苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题(提升版)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题(提升版)特训(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了77，cs50°≈0，1亿元，5　分．，3＞3，符合题意，等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•阜宁县期中）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
2．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用24米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：
（1）设仓库垂直于墙的一边长为x米，则仓库平行于墙的一边长为 米；
（2）以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
3．（2022秋•梁溪区校级期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣，x1•x2＝，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝ ，α•β＝ ；若2，3是方程x2+px+q＝0的两根，则p＝ ，q＝ ；
（2）已知m，n满足m2+6m﹣3＝0，n2+6n﹣3＝0，求+的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝7，则正整数c的最小值为 ．
4．（2022秋•玄武区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根为x1和x2，且x1+x2＝3x1x2，求k的值．
5．（2022秋•姜堰区期中）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照．如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？
（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日与12日两天共卖出多少张电影票．
6．（2022秋•天宁区校级期中）九7九8班组织了一次经典朗读比赛，两班各10人的比赛成绩如表（10分制）：
（1）九7班成绩的平均数是 分，中位数是 分．
（2）计算九8班的平均成绩和方差．
（3）已知九7班成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 班．
7．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．
（1）快递包装纸盒应投入 垃圾箱；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 ；
（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．
8．（2022秋•仪征市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2），B（0，4），C（4，4）．
（1）△ABC外接圆的圆心P坐标为 ，外接圆的半径是 ；
（2）作出弧AC，并求弧AC的长度．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝3，求DE的长．
10．（2022秋•如皋市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点H，作CE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CH⊥AD；
（2）若CD＝5，CE＝4，求HD的长．
11．（2022秋•启东市期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D的切线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝8，
①求AC的长；
②求图中阴影部分（区域DBF）的面积．
12．（2022秋•海陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．
（1）连结AF、BD，求证四边形AFDB为矩形．
（2）若CF＝，CD＝，求阴影部分的面积．
13．（2022秋•镇江期中）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．
（1）当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；
（2）直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．
14．（2022秋•兴化市期中）如图1，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，给出下列信息：
①EF是⊙O的切线②AC⊥EF③AE平分∠BAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论，组成一个正确的命题，你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，AC交⊙O于D，若AD＝2，EC＝，求AE的值．
15．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．
（1）①以点O为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；
②点D坐标为 ；
③△DEF的面积为 个平方单位；
（2）△ABC的外接圆圆心M的坐标为 ．
16．（2022秋•惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD：AO＝5：3，BC＝3，求BD的长．
17．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，面积为15，点E从点B出发沿折线B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）则菱形的高为 ；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长；
（3）已知FG＝4，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？请直接写出答案．
18．（2022秋•高邮市期中）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；
【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 ；
【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．
19．（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．
①求的值；
②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．
20．（2022秋•姑苏区期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平地面40cm，点C距离水平地面61cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的值（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
21．（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．
22．（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
23．（2022秋•如皋市期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小；
（3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10．
24．（2022秋•如皋市期中）某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元/个．设第x天的销售价格为y（元/个），销售量为n（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①y与x的关系式为y＝﹣x+55；
②n与x的关系式为n＝5x+50．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个（0＜k＜8），求k的值．
25．（2022秋•如东县期中）嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如图，B是该函数图象上的一点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．
26．（2022秋•工业园区期中）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．
（1）当a＞0时，知OC＝MD，求AB的长；
（2）当a＜0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；
27．（2022秋•工业园区期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，yP），Q（n，yQ），
①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值；
②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围．
28．（2022秋•徐州期中）抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点，且点D的横坐标为﹣1．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若点P是x轴下方抛物线上任意一点，已知⊙P的半径为2，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标是 ．
29．（2022秋•兴化市期中）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0，3），点D是对称轴与x轴的交点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，E是对称轴上一动点，当EC的垂直平分线恰好经过点B时，求点E的坐标；
（3）如图2，F、G是对称轴上的两点（位于x轴上方），且DF+DG＝8，直线AF、BG的交点为点H．试判断点H是否在该二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象上，并说明理由．
30．（2022秋•工业园区校级期中）如图，已知点P是第一象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC．
（1）线段AB的长为 （用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分∠CAP，求点P的坐标；
（3）若△ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点，则的最小值是多少？直接写出答案即可．
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元
九7
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
九8
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】
专题6.3小题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•阜宁县期中）解下列一元二次方程．
（1）x+3﹣x（x+3）＝0；
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【解析】（1）x+3﹣x（x+3）＝0，
（x+3）﹣x（x+3）＝0，
（x﹣3）（1﹣x）＝0，
∴x﹣3＝0或1﹣x＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
（2）（2x﹣1）（x+3）＝4，
2x2+5x﹣7＝0，
（2x+7）（x﹣1）＝0，
∴2x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1．
2．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用24米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：
（1）设仓库垂直于墙的一边长为x米，则仓库平行于墙的一边长为 （26﹣2x） 米；
（2）以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为（24﹣2x+2）米，而仓库的面积为84米2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解析】（1）仓库平行于墙的一边长为（26﹣2x）米；
故答案为：（26﹣2x）；
（2）设仓库的垂直于墙的一边长为x米，
依题意得（24﹣2x+2）x＝84，
解得：x1＝6，x2＝7，
当x1＝6时，24﹣2x+2＝14＞13，不合题意舍去；
当x2＝7时，24﹣2x+2＝12．
答：该长方形相邻两边长要取12米，7米．
3．（2022秋•梁溪区校级期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣，x1•x2＝，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝ ﹣ ，α•β＝ ﹣ ；若2，3是方程x2+px+q＝0的两根，则p＝ ﹣5 ，q＝ ﹣6 ；
（2）已知m，n满足m2+6m﹣3＝0，n2+6n﹣3＝0，求+的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝7，则正整数c的最小值为 4 ．
【分析】（1）直接利用根与系数的关系得到α+β和α•β的值，根据根与系数的关系得到2+3＝﹣p，2×3＝q，从而可得到p、q的值；
（2）讨论：当m＝n时，易得原式＝2；当m≠n时，把m、n看作方程x2+6x﹣3＝0的两根，利用根与系数的关系得到m+n＝﹣6，mn＝﹣3，再通分得到原式＝＝，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用已知条件变形得到a+b＝﹣c，ab＝，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程x2+cx+＝0的两根，再根据根的判别式的意义得到Δ＝c2﹣4×≥0，然后确定c的最小整数．
【解析】（1）α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝﹣，α•β＝﹣；
∵2，3是方程x2+px+q＝0的两根，
∴2+3＝﹣p，2×3＝q，
解得p＝﹣5，q＝6；
故答案为：﹣，﹣；﹣5，6；
（2）m，n满足m2+6m﹣3＝0，n2+6n﹣3＝0，
当m＝n时，原式＝1+1＝2；
当m≠n时，m、n可看作方程x2+6x﹣3＝0的两根，
∵m+n＝﹣6，mn＝﹣3，
∴原式＝＝＝＝﹣13；
（3）∵a+b+c＝0，abc＝7，
∴a+b＝﹣c，ab＝，
∴a、b为一元二次方程x2+cx+＝0的两根，
∵Δ＝c2﹣4×≥0，
而c＞0，
∴c3≥28，
∴c的最小整数为4
4．（2022秋•玄武区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根为x1和x2，且x1+x2＝3x1x2，求k的值．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，则利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k+1，x1x2＝k﹣1，再利用x1+x2＝3x1x2得到k+1＝3（k﹣1），然后解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4＞0，
∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+1，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2＝3x1x2，
∴k+1＝3（k﹣1），
解得k＝2，
即k的值为2．
5．（2022秋•姜堰区期中）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照．如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？
（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日与12日两天共卖出多少张电影票．
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房＝第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，即可求出结论．
【解析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）[1210000000﹣1000000000×（1+10%）]÷40
＝[1210000000﹣1100000000]÷40
＝110000000÷40
＝2750000（张）．
答：10月11日与12日两天共卖出2750000张电影票
6．（2022秋•天宁区校级期中）九7九8班组织了一次经典朗读比赛，两班各10人的比赛成绩如表（10分制）：
（1）九7班成绩的平均数是 9 分，中位数是 9.5 分．
（2）计算九8班的平均成绩和方差．
（3）已知九7班成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 九8 班．
【分析】（1）利用平均数的定义以及中位数的定义分别求出即可；
（2）首先求出平均数进而利用方差公式得出即可；
（3）利用方差的意义进而得出即可．
【解析】（1）九7班成绩的中位数是：＝9.5（分），
平均数为：（7×2+8+9×2+10×5）＝9（分），
故答案为：9；9.5；
（2）九8班的平均数为：（10×4+8×2+7+9×3）＝9（分），
九8班的方差为×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+…+3×（9﹣9）2]
＝×（4+2+4）
＝1；
（3）∵九7班成绩的方差是1.4，
1＜1.4，
∴成绩较为整齐的是九8班．
故答案为：九8．
7．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．
（1）快递包装纸盒应投入 A 垃圾箱；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 ；
（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．
【分析】（1）快递包装纸盒属于可回收物；
（2）根据概率公式求解即可；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）快递包装纸盒应投入A垃圾箱，
故答案为：A；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中她投放正确的只有1种结果，
∴她投放正确的概率为．
8．（2022秋•仪征市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，2），B（0，4），C（4，4）．
（1）△ABC外接圆的圆心P坐标为 （2，0） ，外接圆的半径是 2 ；
（2）作出弧AC，并求弧AC的长度．
【分析】（1）线段AB，BC的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）如图，⊙P即为△ABC的外接圆，P（2，0），外接圆的半径PA＝＝2；
故答案为：（2，0），2；
（2）如图，弧AC即为所求，
∵PA＝PC＝＝2，AC＝＝2，
∴PA2+PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧AC的长度＝＝π．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝3，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到OD⊥DC，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OF⊥BE于F，根据勾股定理求出EF，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵DE平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠OED，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠ODE＝90°，
∴OD⊥DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥BE于F，
则四边形OFCD为矩形，
∴OF＝CD＝3，CF＝OD＝5，
由勾股定理得：EF＝＝4，
∴EC＝CF﹣EF＝1，
∴DE＝＝．
10．（2022秋•如皋市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点H，作CE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CH⊥AD；
（2）若CD＝5，CE＝4，求HD的长．
【分析】（1）连接OC，AC，根据点C是的中点，可得＝，然后证明OC∥AD，再根据切线的性质即可解决问题；
（2）先根据勾股定理求出BE＝3，再根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠HDC＝∠B，然后证明△HDC≌△EBC（AAS），可得HD＝BE＝3．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，AC，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵HC是⊙O的切线，OC是半径，
∴OC⊥HC，
∴CH⊥AD；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝5，
∵CE⊥AB，CE＝4，
∴BE＝＝3，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠HDC＝∠B，
在△HDC和△EBC中，
，
∴△HDC≌△EBC（AAS），
∴HD＝BE＝3．
∴HD的长为3．
11．（2022秋•启东市期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D的切线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝8，
①求AC的长；
②求图中阴影部分（区域DBF）的面积．
【分析】（1）先证明∠ODA＝∠EAD得到OD∥AE，再根据切线的性质得到OD⊥EF，然后根据平行线的性质得AE⊥EF；
（2）①连接BC，如图，先根据平行线的性质得到∠EAB＝60°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，所以∠CBA＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AC＝4；
②先计算出∠DOF＝60°，∠F＝30°，则OD＝4，DF＝OD＝4，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S△DOF﹣S扇形DOB进行计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵EF为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥EF，
∴AE⊥EF；
（2）解：①连接BC，如图，
∵∠AOD＝120°，OD∥AE，
∴∠EAB＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝30°，
∴AC＝AB＝4；
②∵∠AOD＝120°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
在Rt△ODF中，∵∠F＝30°，
∴DF＝OD＝4，
∵S△ODF＝OD•DF＝×4×4＝8，
S扇形DOB＝＝π，
∴S阴影部分＝S△DOF﹣S扇形DOB＝8﹣π．
12．（2022秋•海陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．
（1）连结AF、BD，求证四边形AFDB为矩形．
（2）若CF＝，CD＝，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明即可．
（2）阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【解答】（1）证明：连接AF、BE，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°．
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°．
∵DF∥AB，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠ABD＝∠D＝∠F＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：∵四边形ABDF是矩形，
∴AF＝BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠F＝∠D＝90°，
∴∠ACF+∠BCD＝90°，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ACF＝∠CBD，
∴△AFC∽△CDB，
∴＝，
∴AF＝BD＝2，
∴AC＝＝5，BC＝＝＝10，
∴S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积
＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2
＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝AC×BC
＝×5×10
＝25．
13．（2022秋•镇江期中）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．
（1）当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；
（2）直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．
【分析】（1）如图1，取AB的中点G，作GF⊥AB交DC的延长线于F，交BC于E，则点O在线段FG上，连接OB，则OB＝OF＝r，利用切线性质可得∠EFC＝90°，再运用勾股定理得出：OG＝，EG＝2，EF＝2，FG＝4，由OG+OF＝FG，建立方程求解即可；
（2）分三种情况：⊙O与▱ABCD的边有2个公共点时，⊙O与▱ABCD的边有3个公共点时，⊙O与▱ABCD的边有4个公共点时，分别画出图形，求出BP的范围．
【解析】（1）如图1，取AB的中点G，作GF⊥AB交DC的延长线于F，交BC于E，则点O在线段FG上，
∴BG＝AB＝×4＝2，
连接OB，则OB＝OF＝r，
在Rt△OBG中，OG＝＝，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2BG＝4，
∴EG＝＝＝2，
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣4＝4，
∵DC与⊙O相切，
∴∠EFC＝90°，
∵∠CEF＝∠BEG＝30°，
∴CF＝EC＝2，
∴EF＝＝＝2，
∴FG＝EF+EG＝2+2＝4，
∵OG+OF＝FG，
∴+r＝4，
解得：r＝，
∴⊙O的半径为；
（2）当AD与⊙O相切时，如图2，连接AO交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD与⊙O相切，
∴∠DAH＝∠AHB＝90°，
∵OH⊥BP，
∴BH＝HP，
∴AP＝AB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP＝AB＝4，
∴当0＜BP≤4时，⊙O与▱ABCD的边有3个公共点；
当⊙O经过点D时，如图3，连接BD、DP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBP，
∴AB＝DP，
∵AB＝CD，
∴CD＝DP，
∵AB∥CD，
∴∠DCP＝∠ABC＝60°，
∴△CDP是等边三角形，
∴CP＝CD＝AB＝4，
∴BP＝BC+CP＝8+4＝12，
∴当4＜BP＜12时，⊙O与▱ABCD的边有4个公共点；
当BP＝12时，⊙O与▱ABCD的边有3个公共点；
当BP＞12时，⊙O与▱ABCD的边有2个公共点；
综上所述，当⊙O与▱ABCD的边有2个公共点时，BP＞12；当⊙O与▱ABCD的边有3个公共点时，0＜BP≤4或BP＝12；当⊙O与▱ABCD的边有4个公共点时，4＜BP＜12．
14．（2022秋•兴化市期中）如图1，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，给出下列信息：
①EF是⊙O的切线②AC⊥EF③AE平分∠BAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论，组成一个正确的命题，你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号），并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，AC交⊙O于D，若AD＝2，EC＝，求AE的值．
【分析】（1）连接OE，根据圆的性质可得OE⊥PQ．再由平行线的性质及角平分线的定义可得结论；
（2）连接BD、OE，过O作OM∥BD，根据圆周角定理及切线性质可得OE⊥CF，由矩形的判定与性质可得ND＝CE＝OM＝，连接BE，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解析】（1）选择的条件是①、②，结论是③，
证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
故答案为：①②，③；
（2）连接BD、OE，过O作OM∥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ECA，
∴BD∥CF，
∵E是切点，
∴OE⊥CF，
∵AC⊥CF，
∴OE∥AC，
∴四边形OECM、四边形ONDM是矩形，
∴ND＝CE＝OM＝，
∵O是AB的中点，
∴N是BD的中点，M是AD的中点，
∴AM＝MD＝ON＝1，
∴OA＝＝2，
∴AB＝4，
连接BE，则∠BEA＝90°，
∵AE平分∠BACAE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∴△ABE∽△AEC，
∴，
∴，
∴AE4﹣16AE2+48＝0，
∴AE＝2或2
而当AE＝2时，AC＝＝1，与AD＝2矛盾，
∴AE＝2．
15．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．
（1）①以点O为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；
②点D坐标为 （2，2） ；
③△DEF的面积为 4 个平方单位；
（2）△ABC的外接圆圆心M的坐标为 （2，3） ．
【分析】（1）①利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
②根据图形即可得到结论；
③利用三角形面积求法得出答案；
（2）线段AB，AC的垂直平分线的交点即为所求．
【解析】（1）①如图所示：△DEF即为所求；
②D（2，2）；
故答案为：（2，2）；
③△DEF的面积为：×4×2＝4．
故答案为：4；
（2）如图2，点M即为△ABC的外接圆的圆心．
△ABC的外接圆圆心M的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）．
16．（2022秋•惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD：AO＝5：3，BC＝3，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，先利用角间关系说明∠ODB＝90°，再利用切线的判定方法得结论；
（2）连接DE，先说明△ADE∽△BCD，再利用相似三角形的性质得结论．
【解析】（1）BD是⊙O的切线．
理由：连接OD．
∵点D在⊙O上，
∴OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO．
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠CBD+∠DBA＝90°．
∵∠CBD＝∠A，
∴2∠A+∠DBA＝90°．
∵∠DOB＝∠A+∠ADO＝2∠A，∠DOB+∠DBA+∠ODB＝180°，
∴∠ODB＝90°．
∵点D在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线．
（2）连接DE．
∵AE是⊙O的直径，
∴AE＝2AO，∠ADE＝90°＝∠C．
又∵∠CBD＝∠A，
∴△ADE∽△BCD．
∴＝．
∵AD：AO＝5：3，
∴AD：AE＝5：6．
∴BC：BD＝5：6，
∵BC＝3，
∴BD＝．
17．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，面积为15，点E从点B出发沿折线B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）则菱形的高为 3 ；
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长；
（3）已知FG＝4，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？请直接写出答案．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．利用菱形的面积公式求解；
（2）设AO的中点为O．分两种情形：如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．分别求解即可；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．分四种情形：①当点E在线段BM上时，0＜s≤4，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．a、若点H值点C的左侧，x+4≤5，即0＜x≤1，如图4，b、若点H在点C的右侧，s+4＞5，即1＜s≤4，如图5；②当点E在线段MC上时，4＜s≤5，如图6；③当点E在线段CN上时，5≤x≤6，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J；④当点E值线段DN上时，6＜s＜10，分别求解即可．
【解析】（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∵S菱形ABCD＝BC•AH，
∴AH＝＝3，
故答案为：3；
（2）设AC的中点为O．
①如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．
在Rt△ABM中，AM＝3，AB＝5，
∴BM＝＝＝4，
∴FG＝EF＝AM＝3，CM＝BC﹣BM＝1，
∵OA＝OC，OE∥AM，
∴CE＝EM＝CM＝，
∴AF＝EM＝，
∴AG＝AF+FG＝．
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．
同法FG＝EF＝AN＝3，CN＝1，AF＝EN＝CN，
∴AG＝FG﹣AF＝3﹣＝，
综上所述，满足条件的AG的长为或；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，0＜s≤4，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．
a、若点H点C的左侧，s+4＜5，即0＜s＜1，如图4，
CH＝BC﹣BH＝5﹣（4x+4）＝1﹣4x，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
∴s＝4x＝．
由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
∴s＝4x＝．
b、若点H在点C的右侧，s+4＞5，即1＜s≤4，如图5，
CH＝BH﹣BC＝（4x+4）﹣5＝4x﹣1，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝＝，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝，
∴＝，解得x＝，
∴s＝4x＝．
②当点E在线段MC上时，4＜s≤5，如图6，
EF＝3，EH＝4，BE＝s，
∴BH＝BE+EH＝s+4，CH＝BH﹣BC＝s﹣1，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，方程无解，
由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝，
∴＝，解得s＝（舍弃）
③当点E在线段CN上时，5＜s≤6，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC＝5，CJ＝3，BJ＝4，
∵EH＝BJ＝4，JF＝CE，
∴BJ+JF＝EH+CE，即CH＝BF，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时5＜s≤6．
④当点E在线段DN上时，6＜s＜10，
∵∠EFB＞90°，
∴△GHC与△BEF不相似．
综上所述．满足条件的s的值为或或或5≤s≤6．
18．（2022秋•高邮市期中）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；
【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为 2 ；
【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．
【分析】（1）利用等边三角形的性质，三角形的内角和定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，三角形的内角和定理判定△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性质求得∠EDC＝∠C＝30°，∠FEC＝∠C＝30°；再利用含30°角的直角三角形的性质和等量代换的性质即可得出结论；
（3）在DC上截取DF＝BA，连接EF，利用全等三角形的判定与性质得到∠B＝∠EFD＝60°，则∠EFC＝120°，利用相似三角形的判定与性质得到关于CF的方程，解方程求得CF，则DC＝DF+CF．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形；，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴，
∴AB•CE＝BD•DC；
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝60°．
∵AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠C＝30°，
∴DE＝EC．
∵∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，
∴DF＝2EF．
∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，
∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴EF＝FC，
∴DF＝2FC，
即＝2，
故答案为：2；
（3）解：在DC上截取DF＝BA，连接EF，如图，
∵∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE．
∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，
∴∠BAD＝∠EDF，
在△BAD和△FDE中，
，
∴△BAD≌△FDE（SAS），
∴∠B＝∠EFD＝60°，
∴∠EFC＝120°．
∵∠AED＝60°，
∴∠DEC＝120°，
∴∠EFC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴CF2+5CF﹣36＝0，
∵CF＞0，
∴CF＝4．
∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．
19．（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．
①求的值；
②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．
【分析】（1）利用相似三角形的性质，平行线的判定证明即可；
（2）①证明△ABC∽△DEC，推出＝，可得＝，再证明△ACD∽△BCE，可得结论；
②利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC∽△DEC，
∴∠B＝∠DEC，
∴DE∥AB；
（2）①解：∵△ABC∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②解：如图3﹣1中，当点D落在线段AE上时，设AE交BC于点O．
∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°，
∴∠DEB＝90°．
20．（2022秋•姑苏区期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平地面40cm，点C距离水平地面61cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的值（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【分析】（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H，则△ABG∽△ACF，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；
（2）根据题意求得CF的长，在Rt△ACF中，求得sin∠CAE，即可求得∠CAE的度数．
【解析】（1）设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，
作BH⊥AE于点G，交DM于点H，
则BG∥CF，
∴△ABG∽△ACF，
∴＝，即＝，
解得：x＝5，
则圆形滚轮的半径AD的长是5cm；
（2）CF＝40﹣5＝40（cm）．
则sin∠CAE＝＝＝，
∴∠CAE＝60°．
21．（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．
【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；
（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．
【解析】（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴b＝c＝4，
∵tanA＝，
∴a＝btanA，
∴a＝4×＝12；
（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝6，
∵sinA＝，
∴AB＝＝10，
∵AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC2＝102﹣62，
∴AC＝8，
∴AD＝AC﹣DC＝2．
22．（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．
（1）求OA的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？
【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；
（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．
【解析】（1）∵AO'：O'C＝5：3，
∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，
∵O'C⊥OA，
∴∠ACO′＝90°，
∵AO′＝＝4x，
∴4x＝40，
解得x＝10，
∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，
∴AO＝AO′＝50cm；
答：OA的长为50cm；
（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，
∴∠AOB＝150°，
∴∠BOH＝30°，
∵BH＝OB＝25cm，
∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）
∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），
∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．
23．（2022秋•如皋市期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小；
（3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解．
（3）由点P，Q坐标可得抛物线对称轴，从而可得a的值，将点P坐标代入解析式并通过配方求解．
【解析】（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2m+3）．
（2）∵y＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴y1＞y2．
（3）∵抛物线经过P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝a+m﹣1，
∴m＝a+m﹣1，
∴a＝1，a﹣1＝﹣4，
将（﹣4，c）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3得c＝16+8m+m2﹣2m+3＝（m﹣3）2+10，
∴c≥10．
24．（2022秋•如皋市期中）某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元/个．设第x天的销售价格为y（元/个），销售量为n（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①y与x的关系式为y＝﹣x+55；
②n与x的关系式为n＝5x+50．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个（0＜k＜8），求k的值．
【分析】（1）求出第10天的售价和销售量，再用单个利润×销售量即可；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）先根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再分k＝3，0＜k＜3，3＜k＜8三种情况，用函数的性质求函数取得最小值时k的值．
【解析】（1）当x＝10时，y＝﹣×10+55＝50，n＝5×10+50＝100，
∴纯利润＝（y﹣18）n＝（50﹣18）×100＝3200，
答：第10天的日销售利润为3200元；
（2）根据题意得，W＝（y﹣18）n＝（﹣x+37）（5x+50）＝﹣x2+160x+1850＝﹣（x﹣32）2+4410，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当34≤x≤50时，W随x的增大而减小，
故当x＝34时，Wmax＝4400元，
答：第34天的销售利润最大，最大利润为4400元；
（3）根据题意得，W＝（y+k﹣18）n＝﹣x2+（160+5k）x+50k+1850，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
对称轴x＝32+k，
∵第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，
①当k＝3时，即对称轴为x＝35，W的最小值在x＝30或x＝40处取得，
W＝﹣×302+（160+5×3）×30+50×3+1850＝5000＜5460，
故k＝3不合题意；
②当0＜k＜3时，对称轴32＜32+k＜35，
则当x＝40时，W取最小值，
∴W＝﹣×402+（160+5k）×40+1850+50k＝4250+250k＝5460，
∴k＝＞3，与0＜k＜3矛盾，
∴0＜k＜3不符合题意；
③当3＜k＜8时，对称轴35＜32+k＜40，
∴当x＝30时W有最小值，
∴W＝＝﹣×302+（160+5k）×30+1850+50k＝4400+200k＝5460，
解得k＝5.3＞3，符合题意，
∴k的值为5.3．
25．（2022秋•如东县期中）嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如图，B是该函数图象上的一点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）根据题意解方程即可得到结论．
【解析】（1）函数图象如图所示；
（2）解：令y＝0，得﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），
∴抛物线与x轴的坐标为（10，0）．
∴铅球推出的距离为10m，
∵若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀，
∴嘉嘉此次试投的成绩达到优秀．
26．（2022秋•工业园区期中）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．
（1）当a＞0时，知OC＝MD，求AB的长；
（2）当a＜0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；
【分析】（1）根据题意求出M（1，c﹣a），D（1，0），再由OC＝MD，得到c＝a，则y＝ax2﹣2ax+a，当ax2﹣2ax+a＝0时，分别求出A（1﹣，0），B（1+，0），再求AB的长即可；
（2）过点A作AM⊥BC交于点M，由∠OBC＝45°，tan∠ACB＝2，可得AM＝BM＝2CM，再由OC＝OB＝c，求出CM＝c，AB＝c，OA＝c，根据a＜0，c＞0，可知A（﹣c，0），B（c，0），根据c＝2，求出c的值，从而确定A、B点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可．
【解析】（1）∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x2﹣2x）+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∴顶点M（1，c﹣a），D（1，0），
令x＝0，则C（0，c），
∴OC＝c，
∵OC＝MD，
∴c＝（a﹣c），
∴c＝a，
∴y＝ax2﹣2ax+a，
令y＝0，则ax2﹣2ax+a＝0，
∴x＝1+或x＝1﹣，
∴A（1﹣，0），B（1+，0），
∴AB＝；
（2）过点A作AM⊥BC交于点M，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∴AM＝BM，
∵tan∠ACB＝2，
∴AM＝BM＝2CM，
∴BC＝3CM，
∵C（0，c），
∴OC＝OB＝c，
∴3CM＝c，
∴CM＝c，
∴AB＝2CM＝c，
∴OA＝AB﹣OB＝c，
∵a＜0，c＞0，
∴A（﹣c，0），B（c，0），
令y＝0，则ax2﹣2ax+3＝0，
∴c＝2，
∴c＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3中，a+2a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3．
27．（2022秋•工业园区期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，yP），Q（n，yQ），
①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值；
②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围．
【分析】（1）利用表中的对应值可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把x＝0，y＝3代入求出a即可；
（2）①利用抛物线的对称性得到m+n＝﹣2，然后把x＝m+n代入抛物线解析式中计算即可．
②利用二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0，
∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵x＝0，y＝3，
∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等，
而抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴m+n＝﹣2，
当x＝m+n时，y＝﹣（﹣2+1）（﹣2﹣3）＝﹣5．
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（4，yQ）关于对称轴的对称点为（﹣6，yQ），
∵yP＜yQ，
∴m的取值范围是m＜﹣6或m＞4．
28．（2022秋•徐州期中）抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点，且点D的横坐标为﹣1．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若点P是x轴下方抛物线上任意一点，已知⊙P的半径为2，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标是 （﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2） ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△BCD的面积＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC，即可求解；
（3）分⊙P与y轴相切、⊙P与x轴相切两种情况，确定点P的一个坐标即可求解．
【解析】（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝﹣1时，y＝x2+2x﹣3＝﹣4，即点D（﹣1，﹣4），
过点D作DH⊥y轴于点H，
则DH＝1，CH＝﹣3﹣（﹣4）＝1，OC＝OB＝3，OH＝4，
则△BCD的面积＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC＝（DH+OB）•OH﹣×OB•OC﹣×DH•CH
＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1＝3；
（3）当⊙P与y轴相切时，则点P的横坐标为x，则|x|＝2，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
当x＝2时，y＝5，
∴P（2，5）（舍去）；
当⊙P与x轴相切时，则点P的横坐标为y，则y|＝﹣2，
即y＝x2+2x﹣3＝﹣2，
解得：x＝﹣1±，
即点P的坐标为（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）；
综上所述，圆心P的坐标为：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）．
29．（2022秋•兴化市期中）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0，3），点D是对称轴与x轴的交点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，E是对称轴上一动点，当EC的垂直平分线恰好经过点B时，求点E的坐标；
（3）如图2，F、G是对称轴上的两点（位于x轴上方），且DF+DG＝8，直线AF、BG的交点为点H．试判断点H是否在该二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象上，并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）EC的垂直平分线恰好经过点B，则BC＝BE，即可求解；
（3）由直线AF，BG的交点坐标为H，求出点H的坐标，进而求解．
【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴二次函数的表达式y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵E是对称轴上一动点，
故设点E（﹣1，t），
∵EC的垂直平分线恰好经过点B，
∴BC＝BE，
即1+32＝（1+1）2+t2，
解得t＝±，
故点E的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）；
（3）点H在二次函数的图象上，理由：
设F（﹣1，m），
∴DF＝m，
∵DF+DG＝8，
∴DG＝8﹣m，
设AF的表达式为y＝k1x+b1，
则，解得，
∴AF的表达式为；
恭喜您，保存成功．设BG的表达式为y＝k2x+b2
则，解得k，
∴BG的表达式为y＝（m﹣8）x+（8﹣m）；
直线AF，BG的交点坐标为H，，
解得，
∴H（，），
当时，
＝＝＝，
∴点H在二次函数的图象上．
30．（2022秋•工业园区校级期中）如图，已知点P是第一象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC．
（1）线段AB的长为 4m （用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分∠CAP，求点P的坐标；
（3）若△ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点，则的最小值是多少？直接写出答案即可．
【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；
（2）先求出∠ABC＝∠DAB＝45°，可得BC⊥AD，再由△AOK和△DQK是等腰直角三角形，确定点Q的坐标，利用点Q的坐标求出C点关于AD的对称点G的坐标，直线AG与抛物线的交点即为P点；
（3）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，过点A作AF∥y轴交BC于点F，设P（t，﹣t2+2mt+3m2），则F（﹣m，5m2），Q（t，﹣mt+3m2），由PQ∥AF，＝，当PQ最大时，有最小值，再由PQ＝﹣（t﹣m）2+m2，当t＝m时，PQ有最大值m2，即可求的最小值是．
【解析】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx+3m2＝0，
∴x1+x2＝2m，x1•x2＝﹣3m2，
∴AB＝＝4m，
故答案为：4m；
（2）当m＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，
∴D（2，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
过点D作DH⊥x轴交于点H，
∴DH＝3，AH＝3，
∴∠DAH＝45°，
∴BC⊥AD，
∵AO＝1，
∴OK＝1，
∴CK＝2，
∵△CQK是等腰直角三角形，
∴Q（1，2），
∴C点关于AD的对称点G（2，1），
∴∠CAQ＝∠QAG，
∴AD平分∠CAG，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴P（，）；
（3）令x＝0，则y＝3m2，
∴C（0，3m2），
令y＝0，则﹣x2+2mx+3m2＝0，
解得x＝﹣m或x＝3m，
∴B（3m，0），A（m，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣mx+3m2，
过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，过点A作AF∥y轴交BC于点F，
设P（t，﹣t2+2mt+3m2），
∴F（﹣m，5m2），Q（t，﹣mt+3m2），
∴PQ＝﹣t2+2mt+3m2+mt﹣3m2＝﹣t2+3mt，FA＝5m2，
∵PQ∥AF，
∴＝＝，
当PQ最大时，有最小值，
∵PQ＝﹣t2+3mt＝﹣（t﹣m）2+m2，
当t＝m时，PQ有最大值m2，
∴的最小值是．
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元
九7
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
九8
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0