苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题2.18第7章锐角三角函数单元测试(培优强化卷)特训(原卷版+解析)

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2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.18第7章锐角三角函数单元测试（培优强化卷）注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）cos60°的值等于（　　）A．33 B．3 C．12 D．222．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝34，则BC的长为（    ）A．6 B．7.5 C．8 D．12.53．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图，点P（2，3）在第一象限，OP与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（    ）A．23 B．31313 C．21313 D．254．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为12，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为13，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　A．0.4 B．0.5 C．123 D．0.65．（2022·江苏·扬州市广陵区教师发展中心二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（    ）A．12 B．22 C．32 D．16．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE=253， sin∠CDE=45，则BC的长为（     ）A．5 B．245 C．25 D．32二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知α是锐角，tan90°−α−3=0，则α=______°．8．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=3，BC=4，则cosB的值是______．9．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果∠α是锐角，且cosα=13，那么sinα的值是 _____．10．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）比较sin30°与sin45°的大小，结果为：sin30°______sin45°．11．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）一条上山直道的坡度为1∶5，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为_______米．12．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图：两张宽度都为5cm的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 _____．13．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为_________．14．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．15．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，折线AB—BC中，AB=3，BC=5，将折线AB—BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD—DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则cos∠DEC=_____．16．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是3．BP=CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列到结论：①DF=CE；②OQ2=OA⋅OF；③SΔAOD=S四边形OECF；④AO2+OE2=BC2；⑤当BP=1时，tan∠OAE=1316，其中正确结论是：__．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏无锡·九年级期中）计算：(1)2sin30°+tan30°⋅cos30°(2)1−tan60°2+2−cos45°0−1sin45°18．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=4，求cosB的值．19．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）在RtΔABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知c=25，b=10，求∠A；(2)已知c=8，cos∠A=32，求b．20．（2022·江苏·八年级专题练习）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？21．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，(1)a=5，c=2a，求b、∠A(2)tanA=2，S△ABC=9，求△ABC的周长．22．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）如图，在△ABC中， sinB=13，tanC=22，AB=3，求AC、BC的长．23．（2021·江苏淮安·二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD；(2)在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE；(3)连接DE，则cos∠ADE＝　 　．24．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=3，点E是AB边中点，将△ADE沿DE翻折得△FDE，EF与DC边交于点G，点M在BC边上，将△BEM沿EM翻折得△NEM，点N恰好在CD边上．(1)求GN的长；(2)求sin∠GEN的值．25．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB∥MQ，OA段与竖直方向夹角为30°．已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，OM=120cm，OA=120cm，AB=150cm．(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？（本小题中3 取1.73）26．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．(1)求证：OB⊥BC；(2)若OA=5，OP=3，求CB的长；(3)设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且S1S2=109．若⊙O的半径为4，BP=655，求tan∠CBP．27．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cos33°≈1113，tan33°≈1320．2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.18第7章锐角三角函数单元测试（培优强化卷）注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）cos60°的值等于（　　）A．33 B．3 C．12 D．22【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：如图所示，Rt△ABC，∠C=90°，AB=2，AC=1，BC=3，∴cos60°=ACAB=12，故选：C．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝34，则BC的长为（    ）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【答案】A【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．【详解】解：如图∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝34，∴sinA=BCAB=BC8=34，解得：BC=6，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．3．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图，点P（2，3）在第一象限，OP与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（    ）A．23 B．31313 C．21313 D．25【答案】C【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，在Rt△APO中，利用勾股定理求出OP，然后利用余弦函数的定义求解即可．【详解】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，∵P（2，3），∴OA＝2，PA＝3，在Rt△APO中，OP=OA2+AP=22+32=13，∴cosα=OAOP=213=21313．故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为12，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为13，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　A．0.4 B．0.5 C．123 D．0.6【答案】D【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．【详解】解：在Rt△AOH中，sinA=OHOA=12，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB=OHOB=13，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2022·江苏·扬州市广陵区教师发展中心二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（    ）A．12 B．22 C．32 D．1【答案】B【分析】由图，∠APB与∠AOB为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案．【详解】解：∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB=90°，∴∠APB=12⋅∠AOB=45°（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴sin∠APB=sin45°=22，故选：B．【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质．6．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE=253， sin∠CDE=45，则BC的长为（     ）A．5 B．245 C．25 D．32【答案】C【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=12AB，进而得到∠CBE=∠EDC，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得出BE、CE、BC的关系，再利用三角形的面积公式求出BC即可．【详解】解：连接BE，如图所示：∵CD是斜边AB上的中线，DE⊥AB，∴DE是AB垂直平分线，∴ ∠EBD=∠A，∴∠BEC=∠EBD+∠A=2∠A，在Rt△BCE中∴∠CBE=90°−∠BEC=90°−2∠A，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=12AB，则∠DCA=∠A，∵∠EDC+∠ADE=180°−(∠DCA+∠A)=180°−2∠A,∴∠EDC=90°−2∠A，则∠CBE=∠EDC，∵ sin∠CDE=45，∴sin∠CBE=sin∠CDE=45，即CEBE=45，设CE=4a，BE=AE=5a，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：∴BC=BE2−CE2=(5a)2−(4a)2=3a ∵CD是斜边AB上的中线，∴S△ADE=S△BDE=253，∴S△AEB=503，又 ∵S△AEB=12AE·BC∴12AE·BC=503，∴12×5a×3a=503 ，∴a=253，∴BC=3a=3×253=25；故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．二、填空题(共0分)7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知α是锐角，tan90°−α−3=0，则α=______°．【答案】30【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：tan90°−α−3=0，∴tan90°−α=3=tan60°，∴90°−α=60°，∴α=30°；故答案为：30．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=3，BC=4，则cosB的值是______．【答案】23【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×3=6，∴cosB=BCAB=46=23；故答案为：23．【点睛】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．9．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果∠α是锐角，且cosα=13，那么sinα的值是 _____．【答案】223##232【分析】在Rt△ABC，∠B=α，∠C=90°，由cosα=BCAB=13，可设BC=x，则AB=3x,勾股定理求出AC=22x，即可得到答案．【详解】解：如图，在Rt△ABC，∠B=α，∠C=90°，∵cosα=BCAB=13，∴设BC=x，则AB=3x,由勾股定理得AC=AB2−BC2=3x2−x2=22x，∴sinα=ACAB=22x3x=223，故答案为：223【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）比较sin30°与sin45°的大小，结果为：sin30°______sin45°．【答案】< 【分析】根据特殊角的三角函数值直接比较即可．【详解】解：sin30°=12，sin45°=22，∵12218.1cm则货车不能安全通过该入口.【点睛】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题是解题关键．26．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．(1)求证：OB⊥BC；(2)若OA=5，OP=3，求CB的长；(3)设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且S1S2=109．若⊙O的半径为4，BP=655，求tan∠CBP．【答案】(1)见解析(2)CB=83(3)tan∠CBP=2【分析】（1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°；（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到52+x2=(x+3)2，然后解方程即可；（3）作CD⊥BP于D，由等腰三角形三线合一的性质求出BD的长，由S1S2=109得出SΔAOPSΔPCD=209，通过证得ΔAOPC∽ΔCDP，即可求得CD的值，然后解直角三角形即可求得．【详解】（1）证明：连接OB，∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A+∠APO=90°，∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB，而∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，∴OB⊥BC；（2）解：设BC=x，则PC=x，在RtΔOBC中，OB=OA=5，OC=CP+OP=x+3，∵OB2+BC2=OC2，∴52+x2=(x+3)2，解得x=83，即BC的长为83；（3）解：如图，作CD⊥BP于D，∵PC=BC，∴PD=BD=12PB=355，∵∠PDC=∠AOP=90°,∠APO=∠CPD，∴ΔAOP∽ΔCDP，∴SΔAOPSΔPCD=OA2CD2．∵S1S2=109，∴SΔAOPSΔPCD=209，∴OA2CD2=209，∵OA=4，∴CD=655，∴tan∠CBP=CDBD=2．【点睛】本题考查了圆的有关概念、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．27．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cos33°≈1113，tan33°≈1320．【答案】42cm【分析】连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q，根据圆周角定理可得∠AEM=33°，解Rt△AEH，得出1320=42920EH，进而求得EM的长，即可求解．【详解】解：连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q．∵M是AC的中点，点E在MN上，∴∠AEM=∠CEM=12∠AEC=33°．在△AEC中，∵EA=EC，∠AEH=∠CEH，∴EH⊥AC，AH=CH．∵直线l是对称轴，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥CD∥MN．∴AC⊥AB．∴AC=42.9，AH=CH=42920．在Rt△AEH中，sin∠AEH=AHAE，即1120=42920AE，则AE=39．∵tan∠AEH=AHHE，即1320=42920EH，则EH=33．∴MH=6．∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，∴HQ=12AB=15,∴MQ=MH+HQ=6+15=21．∴MN=42cm．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．