苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.1期中全真模拟试卷01(能力卷，九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.1期中全真模拟试卷01(能力卷，九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了1期中全真模拟试卷01，5，S乙2=21，6；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）用配方法解方程x2－2x－5=0，原方程应变为（ ）
A．（x+1）2=6B．（x+1）2=9C．（x－1）2=6D．（x－1）2=9
2．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数
3．（2022·江苏南京·八年级期末）一枚质地均匀的正六面体骰子，每个面标有一个数，分别是1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（ ）
A．朝上的面的数字是3
B．朝上的面的数字是偶数
C．朝上的面的数字不小于2
D．朝上的面的数字是3的倍数
4．（2022·江苏南京·九年级期末）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ADC＝105°．若点E在BC上，且EC＝2BE，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A．233B．3C．3π6D．π3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）方程x2=x的解是______．
8．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）设α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则αβ＋α＋β＝_____．
9．（2022·新疆塔城·八年级期末）随机从甲、乙两块试验田中各抽取10株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲=13，x乙=13，S甲2=7.5，S乙2=21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是______．
10．（2022·江苏南京·九年级期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 _______．（填“甲、乙或丙”）
12．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是15，则袋中有___个白球．
13．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．
14．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______．
15．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为__________°．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=33，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）解方程：
(1)3x2+x−2=0；
(2)2xx−3−53−x=0．
18．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB=CD．求证PB=PD．
19．（2022·河南南阳·八年级期末）甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次，小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）．
甲、乙两人射击成绩统计表
小明的作业
(1)请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．
(2)请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
20．（2022·江苏南京·八年级期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；（填随机、必然、不可能）
(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
(3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．
21．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．（2021·江苏南京·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．
（1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．
23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=33，求图中阴影部分的面积．
24．（2022·江苏南京·二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
25．（2021·江苏南京·九年级期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
26．（2022·江苏南京·二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
(1)【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是________是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是________．
(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
(3)【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
27．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
4
7
解：x＝15×（9+4+7+4+6）＝6，
S甲2＝15×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]
＝15×（9+4+1+4+0）
＝3.6
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】
专题4.1期中全真模拟试卷01（能力卷，九上苏科第1-4章）
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）用配方法解方程x2－2x－5=0，原方程应变为（ ）
A．（x+1）2=6B．（x+1）2=9C．（x－1）2=6D．（x－1）2=9
【答案】C
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：x2－2x－5=0，
∴x2－2x=5，
∴x2－2x+1=5+1，
∴（x－1）2=6，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
2．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数
【答案】D
【分析】根据中位数的特点，参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数即可．
【详解】解：根据题意，由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数是多少．
故选：D．
【点睛】本题考查中位数，理解中位数的特点，熟知中位数是一组数据从小到大的顺序依次排列，处在最中间位置的的数（或最中间两个数据的平均数）是解答的关键．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）一枚质地均匀的正六面体骰子，每个面标有一个数，分别是1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（ ）
A．朝上的面的数字是3
B．朝上的面的数字是偶数
C．朝上的面的数字不小于2
D．朝上的面的数字是3的倍数
【答案】C
【分析】计算各个选项中事件的概率，进而判定事件可能性的大小．
【详解】解：朝上的面的数字是3的概率是16，
朝上的面的数字是偶数的概率是36=12，
朝上的面的数字不小于2的概率是56，
朝上的面的数字是3的倍数的概率是26=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn且0≤P（A）≤1．
4．（2022·江苏南京·九年级期末）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系得出OP＞3即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP＞3，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外⇔d＞r，点在圆上⇔d=r，点在圆内⇔d＜r．
5．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ADC＝105°．若点E在BC上，且EC＝2BE，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】连接BD,DE，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质求得∠ADB=45°，进而可得∠BDC=60°，由圆周角定理即可求得∠BAE=20°．
【详解】解： 连接BD,DE,
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°
∵∠ADC=105°,
∴∠BDC=105°−45°=60°
∴EC=2BE
∴∠BDE=12∠CDE=13∠BDC=20°
∴∠BAE=∠BDE=20°,
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，正确作出辅助线并能求出∠BDC=60°是解此题的关键．
6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A．233B．3C．3π6D．π3
【答案】D
【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，代入弧长公式即可．
【详解】∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴BC的长为60×π×1180=π3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）方程x2=x的解是______．
【答案】x1=0,x2=1
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：x2=x
x2−x=0
x(x-1)=0
x1=0,x2=1，
故答案为：x1=0,x2=1．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
8．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）设α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则αβ＋α＋β＝_____．
【答案】−2021
【分析】利用一元二次方程的根与系数关系可得αβ与α＋β的值，代入所求的代数式即可求解．
【详解】解：∵α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，
∴αβ＝－2020，α＋β＝－1，
∴αβ+α+β=−2020−1=−2021，
故答案为：−2021
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系是解题的关键．
9．（2022·新疆塔城·八年级期末）随机从甲、乙两块试验田中各抽取10株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲=13，x乙=13，S甲2=7.5，S乙2=21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是______．
【答案】甲
【分析】根据方差的意义判断即可，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【详解】解：∵x甲=13，x乙=13，S甲2=7.5，S乙2=21.6，
∴x甲=x乙，S甲2326，
所以抽中一等奖的概率降低了；
抽中一等奖的概率可以还原为18，
设加入x个红球，y个其它颜色的球，由于红球的概率为18，所以有，
x+326+x+y=18，
即7x-y=2，
因为x、y均为整数，
所以当x=1时，y=5，（答案不唯一）
所以设计方案为：继续添加1个红球，5个其它颜色的球，能使摸到红球的概率还原为18．
【点睛】本题考查概率的公式，随机事件、必然事件、不可能事件，掌握概率的计算方法，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的前提．
21．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】(1)小路的宽度是2m；
(2)每次降价的百分率为20%
【分析】（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．
（1）
解：设小路的宽度为xm，根据题意，
得：（20+2x）（16+2x）=480，
整理得： x2+18x－40＝0，
解得：x1=2，x2=－20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
（2）
解：设每次降价的百分率为y，根据题意，
得：50（1－y）2=32，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），
答：每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
22．（2021·江苏南京·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．
（1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．
【答案】（1）k≠-2；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2，由方程总有两个不相等的实数根，可得出（k+2）2＞0，解之即可得出k≠-2，进而可得出当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．
【详解】解：（1）∵a＝1，b＝（k+4），c＝k+3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴（k+2）2＞0，即k+2≠0，
∴k≠-2，
∴当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+（k+4）x+k+3＝0，即（x+1）[x+（k+3）]＝0，
∴x+1＝0或x+（k+3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣（k+3），
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键．
23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=33，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）932−3π2
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【详解】解：（1）连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，
∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，
∴OC=3，OE=6，
∴cs∠COE=OCOE=12，
∴∠COE=60°，
∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=12•3•33﹣60·π·32360=932−32π．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
24．（2022·江苏南京·二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）用作一条线段等于已知线段的方法作AB=BM，AC=CM，则可知△ABC≌△MBC，则∠BMC=∠A ，点M即为所求；
（2）分别作BM，CM的垂直平分线，相交于点N，则点N为三角形BCM的外接圆的圆心，由圆周角定理可知点N即为所求．
（1）
如图：以点B为圆心，BA为半径画圆弧，再以C为圆心，AC为半径画圆弧，两弧交BC下方于点M，则M点即为所求，
如图，点M即为所求；
（2）
如图所示，在（1）的图形基础上，分别以B、M为圆心，大于12BM长为半径分别作弧，交于E、F两点，连接EF，再分别以C、M为圆心，大于12CM长为半径分别作弧，交于G、H两点，连接GH，EF与GH交于点N，点N即为所求，
如图，点N即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，熟练掌握尺规作图和圆周角定理是解题的关键．
25．（2021·江苏南京·九年级期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）m＝0或m＝4．
【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝5，x2＝﹣4，二者做差后可得出5﹣（﹣4）＝9≠2，进而可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝1﹣m，结合关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）不是，理由如下：
∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣4．
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．
（2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．
又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，
∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，
解得：m＝0或m＝4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键．
26．（2022·江苏南京·二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
(1)【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是________是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是________．
(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
(3)【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
【答案】(1)⊙O1；⊙O2
(2)258；10−43
(3)作图见详解
【分析】（1）根据题目中所给定义，就可以解决此问；
（2）根据圆的切线的性质定理，构造出直角三角形，利用勾股定理，就可以解决此问；
（3）第Ⅰ类圆就是作不在同一直线上三点之间线段的垂直平分线，其交点就是圆心，以圆心到三点中任意一点的线段长为半径画出的圆就是第Ⅰ类圆；矩形的Ⅱ类圆的作法就是先作出任意一个与AB、AD边相切的圆O，连接AC交圆O于F，再过C作OF平行线，与AM的交点即为所求圆的圆心位置，以该点与C连线的线段为半径画圆即可．
（1）
解：与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆，⊙O1是符合Ⅰ类圆的定义，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆，⊙O2符合Ⅱ类圆的定义，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆．故答案为：⊙O1；⊙O2
（2）
解：①第Ⅰ类圆⊙O1的半径，如图5，
设切点为点E，连接O1E并反向延长O1E交BC于点F，连接O1B
∴O1E⊥AD．
∵AD∥BC，
∴O1F⊥BC．
∴O1F垂直平分BC，
∴BF=12BC=12×6=3．
设半径为r1，则O1F=4−r1，
∴O1B2=O1F2+BF2
即r12=4−r12+32．
解得：r1=258．
第Ⅰ类圆⊙O1的半径为：258．
第Ⅱ类圆⊙O2的半径，如图6：
设⊙O2与矩形ABCD切点分别为点E、G，连接O2C、O2G、O2E，并反向延长O2E交BC于点F．
∴O2E⊥AD，O2G⊥AB．
∵AD∥BC，
∴O2F⊥BC
∴四边形AGO2E和四边形BGO2F是矩形，
∴AE=O2G=BF
设⊙O2的半径为r2，则CF=6−r2，O2F=4−r2
∴O2C2=O2F2+CF2即r22=4−r22+6−r22，
解得：r2=10+43＞6(舍去)，r2=10−43．
∴第Ⅱ类圆⊙O2的半径为：10−43．
（3）
解：矩形的Ⅰ类圆的作图如下：
第一步：作线段BC的垂直平分线，交线段AD于点E；
第二步：连接BE，作线段BE的垂直平分线；
第三步：线段BC的垂直平分线与作线段BE的垂直平分线的交点就是Ⅰ类圆的圆心O1；
第四步：以O1为圆心，以线段O1B的长为半径画圆，圆⊙O1 即为矩形的Ⅰ类圆．
②矩形的Ⅱ类圆的作图如下：
第一步：以B为圆心，AB为半径画弧，交BC于M，连接AM，
第二步：在AM上任取一点O，过点O作AD的垂线，垂足为E，
第三步：以O为圆心，OE为半径作圆，则该圆与AB、AD相切，
第四步：连接AC，交圆O于F，连接OF，
第五步：以C为顶点，作∠ACG=∠AFO，则CO2∥OF，
第六步：延长CG交AM于O2，以O2为圆心，O2C为半径画圆，该圆为所求．
【点睛】本题考查了根据新定义判断新知识、切线的性质定理、勾股定理、圆的画法等知识．把握圆的基础知识和准确的作出辅助线是解决本题的关键．
27．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）352−32；（3）3﹣1；（4）7.
【分析】（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝OC2+AC2
＝32+(32)2
＝352，
∴AP＝OA﹣OP＝352−32，
故答案为：352−32；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝3，
∴A1B＝3-1；
故答案为：3﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝(4+2)2+(5+3)2＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
4
7
解：x＝15×（9+4+7+4+6）＝6，
S甲2＝15×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]
＝15×（9+4+1+4+0）
＝3.6