江西省都昌县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（A）

这是一份江西省都昌县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（A），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（40分）
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．1
5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
7．在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（18分）
9．直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．，
C．D．
10．已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．直线的方程为
B．圆和圆共有4条公切线
C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5 B．的最大值为
C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4
三、填空题（15分）
12．已知直线和垂直且，则的最小值为 .
13．设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切.
14．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .

四、解答题（77分）
15．已知△ABC三个顶点的坐标分别是.
(1)求△ABC的面积
(2)求△ABC外接圆的方程
16．已知（为常数）.
(1)求的递增区间；
(2)求的最大值及取得最大值时的集合；
(3)若时，的最大值为4，求的值.
17．如图，已知平面，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
18．已知圆，点，为坐标原点.
(1)若，求圆过点的切线方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值；
(3)若圆上存在点，满足，求的取值范围.
19．已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D.
(1)求实数b的取值范围;
(2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值;
(3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再代入模的公式，即可求解.
【详解】由题知，，所以.
故选：D.
2．B
【分析】按照投影向量的计算公式求解即可.
【详解】解：因为向量，
则向量在向量上的投影向量为:.
故选：B
3．A
【分析】根据三角函数、对数函数、指数函数的性质确定a，b，c的范围，进而比较它们的大小关系.
【详解】由题设知：，即，
则，，
所以.
故选：A.
4．C
【分析】由已知求出，倍角公式求
【详解】，
又，则有，
可得，
所以.
故选：C
5．B
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
6．D
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过时，，
如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.
故选：D.
7．C
【分析】由题可知，几何体为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得出答案.
【详解】设正四棱锥的侧棱长为，
连接与交于点，连接，则平面，
因为，所以，
因为，所以在中，，
解得：，所以，
又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，
则几何体为正四棱台，
连接交于点，所以为的中点，
所以，所以几何体的体积为：
.

故选：C.
8．C
【分析】根据题意，把转化为圆上的点与点连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由圆的方程，可得圆心，半径为，
又由，所以表示圆上的点与点连线的斜率，
当过点与圆相切时，此时取得最值，如图所示，
设，可得，令，
整理得，解得或，
结合图象，可得的取值范围是.
故选：C.
9．BD
【分析】利用直线，的横截距判断AB；利用直线，斜率的大小判断CD.
【详解】依题意，直线的横截距，直线的横截距，A错误，B正确；
直线的斜率，直线的斜率，则，于是，C错误，D正确.
故选：BD
10．ACD
【分析】根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
对于A，直线的方程为，即，所以A正确；
对于B，因为且，可得，
所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；
对于C，因为，所以PQ的最大值为，所以C正确；
对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为，所以D正确．
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
12．
【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由题意得，故，
因为，由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
13．或
【分析】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可.
【详解】易知圆系的圆心，半径为2，
显然始终在直线上，
要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2，
不妨设直线，则，
即定直线为：或.
故答案为：或
14．
【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案．
【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，
则，
有，则，，
，，
，，
即，
，解得.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可；
（2）由，外接圆是以线段AB为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程.
【详解】（1）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即.
，，
.
（2）由，外接圆是以线段AB为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
16．(1)
(2)，有最大值为
(3)
【分析】（1）根据求解即可.
（2）根据时取得最大值，再解方程即可.
（3）根据题意得到，即可得到，即可得到答案.
【详解】（1），解得.
所以的递增区间.
（2）由正弦函数性质知，当时，即，取得最大值为.
（3）因为，所以，
所以，即，解得.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而平面，再由中位线得到，得到平面，证明出面面平行，得到线面平行；
（2）由平面，得到平面平面，由三线合一得到，从而得到线面垂直；
（3）由（1）得，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由线面垂直得到即为直线与平面所成角，结合勾股定理求出各边长，得到，求出，得到答案.
【详解】（1）取中点，连接，，，如图所示，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为点为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为，点为的中点，所以，
因为平面平面平面，
所以平面，
（3）由（1）得四边形为平行四边形，所以，
所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
因为平面，所以即为直线与平面所成角，
因为点为的中点，，
所以，
所以，由，所以，
所以直线与平面所成角为．
18．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得.
（2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得.
（3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，圆的圆心，半径，
而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，
则，解得或，
所以所求切线方程为或.
（2）由消去得，，
设，则，
由，得，则，
整理得，则，即，解得，满足，
所以.
（3）设点，由，得，
整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，
依题意，圆与圆有公共点，即，则，
整理得，解得，
所以的取值范围是.
19．(1)
(2)当时四边形ABDC的面积最大
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可；
（2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可；
（3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数.
【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点，
所以圆心到直线的距离，
解得，
则实数b的取值范围为；
（2）设，则，
由得，
所以，，
则，
因为四边形为直角梯形，
所以四边形的面积
，
令，
，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时四边形ABDC的面积最大，
且最大值为；

（3），则，且直线、的斜率存在，
由（2），，，
直线，直线，
联立得，
若为常数，则，其中为常数，
可得，解得，
所以当时点在一条平行于轴的直线上.

【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
B
D
C
C
BD
ACD
题号
11









答案
BC