数据；求拼好后长方形的周长；若，，求拼好后长方形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）72.【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据矩形的周长公式计算即可；（3）根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示；拼好后长方形的周长；拼好后长方形的面积，当，，．【点睛】本题考查平方差公式，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．10．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为的正方形的边长增加，得到一个边长为的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为的正方形的面积.方式1：方式2：因此，（1）请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证；（2）如图3，在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证.【分析】（1）先根据大正方形的边长求出面积，再根据部分面积之和等于整体面积计算大正方形的面积，根据面积相等，列出等式.（2）图3剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，剩余部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据它们的面积相等可得等式．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：用两种不同的方式表示在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形后剩余的面积.方式1： 方式2： 因此，【点睛】本题是一道利用面积验证完全平方公式以及平方差公式的题目，需要掌握图形面积的表示方法.考点二：完全平方公式题型三：运用完全平方公式进行计算一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）无论x、y为任何实数，多项式x2+y2−4x−2y+8的值总是( )A．正数 B．负数 C．零 D．不确定【答案】A【分析】多项式配方变形后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：x2+y2-4x-2y+8=（x2-4x+4）+（y2-2y+1）+3=（x-2）2+（y-1）2+3≥3＞0，多项式的值总是正数．故选：A．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题2．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：＝____________．【答案】【分析】根据完全平方公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）已知，则=_____________【答案】14【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．【详解】解：∵∴又∵∴∴即故答案为：14．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．三、解答题4．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【答案】【分析】先多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后根据整式的加减计算法则进行求解即可．【详解】解： ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．【答案】．【分析】将式子转化为，再根据平方差公式和完全平方公式进行求解即可．【详解】解：（3a﹣2b＋c）（3a＋2b﹣c），，，．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．6．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．【答案】【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据整式的加减运算即可【详解】【点睛】本题考查了整式的乘法运算，掌握乘法公式是解题的关键．7．（2021·上海松江·七年级期中）计算：【答案】【分析】根据完全平方公式“”进行解答即可得．【详解】解：===【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．8．（2021·上海黄浦·七年级期中）先化简，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．【答案】，【分析】根据平方差公式和完全平方公式，以及单项式乘以多项式的运算进行化简，再将字母的值代入求解即可．【详解】原式当时，原式【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确的计算是解题的关键．9．（2022·上海·七年级专题练习）求的值，其中．【答案】【分析】首先把整式化简，然后把代入化简后的整式中并计算，即可得出结果．【详解】解：原式，把代入，可得：原式，【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解本题的关键在利用整体代入计算整式的加减．10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）先化简，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．【答案】ab-b2， -18【分析】先利用单项式和多项式的相乘、完全平方公式、同类项的合并将式子化简，然后代值计算即可．【详解】解：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2=a2-ab-(a2-2ab+b2)，=a2-ab-a2+2ab-b2，=ab-b2，当a=，b=-4时原式=×（-4）-（-4）2=-2-16=-18．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，单项式和多项式的相乘，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称为这个数为“和谐数”．例如：因为13＝22+32，所以13是“和谐数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“和谐数”．（1）判断53是否为“和谐数”；（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“和谐数”，并说明理由．【答案】（1）是；（2）是，理由见解析【分析】（1）根据53＝22+72，所以判断53是“和谐数”．（2）先把（x2+9y2）（4y2+x2）展开，再变形为（x2+6y2）2+（xy）2，然后根据“和谐数”的定义进行判断．【详解】解：（1）53为“和谐数”．∵53＝4+49＝22+72，∴53是“和谐数”．（2）（x2+9y2）（4y2+x2）（x，y是正整数）是“和谐数”．∵（x2+9y2）（4y2+x2）＝x4+13x2y2+36y4＝（x2+6y2）2+（xy）2，而x，y为正整数，∴（x2+9y2）（4y2+x2）（x，y是正整数）是“和谐数”．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和完全平方公式的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．（1）用a，b表示的面积，并化简；（2）如果点M是线段的中点，联结、、，①用a，b表示的面积，并化简；②比较的面积和的面积的大小．【答案】（1）；（2）①，②．【分析】（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出和即可．（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出、和即可． ②用即可得到完全平方式，即可知，从而判断的面积大于的面积．【详解】（1）延长DC和EF交于点N，如图，∴，∵，．∴．（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．∴．根据题意可知NF=a-b．∵M为AE中点，AE=a+b，∴，∴，即，整理得：．②，即，∵，∴，即．故的面积大于的面积．．【点睛】本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．题型四：通过对完全平方公式变形求值一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【答案】B【分析】根据完全平方公式的变形，将化简，进而与比较即可求解【详解】a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212＝（2020﹣2021）2+2020×2021＝2020×2021+1，故a＝b．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．二、填空题2．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：，则____．【答案】7【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．3．（2022·上海·七年级专题练习）若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=____________【答案】-16【分析】由2a2-2ab+b2+4a+4=0，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．【详解】解；∵2a2-2ab+b2+4a+4=0，即a2-2ab+b2+a2+4a+4=0，∴（a-b）2+（a+2）2=0，故a-b=0，a+2=0，解得：a=-2，b=-2．故a2b+ab2= (-2)2×(-2)+ (-2)×(-2)2=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．4．（2021·上海·七年级期中）已知：，计算：______．【答案】21【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：21．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．5．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）若不论取何值，二次三项式的值恒大于10，则的取值范围是___．【答案】【分析】先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．【详解】解：，，，代数式的值恒大于10，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，解一元一次不等式，利用完全平方公式配方是解题的关键．三、解答题6．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．【答案】（1）28；（2）29．【分析】（1）把多项式变形为两个数的和的平方与两个数的积的形式，再代入求值；（2）先把多项式展开，再变形为两个数的和与两个数的积的形式后，代入求值．【详解】解：（1）x2+y2=（x+y）2-2xy当x+y=-6，xy=4时，原式=（-6）2-2×4=28；（2）（2x-1）（2y-1）=4xy-2x-2y+1=4xy-2（x+y）+1，当x+y=-6，xy=4时，原式=4×4-2×（-6）+1=29．【点睛】本题考查了整式的乘法及整体代入的思想．关键是熟练掌握完全平方公式．7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，求的值．【答案】【分析】先把平方，再根据，代入求解即可．【详解】，，即，，，解得：．【点睛】本题考查完全平方公式的灵活应用，整体运算是本题的基本解题思想，同时要巧用公式进行灵活变形．8．（2022·上海·七年级专题练习）已知a、b满足，求的值．【答案】1．【分析】设a+b=m，ab=n，原式分解因式得到(m-n-1)2=0，推出a+b=1+ab，再利用完全平方公式变形整体代入求解即可．【详解】解：设a+b=m，ab=n，则=(m-2n)(m-2)+(1-n)2=m2-2m-2mn+4n+1-2n+n2=m2-2mn+n2-2m+2n+1=(m-n)2-2(m-n)+1=(m-n-1)2=0，∴m-n-1=0，即a+b=1+ab，∴=(a+b)2-2ab-(ab)2=(1+ab)2-2ab-(ab)2=1+2ab+(ab)2-2ab-(ab)2=1．【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·上海松江·七年级期中）观察下列各式：，，，……（1）按此规律，则______；（2）若，你能根据上述规律求出代数式的值吗？（3）若，直接写出代数式______．【答案】（1）；（2）36（3）117【分析】（1）根据题意，找到变化规律即可求解；（2）根据规律，先将因式分解，再代入计算即可；（3）同（2）理，先将因式分解，再代入计算即可．【详解】（1）∵，，，……∴故答案为：；（2）∵，∴===（3）∵，∴=========117故答案为：117．【点睛】此题主要考查整式乘法的综合运算，解题的关键是熟知乘法公式的变形运用．10．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）_______（2）__________利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．已知：，．计算下列各式：（3）；（4）；（5）．【答案】(1)；(2)；(3)；(4) ；(5)【分析】(1)直接使用多项式乘法法则运算即可；(2)直接使用多项式乘法法则运算即可；(3)直接将等式两边平方即可求解；(4)先求出ab的结果，然后再代入求解即可；(5)先求出，然后再等式两边平方得到进而求解．【详解】解：(1)，故答案为：；(2)，故答案为：；(3)由，等式两边平方，得到：，展开：，故答案为：；(4)由(3)知，将代入，求得：，由(1)得：，故答案为：；(5)由(4)知：∴ ，展开： ，将代入，即，∴ 展开：，将代入，∴，故答案为：．【点睛】本题考查多项式的乘法法则，完全平方公式等，关键是读懂题意，等式两边平方产生题干中要求的高次幂进而求解．11．（2021·上海·七年级期中）阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．【答案】（1）x2+6x+15=（x+3）2+6，m=3，k=6；（2）b﹣a=﹣5．【详解】试题分析：（1）将代数式配方即可；（2）先将代数式配方，并把配方后的式子和代数式对比即可得到的值，再代入中计算即可.试题解析：（1）∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，∴m=3．k=6；（2）∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1，∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3，∴b﹣a=﹣5．题型五：求完全平方公式中的字母系数一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知是一个完全平方式，那么m为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式即可得．【详解】由题意得：，则，因此，，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．2．（2021·上海·七年级期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A．4x B．4 C．4 D．【答案】B【分析】关键完全平方公式：，直接判断即可．【详解】解：A. ，不符合题意；B. ，不是整式的完全平方，符合题意；C.4，不符合题意；D. ，不符合题意； 故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式．3．（2021·上海·七年级期中）如果是一个完全平方式，则n值为（ ）A．3； B．-3； C．6； D．±3．【答案】D【分析】如果是一个完全平方式则【详解】,则，正确答案选D.【点睛】本题考查学生对完全平方式概念的理解和掌握，学会将一个式子配凑成完全平方式是解答本题的关键.二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则的值是 ___________．【答案】±4【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如果二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是 ___．【答案】【分析】根据已知算式求出第二个数，即可得出答案．【详解】解：∵二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，∴x2+3x+a=x2+2•x•+()2，∴a=，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．6．（2019·上海嘉定·七年级期中）如果是完全平方式，则m的值是________．【答案】±12【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12，故答案为：±12【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．7．（2021·上海·七年级期中）若是完全平方式，则常数=__________【答案】或【分析】根据完全平方公式得到： ，便可求解【详解】解：由于是完全平方式，故可能为完全平方和或者差公式∴∴k=或【点睛】本题考查完全平方和或者差公式，掌握好公式才是解题关键．8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习） (3x+____)2=________________；【答案】 2 4【分析】把分解成，再根据完全平方的结构特征即可作答．【详解】，故答案为：，，．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方的结构特征把分解成是解题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则m=_____.【答案】15或-9【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴m-3=±12，解得：m=15或-9，故答案为15或-9．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（2021·上海·七年级期中）已知关于的代数式是完全平方式，则____________【答案】5或-7##或【分析】根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.【详解】解：∴-（a+1）x=2×（±3）x解得a=5或a=-7故答案为：或【点睛】本题考查了完全平方公式的特点，即首平方、尾平方，二倍积在中央；另外9的算术平方根是±3是易错点11．（2021·上海黄浦·七年级期中）多项式恰好是另一个多项式的平方，则________．【答案】±10【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：∵多项式恰好是另一个多项式的平方，∴m=±2×1×5=±10．故答案为：±10【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．题型六：完全平方式在几何图形中的应用一、填空题1．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____．【答案】【详解】试题分析： 考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简.二、解答题2．（2021·上海·七年级期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或 a2+2ab+b2∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2【分析】（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．【详解】（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这就验证了平方差公式；（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；故答案为：62；（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．故答案为：[n（n+1）]2．【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，利用用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）如图,用两个边长分别为a，b的正方形，和两个a×b的长方形，拼成图案（1）,图案(1)里含有一个乘法公式，你发现了吗？请写出来: .(2)请你用同样的四个图形，再拼出一个图案来，要求也可以说明这个公式，并且同时是对称图形.(3)现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）求出小正方形与大正方形的面积之和即可发现规律；（2）由（1）可知四个图形中包含含有一个完全平方公式，根据题意直接画出图形即可；（3）将2a2+5ab+2b2，因式分解后就可以得到拼成后的矩形的长和宽，按照此长和宽拼成长方形即可．【详解】解：（1）图案(1)的面积=；（2）（1）可知四个图形中包含含有一个完全平方公式，根据题意要求拼凑的图形为对称图形，则如图1，即可满足题意（3）∵2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），a＜b，所以矩形的长为a+2b，宽为2a+b，∴图2所示可满足题意【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式及因式分解的知识，根据已知图形找出公式是解题的关键．题型七：整式的混合运算一、解答题1．（2022·上海·七年级期末）计算：.【答案】5x2+5y2-12xy.【分析】分别运用完全平方公式和平方差公式展开即可.【详解】解：原式=4x2+9y2-12xy+x2-(2y)2=5x2+9y2-4y2-12xy=5x2+5y2-12xy.【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，牢记公式的形式是解题关键.2．（2021·上海杨浦·七年级期中）先化简，再求值：其中【答案】-3ab；6.【分析】先根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式展开，再合并同类项，得出最简结果，然后代入求值即可.【详解】=6a2-3ab-2ab+b2-a2+2ab-b2-5a2=-3ab.当a=-1，b=2时，原式=-3×（-1）×2=6.【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；熟练掌握完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则是解题关键.3．（2021·上海·七年级期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x= ，y=2．【答案】9x3y﹣3x2y2﹣6xy3，14.【分析】先根据整式的乘法法则展开,再合并同类项,最后代入求出即可.【详解】解：9xy（x﹣y）（x＋1）﹣3y（x﹣y）（3x＋2y）＋6y2（x﹣y）（x＋1） ＝9xy（x2＋x﹣xy﹣y）﹣3y（3x2＋2xy﹣3xy﹣2y2）＋6y2（x2＋x﹣xy﹣y）＝9x3y＋9x2y﹣9x2y2﹣9xy2﹣9x2y＋3xy2＋6y3＋6x2y2＋6xy2﹣6xy3﹣6y3＝9x3y﹣3x2y2﹣6xy3 ， 当 ，y＝2时，原式＝9×（﹣ ）3×2﹣3×（﹣ ）2×22﹣6×（﹣ ）×23＝﹣ ﹣ ＋16＝14．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用,主要考查学生的化简和计算能力.题型八：完全平方公式在几何图形中的应用一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期中）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A．ab B． C． D．【答案】C【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．又∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选C．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．【答案】8-4a【分析】先利用完全平方公式对进行分解因式，再根据正方形面积公式即可求出正方形的边长，然后利用边长即可求出周长．【详解】解：∵ a2−4a＋4=（a−2）2 ，又∵，∴正方形的边长为（2−a）cm，∴正方形的周长为:4（2−a）=（8-4a）cm，故答案为：8-4a．【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面积和周长的计算问题，掌握公式法分解因式是解题的关键．3．（2019·上海·七年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____．【答案】5【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.【详解】解：根据题意得：当a+b=7，ab=13时，S阴影= a2-b（a-b）=a2-ab+b2=[（a+b）2-2ab]-ab=5，故答案为5【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键.三、解答题4．（2021·上海·七年级期中）阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．【答案】（1）60；（2）1056【分析】（1）根据阅读理解中的方法，将代数式换元后配方即可求解；（2）根据题意先证明阴影长方形为正方形，仿照阅读理解中的方法列式换元求解即可．【详解】解：（1）设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝20，∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，∴（40﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣40＝60；（2）S矩形EFGD＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200，且a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，∴ME=ED=FG= x -14，DG=GN=EF= x -30∴MF=ME +EF= x -14+ x -30= 2x -44，FN=FG+GN= x -14+ x -30= 2x -44，∴MF=FN，∴长方形MFNP是正方形，则S阴影＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝256+800＝1056．【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．5．（2020·上海闵行·七年级期中）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．【答案】（1）（a+b）2-4ab，（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；问题解决：【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（2）可得等量关系为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；问题解决：利用（a+b）2-4ab=（a-b）2可求解．【详解】解：（1）（a+b）2-4ab或（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2问题解决：（x-y）2=（x+y）2-4xy∵x+y=7，xy=6．∴（x-y）2=49-24=25．∴x-y=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．6．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .【答案】（1）；①；②2块C类；（2）.【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解；①把（1）求得的总面积减去a2，然后利用完全平方公式因式分解，即可得到大正方形的边长；②把（1）求得的总面积减去2，利用完全平方公式因式分解，可得正方形的边长，故需拿掉2块C类型的纸板；（2）先求出这28块纸板的总面积，再把它配方，再得到需要拿掉的纸板与大正方形的面积.【详解】（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为平方厘米；①∵==，∴这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，理由如下:-2=,此时的两个大正方形的边长为厘米；（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板的面积为.∵紧密地排出三个相同形状的大正方形，∴=故需拿掉1块C类型纸板，此时三个大正方形的边长为cm.【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用.7．（2019·上海嘉定·七年级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个大小、形状都一样的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.求：（1）用a和b的代数式表示正方形ABCD的面积S；（2）当a=4，b=3时，求S的值. 【分析】（1）由勾股定理可得斜边的平方，从而得出正方形的面积S；（2）将a，b的值代入计算可得．【详解】解：（1） （2）当时【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握勾股定理和代数式求值的能力．8．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，求的值；(2)填空：①若，则＝ ；②若，则＝ ．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【答案】(1)12(2)①6；②17(3)【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x）、（5-x）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积、，得到，结合，推出，再去计算阴影部分面积．(1)∵，∴，，又∵，∴＝64－40＝24，∴；(2)①＝16－10＝6；②＝＝17；(3)∵AB＝6，∴，∴，又∵，∴，∴，∵BC＝CF，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．巩固提升选择题1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.； B. ； C. ； D..【答案】A.【解析】因为，故选A.2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）A. (-a+b)(a-b) B. -(-a-b)(b-a)C. (a+b)(-a+b) D. (a-b)(a+b)【答案】A【解析】解：A．原式= - (a-b)2，可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；B．原式= (a+b)( -a+b)，不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；C．不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；D．不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；故选A．3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.； B. ； C. ； D..【答案】B；【解析】解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，又两个阴影部分的面积相等，故得=；因此答案选B.4.（张江2019期中23）多项式的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】解：2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15，∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．故答案选C．5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】解：A、 ，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项正确；D、，故选项错误．故答案选C．6.（延安中学2019期中19）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.x; B.-x; C.x4; D.-x4.【答案】D；【解析】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题；D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，因此答案选D.二、填空题7.（嘉定区2020期末10）计算：_____________.【答案】；【解析】解：.8.（莘松中学2019期中12）计算：____________.【答案】；【解析】解：.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a+2b﹣c）2＝ ．【答案】a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2；【解析】解：（﹣a+2b﹣c）2＝[﹣a+（2b﹣c）]2＝（﹣a）2﹣2a（2b﹣c）+（2b﹣c）2＝a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2．故答案为：a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：= .【答案】；【解析】解：原式==.11.（卢湾中学2020期末10）如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）．【答案】，;【解析】解：①当9x2是平方项时，1±6x+9x2=（1±3x）2，∴可添加的项是6x或﹣6x；②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2+x4=（1+x2）2，∴可添加的项x4．故答案为6x或﹣6x或x4．12.（西延安2019期中14）已知：则_________.【答案】-6；【解析】因为，即，所以， 即.13.（张江2019期中13）已知，，代数式的值是__________【答案】-9；【解析】解：∵a+b=5，ab=3，∴原式=(a+1)(a﹣1)(b+1)(b﹣1)=(a2﹣1)(b2﹣1)=a2b2﹣a2﹣b2+1=(ab)2﹣(a2+b2)+1=(ab)2﹣(a+b)2+2ab+1=32﹣52+2×3+1=9﹣25+6+1=﹣9． 14.（张江2019期中17）已知实数、满足，则的最小值是__________【答案】2；【解析】解：∵a2+b2=1，∴a2=1﹣b2，∴2a2+7b2=2(1﹣b2)+7b2=2+5b2．∵b2≥0，∴2+5b2≥2，∴当b=0时，2a2+7b2的值最小，最小值是2．故答案为2．15.（西延安2019期中26）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）【答案】【解析】（1）相当于。；（2）相当于，（3）需要求的是，则三、解答题16.（川中南2019期中23）利用乘法公式计算：.【答案】99980001；【解析】解：原式====99980001.17.（西延安2019期中20-4）计算:（简便运算）【答案】;【解析】解：.18.（浦东南片联合2019期中22）计算：.【答案】；【解析】解：原式===.19.（2019宝教院附中10月考24）计算：.【答案】；【解析】解：原式===.20.（浦东南片联合2019期中27）已知：，求的值.【答案】 ；;【解析】解：因为，所以，由①–②得：，即；由①+②得：即得. 21.（张江2019期中33）已知：，求的值．【答案】-2【解析】解：∵(x﹣2019)2+(x﹣2020)2=[(x﹣2019)﹣(x﹣2020)]2+2(x﹣2019)(x﹣2020)=5，∴1+2(x﹣2019)(x﹣2020)=5，解得：(x﹣2019)(x﹣2020)=2，∴(2019﹣x)(x﹣2020)=-2．22.（浦东南片联合2019期中25）先化简，后求值：，其中.【答案】， 0；【解析】解：原式===.当时，原式=.23.（2019徐汇中学10月考31）如图，已知线段AB=2，点P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作两个正方形.（1）如果AP=x, 求两个正方形的面积之和S；（2）当点P是AB的中点时，求两个正方形的面积之和；（3）当点P不是AB的中点时，比较（1）中的S与（2）中的大小.【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】解：（1）因为，所以，所以两个正方形的面积之和为S==;（2）当点P为AB中点时，即x=1时，；（3）因为S=，，所以，因为P不是AB中点，故，因此即.24.（卢湾中学2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.【答案】(1)5;(2)28【解析】解：(1)设 5－x=a，x－2=b，则(5－x)(x－2)=ab=2，a+b=(5－x)+(x－2)=3，∴(5－x) 2 +(x－2) 2 =(a+b) 2 －2ab=3 2－2×2=5；(2)∵正方形 ABCD 的边长为 x，AE=1，CF=3，∴MF=DE=x－1，DF=x－3，∴(x－1)(x－3)=48，阴影部分的面积=FM 2 －DF 2 =(x－1) 2 －(x－3) 2 ．设 x－1=a，x－3=b，则(x－1)(x－3)=ab=48，a－b=(x－1)－(x－3)=2，∴a+b=14，∴(x－1) 2 －(x－3) 2 =a 2 －b 2 =(a+b)(a-b)=14×2=28．即阴影部分的面积是 28．
第05讲 乘法公式（2大考点8种解题方法）考点考向1.平方差公式：2.完全平方公式考点精讲考点一：平方差公式题型一：运用平方差根式进行计算一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）二、填空题3．（2021·上海金山·七年级期中）计算：__________．4．（2021·上海奉贤·七年级期中）如果a、b互为相反数，那么a2﹣b2的值是 ___．5．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：________．6．（2021·上海·七年级期中）计算：______．7．（2021·上海·七年级期中）利用乘法公式计算：-20.3×19.7=__________三、解答题8．（2021·上海奉贤·七年级期中）简便计算：23×54+29×31．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）用乘法公式计算：10．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）计算：．11．（2019·上海奉贤·七年级期末）计算：．12．（2021·上海·七年级期中）计算：题型二:平方差公式与几何图形一、单选题1．（2021·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A． B．C． D．．2．（2021·上海·七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）3．（2019·上海市真北中学七年级阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A． B．C． D．4．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A．B．C．D．5．（2022·上海·七年级期末）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．二、填空题6．（2022·上海·七年级期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．三、解答题7．（2022·上海·七年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）8．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．画出拼好的长方形，并标注相应的数据；求拼好后长方形的周长；若，，求拼好后长方形的面积．9．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．10．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为的正方形的边长增加，得到一个边长为的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为的正方形的面积.方式1：方式2：因此，（1）请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证；（2）如图3，在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证.考点二：完全平方公式题型三：运用完全平方公式进行计算一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）无论x、y为任何实数，多项式x2+y2−4x−2y+8的值总是( )A．正数 B．负数 C．零 D．不确定二、填空题2．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：＝____________．3．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）已知，则=_____________三、解答题4．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．6．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．7．（2021·上海松江·七年级期中）计算：8．（2021·上海黄浦·七年级期中）先化简，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．9．（2022·上海·七年级专题练习）求的值，其中．10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）先化简，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．11．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称为这个数为“和谐数”．例如：因为13＝22+32，所以13是“和谐数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“和谐数”．（1）判断53是否为“和谐数”；（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“和谐数”，并说明理由．12．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．（1）用a，b表示的面积，并化简；（2）如果点M是线段的中点，联结、、，①用a，b表示的面积，并化简；②比较的面积和的面积的大小．题型四：通过对完全平方公式变形求值一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断二、填空题2．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：，则____．3．（2022·上海·七年级专题练习）若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=____________4．（2021·上海·七年级期中）已知：，计算：______．5．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）若不论取何值，二次三项式的值恒大于10，则的取值范围是___．三、解答题6．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，求的值．8．（2022·上海·七年级专题练习）已知a、b满足，求的值．9．（2021·上海松江·七年级期中）观察下列各式：，，，……（1）按此规律，则______；（2）若，你能根据上述规律求出代数式的值吗？（3）若，直接写出代数式______．10．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）_______（2）__________利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．已知：，．计算下列各式：（3）；（4）；（5）．11．（2021·上海·七年级期中）阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．题型五：求完全平方公式中的字母系数一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知是一个完全平方式，那么m为（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A．4x B．4 C．4 D．3．（2021·上海·七年级期中）如果是一个完全平方式，则n值为（ ）A．3； B．-3； C．6； D．±3．二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则的值是 ___________．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如果二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是 ___．6．（2019·上海嘉定·七年级期中）如果是完全平方式，则m的值是________．7．（2021·上海·七年级期中）若是完全平方式，则常数=__________8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习） (3x+____)2=________________；9．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则m=_____.10．（2021·上海·七年级期中）已知关于的代数式是完全平方式，则____________11．（2021·上海黄浦·七年级期中）多项式恰好是另一个多项式的平方，则________．题型六：完全平方式在几何图形中的应用一、填空题1．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____．二、解答题2．（2021·上海·七年级期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或 a2+2ab+b2∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）3．（2021·上海·七年级期中）如图,用两个边长分别为a，b的正方形，和两个a×b的长方形，拼成图案（1）,图案(1)里含有一个乘法公式，你发现了吗？请写出来: .(2)请你用同样的四个图形，再拼出一个图案来，要求也可以说明这个公式，并且同时是对称图形.(3)现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）题型七：整式的混合运算一、解答题1．（2022·上海·七年级期末）计算：.2．（2021·上海杨浦·七年级期中）先化简，再求值：其中3．（2021·上海·七年级期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x= ，y=2．题型八：完全平方公式在几何图形中的应用一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期中）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A．ab B． C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．3．（2019·上海·七年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____．三、解答题4．（2021·上海·七年级期中）阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．5．（2020·上海闵行·七年级期中）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．6．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .7．（2019·上海嘉定·七年级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个大小、形状都一样的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.求：（1）用a和b的代数式表示正方形ABCD的面积S；（2）当a=4，b=3时，求S的值. 8．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，求的值；(2)填空：①若，则＝ ；②若，则＝ ．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．巩固提升选择题1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.； B. ； C. ； D..2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）A. (-a+b)(a-b) B. -(-a-b)(b-a)C. (a+b)(-a+b) D. (a-b)(a+b)3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.； B. ； C. ； D..4.（张江2019期中23）多项式的最小值为（ ）A. B. C. D. 5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（ ）A. B. C. D. 6.（延安中学2019期中19）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.x; B.-x; C.x4; D.-x4.二、填空题7.（嘉定区2020期末10）计算：_____________.8.（莘松中学2019期中12）计算：____________.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a+2b﹣c）2＝ ．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：= .11.（卢湾中学2020期末10）如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）．12.（西延安2019期中14）已知：则_________.13.（张江2019期中13）已知，，代数式的值是__________14.（张江2019期中17）已知实数、满足，则的最小值是__________15.（西延安2019期中26）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）三、解答题16.（川中南2019期中23）利用乘法公式计算：.17.（西延安2019期中20-4）计算:（简便运算）18.（浦东南片联合2019期中22）计算：.19.（2019宝教院附中10月考24）计算：.20.（浦东南片联合2019期中27）已知：，求的值.21.（张江2019期中33）已知：，求的值．22.（浦东南片联合2019期中25）先化简，后求值：，其中.23.（2019徐汇中学10月考31）如图，已知线段AB=2，点P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作两个正方形.（1）如果AP=x, 求两个正方形的面积之和S；（2）当点P是AB的中点时，求两个正方形的面积之和；（3）当点P不是AB的中点时，比较（1）中的S与（2）中的大小.24.（卢湾中学2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积. 第05讲 乘法公式（2大考点8种解题方法）考点考向1.平方差公式：2.完全平方公式考点精讲考点一：平方差公式题型一：运用平方差根式进行计算一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可．【详解】解：A. =y2-x2，∴不符合题意；B. ，∴不符合题意；C. ∴不符合题意；D. ，不能用平方差公式进行计算，∴符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）【答案】D【分析】根据平方差公式的形式判断即可；【详解】，故A不符合题意；（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确分析判断是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海金山·七年级期中）计算：__________．【答案】9960【分析】根据平方差公式得到原式=（99.8+0.2）（99.8-0.2），然后先计算括号得到原式=100×99.6，这样易得到结果．【详解】解：原式=（99.8+0.2）（99.8-0.2）=100×99.6=9960．故答案为：9960．【点睛】本题考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，比较基础．4．（2021·上海奉贤·七年级期中）如果a、b互为相反数，那么a2﹣b2的值是 ___．【答案】0【分析】根据相反数的定义得到a+b=0，再把a2﹣b2变形即可求解．【详解】∵a、b互为相反数，∴a+b=0∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=0×（a-b）=0故答案为：0．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．5．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：________．【答案】【分析】在原式前乘以（2-1），故可根据平方差公式进行求解．【详解】=（2-1）====．故答案为：．【点睛】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．6．（2021·上海·七年级期中）计算：______．【答案】【分析】直接利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式=[（x-（2y-3））][x+（2y-3）]=x2-（2y-3）2=x2-4y2+12y-9【点睛】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练运用熟练应用乘法公式是解题关键．．7．（2021·上海·七年级期中）利用乘法公式计算：-20.3×19.7=__________【答案】【分析】将-20.3看成-20-0.3，19.7看成20-0.3，然后使用平方差公式求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的运算，属于基础题，计算过程中细心即可．三、解答题8．（2021·上海奉贤·七年级期中）简便计算：23×54+29×31．【答案】5899．【分析】利用同底数幂的乘法逆运算54变为53×5，23×53=（2×5）3再与5相乘，而29×31=（30-1）（30+1）利用平方差公式计算，把它们相加即可．【详解】解：23×54+29×31，=，==，=，=5899．【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆运用，积的乘方逆运用，平方差公式的运用，掌握同底数幂的乘法的逆运用，积的乘方逆运用，平方差公式的运用是简算的关键．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）用乘法公式计算：【答案】【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则进行解题．10．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）计算：．【答案】【分析】根据平方差公式运算即可；【详解】原式；【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确分析计算是解题的关键．11．（2019·上海奉贤·七年级期末）计算：．【答案】．【分析】利用平方差公式展开即可．【详解】原式 ．【点睛】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解题关键．12．（2021·上海·七年级期中）计算：【答案】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．题型二:平方差公式与几何图形一、单选题1．（2021·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A． B．C． D．．【答案】C【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．【详解】解：如图，由于S长方形B=S长方形C，因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C，而S长方形A+S长方形B=（a+b）（a-b），S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D-S长方形D，=a2-b2，∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，故选：C．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）【答案】C【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【详解】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键在于能够根据题意得到两部分的阴影面积相等．3．（2019·上海市真北中学七年级阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝（a＋b）（a−b）．即：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．所以验证成立的公式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2＝（a＋b）（a−b）．4．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别用面积公式表示出阴影部分图形的面积和梯形面积即可得出答案.【详解】∵左边阴影面积为右边梯形面积为∴故答案选择A.【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义：.5．（2022·上海·七年级期末）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．【答案】A【分析】图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，由此即可解答.【详解】∵图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.故选:A【点睛】本题考查了平方差公式的几何表示法，根据两个图形的面积相等列出等式是解决问题的关键.二、填空题6．（2022·上海·七年级期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．【答案】3【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积．【详解】解：设大、小正方形边长为a、b，则有a2=15，阴影部分面积 ，即a2-b2=12，可得b2=3，即所求面积是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．三、解答题7．（2022·上海·七年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）【答案】(1)①；②a和a＋6(2)12【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．(1)解：① 根据题意，得：答：裁剪正方形后剩余部分的面积为；②拼成的长方形的宽是：a＋3－3＝a，长为a＋6，答：拼成的长方形的边长分别为a和a＋6；(2)解：设盒子底部长方形的长BC＝x＋4，则宽AB＝x， 则，，所以．故答案为12．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．8．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．画出拼好的长方形，并标注相应的数据；求拼好后长方形的周长；若，，求拼好后长方形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）72.【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据矩形的周长公式计算即可；（3）根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示；拼好后长方形的周长；拼好后长方形的面积，当，，．【点睛】本题考查平方差公式，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．10．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为的正方形的边长增加，得到一个边长为的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为的正方形的面积.方式1：方式2：因此，（1）请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证；（2）如图3，在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证.【分析】（1）先根据大正方形的边长求出面积，再根据部分面积之和等于整体面积计算大正方形的面积，根据面积相等，列出等式.（2）图3剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，剩余部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据它们的面积相等可得等式．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：用两种不同的方式表示在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形后剩余的面积.方式1： 方式2： 因此，【点睛】本题是一道利用面积验证完全平方公式以及平方差公式的题目，需要掌握图形面积的表示方法.考点二：完全平方公式题型三：运用完全平方公式进行计算一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）无论x、y为任何实数，多项式x2+y2−4x−2y+8的值总是( )A．正数 B．负数 C．零 D．不确定【答案】A【分析】多项式配方变形后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：x2+y2-4x-2y+8=（x2-4x+4）+（y2-2y+1）+3=（x-2）2+（y-1）2+3≥3＞0，多项式的值总是正数．故选：A．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题2．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：＝____________．【答案】【分析】根据完全平方公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）已知，则=_____________【答案】14【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．【详解】解：∵∴又∵∴∴即故答案为：14．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．三、解答题4．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【答案】【分析】先多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后根据整式的加减计算法则进行求解即可．【详解】解： ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．【答案】．【分析】将式子转化为，再根据平方差公式和完全平方公式进行求解即可．【详解】解：（3a﹣2b＋c）（3a＋2b﹣c），，，．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．6．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．【答案】【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据整式的加减运算即可【详解】【点睛】本题考查了整式的乘法运算，掌握乘法公式是解题的关键．7．（2021·上海松江·七年级期中）计算：【答案】【分析】根据完全平方公式“”进行解答即可得．【详解】解：===【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．8．（2021·上海黄浦·七年级期中）先化简，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．【答案】，【分析】根据平方差公式和完全平方公式，以及单项式乘以多项式的运算进行化简，再将字母的值代入求解即可．【详解】原式当时，原式【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确的计算是解题的关键．9．（2022·上海·七年级专题练习）求的值，其中．【答案】【分析】首先把整式化简，然后把代入化简后的整式中并计算，即可得出结果．【详解】解：原式，把代入，可得：原式，【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解本题的关键在利用整体代入计算整式的加减．10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）先化简，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．【答案】ab-b2， -18【分析】先利用单项式和多项式的相乘、完全平方公式、同类项的合并将式子化简，然后代值计算即可．【详解】解：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2=a2-ab-(a2-2ab+b2)，=a2-ab-a2+2ab-b2，=ab-b2，当a=，b=-4时原式=×（-4）-（-4）2=-2-16=-18．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，单项式和多项式的相乘，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称为这个数为“和谐数”．例如：因为13＝22+32，所以13是“和谐数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“和谐数”．（1）判断53是否为“和谐数”；（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“和谐数”，并说明理由．【答案】（1）是；（2）是，理由见解析【分析】（1）根据53＝22+72，所以判断53是“和谐数”．（2）先把（x2+9y2）（4y2+x2）展开，再变形为（x2+6y2）2+（xy）2，然后根据“和谐数”的定义进行判断．【详解】解：（1）53为“和谐数”．∵53＝4+49＝22+72，∴53是“和谐数”．（2）（x2+9y2）（4y2+x2）（x，y是正整数）是“和谐数”．∵（x2+9y2）（4y2+x2）＝x4+13x2y2+36y4＝（x2+6y2）2+（xy）2，而x，y为正整数，∴（x2+9y2）（4y2+x2）（x，y是正整数）是“和谐数”．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和完全平方公式的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．（1）用a，b表示的面积，并化简；（2）如果点M是线段的中点，联结、、，①用a，b表示的面积，并化简；②比较的面积和的面积的大小．【答案】（1）；（2）①，②．【分析】（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出和即可．（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出、和即可． ②用即可得到完全平方式，即可知，从而判断的面积大于的面积．【详解】（1）延长DC和EF交于点N，如图，∴，∵，．∴．（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．∴．根据题意可知NF=a-b．∵M为AE中点，AE=a+b，∴，∴，即，整理得：．②，即，∵，∴，即．故的面积大于的面积．．【点睛】本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．题型四：通过对完全平方公式变形求值一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【答案】B【分析】根据完全平方公式的变形，将化简，进而与比较即可求解【详解】a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212＝（2020﹣2021）2+2020×2021＝2020×2021+1，故a＝b．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．二、填空题2．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：，则____．【答案】7【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．3．（2022·上海·七年级专题练习）若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=____________【答案】-16【分析】由2a2-2ab+b2+4a+4=0，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．【详解】解；∵2a2-2ab+b2+4a+4=0，即a2-2ab+b2+a2+4a+4=0，∴（a-b）2+（a+2）2=0，故a-b=0，a+2=0，解得：a=-2，b=-2．故a2b+ab2= (-2)2×(-2)+ (-2)×(-2)2=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．4．（2021·上海·七年级期中）已知：，计算：______．【答案】21【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：21．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．5．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）若不论取何值，二次三项式的值恒大于10，则的取值范围是___．【答案】【分析】先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．【详解】解：，，，代数式的值恒大于10，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，解一元一次不等式，利用完全平方公式配方是解题的关键．三、解答题6．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．【答案】（1）28；（2）29．【分析】（1）把多项式变形为两个数的和的平方与两个数的积的形式，再代入求值；（2）先把多项式展开，再变形为两个数的和与两个数的积的形式后，代入求值．【详解】解：（1）x2+y2=（x+y）2-2xy当x+y=-6，xy=4时，原式=（-6）2-2×4=28；（2）（2x-1）（2y-1）=4xy-2x-2y+1=4xy-2（x+y）+1，当x+y=-6，xy=4时，原式=4×4-2×（-6）+1=29．【点睛】本题考查了整式的乘法及整体代入的思想．关键是熟练掌握完全平方公式．7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，求的值．【答案】【分析】先把平方，再根据，代入求解即可．【详解】，，即，，，解得：．【点睛】本题考查完全平方公式的灵活应用，整体运算是本题的基本解题思想，同时要巧用公式进行灵活变形．8．（2022·上海·七年级专题练习）已知a、b满足，求的值．【答案】1．【分析】设a+b=m，ab=n，原式分解因式得到(m-n-1)2=0，推出a+b=1+ab，再利用完全平方公式变形整体代入求解即可．【详解】解：设a+b=m，ab=n，则=(m-2n)(m-2)+(1-n)2=m2-2m-2mn+4n+1-2n+n2=m2-2mn+n2-2m+2n+1=(m-n)2-2(m-n)+1=(m-n-1)2=0，∴m-n-1=0，即a+b=1+ab，∴=(a+b)2-2ab-(ab)2=(1+ab)2-2ab-(ab)2=1+2ab+(ab)2-2ab-(ab)2=1．【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·上海松江·七年级期中）观察下列各式：，，，……（1）按此规律，则______；（2）若，你能根据上述规律求出代数式的值吗？（3）若，直接写出代数式______．【答案】（1）；（2）36（3）117【分析】（1）根据题意，找到变化规律即可求解；（2）根据规律，先将因式分解，再代入计算即可；（3）同（2）理，先将因式分解，再代入计算即可．【详解】（1）∵，，，……∴故答案为：；（2）∵，∴===（3）∵，∴=========117故答案为：117．【点睛】此题主要考查整式乘法的综合运算，解题的关键是熟知乘法公式的变形运用．10．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）_______（2）__________利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．已知：，．计算下列各式：（3）；（4）；（5）．【答案】(1)；(2)；(3)；(4) ；(5)【分析】(1)直接使用多项式乘法法则运算即可；(2)直接使用多项式乘法法则运算即可；(3)直接将等式两边平方即可求解；(4)先求出ab的结果，然后再代入求解即可；(5)先求出，然后再等式两边平方得到进而求解．【详解】解：(1)，故答案为：；(2)，故答案为：；(3)由，等式两边平方，得到：，展开：，故答案为：；(4)由(3)知，将代入，求得：，由(1)得：，故答案为：；(5)由(4)知：∴ ，展开： ，将代入，即，∴ 展开：，将代入，∴，故答案为：．【点睛】本题考查多项式的乘法法则，完全平方公式等，关键是读懂题意，等式两边平方产生题干中要求的高次幂进而求解．11．（2021·上海·七年级期中）阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．【答案】（1）x2+6x+15=（x+3）2+6，m=3，k=6；（2）b﹣a=﹣5．【详解】试题分析：（1）将代数式配方即可；（2）先将代数式配方，并把配方后的式子和代数式对比即可得到的值，再代入中计算即可.试题解析：（1）∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，∴m=3．k=6；（2）∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1，∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3，∴b﹣a=﹣5．题型五：求完全平方公式中的字母系数一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知是一个完全平方式，那么m为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式即可得．【详解】由题意得：，则，因此，，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．2．（2021·上海·七年级期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A．4x B．4 C．4 D．【答案】B【分析】关键完全平方公式：，直接判断即可．【详解】解：A. ，不符合题意；B. ，不是整式的完全平方，符合题意；C.4，不符合题意；D. ，不符合题意； 故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式．3．（2021·上海·七年级期中）如果是一个完全平方式，则n值为（ ）A．3； B．-3； C．6； D．±3．【答案】D【分析】如果是一个完全平方式则【详解】,则，正确答案选D.【点睛】本题考查学生对完全平方式概念的理解和掌握，学会将一个式子配凑成完全平方式是解答本题的关键.二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则的值是 ___________．【答案】±4【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴故答案为：【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如果二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是 ___．【答案】【分析】根据已知算式求出第二个数，即可得出答案．【详解】解：∵二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，∴x2+3x+a=x2+2•x•+()2，∴a=，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．6．（2019·上海嘉定·七年级期中）如果是完全平方式，则m的值是________．【答案】±12【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12，故答案为：±12【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．7．（2021·上海·七年级期中）若是完全平方式，则常数=__________【答案】或【分析】根据完全平方公式得到： ，便可求解【详解】解：由于是完全平方式，故可能为完全平方和或者差公式∴∴k=或【点睛】本题考查完全平方和或者差公式，掌握好公式才是解题关键．8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习） (3x+____)2=________________；【答案】 2 4【分析】把分解成，再根据完全平方的结构特征即可作答．【详解】，故答案为：，，．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方的结构特征把分解成是解题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则m=_____.【答案】15或-9【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴m-3=±12，解得：m=15或-9，故答案为15或-9．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（2021·上海·七年级期中）已知关于的代数式是完全平方式，则____________【答案】5或-7##或【分析】根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.【详解】解：∴-（a+1）x=2×（±3）x解得a=5或a=-7故答案为：或【点睛】本题考查了完全平方公式的特点，即首平方、尾平方，二倍积在中央；另外9的算术平方根是±3是易错点11．（2021·上海黄浦·七年级期中）多项式恰好是另一个多项式的平方，则________．【答案】±10【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：∵多项式恰好是另一个多项式的平方，∴m=±2×1×5=±10．故答案为：±10【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．题型六：完全平方式在几何图形中的应用一、填空题1．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____．【答案】【详解】试题分析： 考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简.二、解答题2．（2021·上海·七年级期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或 a2+2ab+b2∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2【分析】（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．【详解】（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这就验证了平方差公式；（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；故答案为：62；（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．故答案为：[n（n+1）]2．【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，利用用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）如图,用两个边长分别为a，b的正方形，和两个a×b的长方形，拼成图案（1）,图案(1)里含有一个乘法公式，你发现了吗？请写出来: .(2)请你用同样的四个图形，再拼出一个图案来，要求也可以说明这个公式，并且同时是对称图形.(3)现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）求出小正方形与大正方形的面积之和即可发现规律；（2）由（1）可知四个图形中包含含有一个完全平方公式，根据题意直接画出图形即可；（3）将2a2+5ab+2b2，因式分解后就可以得到拼成后的矩形的长和宽，按照此长和宽拼成长方形即可．【详解】解：（1）图案(1)的面积=；（2）（1）可知四个图形中包含含有一个完全平方公式，根据题意要求拼凑的图形为对称图形，则如图1，即可满足题意（3）∵2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），a＜b，所以矩形的长为a+2b，宽为2a+b，∴图2所示可满足题意【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式及因式分解的知识，根据已知图形找出公式是解题的关键．题型七：整式的混合运算一、解答题1．（2022·上海·七年级期末）计算：.【答案】5x2+5y2-12xy.【分析】分别运用完全平方公式和平方差公式展开即可.【详解】解：原式=4x2+9y2-12xy+x2-(2y)2=5x2+9y2-4y2-12xy=5x2+5y2-12xy.【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，牢记公式的形式是解题关键.2．（2021·上海杨浦·七年级期中）先化简，再求值：其中【答案】-3ab；6.【分析】先根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式展开，再合并同类项，得出最简结果，然后代入求值即可.【详解】=6a2-3ab-2ab+b2-a2+2ab-b2-5a2=-3ab.当a=-1，b=2时，原式=-3×（-1）×2=6.【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；熟练掌握完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则是解题关键.3．（2021·上海·七年级期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x= ，y=2．【答案】9x3y﹣3x2y2﹣6xy3，14.【分析】先根据整式的乘法法则展开,再合并同类项,最后代入求出即可.【详解】解：9xy（x﹣y）（x＋1）﹣3y（x﹣y）（3x＋2y）＋6y2（x﹣y）（x＋1） ＝9xy（x2＋x﹣xy﹣y）﹣3y（3x2＋2xy﹣3xy﹣2y2）＋6y2（x2＋x﹣xy﹣y）＝9x3y＋9x2y﹣9x2y2﹣9xy2﹣9x2y＋3xy2＋6y3＋6x2y2＋6xy2﹣6xy3﹣6y3＝9x3y﹣3x2y2﹣6xy3 ， 当 ，y＝2时，原式＝9×（﹣ ）3×2﹣3×（﹣ ）2×22﹣6×（﹣ ）×23＝﹣ ﹣ ＋16＝14．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用,主要考查学生的化简和计算能力.题型八：完全平方公式在几何图形中的应用一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期中）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A．ab B． C． D．【答案】C【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．又∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选C．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．【答案】8-4a【分析】先利用完全平方公式对进行分解因式，再根据正方形面积公式即可求出正方形的边长，然后利用边长即可求出周长．【详解】解：∵ a2−4a＋4=（a−2）2 ，又∵，∴正方形的边长为（2−a）cm，∴正方形的周长为:4（2−a）=（8-4a）cm，故答案为：8-4a．【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面积和周长的计算问题，掌握公式法分解因式是解题的关键．3．（2019·上海·七年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____．【答案】5【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.【详解】解：根据题意得：当a+b=7，ab=13时，S阴影= a2-b（a-b）=a2-ab+b2=[（a+b）2-2ab]-ab=5，故答案为5【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键.三、解答题4．（2021·上海·七年级期中）阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．【答案】（1）60；（2）1056【分析】（1）根据阅读理解中的方法，将代数式换元后配方即可求解；（2）根据题意先证明阴影长方形为正方形，仿照阅读理解中的方法列式换元求解即可．【详解】解：（1）设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝20，∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，∴（40﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣40＝60；（2）S矩形EFGD＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200，且a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，∴ME=ED=FG= x -14，DG=GN=EF= x -30∴MF=ME +EF= x -14+ x -30= 2x -44，FN=FG+GN= x -14+ x -30= 2x -44，∴MF=FN，∴长方形MFNP是正方形，则S阴影＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝256+800＝1056．【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．5．（2020·上海闵行·七年级期中）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．【答案】（1）（a+b）2-4ab，（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；问题解决：【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（2）可得等量关系为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；问题解决：利用（a+b）2-4ab=（a-b）2可求解．【详解】解：（1）（a+b）2-4ab或（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2问题解决：（x-y）2=（x+y）2-4xy∵x+y=7，xy=6．∴（x-y）2=49-24=25．∴x-y=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．6．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .【答案】（1）；①；②2块C类；（2）.【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解；①把（1）求得的总面积减去a2，然后利用完全平方公式因式分解，即可得到大正方形的边长；②把（1）求得的总面积减去2，利用完全平方公式因式分解，可得正方形的边长，故需拿掉2块C类型的纸板；（2）先求出这28块纸板的总面积，再把它配方，再得到需要拿掉的纸板与大正方形的面积.【详解】（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为平方厘米；①∵==，∴这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，理由如下:-2=,此时的两个大正方形的边长为厘米；（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板的面积为.∵紧密地排出三个相同形状的大正方形，∴=故需拿掉1块C类型纸板，此时三个大正方形的边长为cm.【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用.7．（2019·上海嘉定·七年级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个大小、形状都一样的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.求：（1）用a和b的代数式表示正方形ABCD的面积S；（2）当a=4，b=3时，求S的值. 【分析】（1）由勾股定理可得斜边的平方，从而得出正方形的面积S；（2）将a，b的值代入计算可得．【详解】解：（1） （2）当时【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握勾股定理和代数式求值的能力．8．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，求的值；(2)填空：①若，则＝ ；②若，则＝ ．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【答案】(1)12(2)①6；②17(3)【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x）、（5-x）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积、，得到，结合，推出，再去计算阴影部分面积．(1)∵，∴，，又∵，∴＝64－40＝24，∴；(2)①＝16－10＝6；②＝＝17；(3)∵AB＝6，∴，∴，又∵，∴，∴，∵BC＝CF，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．巩固提升选择题1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.； B. ； C. ； D..【答案】A.【解析】因为，故选A.2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）A. (-a+b)(a-b) B. -(-a-b)(b-a)C. (a+b)(-a+b) D. (a-b)(a+b)【答案】A【解析】解：A．原式= - (a-b)2，可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；B．原式= (a+b)( -a+b)，不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；C．不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；D．不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；故选A．3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.； B. ； C. ； D..【答案】B；【解析】解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，又两个阴影部分的面积相等，故得=；因此答案选B.4.（张江2019期中23）多项式的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】解：2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15，∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．故答案选C．5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】解：A、 ，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项正确；D、，故选项错误．故答案选C．6.（延安中学2019期中19）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.x; B.-x; C.x4; D.-x4.【答案】D；【解析】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题；D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，因此答案选D.二、填空题7.（嘉定区2020期末10）计算：_____________.【答案】；【解析】解：.8.（莘松中学2019期中12）计算：____________.【答案】；【解析】解：.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a+2b﹣c）2＝ ．【答案】a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2；【解析】解：（﹣a+2b﹣c）2＝[﹣a+（2b﹣c）]2＝（﹣a）2﹣2a（2b﹣c）+（2b﹣c）2＝a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2．故答案为：a2﹣4ab+2ac+4b2﹣4bc+c2．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：= .【答案】；【解析】解：原式==.11.（卢湾中学2020期末10）如果多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）．【答案】，;【解析】解：①当9x2是平方项时，1±6x+9x2=（1±3x）2，∴可添加的项是6x或﹣6x；②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2+x4=（1+x2）2，∴可添加的项x4．故答案为6x或﹣6x或x4．12.（西延安2019期中14）已知：则_________.【答案】-6；【解析】因为，即，所以， 即.13.（张江2019期中13）已知，，代数式的值是__________【答案】-9；【解析】解：∵a+b=5，ab=3，∴原式=(a+1)(a﹣1)(b+1)(b﹣1)=(a2﹣1)(b2﹣1)=a2b2﹣a2﹣b2+1=(ab)2﹣(a2+b2)+1=(ab)2﹣(a+b)2+2ab+1=32﹣52+2×3+1=9﹣25+6+1=﹣9． 14.（张江2019期中17）已知实数、满足，则的最小值是__________【答案】2；【解析】解：∵a2+b2=1，∴a2=1﹣b2，∴2a2+7b2=2(1﹣b2)+7b2=2+5b2．∵b2≥0，∴2+5b2≥2，∴当b=0时，2a2+7b2的值最小，最小值是2．故答案为2．15.（西延安2019期中26）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）【答案】【解析】（1）相当于。；（2）相当于，（3）需要求的是，则三、解答题16.（川中南2019期中23）利用乘法公式计算：.【答案】99980001；【解析】解：原式====99980001.17.（西延安2019期中20-4）计算:（简便运算）【答案】;【解析】解：.18.（浦东南片联合2019期中22）计算：.【答案】；【解析】解：原式===.19.（2019宝教院附中10月考24）计算：.【答案】；【解析】解：原式===.20.（浦东南片联合2019期中27）已知：，求的值.【答案】 ；;【解析】解：因为，所以，由①–②得：，即；由①+②得：即得. 21.（张江2019期中33）已知：，求的值．【答案】-2【解析】解：∵(x﹣2019)2+(x﹣2020)2=[(x﹣2019)﹣(x﹣2020)]2+2(x﹣2019)(x﹣2020)=5，∴1+2(x﹣2019)(x﹣2020)=5，解得：(x﹣2019)(x﹣2020)=2，∴(2019﹣x)(x﹣2020)=-2．22.（浦东南片联合2019期中25）先化简，后求值：，其中.【答案】， 0；【解析】解：原式===.当时，原式=.23.（2019徐汇中学10月考31）如图，已知线段AB=2，点P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作两个正方形.（1）如果AP=x, 求两个正方形的面积之和S；（2）当点P是AB的中点时，求两个正方形的面积之和；（3）当点P不是AB的中点时，比较（1）中的S与（2）中的大小.【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】解：（1）因为，所以，所以两个正方形的面积之和为S==;（2）当点P为AB中点时，即x=1时，；（3）因为S=，，所以，因为P不是AB中点，故，因此即.24.（卢湾中学2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.【答案】(1)5;(2)28【解析】解：(1)设 5－x=a，x－2=b，则(5－x)(x－2)=ab=2，a+b=(5－x)+(x－2)=3，∴(5－x) 2 +(x－2) 2 =(a+b) 2 －2ab=3 2－2×2=5；(2)∵正方形 ABCD 的边长为 x，AE=1，CF=3，∴MF=DE=x－1，DF=x－3，∴(x－1)(x－3)=48，阴影部分的面积=FM 2 －DF 2 =(x－1) 2 －(x－3) 2 ．设 x－1=a，x－3=b，则(x－1)(x－3)=ab=48，a－b=(x－1)－(x－3)=2，∴a+b=14，∴(x－1) 2 －(x－3) 2 =a 2 －b 2 =(a+b)(a-b)=14×2=28．即阴影部分的面积是 28．
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