山东省泰安市宁阳县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试题

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【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
2．B
【详解】显然向量与不平行，而，，共面，
则存在实数，使，即，
于是，解得，所以实数的值为5.
3．C
【详解】由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离，
直线可变形为
则的最小值为．
4．B
【详解】设，则，，
两式做差可得，即，
又因为是的中点，则，
因此，即，
所以，
因此直线的方程为，即，
经检验，符合题意，故弦所在直线的方程为.
5．C
【详解】定点，，
故，所以；
故：，
所以，
所以点到直线的距离．
6．B
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
7．D
【详解】圆的圆心为（-2，5），
因为线段的中点为，
所以直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，即，
圆的圆心到直线AB的距离为：
，
所以圆上的点到直线l的距离的最大值为，
8．D
【详解】解：，
则，
，
，
，
，，
所以，
9．ABC
【详解】对选项A，，即交点为.
设直线上点关于对称的点为，
则，即.
，
所以直线关于对称的直线为，即.
故A正确.
对选项B，因为，所以倾斜角为，故B正确.
对选项C，当时，直线，斜率不存在，
直线，斜率为直线，不满足题意，故.
因为两条直线垂直，所以，解得，故C正确.
对选项D，直线恒过定点.
，，如图所示：

因为直线与线段相交，
所以或，故D错误.
10．ABD
【详解】因为BDEF是矩形，所以，
又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，
且平面BDEF，所以平面ABCD，
而AD，平面ABCD，所以，，
而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于A，，，
当G为线段AE的中点时，，得，
设平面CEF的一个法向量为，
有，
因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确；
对于B，，，
所以，故B正确；
对于C，设，则，
得有最小值44，故C错误；
对于D，，，
所以点B到平面CEF的距离为，故D正确.
.
11．ABD
【详解】线段的中点坐标为，即，
直线的斜率为，
因为，所以为等腰三角形，
三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点，且与直线垂直，
故的欧拉线斜率为1，则方程为，即，A正确；
的欧拉线与相切，
故，
圆心到直线的距离为，
则圆M上的点到直线的最小距离为，B正确；
若圆与圆有公共点，则，解得：，C错误；
为点与两点的斜率，
当过的直线与相切，且直线的斜率为正时，取得最大值，
设直线，由，解得：，
故的最大值是，D正确.
12．
【详解】由于直线与平行，则，
解得.
故答案为：.
13．
【详解】因为直线分别与轴，轴交于，两点，
所以，，因此．
因为圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，
因此直线与圆相离．
又因为点在圆上，
所以点到直线距离的最小值为，
最大值为，即，
又因为面积为，
所以面积的取值范围为．

14．
【详解】直线过定点，直线过定点，
显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，
显然点的坐标为，所以该圆的方程为，
由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
当点在如下图位置时，的值最大，即，
所以|PM|的最大值为，
15．(1)(2)
【详解】（1）设点，则中点的坐标为，
由题意知点A在直线上，点在直线上，
所以解得
即点A的坐标为．
（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，
设点的坐标为，则点的中点坐标为，
则解得即点的坐标为．
直线的斜率为，
所以直线即的方程为，即．
16．(1)；(2).
【详解】（1）解：由圆，可得，
则圆心，半径，
由圆，可得圆心，半径，
因为两圆外切，
则，
解得．
（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，解得．
的值为．
17．(1)(2)
(1)解：因为，，又，所以，解得.
(2)解：，，，，，
，，所以以，为邻边的平行四边形的面积为.
所以以，为邻边的平行四边形的面积为.
18．(1)证明见解析(2)存在；Q为线段PB中点
【详解】（1）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点，
∴四边形ABED为菱形，∴，∴，，
即，，且，平面POB，平面POB，
∴平面PBO．

（2）由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中，
∴正三角形，∴，同理．
∵，∴，∴．
由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，，
∴，，，,
设，
，
设平面AEQ的一个法向量为，
则，即，
取得，，得，所以，
设直线PC与平面AEQ所成角为，，则，
即，化简得，解得．
即Q为线段PB中点．
19．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为，
直线的斜率，
因此直线的垂直平分线的方程是：，即.
圆心的坐标是方程组的解.
解此方程组，得，所以圆心的坐标是，圆心为的圆的半径长为，
所以，圆心为的圆的标准方程是.
（2）设，，
联立直线与圆的方程，得
消元得，
因为直线与圆相交，所以，
解得，
且，，
所以.因为，所以，
解得或3，因为，所以，
此时直线的方程为，即，
此时圆心到直线的距离，
则.