沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第15讲公式法(七大题型)(学生版+解析)

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第15讲 公式法 （七大题型）一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的整式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式.二、因式分解步骤（1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是整式；（2）最终把整式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式.【即学即练1】分解因式：(1)；(2)．【即学即练2】分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【即学即练3】用简便方法计算：(1)；(2)．【即学即练4】因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【即学即练5】已知，则的值为 ．题型1：运用公式法分解因式【典例1】．因式分解： ．【典例2】．分解因式： ．【典例3】．因式分解： ．【典例4】．因式分解： 【典例5】．因式分解：(1)(2)【典例6】．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【典例7】．因式分解：(1)(2)(3)(4)题型2：判断能否运用平方差公式分解因式【典例8】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ）A． B． C． D．【典例9】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ）A． B． C． D．【典例10】．下列整式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( )A． B． C． D．题型3：判断能否运用完全平方公式分解因式、及求参数【典例11】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ）A． B． C． D．【典例12】．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ）A．10 B． C． D．【典例13】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型4：判断是否能用公式法分解因式【典例14】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ）A． B． C． D．【典例15】．下列整式不能用公式法因式分解的是（　　）A． B． C． D．【典例16】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ）A． B．C． D．题型5：综合运用公式法和提公因式法分解因式【典例17】．把下列各式分解因式：（1）                      （2） （3）                      （4）【典例18】．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例19】．分解因式：(1)；(2)；(3)．【典例20】．因式分解：(1)(2)(3)(4)【典例21】．因式分解：(1)；(2)．(3)；(4)．题型6：运用公式法或提公因式法分解因式求值【典例22】．若，则的值是 ．【典例23】．若，则代数式的值为 ．【典例24】．若，，则代数式的值是 ．【典例25】．计算： ．题型7：运用公式法或提公因式法分解因式的其他应用【典例26】．如果能分解为，那么 ．【典例27】．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此整式进行正确的因式分 【典例28】．有一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．题型8：材料题、图形应用【典例29】．下面是某同学对整式进行因式分解的过程．回答下列问题：解：设，原式第一步)第二步)第三步)第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．(3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．【典例30】．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．(1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ；②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．(3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接BD和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．一、单选题1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　）A．x2-x-1 B．x2-2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x-12．因式分解（    ）A． B． C． D．3．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ）A． B． C． D．4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N13．因式分解： ．14．= ．15．已知，，则 ．16．已知，且满足两个等式，．则的值为 ．17．设，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“