九年级上册2.6 正多边形与圆巩固练习

这是一份九年级上册2.6 正多边形与圆巩固练习，共64页。试卷主要包含了6直线与圆的位置关系大题专练，125，即AP＝3，8；②9，6．等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
(2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
2．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ．
(2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝42，求BF的长 ．
3．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°，
(1)则∠DFE的度数＝__________°．
(2)连接OA、OC，则∠AOC的度数＝__________°．
(3)连接DE，若△ABC的周长为20cm，AC＝6cm，求DE的长．
4．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．
(1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ；
(2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长；
(3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
5．（2022·江苏·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证：∠BOD=2∠A;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
6．（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB=∠D．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠D=35°，则∠C的度数为______°．
7．（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°
(1)试说明：直线CD为⊙P的切线．
(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．
8．（2021·江苏镇江·九年级期中）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
(1)如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
(2)如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为______．
9．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
(1)用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
(3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为2，求AP的长．
10．（2016·江苏盐城·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝6，CE＝23，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．
11．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，在△ABE中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
12．（2021·江苏常州·九年级期中）△ABC中，∠C＝90° ，
（1）如图1，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆⊙O交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图2中作⊙M，使它满足下列条件：①圆心在边AB上； ②经过点B；③与边AC相切(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
13．（2021·江苏南通·九年级期中）如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
14．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．
（1）求BD的长．
（2）求证：AC是⊙O的切线．
15．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC=60∘，∠ACB=70∘．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
16．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
17．（2021·江苏南京·九年级期中）已知四边形ABCD中，AD//BC，BC=6，∠B=60°，∠C=90°，AB=m，
以BC为直径作⊙O．
（1）如图①，⊙O与AD边相切，切点为E，求m的值；
（2）就m的取值范围讨论⊙O与边AB、AD除点B外的公共点总个数的情况（直接写出答案）．
18．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．
19．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，直角坐标系中，以M（6，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C、D．
（1）若C点坐标为（0，8），求点A坐标．
（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°，若存在，求出满足条件的点P．
（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
20．（2021·江苏南通·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．
（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．
21．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．
(1)若α＝60°，则CD＝ cm．
(2)若AO⊥BC
①点H与⊙O的位置关系是
A．点H在⊙O外
B．点H在⊙O上
C．点H在⊙O内
②求线段AO的长度．
(3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．
22．（2022·江苏·景山中学八年级期末）如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
(1)证明DE是⊙O的切线；
(2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长．
23．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC，交AB于点E．过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D．
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AE＝25，CE＝2，求⊙O的半径．
24．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC,BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠F=30°,BF=2，求△ABC外接圆的半径．
25．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是AB的中点，且AB＝10，BC＝6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)求CE的长．
26．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图：已知线段AM=5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN=n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
(1)求证：PB与⊙Q相切；
(2)已知⊙Q的半径为3，当AM所求直线与⊙Q相切时，求n的值及PA的长；
(3)当n=2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是______．
27．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为4，AB=8，求平行四边形OAEC的面积．
28．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED∥AC，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求PC的长．
29．（2021·江苏常州·九年级期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是 cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．
30．（2021·江苏扬州·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中AB=23，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】
专题2.6直线与圆的位置关系大题专练（培优强化30题）
一、解答题
1．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
(2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)①见解析②见解析
(2)AC与⊙O相切，理由见解析
(3)3
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据（1）中作图方法得出AO平分∠BAC，由角平分线的性质得出OE=OB，利用切线的判定方法证明即可；
（3）设⊙O的半径为r，根据三角形等面积法列出一元一次方程求解即可．
（1）
解：如图所示
（2）
AC与⊙O相切，

证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠ABC=90°， AO平分∠BAC，
∴OE=OB，
又∵OE⊥AC，OB为圆的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）
设⊙O的半径为r，
∵SΔABC=SΔAOB+SΔAOC
又∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°
∴AC=10
∴12AB×BC=12AC×r+12AB×r
∴12×6×8=12×10×r+12×6×r
∴r=3
即⊙O的半径为3．
【点睛】题目主要考查基本的作图方法及角平分线的性质，切线的判定，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ．
(2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝42，求BF的长 ．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由见解析
(2)4
【分析】（1）根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论；
（2）连接DO，在直角三角形ODF中利用勾股定理得OD2+DF2=OF2，即可求解．
（1）
解：选择条件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；结论是③直线EF是⊙O的切线．理由如下，
连接DO，∵ AD平分∠EAF；
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠EAD，
∴ AE∥OD，
∵ ∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线．
故答案为：①②，③
选择条件是①AD平分∠EAF；③直线EF是⊙O的切线；结论是②∠AEF＝90°．理由如下，
∵连接DO，∵ AD平分∠EAF；
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠EAD，
∴ AE∥OD，
∵直线EF是⊙O的切线．
∴OD⊥EF，
∴AE⊥EF，
∴ ∠AEF=90°，
选择条件是②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线；结论是①AD平分∠EAF．理由如下，
∵连接DO，∵直线EF是⊙O的切线，∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，AE⊥EF，
∴ AE∥OD，
∴∠ODA=∠EAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠OAD，
∴AD平分∠EAF；
（2）
连接DO，∵直线EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
在直角三角形ODF中，由勾股定理得OD2+DF2=OF2，
∵AO＝2，DF＝42，
∴OD=AO=BO=2，
∴22+422=OF2，
解得OF=6，
∴BF=OF−OB=6−2=4．
【点睛】本题考查了切线的的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
3．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°，
(1)则∠DFE的度数＝__________°．
(2)连接OA、OC，则∠AOC的度数＝__________°．
(3)连接DE，若△ABC的周长为20cm，AC＝6cm，求DE的长．
【答案】(1)60
(2)120
(3)4cm
【分析】（1）由已知中∠A=100°，∠C=20°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．
（2）根据切线长定理，可得∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF=10°，根据三角形内角和定理即可求解；
（3）根据题意以及切线长定理求得BE=4，证明△BDE是等边三角形即可求解．
(1)
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F
∴∠BDO=∠BEO=90°
∴∠BDO+∠BEO=180°
∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
又∵DE=DE，
∴∠DFE=12∠DOE=60°，
故答案为：60；
(2)
如图，连接OA,OC,OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴CE=CF，AD=AF，
∴∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF=10°，
∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，
故答案为：120；
(3)
如图，连接DE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，
设AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，
∵△ABC的周长为20cm，AC＝6cm，
∴2a+b+c=20 cm，a+c=6cm，
∴b=4cm，即BD=BE=4cm，
∵BD=BE， ∠B=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4cm．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，掌握切线长定理是解题的关键．
4．（2021·江苏镇江·九年级期中）平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．
(1)当⊙P与边CD相切时，AP＝ ；
(2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长；
(3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
【答案】(1)2
(2)1.5
(3)当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB⊥AC，根据勾股定理求出AC，根据切线的性质求出AP；
(2)根据切线的性质得到PE⊥BC，根据勾股定理列出方程，解方程求出AP；
(3)根据勾股定理求出OP过点D时AP的长，结合图形得到OP与平行四边形ABCD四边公共点的个数．
(1)
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴AC＝BC2−AB2＝52−32＝4，
当⊙P与边CD相切时，AC为⊙P的直径，
∴AP＝2．
故答案为：2．
(2)
如图2，当⊙P与边BC相切时，设切点为E，连接PE，
则PE⊥BC，
∵AB⊥AC，点P在边AC上，
∴⊙P与AB相切，
∵⊙P与BC相切于点E，
∴BE＝AB＝3，EC＝2，
设AP＝x，则PE＝x，PC＝4﹣x，
在 Rt△PCE 中，由勾股定理得 x2+4＝（4﹣x）2，
解得，x＝1.5，即AP＝1.5．
故答案为：1.5．
(3)
如图3，当⊙P过点D时，连接PD，
设AP＝x，则PD＝x，PC＝4﹣x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，
解得x＝3.125，即AP＝3.125，
则⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数情况如下：
当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；
当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；
当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，勾股定理，平行四边形的性质，掌握切线的性质定理是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证：∠BOD=2∠A;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设AB交CD于点H，连接OC，证明Rt△COH≅Rt△DOH ，故可得∠COH=∠DOH ，于是BC=BD ，即可得到∠BOD=2∠A；
（2）连接AD，解出∠COB=60°，根据AB为直径得到∠ADB=90°，进而得到∠ABD=60°，即可证明OC∥DB，故可证明直线CE为⊙O的切线．
（1）
证明：设AB交CD于点H，连接OC，
由题可知，
∴OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°，
∵OH=OH，
∴Rt△COH≅Rt△DOH(HL)，
∴∠COH=∠DOH，
∴BC=BD，
∴∠COB=∠BOD，
∵∠COB=2∠A，
∴∠BOD=2∠A；
（2）
证明：
连接AD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC，
∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90−∠DAO=90°−30°=60°，
∴∠ABD=∠COB=60°，
∴OC∥DE，
∵CE⊥BE，
∴CE⊥OC，
∴直线CE为⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
6．（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB=∠D．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠D=35°，则∠C的度数为______°．
【答案】(1)CE与⊙O相切，理由见解析
(2)20
【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA=90°，由已知和等腰三角形的性质证得∠EAB=∠CEB，∠OEB=∠OBE，进而证得∠OEC=90°，根据切线的判定定理即可证得CE与⊙O相切；
（2）先求出∠CEB=∠EAB=35°，进而求出∠EBA=55°，再根据三角形外角的性质即可求出∠C．
(1)
证明：CE与⊙O相切，理由如下：
连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EAB=∠D，∠CEB=∠D，
∴∠EAB=∠CEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEC=∠OEB+∠CEB=∠EBA+∠EAB =90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
(2)
解：由（1）知∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EAB=∠D=35°，
∴∠EBA=90°-35°=55°，∠CEB=∠D=35°，
∵∠EBA=∠CEB+∠C，
∴∠C=∠EBA-∠CEB=55°-35°=20°，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的外角定理，根据圆周角定理∠CEB=∠EAB是解决问题的关键．
7．（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°
(1)试说明：直线CD为⊙P的切线．
(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）连接PC，则∠APC＝2∠B，可证PC∥DA，证得PC⊥CD，则结论得证；
（2）连接AC，根据∠B=30°，等腰三角形外角性质∠CPA=2∠B=60°，再证△APC为等边三角形，可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，AD＝2，∠ADC＝90°，利用30°直角三角形性质得出AC=2AD=4，然后根据勾股定理CD==AC2−AD2=42−22=23即可．
（1）
连接PC，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝2∠B，
∵2∠B+∠DAB＝180°，
∴∠DAP+∠APC＝180°，
∴PC∥DA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DCP＝90°，
即DC⊥CP，
∴直线CD为⊙P的切线；
（2）
连接AC，
∵∠B=30°，
∴∠CPA=2∠B=60°，
∵AP=CP，∠CPA=60°，
∴△APC为等边三角形，
∵∠DCP=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，
∵AD＝2，∠ADC＝90°，
∴AC=2AD=4，
∴CD==AC2−AD2=42−22=23．
【点睛】本题考查切线的判定、平行线判定与性质，勾股定理、等腰三角形性质，外角性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
8．（2021·江苏镇江·九年级期中）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
(1)如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
(2)如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为______．
【答案】(1)BP=23
(2)①4.8；②9.6
【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=23；
（2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．
(1)
连接PT，如图：
∵⊙P与AD相切于点T，
∴∠ATP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABPT是矩形，
∴PT=AB=4=PE，
∵E是AB的中点，
∴BE=12AB=2，
在Rt△BPE中，BP=PE2−BE2=42−22=23；
(2)
①∵⊙P与CD相切，
∴PC=PE，
设BP=x，则PC=PE=10-x，
在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2，
∴x2+22=（10-x）2，
解得x=4.8，
∴BP=4.8；
②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图：
由题可知，EM是△ABQ的中位线，
∴EM∥BQ，
∴∠BEM=90°=∠B，
∵PN⊥EM，
∴∠PNE=90°，EM=2EN，
∴四边形BPNE是矩形，
∴EN=BP=4.8，
∴EM=2EN=9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线．
9．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
(1)用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
(3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为2，求AP的长．
【答案】(1)5x，3x
(2)9
(3)122
【分析】（1）设AB交OD于点H，根据AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．可得AB=4x，再由勾股定理可得BQ=5x ，再由∠BAQ＝90°，可得BQ为直径，从而得到AH=12AB=2x ，进而得到CD=2x，再由DF＝32CD，可得DF=3x，即可求解；
（2）过点O作OM⊥AQ于点M，根据题意可得CQ=6x+4，再证得OD=MC，根据BQ为直径，可得QM=AM=12AQ=32x，从而得到DE=2x+4，然后根据矩形的面积，即可求解；
（3）过点B作BJ⊥EG于点J，过点O作OK⊥BN于点K，连接NQ，设直线BG交直线l于点I，则OK=2，∠NQB=90°，点K为BN的中点，可先证明∠JBG=45°，从而得到∠NIQ=45°，进而得到IN=NQ=4，AI=AB=4x，即可求解．
(1)
解：如图，设AB交OD于点H，
在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．
∴AB=4x，
∴BQ=AB2+AQ2=5x ，
∵m⊥l，OD⊥m，
∴OD∥l，CD=AH，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ为直径，
∴OB=OQ，
∴BHAH=OBOQ=1 ，即AH=12AB=2x ，
∴CD=2x，
∵DF＝32CD，
∴DF=3x；
(2)
解：如图，过点O作OM⊥AQ于点M，
∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
∵AB⊥AQ，
∴OM∥AB，
∵DE⊥DF，
∴OD=MC，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ为直径，
∴OB=OQ，
∴QM=AM=12AQ=32x ，
∴OD=MC=32x+3x+4=92x+4 ，
∵OE=12BQ=52x ，
∴DE=2x+4，
∵矩形DEGF的面积等于90，
∴DE×DF=3x2x+4=90 ，
解得：x1=3,x2=−5 （舍去），
∴AP=3x=9；
(3)
解：过点B作BJ⊥EG于点J，过点O作OK⊥BN于点K，连接NQ，设直线BG交直线l于点I，则OK=2，∠NQB=90°，点K为BN的中点，
∵点O为BQ的中点，
∴NQ=2OK=4，
∵EG⊥DE，AB⊥OD，
∴BJ=HE，JE=BH=2x，
∵GE=DF=3x，
∴GJ=x，
由（1）知H为AB的中点，
∴OH=12AQ=32x ，
∴BJ=HE=OE−OH=52x−32x=x ，
∴BJ=GJ，
∴∠GBJ=45°，
根据题意得：BJ∥IQ，
∴∠NIQ=45°，
∴∠IQN=45°，∠ABN =45°，
∴∠NIQ=∠IQN，∠NIQ=∠ABN，
∴IN=NQ=4，AI=AB=4x，
∴IQ=42 ，IQ=AI−AQ=4x−3x=x ，
∴x=42 ，
∴AP=3x=122 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆中圆周角是直角所对的弦为直径，勾股定理，垂径定理，矩形的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质，圆中直角所对的弦为直径，勾股定理，垂径定理，矩形的性质等知识是解题的关键．
10．（2016·江苏盐城·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝6，CE＝23，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．
【答案】（1）见解析；（2）23﹣23π
【分析】（1）由题意可证△ADO≌△CDO，可得∠DCO＝∠DAO＝90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）由题意可证△CBE∽△ACE，可求BE的长，AB的长，OB的长，OC的长，根据锐角三角函数可求∠COB＝60°，根据线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝△COE的面积﹣扇形OBC的面积可求解．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的切线
∴∠DAO＝90°
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OD∥BC
∴∠DOC＝∠OCB，∠DOA＝∠OBC
∴∠DOA＝∠DOC且AO＝CO，DO＝DO
∴△ADO≌△CDO（SAS）
∴∠DCO＝∠DAO＝90°
∵∠DCO＝90°，OC是半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠ACB=∠ECO=90°,∠ACO+∠OCB=∠ECB+∠OCB,
∴∠ACO=∠ECB,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB,
∴∠ECB＝∠CAB，且∠CEA＝∠CEA
∴△CBE∽△ACE
∴CEAE=BECE即236=BE23
∴BE＝2
∵AB＝AE﹣BE
∴BA＝4
∴OB＝2＝AO＝OC
∴OE＝4
∵sin∠COE＝CEOE＝234＝32
∴∠COE＝60°
∴线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝12×2×23﹣60°×π×4360°＝23﹣23π
【点睛】本题考查切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形求线段的长度是解答本题的关键．
11．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，在△ABE中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）245
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE，则∠OCD＝∠CDE＝90°，由切线的判定定理即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，再由等腰三角形的性质得EC＝BC＝6，再用面积法列方程求出CD的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵AB=AE，
∴∠E=∠B，
∴∠OCB=∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于点D，
∴∠CDE=90°，
∴∠OCD=∠CDE=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BE，
∵AB=AE，
∴EC=BC=6，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=102−62=8，
∵∠ACE=90°，CD⊥AE，AE=AB=10，
∴12AE•CD=12AC×EC=S△ACE，
∴12×10CD=12×8×6，
∴CD=245，
∴CD的长为245．
．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、用面积法求值等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
12．（2021·江苏常州·九年级期中）△ABC中，∠C＝90° ，
（1）如图1，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆⊙O交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图2中作⊙M，使它满足下列条件：①圆心在边AB上； ②经过点B；③与边AC相切(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OF，由OF垂直CA且等于OB，通过内错角相等，△OFB为等腰三角形求得∠1=∠3=∠2
（2）利用（1）的结论，圆O与三角形ABC相切时，切点F在∠B的平分线上，所以作∠B角平分线交AC于点F，再根据垂径定理作FB的中垂线与AB的交点即为圆心．
【详解】解:（1）如图所示，连接OF
∵⊙O与边AC相切于点F，
∴OF⊥AC.
∴∠AFO=∠C=90º
∴OF∥BC，
∴∠1=∠OFB.
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠2，
∴∠1=∠2.
（2）如图2所示.
【点睛】本题考查圆的切线性质和垂径定理在尺规作图中的应用，掌握这些知识点是解体的关键．
13．（2021·江苏南通·九年级期中）如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
【答案】（1）6；（2）1
【分析】（1）由切线长定理可得PA=PB，EA=EC，FC=FB，再由△PEF的周长为12，即可得到PA+PB=12，由此即可得到答案；
（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由S△DGP=S△DOP+S△DOG+S△POG，S△DGP=12PG⋅DG=6可以得到12PD+PG+GD⋅r=6，再利用勾股定理求出PD=PG2+DG2=5，由此进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，AP，BP，EF都是圆O的切线，
∴由切线长定理可得PA=PB，EA=EC，FC=FB，
∵△PEF的周长为12，
∴PF+EF+PE=PF+FC+EC+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6；
（2）如图所示，连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，
∴OA=OB=OH=r，
由切线的性质可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴S△DGP=S△DOP+S△DOG+S△POG=12PD⋅OA+12PG⋅OB+12GD⋅OH
=12PD+PG+GD⋅r，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，
∴S△DGP=12PG⋅DG=6，PD=PG2+DG2=5，
∴12PD+PG+GD⋅r=6即12×3+4+5⋅r=6，
∴r=1，
∴⊙O的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．
14．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．
（1）求BD的长．
（2）求证：AC是⊙O的切线．
【答案】（1）22；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=90°，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA，根据等腰三角形等边对等角性质可得∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，进而可证明OA⊥AC，根据圆的切线的判定即可证得结论．
【详解】（1）解：连接OD，
∵⊙O的直径BE为4，
∴∠BAE=90°，BO=OD=2，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BOD=2∠BAD=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD=22+22=22；
（2）证明：连接OA，
∵FC=AC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，
∵∠CFA=∠DFO，∠BOD=90°，
∴∠CAF+∠OAF=∠CFA+∠ODF=∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理、对顶角相等、切线的判定、直角三角形的两锐角互余等知识，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
15．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC=60∘，∠ACB=70∘．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．
【答案】（1）115°；（2）65°
【分析】（1）由题意可知BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠OBC和∠OCB的度数可求出，进而可求出∠BOC的度数；
（2）连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A=50°，由切线的性质可知：∠OFA=90°，∠OEA=90°，从而得到∠A+∠EOF=180°，故可求得∠EOF=130°，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCB=12∠ACB=35°，
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°；
（2）如图所示；连接OE，OF．
∵∠ABC=60°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-60°-70°=50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA=90°．
同理∠OEA=90°．
∴∠BAC+∠EOF=180°．
∴∠EOF=130°，
∴∠EDF=12∠EOF=65°．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠EOF的度数是解题的关键．
16．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
【答案】（1）见解析；（2）r=1.5
【分析】（1）如图，连接PE，过点P作PF⊥AC，垂足为F，⊙P与直线AB相切，切点为E可得，PE⊥AB，由等腰三角形三线合一可得，∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，根据AAS可证△EAP≅△FAP，由全等的性质可得，PE=PF，故PF为半径，即得证；
（2）如图，连接BP，CP，设⊙P半径为r，根据勾股定理求出AD，由S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC，求解即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接PE，过点P作PF⊥AC，垂足为F，
∵⊙P与直线AB相切，切点为E，
∴PE⊥AB，
∵ 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，
在△EAP与△FAP中，
∠AEP=∠AFP=90°∠EAP=∠FAPAP=AP，
∴△EAP≅△FAP(AAS)，
∴PE=PF，
∴⊙P与直线AC相切；
（2）如图，连接BP、CP，
∵AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，
∴BD=3，
AD=AB2−BD2=52−32=4，
设⊙P半径为r，
∵S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC，
∴12AB⋅PE+12AC⋅PF+12BC⋅PD=12BC⋅AD，
∴12×5r+12×5r+12×6r=12×6×4，
解得：r=1.5．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握通过做辅助线切线的证明方法是解题的关键．
17．（2021·江苏南京·九年级期中）已知四边形ABCD中，AD//BC，BC=6，∠B=60°，∠C=90°，AB=m，
以BC为直径作⊙O．
（1）如图①，⊙O与AD边相切，切点为E，求m的值；
（2）就m的取值范围讨论⊙O与边AB、AD除点B外的公共点总个数的情况（直接写出答案）．
【答案】（1）m=23；（2）0