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九年级上册1.1 一元二次方程课后练习题
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这是一份九年级上册1.1 一元二次方程课后练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
2．（2022春•定远县期末）一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．2B．1C．2或﹣2D．﹣2
3．（2022秋•新会区校级期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560D．2x（x﹣1）＝1560
4．（2022春•晋安区期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6
5．（2023•贵州模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
6．（2023•高新区校级三模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（2022春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（ ）
A．总不小于4B．总不小于9
C．可为任何实数D．可能为负数
8．（2023•江安县一模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则x12−4x1−x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
9．（2023春•宁国市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
10．（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
11．（2022春•仓山区校级期中）已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
12．（2023•绿园区一模）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
13．（2023春•蓬莱区期末）若a是关于x一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是 ．
14．（2023春•苍南县月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 ．
15．（2022春•贺州期中）如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
16．（2022秋•昭阳区校级期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的100元/件降到81元/件，则平均每次降价的百分率为 ．
17．（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
18．（2022春•临平区月考）关于x的方程ax2﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为 ．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2022秋•东海县校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x2﹣2）＝7x； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
20．（7分）（2023•萍乡二模）先化简，再求值：(m2−9m2−6m+9−3m−3)÷m2m3，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．
21．（8分）（2022秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程一实数根为﹣3，求实数m的值．
22．（8分）（2023春•东至县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
23．（8分）（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
24．（8分）（2023春•招远市期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．
25．（9分）（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x1，x2，且x1＞x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x1﹣3x2的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
26．（10分）（2022秋•郑州期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
（苏科版）九年级上册数学《第一章 一元二次方程》
综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案．
【解答】解：x（x+1）﹣2x＝2，
x2+x﹣2x＝2，
x2+x﹣2x﹣2＝0，
x2﹣x﹣2＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．（2022春•定远县期末）一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．2B．1C．2或﹣2D．﹣2
【分析】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，
因为方程为一元二次方程，
所以a﹣2≠0，
所以a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解．
3．（2022秋•新会区校级期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560D．2x（x﹣1）＝1560
【分析】由全班人数，可得出每人需送出（x﹣1）张照片，结合全班共送了1560张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全班共有x名学生，
∴每人需送出（x﹣1）张照片．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022春•晋安区期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
5．（2023•贵州模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式及a＜0，可得出Δ＝4﹣4a＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：Δ＝22﹣4×1×a＝4﹣4a．
∵a＜0，
∴﹣4a＞0，
∴4﹣4a＞0，即Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．（2023•高新区校级三模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，求出两不等式的公共部分得到m的取值范围，然后确定满足条件的最大整数m的值．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1，
即m的取值范围为m＜2且m≠1．
所以满足条件的最大整数m的值为0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．（2022春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（ ）
A．总不小于4B．总不小于9
C．可为任何实数D．可能为负数
【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9
＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4
＝（x+1）2+（y﹣2）2+4
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，
即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
8．（2023•江安县一模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则x12−4x1−x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，再根据方程根的意义得x12−3x1﹣4＝0，即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，x12−3x1﹣4＝0，
∴x12=3x1+4，
∴x12−4x1−x2+2x1x2
＝3x1+4﹣4x1﹣x2﹣8
＝﹣（x1+x2）﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1•x2=ca，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（2023春•宁国市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
【分析】在ax2+bx+c＝0令x＝﹣1，可判断①错误；若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得b2﹣4ac＞0，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，得ac2+bc+c＝0，如果c≠0，那么ac+b+1＝0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，可得（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，判断④正确．
【解答】解：若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为﹣1，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则ac＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则ac2+bc+c＝0，
如果c≠0，那么ac+b+1＝0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则ax02+bx0+c＝0，
∵a≠0，
∴4a2x02+4abx0+4ac＝0，
∴4a2x02+4abx0＝﹣4ac，
∴4a2x02+4abx0+b2＝b2﹣4ac，
∴（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，故④正确；
∴正确的有②④；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及等式的变形．
10．（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先变形为b2＝a﹣2≥0，可求a≥2，再把2a2﹣4b2﹣c＝0变形后配方可求c的最小值．
【解答】解：∵a﹣b2﹣2＝0，
∴b2＝a﹣2≥0，
∴a≥2，
∵2a2﹣4b2﹣c＝0，
∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0，
∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6，
当a＝2时，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是熟练掌握完全平方公式．
二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
11．（2022春•仓山区校级期中）已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（2023•绿园区一模）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
【分析】关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×k＝0，
解得k＝3
故答案为：3．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
13．（2023春•蓬莱区期末）若a是关于x一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到3a2﹣a＝2023，再把2023+2a﹣6a2变形为2023﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
14．（2023春•苍南县月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 ．
【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，然后根据题意即可得到m和n的值，从而可以求得m+n的值．
【解答】解：∵x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝1+9，
∴（x﹣3）2＝10，
∴m＝3，n＝10，
∴m+n＝3+10＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
15．（2022春•贺州期中）如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
【分析】由题可得x2+x+2＝5x﹣2，整理得到x2﹣4x+4＝0，即（x﹣2）2＝0，解出即可．
【解答】解：根据题意得x2+x+2＝5x﹣2，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．
16．（2022秋•昭阳区校级期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的100元/件降到81元/件，则平均每次降价的百分率为 ．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
【分析】利用配方法和非负数的性质求出a、b的值，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+b2﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
则三角形的三边长为3、3、4或3、4、4，
故周长为10或11，
故选：10或11．
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形的周长的计算，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
18．（2022春•临平区月考）关于x的方程ax2﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为 ．
【分析】由方程的解得出am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，将其代入（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，得2（3+a）（9﹣2a）＝54，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣3＝0两个根为m，n，
∴am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，
∵（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，
∴2（am2﹣2bm+a）[3（an2﹣2bn）﹣2a]＝54，
即2（3+a）（9﹣2a）＝54，
解得a＝0或a=32，
∵a，b均为非零实数，
∴a=32，
故答案为：32．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解得概念与解一元二次方程的能力．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2022秋•东海县校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x2﹣2）＝7x； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
【分析】（1）先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：
（1）2（x2﹣2）＝7x，
2x2﹣7x﹣4＝0，
（x﹣4）（2x+1）＝0，
x﹣4＝0或2x+1＝0，
x1＝4，x2=−12；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（7分）（2023•萍乡二模）先化简，再求值：(m2−9m2−6m+9−3m−3)÷m2m3，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．
【分析】先化简分式，然后根据m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，求出m的值，再选择使得原分式有意义的m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（m2−9m2−6m+9−3m−3）÷m2m3
＝[(m+3)(m−3)(m−3)2−3m−3]÷1m
＝（m+3m−3−3m−3）•m
=mm−3•m
=m2m−3，
∵m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，
∴m＝﹣2或m＝3，
∵当m＝3时，原分式无意义，
∴m＝﹣2，
当m＝﹣2时，原式=m2m−3=(−2)2−2−3=−45．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握运算法则和解方程的方法是解答本题的关键．
21．（8分）（2022秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程一实数根为﹣3，求实数m的值．
【分析】（1）方程有实数根，则Δ≥0，列出不等式解答即可；
（2）把x＝﹣3代入方程，解出m的值，再根据（1）求出的m的范围作出判断即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2m+1，c＝m2+1，方程有实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1•（m2+1）＝4m﹣3≥0，
∴m≥34，
即实数m的取值范围为m≥34；
（2）若方程一实数根为﹣3，
则9﹣6m﹣3+m2+1＝0，
∴m2﹣6m+7＝0，
∴m1=3+2，m2=3−2，
∵m≥34时，方程有实根，
∴两个解都符合题意，
∴实数m的值为3+2和3−2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（8分）（2023春•东至县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）将x＝4代入原方程可求出m的值，求出m的值后代入原方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝m2+2m+5
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4，
∵（m+1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）当x＝4代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0，
∴m=53，
∴原方程化为：3x2﹣14x+8＝0，
x＝4或x=23
∴该三角形的周长为4+4+23=263
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
23．（8分）（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m≤14且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
24．（8分）（2023春•招远市期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：x（50﹣x）＝400，
解得：x1＝10，x2＝40，
即AB的长为10米或40米；
（2）花园的面积不能为625米2，
理由如下：
设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：
x（50﹣x）＝625，
解得：x1＝x2＝25，
当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25，
即当AB＝25米，BC＝25米＜30米，
∴花园的面积不能为625米2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（9分）（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x1，x2，且x1＞x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x1﹣3x2的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得m＞﹣3且m取负整数，即可得到m＝﹣2或m＝﹣1，分两种情况：当m＝﹣2时，当m＝﹣1时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣3再根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：
关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3有两个不相等实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，
解得：m＞﹣3；
（2）∵m＞﹣3且m取负整数，
∴m＝﹣2或m＝﹣1，
当m＝﹣2时，原方程可化为：x2+4x+3＝0且x1＞x2，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴x1﹣3x2＝﹣1﹣3×﹣3＝8，
当m＝﹣1时，原方程可化为：x2+2x﹣1＝0且x1＞x2，
解得：x1=−1+2，x2=−1−2，
∴x1−3x2=−1+2−3×(−1−2)=2+42，
综上所述：x1﹣3x2的值为8或2+42；
（3）由根与系数的关系得：
x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣3，
∵该方程的两个实数根的平方和为18，
∴(x1+x2)2−2x1x2=(2m)2−2(m2−m−3)=18，
∴m1＝2，m2＝﹣3，
由（1）可知：m＞﹣3，
∴m＝2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形是解题的关键．
26．（10分）（2022秋•郑州期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1100＜0，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
2．（2022春•定远县期末）一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．2B．1C．2或﹣2D．﹣2
3．（2022秋•新会区校级期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560D．2x（x﹣1）＝1560
4．（2022春•晋安区期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6
5．（2023•贵州模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
6．（2023•高新区校级三模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（2022春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（ ）
A．总不小于4B．总不小于9
C．可为任何实数D．可能为负数
8．（2023•江安县一模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则x12−4x1−x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
9．（2023春•宁国市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
10．（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
11．（2022春•仓山区校级期中）已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
12．（2023•绿园区一模）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
13．（2023春•蓬莱区期末）若a是关于x一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是 ．
14．（2023春•苍南县月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 ．
15．（2022春•贺州期中）如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
16．（2022秋•昭阳区校级期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的100元/件降到81元/件，则平均每次降价的百分率为 ．
17．（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
18．（2022春•临平区月考）关于x的方程ax2﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为 ．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2022秋•东海县校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x2﹣2）＝7x； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
20．（7分）（2023•萍乡二模）先化简，再求值：(m2−9m2−6m+9−3m−3)÷m2m3，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．
21．（8分）（2022秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程一实数根为﹣3，求实数m的值．
22．（8分）（2023春•东至县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
23．（8分）（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
24．（8分）（2023春•招远市期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．
25．（9分）（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x1，x2，且x1＞x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x1﹣3x2的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
26．（10分）（2022秋•郑州期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
（苏科版）九年级上册数学《第一章 一元二次方程》
综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•细河区期末）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案．
【解答】解：x（x+1）﹣2x＝2，
x2+x﹣2x＝2，
x2+x﹣2x﹣2＝0，
x2﹣x﹣2＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．（2022春•定远县期末）一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．2B．1C．2或﹣2D．﹣2
【分析】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，
因为方程为一元二次方程，
所以a﹣2≠0，
所以a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解．
3．（2022秋•新会区校级期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560D．2x（x﹣1）＝1560
【分析】由全班人数，可得出每人需送出（x﹣1）张照片，结合全班共送了1560张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵全班共有x名学生，
∴每人需送出（x﹣1）张照片．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022春•晋安区期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
5．（2023•贵州模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式及a＜0，可得出Δ＝4﹣4a＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：Δ＝22﹣4×1×a＝4﹣4a．
∵a＜0，
∴﹣4a＞0，
∴4﹣4a＞0，即Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．（2023•高新区校级三模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，求出两不等式的公共部分得到m的取值范围，然后确定满足条件的最大整数m的值．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1，
即m的取值范围为m＜2且m≠1．
所以满足条件的最大整数m的值为0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．（2022春•栖霞市期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（ ）
A．总不小于4B．总不小于9
C．可为任何实数D．可能为负数
【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9
＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4
＝（x+1）2+（y﹣2）2+4
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，
即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
8．（2023•江安县一模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则x12−4x1−x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，再根据方程根的意义得x12−3x1﹣4＝0，即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，x12−3x1﹣4＝0，
∴x12=3x1+4，
∴x12−4x1−x2+2x1x2
＝3x1+4﹣4x1﹣x2﹣8
＝﹣（x1+x2）﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1•x2=ca，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（2023春•宁国市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
【分析】在ax2+bx+c＝0令x＝﹣1，可判断①错误；若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得b2﹣4ac＞0，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，得ac2+bc+c＝0，如果c≠0，那么ac+b+1＝0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，可得（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，判断④正确．
【解答】解：若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为﹣1，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则ac＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则ac2+bc+c＝0，
如果c≠0，那么ac+b+1＝0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则ax02+bx0+c＝0，
∵a≠0，
∴4a2x02+4abx0+4ac＝0，
∴4a2x02+4abx0＝﹣4ac，
∴4a2x02+4abx0+b2＝b2﹣4ac，
∴（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，故④正确；
∴正确的有②④；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及等式的变形．
10．（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先变形为b2＝a﹣2≥0，可求a≥2，再把2a2﹣4b2﹣c＝0变形后配方可求c的最小值．
【解答】解：∵a﹣b2﹣2＝0，
∴b2＝a﹣2≥0，
∴a≥2，
∵2a2﹣4b2﹣c＝0，
∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0，
∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6，
当a＝2时，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是熟练掌握完全平方公式．
二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
11．（2022春•仓山区校级期中）已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（2023•绿园区一模）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
【分析】关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×k＝0，
解得k＝3
故答案为：3．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
13．（2023春•蓬莱区期末）若a是关于x一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到3a2﹣a＝2023，再把2023+2a﹣6a2变形为2023﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
14．（2023春•苍南县月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1时，可将原方程配方成（x﹣m）2＝n，则m+n的值是 ．
【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，然后根据题意即可得到m和n的值，从而可以求得m+n的值．
【解答】解：∵x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝1+9，
∴（x﹣3）2＝10，
∴m＝3，n＝10，
∴m+n＝3+10＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
15．（2022春•贺州期中）如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
【分析】由题可得x2+x+2＝5x﹣2，整理得到x2﹣4x+4＝0，即（x﹣2）2＝0，解出即可．
【解答】解：根据题意得x2+x+2＝5x﹣2，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．
16．（2022秋•昭阳区校级期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的100元/件降到81元/件，则平均每次降价的百分率为 ．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
【分析】利用配方法和非负数的性质求出a、b的值，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+b2﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
则三角形的三边长为3、3、4或3、4、4，
故周长为10或11，
故选：10或11．
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形的周长的计算，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
18．（2022春•临平区月考）关于x的方程ax2﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为 ．
【分析】由方程的解得出am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，将其代入（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，得2（3+a）（9﹣2a）＝54，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣3＝0两个根为m，n，
∴am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，
∵（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，
∴2（am2﹣2bm+a）[3（an2﹣2bn）﹣2a]＝54，
即2（3+a）（9﹣2a）＝54，
解得a＝0或a=32，
∵a，b均为非零实数，
∴a=32，
故答案为：32．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解得概念与解一元二次方程的能力．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2022秋•东海县校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x2﹣2）＝7x； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
【分析】（1）先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：
（1）2（x2﹣2）＝7x，
2x2﹣7x﹣4＝0，
（x﹣4）（2x+1）＝0，
x﹣4＝0或2x+1＝0，
x1＝4，x2=−12；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（7分）（2023•萍乡二模）先化简，再求值：(m2−9m2−6m+9−3m−3)÷m2m3，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．
【分析】先化简分式，然后根据m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，求出m的值，再选择使得原分式有意义的m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（m2−9m2−6m+9−3m−3）÷m2m3
＝[(m+3)(m−3)(m−3)2−3m−3]÷1m
＝（m+3m−3−3m−3）•m
=mm−3•m
=m2m−3，
∵m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，
∴m＝﹣2或m＝3，
∵当m＝3时，原分式无意义，
∴m＝﹣2，
当m＝﹣2时，原式=m2m−3=(−2)2−2−3=−45．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握运算法则和解方程的方法是解答本题的关键．
21．（8分）（2022秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程一实数根为﹣3，求实数m的值．
【分析】（1）方程有实数根，则Δ≥0，列出不等式解答即可；
（2）把x＝﹣3代入方程，解出m的值，再根据（1）求出的m的范围作出判断即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2m+1，c＝m2+1，方程有实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1•（m2+1）＝4m﹣3≥0，
∴m≥34，
即实数m的取值范围为m≥34；
（2）若方程一实数根为﹣3，
则9﹣6m﹣3+m2+1＝0，
∴m2﹣6m+7＝0，
∴m1=3+2，m2=3−2，
∵m≥34时，方程有实根，
∴两个解都符合题意，
∴实数m的值为3+2和3−2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（8分）（2023春•东至县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）将x＝4代入原方程可求出m的值，求出m的值后代入原方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝m2+2m+5
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4，
∵（m+1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）当x＝4代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0，
∴m=53，
∴原方程化为：3x2﹣14x+8＝0，
x＝4或x=23
∴该三角形的周长为4+4+23=263
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
23．（8分）（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m≤14且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
24．（8分）（2023春•招远市期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：x（50﹣x）＝400，
解得：x1＝10，x2＝40，
即AB的长为10米或40米；
（2）花园的面积不能为625米2，
理由如下：
设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：
x（50﹣x）＝625，
解得：x1＝x2＝25，
当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25，
即当AB＝25米，BC＝25米＜30米，
∴花园的面积不能为625米2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（9分）（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x1，x2，且x1＞x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x1﹣3x2的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得m＞﹣3且m取负整数，即可得到m＝﹣2或m＝﹣1，分两种情况：当m＝﹣2时，当m＝﹣1时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣3再根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：
关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3有两个不相等实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，
解得：m＞﹣3；
（2）∵m＞﹣3且m取负整数，
∴m＝﹣2或m＝﹣1，
当m＝﹣2时，原方程可化为：x2+4x+3＝0且x1＞x2，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴x1﹣3x2＝﹣1﹣3×﹣3＝8，
当m＝﹣1时，原方程可化为：x2+2x﹣1＝0且x1＞x2，
解得：x1=−1+2，x2=−1−2，
∴x1−3x2=−1+2−3×(−1−2)=2+42，
综上所述：x1﹣3x2的值为8或2+42；
（3）由根与系数的关系得：
x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣3，
∵该方程的两个实数根的平方和为18，
∴(x1+x2)2−2x1x2=(2m)2−2(m2−m−3)=18，
∴m1＝2，m2＝﹣3，
由（1）可知：m＞﹣3，
∴m＝2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形是解题的关键．
26．（10分）（2022秋•郑州期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1100＜0，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
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