苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.3期中全真模拟试卷03(压轴卷，九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.3期中全真模拟试卷03(压轴卷，九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了3期中全真模拟试卷03，06亿元，2天后当日票房达到4，5，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏南京·九年级期中）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2021·江苏南京·九年级期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x＋2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x＋2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
3．（2021·江苏南京·九年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
4．（2021·江苏南京·九年级期中）标标抛掷一枚点数从1－6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时， 6点朝上的概率为（ ）
A．113B．712C．512D．16
5．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
6．（2021·江苏南京·九年级期中）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．（2021·江苏南京·九年级期中）方程x2−3x=0的根为_______．
8．（2021·江苏南京·九年级期中）已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为____________．
9．（2021·江苏南京·九年级期中）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为________________．
10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________．
11．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为_______．
12．（2021·江苏南京·九年级期中）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是____分．
13．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是 __．（只要求写出四个）
14．（2021·江苏南京·九年级期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________．
15．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心．C是AB上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为______m．
16．（2020·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=__________ .
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·江苏南京·九年级期中）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）3x（x＋2）＝2x＋4
18．（2021·江苏南京·九年级期中））甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．
（1）甲射击成绩的众数为 环，乙射击成绩的中位数为 环；
（2）计算两人射击成绩的方差；
（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？
19．（2021·江苏南京·九年级期中）一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．
20．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．
21．（2021·江苏盐城·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2，且x1x2+x1+x2−2=0，求m的值．
22．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC．
（1）求证：BA＝BC．
（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．
23．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．
24．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．
25．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
26．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．E为射线CB上一动点，以DE为直径的⊙O交AD于点F，过点F作FG⊥AE于点G．
（1）若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线；
（2）若CE＝m，请直接写出⊙O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．
27．（2021·江苏南京·九年级期中）【数学概念】
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．
【概念理解】
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
【问题解决】
（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求．
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．
（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】
专题4.3期中全真模拟试卷03（压轴卷，九上苏科第1-4章）
注意事项：
本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏南京·九年级期中）已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）即可求出这组数据的众数．
【详解】解：在这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；
故选：B．
【点睛】此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键．
2．（2021·江苏南京·九年级期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x＋2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x＋2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
【答案】D
【分析】直接根据配方法的一般步骤进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
3．（2021·江苏南京·九年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
【答案】C
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝12BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝AB2−BH2＝52−42＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）标标抛掷一枚点数从1－6的正方体骰子12次，有7次6点朝上．当他抛第13次时， 6点朝上的概率为（ ）
A．113B．712C．512D．16
【答案】D
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：掷一颗均匀的骰子（正方体，各面标1−6这6个数字），一共有6种等可能的情况，其中6点朝上只有一种情况，
所以6点朝上的概率为16．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，解题的关键是掌握一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
5．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【答案】B
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝12 ∠BDC，即可求出∠ODB的度数．
【详解】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝59°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
6．（2021·江苏南京·九年级期中）在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【答案】C
【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE＝12CD，CE＝AC2−AE2，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值．
【详解】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝12CD，CE＝AC2−AE2
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：AC2−AB2＝22−2＝2，
∴CD的最小值为22，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
7．（2021·江苏南京·九年级期中）方程x2−3x=0的根为_______．
【答案】x1=0,x2=3
【详解】解：x（x－3）=0 ，
解得：x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
8．（2021·江苏南京·九年级期中）已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为____________．
【答案】相切或相交
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交d＜r；②直线l和⊙O相切d=r；③直线l和⊙O相离d＞r．
【详解】分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=3cm=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜3cm=r，⊙O与直线l相交．
所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故答案为：相切或相交．
【点睛】考点：直线与圆的位置关系．
9．（2021·江苏南京·九年级期中）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为________________．
【答案】2.06(1＋x)2＝4.38
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.06(1＋x)2＝4.38．
故答案为：2.06(1＋x)2＝4.38．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________．
【答案】2.5
【分析】连接OC，设OE=x，则OA=OC=AE−x=4−x，根据垂径定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OC，则OA=OC=r，
设OE=x，则OA=OC=AE−x=4−x，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴AB垂直平分CD，即：CE=CD=12CD=2，
∴在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
即：4−x2=x2+22，
解得：x=1.5，
∴r=OA=4−1.5=2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查垂径定理，理解并熟练运用垂径定理是解题关键．
11．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为_______．
【答案】0.2
【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率＝210＝0.2；
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查利用概率公式计算，正确理解圆形份数及B区域所占份数与圆形份数之间的关系是解题的关键．
12．（2021·江苏南京·九年级期中）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是____分．
【答案】78
【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×510+90×310+80×210=78（分）
故答案为78
【点睛】此题考查加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
13．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，A、B是⊙O上的点，且∠AOB＝60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是 __．（只要求写出四个）
【答案】30°，60°，90°，120°（答案不唯一）
【分析】利用直尺，只能画直线、射线、线段的基本事实，根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，平角的定义以及圆周角定理求出相应的角的度数即可．
【详解】解：如图，连接AB，作射线AD交⊙O于点C，连接BC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，
因此可以得到60°的角；
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
因此可以得到90°的角；
∵∠ACB＝12∠AOB＝30°，
∴可以得到30°的角；
而∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°，
于是可以得到120°；
∠BCD＝180°﹣∠ACB＝150°，
因此可以得到150°的角；
当然还可以画出180°的角；
故答案为：30°，60°，90°，120°（答案不唯一）．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，正三角形的判定和性质，平角的定义是正确解答的关键．
14．（2021·江苏南京·九年级期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________．
【答案】35°或145°
【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．
【详解】①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC=12∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC=12（360°-70°）=145°
故答案为35°或145°．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
15．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心．C是AB上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为______m．
【答案】13
【分析】根据垂径定理即可求得AM的长，设这段弯路的半径长是r，则在Rt△OMA中，OA=r m，OM=r−1m，利用勾股定理即可列方程即可求得r的长．
【详解】解：连接OA，如图所示：
设⊙O的半径为r，
∵OC⊥AB，AB＝10m，
∴AM＝BM＝12AB＝5（m），
在Rt△OMA中，由勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，
即：r2=r−12+52，
解得：r=13，
即⊙O的半径为13m．
故答案为：13
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理,方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
16．（2020·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=__________ .
【答案】2
【分析】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，根据切线的性质求得OP⊥AB，进而根据已知求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，设PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cs30°•AB=32×23=3，从而求得CQ的最小值为2．
【详解】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，
∴OP⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ为等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cs30°•AB=32×23=3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题
17．（2021·江苏南京·九年级期中）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）3x（x＋2）＝2x＋4
【答案】（1）x1＝3+14，x2＝3﹣14；（2）x1＝23，x2＝﹣2
【详解】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
∴x﹣3＝±14，
∴x1＝3+14，x2＝3﹣14；
（2）3x（x+2）＝2x+4，
3x（x+2）﹣2（x+2）=0，
（3x﹣2）（x+2）＝0，
3x﹣2＝0或x+2＝0，
∴x1＝23，x2＝﹣2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握各种解方程的方法．
18．（2021·江苏南京·九年级期中））甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．
（1）甲射击成绩的众数为 环，乙射击成绩的中位数为 环；
（2）计算两人射击成绩的方差；
（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？
【答案】（1）① 7和8 ②8；（2）甲的方差为1.4；乙的方差为0.4；（3）选择乙参赛
【分析】（1）依据众数、中位数的计算公式，即可得到结果；
（2）根据方差的计算公式进行计算；
（3）依据甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，即可得出甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛．
【详解】（1）① 甲5次射击成绩中有两次7环，两次8环，一次10环，所以甲的射击成绩的众数为7和8 ②乙的五次射击成绩从小到大排列为7环，8环，8环，8环，9环，所以乙射击成绩的中位数为8
（2）甲射击成绩的平均数为：7+8+10+8+75=8 ，
乙射击成绩的平均数为：7+8+8+8+95 =8
S2甲=（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（7-8）25 1.2，
S2乙=（8-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）25 =0.4
（3）解：∵甲乙二人平均成绩相等，且乙的方差小于甲的方差，
∴选乙参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以选择乙参赛．
【点睛】本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
19．（2021·江苏南京·九年级期中）一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．
【答案】（1）13；（2）49
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种，
∴恰好摸出一个红球一个白球的概率为49．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率公式，并会画树状图或列表法求概率是关键．
20．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．
【答案】2米
【分析】设小路的宽为xm，得出花园的长为（16+2x）m，花园的宽为（12+2x）m，再根据铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，根据长方形的面积公式，即可列出方程，从而求出符合条件的解．
【详解】解：设小路的宽度是xm，根据题意得出：
（16+2x）（12+2x）﹣16×12＝23×16×12，
整理得：x2+14x﹣32＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣16（不合题意，舍去）．
答：小路的宽度是2m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程是解本题的关键．
21．（2021·江苏盐城·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2，且x1x2+x1+x2−2=0，求m的值．
【答案】(1)m≤0
(2)－1
【分析】（1）利用根的判别式得到△=(2m)2−4(m2+m)≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到m2+m−2m−2=0，接着解关于m的方程，然后利用m的范围确定满足条件的m的值即可．
（1）
解：∵ 关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根，
∴ △=(2m)2−4(m2+m)≥0，
解得m≤0．
（2）
解：由根与系数的关系得：x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，
∵x1x2+x1+x2−2=0，
∴m2+m−2m−2=0，
∴m=2或m=−1，
又∵m≤0，
∴m=−1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，也考查了根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
22．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC．
（1）求证：BA＝BC．
（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）258
【分析】（1）连接OA，OC，根据三角形的内角和定理得到∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA，同理，∠COB=180°-2∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OBC=∠OBA，求得∠AOB=∠COB，进而得到AB=BC；
（2）延长BO与AC交于D，与⊙O交于E，根据等腰三角形的性质得到BE⊥AC，求得AD=DC=12AC=3，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接OA，OC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA，
同理，∠COB=180°-2∠OBC，
∵OB平分∠ABC，
∴∠OBC=∠OBA，
∴∠AOB=∠COB，
∴AB=BC；
（2）解：延长BO与AC交于D，与⊙O交于E，
∵AB=BC，OB平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∵BE是⊙O的直径，
∴AD=DC=12AC=3，
∵∠ADB=90°，
∴AD2+BD2=AB2，
∴32+BD2=52，
∴BD=4，
设AO=BO=x，则DO=BD-BO=4-x，
∵OD⊥AD，
∴AD2+OD2=AO2，
∴32+（4-x）2=x2，
解得：x=258，
∴⊙O的半径为258．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．
【答案】见解析
【分析】过点A作EA⊥直线l，作线段AP的垂直平分线MN，直线MN交EA于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．
【答案】（1）OF=12CD，证明见解析；（2）⊙O的半径为52
【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是△ABG的中位线，则有OF=12BG，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠AGB=∠ECB，直径所对的圆周角是直角可得∠ABG=90°，则有∠BAG+∠AGB=90°，根据AC⊥BD，∠ECB+∠EBC=90°，从而可得∠BAG=∠EBC，BG=CD，继而可得OF=12CD；
（2）在Rt△AOF中，根据勾股定理可求得⊙O的半径．
【详解】解：（1）OF=12CD， 理由如下：
连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∵AO=GO，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF=12BG，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°，
∴∠BAG+∠AGB=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∵∠AGB=∠ECB，
∴∠BAG=∠EBC，
即∠BAG=∠EBC，
∴BG=CD，
∴OF=12CD；
（2）由（1）得：OF=12CD=12，AF=BF=12AB=1，
在Rt△AOF中，OA=AF2+OF2=12+(12)2=52，
∴⊙O的半径为52 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．
25．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】（1）证明：连接DE、BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．
∵AE＝AH．
（2）连接DE，DF．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－12∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－12∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
26．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．E为射线CB上一动点，以DE为直径的⊙O交AD于点F，过点F作FG⊥AE于点G．
（1）若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线；
（2）若CE＝m，请直接写出⊙O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当0≤m＜163或m＞6时，⊙O与线段AB没有交点；当m＝163时，⊙O与线段AB只有1个交点；当163＜m≤6时，⊙O与线段AB有2个交点．
【分析】（1）连接EF、OF，根据矩形的性质可证得△CDE≌△BAE，由此可得∠CED＝∠BEA，进而可证得OF∥EA，再结合FG⊥AE即可证得FG为⊙O的切线；
（2）先分别求出⊙O与线段AB相切以及⊙O经过点B这两种特殊情况时的m的值，进而分别画出相应图形进行分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接EF、OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝BA，CB∥DA，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
∴在△CDE与△BAE中，
CD=AB∠C=∠BCE=BE，
∴△CDE≌△BAE(SAS)，
∴∠CED＝∠BEA，
又∵CB∥DA，
∴∠CED＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EAD，
∴OF∥EA，
又∵FG⊥AE，
∴OF⊥FG，
∵点F在⊙O上，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：如图，当⊙O与线段AB相切于点H时，连接HO并延长交CD于点M，
∵⊙O与线段AB相切，
∴OH⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴OM⊥CD，
∴DM＝CM＝12CD＝2，
设OD＝OH＝x，则OM＝6－x，
∵在Rt△DOM中，OM2+DM2=OD2，
∴(6−x)2+22=x2，
解得：x=103，
∴OM＝6－x＝83，
∵点M、O分别为CD、DE的中点，
∴OM是△CDE的中位线，
∴OM＝12CE＝83，
∵CE＝m，
∴m＝2×83＝163，
∴当m＝163时，⊙O与线段AB只有1个交点，
当0≤m＜163，⊙O与线段AB没有交点，
如图，当点E与点B重合时，CE＝CB＝6，即m＝6，此时⊙O与线段AB有2个交点，
∴如图，当163＜CE＜6时，即163＜m＜6，此时⊙O与线段AB有2个交点，
如图，当点E在点B的右侧时，CE＞CB＝6，即m＞6，此时⊙O与线段AB没有交点，
综上所述：当0≤m＜163或m＞6时，⊙O与线段AB没有交点；
当m＝163时，⊙O与线段AB只有1个交点；
当163＜m≤6时，⊙O与线段AB有2个交点．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的性质以及圆与线段的交点个数，能够根据题意画出相应图形进行分类讨论是解决（2）的关键．
27．（2021·江苏南京·九年级期中）【数学概念】
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．
【概念理解】
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
【问题解决】
（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求．
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．
（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．
【答案】（1）①②；（2）见解析；（3）见解析；（4）AC＝8或485或45．
【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②；
（2）根据画法画出图形，证明△POA≌△POB，再证△APC≌△PBC；再由全等三角形性质得出∠APC＝∠BPC、∠ACP＝∠BCP，根据“对分四边形”的定义即可判定；
（3）在直线l上取一点M，使AM=AB，再作∠BAM平分线AN交直线l于N点即可解答；
（4）分为AB＝AC，AB＝BC，AB＝BD三种情形，当AB＝BC时，设OE＝x，根据AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2列出方程求得，当AB＝BD时，可推出∠AEB＝2∠EBC，从而只需求出tan12∠AEB，进而求得AC的长．
【详解】解：（1）因为菱形的对角线平分每组对角，
所以菱形是“对分四边形”，
因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等，
所以至少两组邻边相等，
故答案是①②；
（2）如图1，
证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
PA＝PB，
PO＝PO，
∴△POA≌△POB（SAS），
∴∠APC＝∠BPC，
∵PC＝PC，
∴△PAC≌△BPC（SAS），
∴AC＝BC，
∴四边形APBC是“对分四边形”；
（3）如图②，
（4）I、如图③，当AC＝AB＝8时，过点B和点C作⊙O的切线，交于点D；则四边形ABDC是“对分四边形”，
II、如图④，当BC＝AB＝8时，作过点A和点C作⊙O的切线交于点D；则四边形ABCD是“对分四边形”，
连接BO并延长交AC于E，连接OA，
根据对称性得BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
设OE＝x，
∵AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2，
∴52﹣x2＝82﹣（5+x）2，
∴x＝75，
∴AE＝OA2−OE2＝245，
∴AC＝485，
III、如图⑤，过点B作⊙O的切线，截取BD＝AB＝8，作∠ABD的平分线交⊙O于点C，则四边形ABDC是“对分四边形”，
作直径BE，作∠AEB的平分线，
设∠AEB＝α，
∴∠BEF＝12α，∠ABE＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE
＝90°﹣α+90°
＝180°﹣α，
∴∠ABC＝12∠ABD＝90°﹣12α，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE
＝90°﹣12α﹣（90°﹣α）
＝12α，
∴∠BCE＝∠BEF＝∠AEF，
作FH⊥BE于H，
∴AF＝FH，
∵S△ABE＝S△AEF+S△BEF，
∴12AB·BE＝12AE·AF+12BE·FH，
∴6×8＝6AF+10AF，
∴AF＝3，
∴tan∠CBE＝tan∠AEF＝AFAE=12，
在△BOG中，OB＝5，
∴BG＝25，
∴AC＝2BG＝45，
综上所述：AC＝8或485或45．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
70
90
80