数学苏科版（2024）1.1 一元二次方程练习题

这是一份数学苏科版（2024）1.1 一元二次方程练习题，共45页。试卷主要包含了运用根的判别式时的注意事项等内容，欢迎下载使用。

知识点
一元二次方程根的判别式
◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．
◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③计算b2﹣4ac的值；
④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况．
◆4、运用根的判别式时的注意事项
（1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值．
（2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合．
题型一 利用根的判别式判断根的情况
【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+4＝2xB．（x+1）2＝0C．x2﹣2023x＝0D．x2+2＝3x
【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．无法判断
【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1
【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．有一根为1
【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|+b−2=0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
题型二 利用根的判别式求字母的值
【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值
为（ ）
﹣2B．﹣2或6C．6D．﹣6或2
【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣9D．9
【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（ ）
A．﹣4B．4C．8D．16
【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．−12B．12C．﹣2D．2
【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是 ．
题型三 利用根的判别式确定字母的取值范围
【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【变式3-2】（2023•中牟县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
【变式3-3】（2023春•宁明县期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【变式3-4】（2023•市北区三模）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【变式3-5】（2023•兰考县一模）如果关于x的一元二次方程kx2−3k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜13B．k＜13且k≠0
C．−13≤k＜13且k≠0D．−13≤k＜1且k≠0
【变式3-6】（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．
题型四 利用根的判别式求代数式的值
【例题4】（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）
＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【变式4-1】若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
【变式4-2】（2023•曹妃甸区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（ ）
A．18B．10C．4D．2
【变式4-3】关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．
【变式4-4】若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3B．﹣3C．−72D．72
【变式4-5】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）
A．﹣3B．3C．2D．﹣2
【变式4-6】若关于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b−45）的值为 ．
题型五 利用根的判别式证明方程根的必然情况
【例题5】（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
【变式5-1】（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．
【变式5-2】（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【变式5-3】（2023•大兴区二模）已知关于x的方程 x2﹣（m+4）x+4m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【变式5-4】（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．
【变式5-5】（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．
题型六 根的判别式与新定义运算
【例题6】（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【变式6-1】（2023•内乡县三模）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有两个不相等的实数根，则m的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-2】（2023•枣庄二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【变式6-3】（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【变式6-4】（2023•息县一模）定义新运算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，则方程2◎x＝5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【变式6-5】定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5
（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；
（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．
【变式6-6】（2022•石家庄模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．
例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．
根据以上知识解决问题：
（1）x☆4＝20，求x；
（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
题型七 根的判别式与三角形知识的综合应用
【例题7】（2023•宁南县模拟）已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 ．
【变式7-1】（2022春•双流区期末）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程14kx2−(k+3)x2+3＝0的两根，则△ABC的周长为 ．
【变式7-2】（2023•莱芜区三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．3B．5或9C．5D．9
【变式7-3】（2023春•鄞州区期中）若等腰△ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则△ABC的面积为 ．
【变式7-4】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
【变式7-5】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式7-6】（2022春•长兴县期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣b）x2﹣2cx+a+b＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a＝5，b＝3，求这个一元二次方程的根；
（3）若AD是BC边上的高，AB=13，BD＝3，求CD的长．
∴CD=43．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
专题1-3 一元二次方程根的判别式
知识点
一元二次方程根的判别式
◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．
◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③计算b2﹣4ac的值；
④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况．
◆4、运用根的判别式时的注意事项
（1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值．
（2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合．
题型一 利用根的判别式判断根的情况
【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+4＝2xB．（x+1）2＝0C．x2﹣2023x＝0D．x2+2＝3x
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．
【解答】解：A、方程x2+4＝2x可化为x2﹣2x+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程无实数根，故本选项符合题意；
B、∵方程（x+1）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣1，
∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、方程整理得x2﹣2023x＝0，
∵Δ＝20232﹣4×1×0＝20232＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、方程整理得x2﹣3x+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键．
【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵2x2﹣5x+7＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×7＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断即可．
【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝1，x2＝5，
故本选项不符合题意；
B、∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故本选项不符合题意；
C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：一元二次方程3x²﹣5x＝﹣6可化为3x²﹣5x+6＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×6＝﹣47＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1
【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，则方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，
解得c＝﹣7，
所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，
∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，
∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．有一根为1
【分析】根据根的判别式得到Δ＝1﹣4ac，根据a，c互为倒数，得到ac＝1，解之即可．
【解答】解：关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的判别式为Δ＝1﹣4ac，
∵a，c互为倒数，
∴ac＝1，
∴1﹣4ac＜0．
∴原方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定义．
【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|+b−2=0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先根据非负性求出a和b的值，再计算根的判别式的值得到Δ，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵|a﹣3|+b−2=0，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝3，b＝2，
∴关于x的一元二次方程为x2+x+1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
题型二 利用根的判别式求字母的值
【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值
为（ ）
A．﹣2B．﹣2或6C．6D．﹣6或2
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣k）2﹣4（k+3）＝0，
解得k＝6或﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣9D．9
【分析】由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况得到m的方程是解题的关键．
【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（ ）
A．﹣4B．4C．8D．16
【分析】根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于c的方程，求解方程即可．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴16﹣4c＞0，
解得c＜4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．−12B．12C．﹣2D．2
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×18a＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×18a＝0，
解得a=12．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【分析】先计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0，由此建立关于m的方程解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝0，
解得：m=−14．
故答案为：−14．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）当Δ＞0则方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝0则方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0则方程没有实数根．
【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是 ．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4×16＝0，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4×16＝0，
解得b1＝8，b2＝﹣8，
所以正数b的值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
题型三 利用根的判别式确定字母的取值范围
【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，
解得k＜−38．
故答案为：k＜−38．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式3-2】（2023•中牟县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，
解得m≥0且m≠1，
即m的取值范围为m≥0且m≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式3-3】（2023春•宁明县期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．
【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，
解得：a≤−23，a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，弄清题意是解本题的关键．
【变式3-4】（2023•市北区三模）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，
解得：k＞0且k≠1．
故答案为：k＞0且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，解题时注意不能忽视二次项系数不为零的条件．
【变式3-5】（2023•兰考县一模）如果关于x的一元二次方程kx2−3k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜13B．k＜13且k≠0
C．−13≤k＜13且k≠0D．−13≤k＜1且k≠0
【分析】首先根据一元二次方程的定义，确定字母k的取值范围，然后结合根的判别式以及二次根式的定义继续求解k的取值范围即可．
【解答】解：∵原方程为一元二次方程，
∴k≠0，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−3k+1)2−4k＞0，
解得：k＜1，
又∵3k+1为二次根式，
∴3k+1≥0，
解得：k≥−13，
∴k的取值范围是−13≤k＜1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查根据一元二次方程根的情况判断参数，理解根的判别式，以及一元二次方程的基本定义和二次根式的定义是解题关键．
【变式3-6】（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．
【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）可求得a的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a﹣1）＞0，
解得a＜158，
∴a的取值范围为a＜158；
（2）∵a＜158，且a为正整数，
∴a＝1．
此时，方程为x2﹣3x+1＝0，
解得：x1=3+52，x2=3−52，
∴方程的根为x1=3+52，x2=3−52．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次的解法—公式法．
题型四 利用根的判别式求代数式的值
【例题4】（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式4-1】若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
【变式4-2】（2023•曹妃甸区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（ ）
A．18B．10C．4D．2
【分析】先根据根的判别式得到：Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，则m2﹣4m＝4，再将代数式8m﹣2m2+10变形后把m2﹣4m＝4代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，
整理，得m2﹣4m＝4，
所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
【变式4-3】关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，则b2﹣4a＝4，再将代数式8a﹣2b2+6变形后把b2﹣4a＝4代入计算即可．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，
∴b2﹣4a＝4，
所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式4-4】若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3B．﹣3C．−72D．72
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，则k2+2k=12，然后利用代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，
∴k2+2k=12，
∴（k﹣2）2+2k（1﹣k）＝k2﹣4k+4+2k﹣2k2
＝﹣k2﹣2k+4
＝﹣（k2+2k）+4
=−12+4
=72．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
【变式4-5】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）
A．﹣3B．3C．2D．﹣2
【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a2+1a，再代入a2+1＝3a计算即可．
【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，
∴a2＝3a﹣1，
所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a2+1a=3aa=3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式4-6】若关于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b−45）的值为 ．
【分析】化简代数式得﹣（b2+2b）+1，根据一元二次方程根的判别式，求得b2+2b=12，代入即可．
【解答】解：∵一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣2b）2﹣4×12×（﹣4b+1）＝4b2+8b﹣2＝0，
∴b2+2b=12，
∴（3b﹣1）2﹣5b（2b−45）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+1=−12+1=12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，多项式乘法，熟练掌握整体代入方法是解决问题的关键．
题型五 利用根的判别式证明方程根的必然情况
【例题5】（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而利用根的判别式的意义得到结论；
（2）m可以取0，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）
＝16＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝0时，方程化为x2﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式5-1】（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．
【分析】（1）通过计算根的判别式进行推理证明；
（2）将x＝1代入该方程，通过求解关于k的一元二次方程进行求解．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，
整理，得k2﹣2k＝0，
解得k1＝0，k2＝2，
∴k的值为0或2．
【点评】此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．
【变式5-2】（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2，
∴22﹣4m+2m﹣1＝0，
∴m=32；
（2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式5-3】（2023•大兴区二模）已知关于x的方程 x2﹣（m+4）x+4m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+4）]2﹣4×4m
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程 x2﹣（m+4）x+4m＝0，
可得（x﹣4）（x﹣m）＝0，
解得x1＝4，x2＝m，
若该方程有一个根小于1，则m＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
【变式5-4】（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．
【分析】（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4）
＝b2﹣8b+16
＝（b﹣4）2．
∵（b﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0，
可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0，
解得x1＝2，x2＝b﹣2，
若方程有一个根为负数，则b﹣2＜0，
故b＜2，
∵b为正整数，
∴b＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
【变式5-5】（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1）
＝4a2+4a+1﹣8a+8
＝4a2﹣4a+1+8
＝（2a﹣1）2+8，
∵（2a﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0，
∴此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9，
∴（2a﹣1）2＝1，
解得：a1＝0，a2＝1，
∵a≠1，
∴a＝0．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．
题型六 根的判别式与新定义运算
【例题6】（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：3※x＝﹣m，
则x2﹣3x＝﹣m，
故x2﹣3x+m＝0，
∵关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，
解得：m＞94，
∴m的值可以是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键．
【变式6-1】（2023•内乡县三模）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m有两个不相等的实数根，则m的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先根据新定义得到x2+3x＝﹣m，再把方程化为一般式得到x2+3x+m＝0，接着根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＞0，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵x※3＝﹣m，
∴x2+3x＝﹣m，
即x2+3x+m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4m＞0，
解得m＜94，
∴m的值可以为2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算．
【变式6-2】（2023•枣庄二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】先根据新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到Δ＝4k2+5＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式6-3】（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【分析】利用新定义得到x2+x﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式6-4】（2023•息县一模）定义新运算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，则方程2◎x＝5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【解答】解：方程2◎x＝5化为2x﹣x2＝5，
一元二次方程化为一般式为x2﹣2x+5＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
【变式6-5】定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5
（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；
（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新定义运算以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（2）先求出a的范围，然后根据判别式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x⊕（﹣4）＝6，
∴x[x﹣（﹣4）]+1＝6，
∴x2+4x﹣5＝0，
解得：x＝1或x＝﹣5．
（2）∵3⊕a＜10，
∴3（3﹣a）+1＜10
∴10﹣3a＜10
∴a＞0，
∴Δ＝（﹣b）2+8a＝b2+8a＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式6-6】（2022•石家庄模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．
例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．
根据以上知识解决问题：
（1）x☆4＝20，求x；
（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；
（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．
【解答】解：（1）∵x☆4＝20，
∴4x2+4＝20，即4x2＝16，
解得：x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵2☆a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
题型七 根的判别式与三角形知识的综合应用
【例题7】（2023•宁南县模拟）已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 ．
【分析】分a＝6为腰和a＝6为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证．
【解答】解：若a＝6为腰，则b、c中还有一腰，即6是方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的一个根，
∴36﹣6（3k+3）+9k＝0，
∴k＝2，
这时方程为x2﹣9x+18＝0，
其根为3、6，
∴△ABC的周长为6+6+3＝15；
若a＝6为底，则b＝c，即方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4×9k＝0，
解得：k＝1，
这时方程为x2﹣6x+9＝0，
∴x1＝x2＝3，
但3+3＝6不能围成三角形，
综上可得：△ABC的周长为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答（2）时要注意分类讨论，不要漏解．
【变式7-1】（2022春•双流区期末）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程14kx2−(k+3)x2+3＝0的两根，则△ABC的周长为 ．
【分析】由题意知方程14kx2−(k+3)x2+3＝0有两个相等的实数根，据此得出k的值，再利用三角形的周长公式可得答案．
【解答】解：由题意知方程14kx2−(k+3)x2+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（−k+32）2﹣4×14k×3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：34x2−3x+3=0，
解得：x＝2，
则三角形的三边长度为2、2、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
【变式7-2】（2023•莱芜区三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．3B．5或9C．5D．9
【分析】讨论：当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，则k＝9；当m＝5时，根据根与系数的关系得5+n＝6，5n＝k，解得n＝1，k＝5；当n＝5时，同理可得m＝1，k＝5．
【解答】解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，
解得k＝9，
∵m+n＝6＞5，
∴k＝9满足条件；
当m＝5时，5+n＝6，5n＝k，
解得n＝1，k＝5，
当n＝m时，同理可得m＝1，k＝5，
综上所述，k的值为9或5．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
【变式7-3】（2023春•鄞州区期中）若等腰△ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则△ABC的面积为 ．
【分析】当等腰△ABC的底边为6，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，求出m得到后方程化为x2﹣10x+25＝0，解方程得到三角形的三边分别为5、5、6，即AB＝AC＝5，BC＝6，过A点作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝3，利用勾股定理计算出AD，则可计算出△ABC的面积；当等腰△ABC的腰为6，把x＝6代入一元二次方程得m＝24，则方程化为x2﹣10x+24＝0，解方程得到此时三角形的三边分别为6、6、4，即AB＝AC＝6，BC＝4，过A点作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝2，利用勾股定理计算出AD，则可计算出△ABC的面积．
【解答】解：当等腰△ABC的底边为6，则两腰为方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，
解得m＝25，
方程化为x2﹣10x+25＝0，
解得x1＝x2＝5，
此时三角形的三边分别为5、5、6，
如图，AB＝AC＝5，BC＝6，
过A点作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝3，
∴AD=52−32=4，
∴△ABC的面积=12×6×4＝12；
当等腰△ABC的腰为6，
把x＝6代入方程x2﹣10x+m＝0得36﹣60+m＝0，
解得m＝24，
方程化为x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
此时三角形的三边分别为6、6、4，
如图，AB＝AC＝6，BC＝4，
过A点作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝2，
∴AD=62−22=42，
∴△ABC的面积=12×4×42=82；
综上所述，△ABC的面积为12或82．
故答案为：12或82
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
【变式7-4】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
【分析】（1）先根据判别式的值得到Δ＝4，由此根据判别式的意义可得到一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，即Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，然后根据勾股定理得到（k+1）2+（k+3）2＝102，解方程得到满足条件的k的值为5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理．
【变式7-5】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．
【变式7-6】（2022春•长兴县期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣b）x2﹣2cx+a+b＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a＝5，b＝3，求这个一元二次方程的根；
（3）若AD是BC边上的高，AB=13，BD＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，即可得出a2＝b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由题意得出2x2﹣8x+8＝0，解方程即可得出答案；
（3）设CD＝x，则BC＝x+3，由勾股定理列出方程（x+3）2﹣13＝x2+4，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a﹣b）x2﹣2cx+a+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵a＝5，b＝3，
∴c＝4，
∴原方程可化为2x2﹣8x+8＝0，
∴x1＝x2＝2；
（3）设CD＝x，则BC＝x+3，
∵AB=13，BD＝3，
∴AD=AB2−BD2=2，
∴AC2＝（x+3）2﹣13，AC2＝x2+4，
∴（x+3）2﹣13＝x2+4，
∴x=43，
∴CD=43．
【点评】此题考查了根的判别式，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
解题技巧提炼
用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤：
（1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.
（2）计算判别式，根据题设列方程；
（3）解方程求出字母的值.
解题技巧提炼
用一元二次方程根的判别式求字母的取值范围的解题步骤：
（1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.
（2）计算判别式，根据题设列不等式；
（3）解不等式求出字母的取值范围.
解题技巧提炼
先根据题意根据根的判别式求出字母的值，再代入代数式中求值即可．
解题技巧提炼
要想证明一元二次方程的实数根的情况，一般要表示出Δ的值，再根据Δ来判断根的情况，通常要把判别式化成一个非负数和某个常数的和的形式．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用根的判别式来解决问题.
解题技巧提炼
（1）由根的情况判断三角形形状：先由根的判别式得出等式，再利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等确定三角形的形状．（2）利用三边关系判断一元二次方程根的情况：先写出根的判别式，再通过三边关系确定判别式的符号，得出根的情况．
解题技巧提炼
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
解题技巧提炼
用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤：
（1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.
（2）计算判别式，根据题设列方程；
（3）解方程求出字母的值.
解题技巧提炼
用一元二次方程根的判别式求字母的取值范围的解题步骤：
（1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值.
（2）计算判别式，根据题设列不等式；
（3）解不等式求出字母的取值范围.
解题技巧提炼
先根据题意根据根的判别式求出字母的值，再代入代数式中求值即可．
解题技巧提炼
要想证明一元二次方程的实数根的情况，一般要表示出Δ的值，再根据Δ来判断根的情况，通常要把判别式化成一个非负数和某个常数的和的形式．
解题技巧提炼
根据新定义运算列出方程，然后再利用根的判别式来解决问题.
解题技巧提炼
（1）由根的情况判断三角形形状：先由根的判别式得出等式，再利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等确定三角形的形状．（2）利用三边关系判断一元二次方程根的情况：先写出根的判别式，再通过三边关系确定判别式的符号，得出根的情况．