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初中数学第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法练习题
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这是一份初中数学第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法练习题，共53页。试卷主要包含了2 一元二次方程的解法等内容，欢迎下载使用。
知识点一
直接开平方法
◆1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
◎◎◎注意事项：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点二
配方法
◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法．
◆2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此
方程无实数解．
知识点三
公式法
◆1、把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点四
因式分解法
◆1、用因式分解法解一元二次方程：
（1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法．
（2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
【例题1】（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【变式1-1】（2022秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．x1=3，x2=−3D．x1＝3，x2＝﹣3
【变式1-2】（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜1
【变式1-3】（2023春•蓬莱区期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的两个根分别为m+1，2m﹣4，则ba的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-4】（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【变式1-5】（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48．
【变式1-6】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）16x2＝25； （2）3（x+1）2﹣108＝0； （3）14（2x+3）2﹣54＝0．
题型二 用配方法解一元二次方程
【例题2】（2023•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝0
【变式2-1】（2023•乾安县三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=13的形式，则m的值为 ．
【变式2-2】（2023•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣1C．11D．7
【变式2-3】（2023春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝0D．m＝3，n＝2
【变式2-4】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
【变式2-5】用配方法解方程：
（1）x2﹣10x﹣2＝0； （2）y（y+3）=74； （3）2x2+x+1＝6x﹣1．
【变式2-6】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
题型三 用公式法解一元二次方程
【例题3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（ ）
A．x1=−3+62，x2=−3−62B．x1=3+232，x2=3−232
C．x1=−3+232，x2=−3−232D．x1=3+62，x2=3−62
【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0
【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【变式3-3】（2022春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（ ）
A．x＝﹣26B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2=−112D．x1＝﹣2，x2=112
【变式3-4】若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．1或−32B．1或−23C．﹣1或23D．1或32
【变式3-5】用公式法解方程：
（1）2x2﹣3x＝5；
（2）3x（x﹣2）+1＝0；
（3）6x2+2＝﹣5x．
【变式3-6】用公式法解方程：
（1）x2+x﹣6＝0； （2）x2−3x−14=0；
（3）3x2﹣6x+2＝0； （4）4x2﹣6x＝0．
题型四 用因式分解法解一元二次方程
【例题4】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝5x2＝9D．x1＝5x2＝1
【变式4-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和−12B．−12C．5D．﹣5和−12
【变式4-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1
【变式4-3】（2023春•鹿城区期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 ．
【变式4-4】（2023春•肇源县期中）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
【变式4-5】（2022春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【变式4-6】（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
题型五 用适当的方法解一元二次方程
【例题5】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
【变式5-1】用适当的方法解方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（y﹣1）2﹣25＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【变式5-2】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；
（2）14x2﹣x﹣4＝0；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4．
【变式5-3】用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）．
（3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
【变式5-4】解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2y2+4y＝y+2； （4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
【变式5-5】一元二次方程有多种解法，如因式分解法、开平方法、配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣4x﹣1＝0；
②x（2x+1）＝8x﹣3；
③x2+3x+1＝0；
④x2﹣9＝4（x﹣3）．
题型六 用十字相乘法解一元二次方程
【例题6】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝9B．x1＝﹣1，x2＝9
C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝﹣9
【变式6-1】（2023•河东区二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
【变式6-2】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣4B．x1＝﹣3，x2＝4
C．x1＝3，x2＝﹣4D．x1＝3，x2＝4
【变式6-3】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（ ）
A．x＝1B．x＝0C．x＝3D．x＝﹣3
【变式6-4】用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）2x2﹣5x﹣3＝0；
（4）2x2+15x+7＝0．
【变式6-5】（2023春•宁明县期中）阅读理解题：
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），
例如：分解因式x²﹣8x+12，x²＝x•x，12＝（﹣2）×（﹣6），
按下图排列：xx＜−26交叉相乘，乘积相加等于﹣8x，
得到x²﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：x²+4x﹣12；
（2）先分解因式，再求值：（a²+2a）²﹣2（a²+2a）﹣3，其中a＝2．
【变式6-6】阅读下列材料：
（1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项： 7x+（﹣5x）＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．
试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0；
②x2﹣5x﹣6＝0；
③3x2﹣2x﹣1＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
题型七 用换元法解一元二次方程
【例题7】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）
A．±5B．5
C．﹣5D．以上答案都不对
【变式7-1】（2022春•海门市校级期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．﹣1或3
【变式7-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．3或4
【变式7-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 ．
【变式7-4】阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则
（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
解方程：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0．
【变式7-5】（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.2 一元二次方程的解法
知识点一
直接开平方法
◆1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
◎◎◎注意事项：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点二
配方法
◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法．
◆2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此
方程无实数解．
知识点三
公式法
◆1、把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点四
因式分解法
◆1、用因式分解法解一元二次方程：
（1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法．
（2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
【例题1】（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【分析】直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，
∴（x+6）2＝9，
则x+6＝±3，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
【变式1-1】（2022秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．x1=3，x2=−3D．x1＝3，x2＝﹣3
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜1
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．
即m＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．
【变式1-3】（2023春•蓬莱区期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的两个根分别为m+1，2m﹣4，则ba的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据方程的特点知m+1+2m﹣4＝0，据此得出m的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴方程的两根为2、﹣2，
∴4a﹣b＝0，
∴4a＝b，
则ba=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是掌握利用直接开平方法求解的一元二次方程的特点．
【变式1-4】（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先将方程整理为x2=494，再利用平方根的意义直接开方求解即可；
（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2=494，
∴x=±72，
∴x1=72，x2=−72；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
【变式1-5】（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48．
【分析】（1）先把方程化为x2=259，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程化为（x+2）2＝8，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵9x2＝25，
∴x2=259，
解得：x=53或x=−53．
（2）∵6（x+2）2＝48，
∴（x+2）2＝8，
∴x+2=±22，
解得：x=−2+22或x=−2−22．
【点评】本题考查的是利用直接开平方法解方程，二次根式的化简，掌握“利用直接开平方法解方程”是解本题的关键．
【变式1-6】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）16x2＝25； （2）3（x+1）2﹣108＝0； （3）14（2x+3）2﹣54＝0．
【分析】（1）整理得到x2=2516，然后利用直接开平方法解方程．
（2）整理得到（x+1）2＝36，然后利用直接开平方法解方程．
（3）整理得到（2x+3）2＝216，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）16x2＝25，
x2=2516，
∴x＝±54，
∴x1=54，x2=−54．
（2）3（x+1）2﹣108＝0，
3（x+1）2＝108
（x+1）2＝36，
∴x+1＝±6，
∴x1＝5，x2＝﹣7．
（3）14（2x+3）2﹣54＝0，
（2x+3）2＝216，
∴2x+3＝±66，
∴x1=−3+662，x2=−3−662．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
题型二 用配方法解一元二次方程
【例题2】（2023•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝0
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，
∴（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法，本题属于基础题型．
【变式2-1】（2023•乾安县三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=13的形式，则m的值为 ．
【分析】利用配方法的步骤，把方程变形为（x﹣m）2=13的形式后确定m的值．
【解答】解：移项，得3x2﹣6x＝﹣2，
系数化为1，得x2﹣2x=−23．
方程的两边都加1，得x2﹣2x+1=13，
∴（x﹣1）2=13．
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键．
【变式2-2】（2023•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣1C．11D．7
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而可得答案．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，
则a＝﹣2，b＝9，
∴a+b＝﹣2+9＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
【变式2-3】（2023春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝0D．m＝3，n＝2
【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，
∴（x﹣3）2＝2，
∴m＝3，n＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．
【变式2-4】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
【分析】先移项，再两边都配上16，然后写成完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，
即（x﹣4）2＝21，
∴b＝21，
∴a＝﹣4，
∴ab＝﹣84，
故答案为：﹣84．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2-5】用配方法解方程：
（1）x2﹣10x﹣2＝0；（2）y（y+3）=74；（3）2x2+x+1＝6x﹣1．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣10x﹣2＝0，
x2﹣10x+25＝2+25，
（x﹣5）2＝27，
x−5=±33，
x1=33+5，x2=−33+5；
（2）y（y+3）=74，
y2+3y+94=74+94，
(y+32)2=4，
y+32=±2，
y1=12，y2=−72；
（3）2x2+x+1＝6x﹣1，
2x2﹣5x＝﹣2，
x2−52x=−1，
x2−52x+2516=−1+2516，
(x−54)2=916，
x−54=±34，
x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
【变式2-6】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x2−43x=23，
∴x2−43x+49=109，即（x−23）2=109，
∴x−23=±103，
∴x1=23+103，x2=23−103；
（2））原方程可化为x2−13x=16，
∴x2−13x+136=736，即（x−16）2=736，
∴x−16=±76，
∴x1=16+76，x2=16−76；
（3）原方程可化为x2−32x=−12，
∴x2−32x+916=116，即（x−34）2=116，
∴x−34=±14，
∴x1＝1，x2=12；
（4）原方程可化为x2−52x＝﹣1，
∴x2−52x+2516=916，即（x−54）2=916，
∴x−54=±34，
∴x1＝2，x2=12．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
题型三 用公式法解一元二次方程
【例题3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（ ）
A．x1=−3+62，x2=−3−62B．x1=3+232，x2=3−232
C．x1=−3+232，x2=−3−232D．x1=3+62，x2=3−62
【分析】先对方程进行移项，确定一元二次方程的各项系数，并求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值；代入求根公式x=−b±b2−4ac2a中化简即可．
【解答】解：方程移项，得4x2﹣12x﹣3＝0，
所以a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
由求根公式得x=−b±b2−4ac2a=−(−12)±1922×4=3±232，
所以原方程的解为x1=3+232，x2=3−232．
故选：B．
【点评】本题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键时掌握公式法解一元二次方程的步骤．
【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0
【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【分析】先将方程化为一般形式，然后即可写出a、b、c，本题得以解决．
【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，
∴3x2﹣4x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式．
【变式3-3】（2022春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（ ）
A．x＝﹣26B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2=−112D．x1＝﹣2，x2=112
【分析】利用定义的新运算可得（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，整理得：2x2﹣7x﹣22＝0，然后利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，
x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28，
x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28，
2x2﹣7x+6＝28，
2x2﹣7x﹣22＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0，
∴x=7±2254=7±154，
∴x1=7+154=112，x2=7−154=−2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
【变式3-4】若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．1或−32B．1或−23C．﹣1或23D．1或32
【分析】根据代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，列出等式，化为一元二次方程的一般式，用根公式解出此方程即可．
【解答】解：∵4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，
∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1＝0，
∴6x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝100＞0，
∴x=2±10012，
∴x1＝1或x2=−23，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法、相反数，掌握相反数的定义、根据定义列出等式，用求根公式解出此方程是解题关键．
【变式3-5】用公式法解方程：
（1）2x2﹣3x＝5；
（2）3x（x﹣2）+1＝0；
（3）6x2+2＝﹣5x．
【分析】各方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝9+40＝49＞0，
∴x=3±74，
解得：x1=52，x2＝﹣1；
（2）方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3×1＝36﹣12＝24＞0，
∴x=6±266=3±63，
解得：x1=3+63，x2=3−63；
（3）方程整理得：6x2+5x+2＝0，
这里a＝6，b＝5，c＝2，
∵Δ＝52﹣4×6×2＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴方程没有实数根．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
【变式3-6】用公式法解方程：
（1）x2+x﹣6＝0； （2）x2−3x−14=0；
（3）3x2﹣6x+2＝0； （4）4x2﹣6x＝0．
【分析】（1）公式法解方程；
（2）公式法解方程：
（3）公式法解方程：
（4）公式法解方程：
【解答】解：（1）x2+x﹣6＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
x=−b±Δ2a=−1±252=−1±52，
x1＝2，x2＝﹣3；
（2）x2−3x−14=0
Δ＝b2﹣4ac＝（−3）2﹣4×1×（−14）＝4＞0，
x=3±42=3±22，
x1=3+22，x2=3−22；
（3）3x2﹣6x+2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×2＝12＞0
x=6±126=3±33
x1=3+33，x2=3−33．
（4）4x2﹣6x＝0
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×0＝36＞0
x=6±368=6±68
x1＝0，x2=32．
【点评】本题考查用公式法解一元二次方程，掌握Δ的性质是解题关键．
题型四 用因式分解法解一元二次方程
【例题4】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝5x2＝9D．x1＝5x2＝1
【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5），
（x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0，
x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，
所以x1＝5，x2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和−12B．−12C．5D．﹣5和−12
【分析】提取公因式（2x+1）即可得到（x﹣5）（2x+1）＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），
∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0，
∴（x﹣5）（2x+1）＝0，
∴x1＝5，x2=−12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
【变式4-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1
【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-3】（2023春•鹿城区期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 ．
【分析】由方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，知方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，
∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
解得x＝2或x＝4，
故答案为：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是将2x﹣1看做整体得出2x﹣1的值．
【变式4-4】（2023春•肇源县期中）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【变式4-5】（2022春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；
（3）先移项得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝4，x2＝2；
（2）3x﹣x2＝x﹣3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（3）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-6】（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）根据分组分解法分解因式；
（2）先把等式的左边分解因式，再判断三角形的形状．
【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16
＝（3x﹣y）2﹣42
＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
题型五 用适当的方法解一元二次方程
【例题5】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可；
（3）直接利用公式法求解即可；
（4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，
∴7x（x﹣3）＝0，
∴7x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44，
∴x=−b±b2−4ac2a=−(−6)±442×2=6±2114，
∴x1=3+112，x2=3−112；
（4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1），
∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1），
解得：x1＝8，x2=45．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【变式5-1】用适当的方法解方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（y﹣1）2﹣25＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x=−b±b2−4ac2a=1±52，
即x1=1+52，x2=1−52；
（2）∵（y﹣1）2﹣25＝0，
∴（y﹣1）2＝25，
则y﹣1＝±5，
解得y1＝6，y2＝﹣4；
（3）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2=−23．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【变式5-2】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；
（2）14x2﹣x﹣4＝0；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用直接开平方法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝4x+3，
x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±23，
∴x1＝3+23，x2＝3﹣23；
（2）14x2﹣x﹣4＝0，
x2﹣4x＝16，
x2﹣4x+4＝16+4，即（x﹣2）2＝20，
∴x﹣2＝±25，
∴x1＝2+25，x2＝2﹣25；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5-3】用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）．
（3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；
（4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0，
x2+4x＝6，
配方，得x2+4x+4＝6+4，
（x+2）2＝10，
开方，得x+2=±10，
x1＝﹣2+10，x2＝﹣2−10；
（2）（x+4）2＝5（x+4），
（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0，或x+4﹣5＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（3）3x2﹣1＝4x，
3x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，x=−b±b2−4ac2a=4±282×3，
解得：x1=2+73，x2=2−73；
（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，
（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，
x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
【变式5-4】解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2y2+4y＝y+2； （4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）把x+1看作整体，利用完全平方公式变形，开方求出解即可．
【解答】解：（1）配方得：x2﹣4x+4＝7，
整理得：（x﹣2）2＝7，
开方得：x﹣2＝±7，
解得：x1＝2+7，x2＝2−7；
（2）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=4±276=2±73，
解得：x1=2+73，x2=2−73；
（3）方程移项得：2y2+4y﹣（y+2）＝0，
变形得：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，即（y+2）（2y﹣1）＝0，
所以y+2＝0或2y﹣1＝0，
解得：y1＝﹣2，y2=12；
（4）方程分解得：（x+1+2）2＝0，即（x+3）2＝0，
所以x+3＝0，
解得：x1＝x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式5-5】一元二次方程有多种解法，如因式分解法、开平方法、配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣4x﹣1＝0；
②x（2x+1）＝8x﹣3；
③x2+3x+1＝0；
④x2﹣9＝4（x﹣3）．
【分析】①用配方法求解即可；
②利用因式分解法求解即可；
③利用公式法求解即可；
④利用因式分解法求解即可．
【解答】解：①x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2=±5，
x1＝2+5，x2＝2−5；
②x（2x+1）＝8x﹣3，
2x2﹣7x+3＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1=12，x2＝3；
③x2+3x+1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−3±52，
∴x1=−3+52，x2=−3−52；
④x2﹣9＝4（x﹣3），
（x+3）（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+3﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
题型六 用十字相乘法解一元二次方程
【例题6】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝9B．x1＝﹣1，x2＝9
C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝﹣9
【分析】根据已知方程得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：x2+10x+9＝0
∵（x+1）（x+9）＝0，
∴x+1＝0或x+9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣9，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【变式6-1】（2023•河东区二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
【分析】先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式6-2】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣4B．x1＝﹣3，x2＝4
C．x1＝3，x2＝﹣4D．x1＝3，x2＝4
【分析】利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2+7x+12＝0，
（x+3）（x+4）＝0，
x+3＝0或x+4＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式6-3】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（ ）
A．x＝1B．x＝0C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．
【变式6-4】用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）2x2﹣5x﹣3＝0；
（4）2x2+15x+7＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x﹣1）（x+7）＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣7．
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
（3）∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（2x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1=−12，x2＝3．
（4）∵2x2+15x+7＝0，
∴（2x+1）（x+7）＝0，
∴x1=−12，x2＝﹣7．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-5】（2023春•宁明县期中）阅读理解题：
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），
例如：分解因式x²﹣8x+12，x²＝x•x，12＝（﹣2）×（﹣6），
按下图排列：xx＜−26交叉相乘，乘积相加等于﹣8x，
得到x²﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：x²+4x﹣12；
（2）先分解因式，再求值：（a²+2a）²﹣2（a²+2a）﹣3，其中a＝2．
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解．
（2）先运用十字相乘法进行因式分解，再代入求解．
【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6）．
（2）（a2+2a）2﹣2（a2+2a）﹣3
＝（a2+2a+1）（a2+2a﹣3）
＝（a+1）2（a2+2a﹣3）．
当a＝2时，
原式＝（2+1）2×（22+4﹣5）
＝9×3
＝27．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解决本题的关键．
【变式6-6】阅读下列材料：
（1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项： 7x+（﹣5x）＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．
试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0；
②x2﹣5x﹣6＝0；
③3x2﹣2x﹣1＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）（2）（3）（4）利用十字相乘法因式分解求解．
【解答】解：①∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣7）（x﹣3）＝0，
∴x﹣7＝0，x﹣3＝0，
∴x1＝7，x2＝3；
②∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0，x+1＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1；
③∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x﹣1＝0，3x+1＝0，
∴x1＝1，x2=−13；
④∵2x2+x﹣6＝0，
∴（x+2）（2x﹣3）＝0，
∴x+2＝0，2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2=32．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解，属于中考常考题型．
题型七 用换元法解一元二次方程
【例题7】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）
A．±5B．5
C．﹣5D．以上答案都不对
【分析】设a2+b2＝x，则方程化为（x+3）（x﹣3）＝16，求出x的值，再得出选项即可．
【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，
设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16，
x2﹣9＝16，
x2＝25，
x＝±5，
当x＝5时，a2+b2＝5，
当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5，
∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，
∴此时不行，
即a2+b2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式7-1】（2022春•海门市校级期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．﹣1或3
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t﹣3）＝6，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t﹣3）＝6，
整理，得（t﹣4）（t+3）＝0，
解得t1＝4，t2＝﹣3（舍去）．
则x2+y2＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式7-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．3或4
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣1）＝12，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则：
t（t﹣1）＝12．
整理，得（t﹣4）（t+3）＝0．
所以t﹣4＝0或t+3＝0．
所以t＝4或t＝﹣3（舍去）．
即x2+y2的值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式7-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 ．
【分析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0，可得y1＝8，y2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0
∴（y﹣8）（y+2）＝0，
解得：y1＝8，y2＝﹣2，
即 a2+b2＝8或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【变式7-4】阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则
（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
解方程：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0．
【分析】将x2+1视为一个整体，然后设x2+1＝y，则原方程化为y2﹣y﹣6＝0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】解：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0，
设x2+1＝y，
则原方程化为y2﹣y﹣6＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣2，
当y＝3时，x2+1＝3．
解得：x＝±2；
当y＝﹣2时，x2+1＝﹣2，
此方程无解．
因此原方程的解为x1=2，x2=−2．
【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．
【变式7-5】（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
【分析】（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解．
【解答】解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，
∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4，
设m+3n＝t，
则t（t﹣2）＝2t﹣4，
整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0，
解得：t＝2，
∴m+3n＝2，
∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5．
【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解题技巧提炼
左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚.
解题技巧提炼
用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单.
解题技巧提炼
运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误．
解题技巧提炼
因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程．
解题技巧提炼
选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．
解题技巧提炼
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
解题技巧提炼
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
解题技巧提炼
左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚.
解题技巧提炼
用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单.
解题技巧提炼
运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误．
解题技巧提炼
因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程．
解题技巧提炼
选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．
解题技巧提炼
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
解题技巧提炼
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点一
直接开平方法
◆1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
◎◎◎注意事项：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点二
配方法
◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法．
◆2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此
方程无实数解．
知识点三
公式法
◆1、把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点四
因式分解法
◆1、用因式分解法解一元二次方程：
（1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法．
（2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
【例题1】（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【变式1-1】（2022秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．x1=3，x2=−3D．x1＝3，x2＝﹣3
【变式1-2】（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜1
【变式1-3】（2023春•蓬莱区期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的两个根分别为m+1，2m﹣4，则ba的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-4】（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【变式1-5】（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48．
【变式1-6】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）16x2＝25； （2）3（x+1）2﹣108＝0； （3）14（2x+3）2﹣54＝0．
题型二 用配方法解一元二次方程
【例题2】（2023•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝0
【变式2-1】（2023•乾安县三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=13的形式，则m的值为 ．
【变式2-2】（2023•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣1C．11D．7
【变式2-3】（2023春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝0D．m＝3，n＝2
【变式2-4】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
【变式2-5】用配方法解方程：
（1）x2﹣10x﹣2＝0； （2）y（y+3）=74； （3）2x2+x+1＝6x﹣1．
【变式2-6】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
题型三 用公式法解一元二次方程
【例题3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（ ）
A．x1=−3+62，x2=−3−62B．x1=3+232，x2=3−232
C．x1=−3+232，x2=−3−232D．x1=3+62，x2=3−62
【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0
【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【变式3-3】（2022春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（ ）
A．x＝﹣26B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2=−112D．x1＝﹣2，x2=112
【变式3-4】若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．1或−32B．1或−23C．﹣1或23D．1或32
【变式3-5】用公式法解方程：
（1）2x2﹣3x＝5；
（2）3x（x﹣2）+1＝0；
（3）6x2+2＝﹣5x．
【变式3-6】用公式法解方程：
（1）x2+x﹣6＝0； （2）x2−3x−14=0；
（3）3x2﹣6x+2＝0； （4）4x2﹣6x＝0．
题型四 用因式分解法解一元二次方程
【例题4】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝5x2＝9D．x1＝5x2＝1
【变式4-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和−12B．−12C．5D．﹣5和−12
【变式4-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1
【变式4-3】（2023春•鹿城区期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 ．
【变式4-4】（2023春•肇源县期中）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
【变式4-5】（2022春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【变式4-6】（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
题型五 用适当的方法解一元二次方程
【例题5】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
【变式5-1】用适当的方法解方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（y﹣1）2﹣25＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【变式5-2】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；
（2）14x2﹣x﹣4＝0；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4．
【变式5-3】用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）．
（3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
【变式5-4】解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2y2+4y＝y+2； （4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
【变式5-5】一元二次方程有多种解法，如因式分解法、开平方法、配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣4x﹣1＝0；
②x（2x+1）＝8x﹣3；
③x2+3x+1＝0；
④x2﹣9＝4（x﹣3）．
题型六 用十字相乘法解一元二次方程
【例题6】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝9B．x1＝﹣1，x2＝9
C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝﹣9
【变式6-1】（2023•河东区二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
【变式6-2】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣4B．x1＝﹣3，x2＝4
C．x1＝3，x2＝﹣4D．x1＝3，x2＝4
【变式6-3】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（ ）
A．x＝1B．x＝0C．x＝3D．x＝﹣3
【变式6-4】用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）2x2﹣5x﹣3＝0；
（4）2x2+15x+7＝0．
【变式6-5】（2023春•宁明县期中）阅读理解题：
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），
例如：分解因式x²﹣8x+12，x²＝x•x，12＝（﹣2）×（﹣6），
按下图排列：xx＜−26交叉相乘，乘积相加等于﹣8x，
得到x²﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：x²+4x﹣12；
（2）先分解因式，再求值：（a²+2a）²﹣2（a²+2a）﹣3，其中a＝2．
【变式6-6】阅读下列材料：
（1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项： 7x+（﹣5x）＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．
试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0；
②x2﹣5x﹣6＝0；
③3x2﹣2x﹣1＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
题型七 用换元法解一元二次方程
【例题7】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）
A．±5B．5
C．﹣5D．以上答案都不对
【变式7-1】（2022春•海门市校级期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．﹣1或3
【变式7-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．3或4
【变式7-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 ．
【变式7-4】阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则
（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
解方程：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0．
【变式7-5】（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.2 一元二次方程的解法
知识点一
直接开平方法
◆1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
◎◎◎注意事项：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点二
配方法
◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法．
◆2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此
方程无实数解．
知识点三
公式法
◆1、把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点四
因式分解法
◆1、用因式分解法解一元二次方程：
（1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法．
（2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
【例题1】（2023•西青区二模）方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【分析】直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，
∴（x+6）2＝9，
则x+6＝±3，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
【变式1-1】（2022秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．x1=3，x2=−3D．x1＝3，x2＝﹣3
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜1
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．
即m＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．
【变式1-3】（2023春•蓬莱区期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的两个根分别为m+1，2m﹣4，则ba的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据方程的特点知m+1+2m﹣4＝0，据此得出m的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴方程的两根为2、﹣2，
∴4a﹣b＝0，
∴4a＝b，
则ba=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是掌握利用直接开平方法求解的一元二次方程的特点．
【变式1-4】（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先将方程整理为x2=494，再利用平方根的意义直接开方求解即可；
（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2=494，
∴x=±72，
∴x1=72，x2=−72；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
【变式1-5】（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48．
【分析】（1）先把方程化为x2=259，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程化为（x+2）2＝8，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵9x2＝25，
∴x2=259，
解得：x=53或x=−53．
（2）∵6（x+2）2＝48，
∴（x+2）2＝8，
∴x+2=±22，
解得：x=−2+22或x=−2−22．
【点评】本题考查的是利用直接开平方法解方程，二次根式的化简，掌握“利用直接开平方法解方程”是解本题的关键．
【变式1-6】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）16x2＝25； （2）3（x+1）2﹣108＝0； （3）14（2x+3）2﹣54＝0．
【分析】（1）整理得到x2=2516，然后利用直接开平方法解方程．
（2）整理得到（x+1）2＝36，然后利用直接开平方法解方程．
（3）整理得到（2x+3）2＝216，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）16x2＝25，
x2=2516，
∴x＝±54，
∴x1=54，x2=−54．
（2）3（x+1）2﹣108＝0，
3（x+1）2＝108
（x+1）2＝36，
∴x+1＝±6，
∴x1＝5，x2＝﹣7．
（3）14（2x+3）2﹣54＝0，
（2x+3）2＝216，
∴2x+3＝±66，
∴x1=−3+662，x2=−3−662．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
题型二 用配方法解一元二次方程
【例题2】（2023•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝0
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，
∴（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法，本题属于基础题型．
【变式2-1】（2023•乾安县三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=13的形式，则m的值为 ．
【分析】利用配方法的步骤，把方程变形为（x﹣m）2=13的形式后确定m的值．
【解答】解：移项，得3x2﹣6x＝﹣2，
系数化为1，得x2﹣2x=−23．
方程的两边都加1，得x2﹣2x+1=13，
∴（x﹣1）2=13．
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键．
【变式2-2】（2023•阳谷县二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣1C．11D．7
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而可得答案．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，
则a＝﹣2，b＝9，
∴a+b＝﹣2+9＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
【变式2-3】（2023春•淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝0D．m＝3，n＝2
【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，
∴（x﹣3）2＝2，
∴m＝3，n＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．
【变式2-4】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
【分析】先移项，再两边都配上16，然后写成完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，
即（x﹣4）2＝21，
∴b＝21，
∴a＝﹣4，
∴ab＝﹣84，
故答案为：﹣84．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2-5】用配方法解方程：
（1）x2﹣10x﹣2＝0；（2）y（y+3）=74；（3）2x2+x+1＝6x﹣1．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣10x﹣2＝0，
x2﹣10x+25＝2+25，
（x﹣5）2＝27，
x−5=±33，
x1=33+5，x2=−33+5；
（2）y（y+3）=74，
y2+3y+94=74+94，
(y+32)2=4，
y+32=±2，
y1=12，y2=−72；
（3）2x2+x+1＝6x﹣1，
2x2﹣5x＝﹣2，
x2−52x=−1，
x2−52x+2516=−1+2516，
(x−54)2=916，
x−54=±34，
x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
【变式2-6】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x2−43x=23，
∴x2−43x+49=109，即（x−23）2=109，
∴x−23=±103，
∴x1=23+103，x2=23−103；
（2））原方程可化为x2−13x=16，
∴x2−13x+136=736，即（x−16）2=736，
∴x−16=±76，
∴x1=16+76，x2=16−76；
（3）原方程可化为x2−32x=−12，
∴x2−32x+916=116，即（x−34）2=116，
∴x−34=±14，
∴x1＝1，x2=12；
（4）原方程可化为x2−52x＝﹣1，
∴x2−52x+2516=916，即（x−54）2=916，
∴x−54=±34，
∴x1＝2，x2=12．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
题型三 用公式法解一元二次方程
【例题3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（ ）
A．x1=−3+62，x2=−3−62B．x1=3+232，x2=3−232
C．x1=−3+232，x2=−3−232D．x1=3+62，x2=3−62
【分析】先对方程进行移项，确定一元二次方程的各项系数，并求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值；代入求根公式x=−b±b2−4ac2a中化简即可．
【解答】解：方程移项，得4x2﹣12x﹣3＝0，
所以a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
由求根公式得x=−b±b2−4ac2a=−(−12)±1922×4=3±232，
所以原方程的解为x1=3+232，x2=3−232．
故选：B．
【点评】本题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键时掌握公式法解一元二次方程的步骤．
【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0
【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2
【分析】先将方程化为一般形式，然后即可写出a、b、c，本题得以解决．
【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，
∴3x2﹣4x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式．
【变式3-3】（2022春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（ ）
A．x＝﹣26B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2=−112D．x1＝﹣2，x2=112
【分析】利用定义的新运算可得（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，整理得：2x2﹣7x﹣22＝0，然后利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，
x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28，
x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28，
2x2﹣7x+6＝28，
2x2﹣7x﹣22＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0，
∴x=7±2254=7±154，
∴x1=7+154=112，x2=7−154=−2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
【变式3-4】若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．1或−32B．1或−23C．﹣1或23D．1或32
【分析】根据代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，列出等式，化为一元二次方程的一般式，用根公式解出此方程即可．
【解答】解：∵4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，
∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1＝0，
∴6x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝100＞0，
∴x=2±10012，
∴x1＝1或x2=−23，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法、相反数，掌握相反数的定义、根据定义列出等式，用求根公式解出此方程是解题关键．
【变式3-5】用公式法解方程：
（1）2x2﹣3x＝5；
（2）3x（x﹣2）+1＝0；
（3）6x2+2＝﹣5x．
【分析】各方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝9+40＝49＞0，
∴x=3±74，
解得：x1=52，x2＝﹣1；
（2）方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3×1＝36﹣12＝24＞0，
∴x=6±266=3±63，
解得：x1=3+63，x2=3−63；
（3）方程整理得：6x2+5x+2＝0，
这里a＝6，b＝5，c＝2，
∵Δ＝52﹣4×6×2＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴方程没有实数根．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
【变式3-6】用公式法解方程：
（1）x2+x﹣6＝0； （2）x2−3x−14=0；
（3）3x2﹣6x+2＝0； （4）4x2﹣6x＝0．
【分析】（1）公式法解方程；
（2）公式法解方程：
（3）公式法解方程：
（4）公式法解方程：
【解答】解：（1）x2+x﹣6＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
x=−b±Δ2a=−1±252=−1±52，
x1＝2，x2＝﹣3；
（2）x2−3x−14=0
Δ＝b2﹣4ac＝（−3）2﹣4×1×（−14）＝4＞0，
x=3±42=3±22，
x1=3+22，x2=3−22；
（3）3x2﹣6x+2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×2＝12＞0
x=6±126=3±33
x1=3+33，x2=3−33．
（4）4x2﹣6x＝0
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×0＝36＞0
x=6±368=6±68
x1＝0，x2=32．
【点评】本题考查用公式法解一元二次方程，掌握Δ的性质是解题关键．
题型四 用因式分解法解一元二次方程
【例题4】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝5x2＝9D．x1＝5x2＝1
【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5），
（x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0，
x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，
所以x1＝5，x2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和−12B．−12C．5D．﹣5和−12
【分析】提取公因式（2x+1）即可得到（x﹣5）（2x+1）＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），
∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0，
∴（x﹣5）（2x+1）＝0，
∴x1＝5，x2=−12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
【变式4-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1
【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-3】（2023春•鹿城区期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 ．
【分析】由方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，知方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，
∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
解得x＝2或x＝4，
故答案为：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是将2x﹣1看做整体得出2x﹣1的值．
【变式4-4】（2023春•肇源县期中）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【变式4-5】（2022春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；
（3）先移项得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝4，x2＝2；
（2）3x﹣x2＝x﹣3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（3）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式4-6】（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）根据分组分解法分解因式；
（2）先把等式的左边分解因式，再判断三角形的形状．
【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16
＝（3x﹣y）2﹣42
＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
题型五 用适当的方法解一元二次方程
【例题5】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可；
（3）直接利用公式法求解即可；
（4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，
∴7x（x﹣3）＝0，
∴7x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44，
∴x=−b±b2−4ac2a=−(−6)±442×2=6±2114，
∴x1=3+112，x2=3−112；
（4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1），
∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1），
解得：x1＝8，x2=45．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【变式5-1】用适当的方法解方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（y﹣1）2﹣25＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x=−b±b2−4ac2a=1±52，
即x1=1+52，x2=1−52；
（2）∵（y﹣1）2﹣25＝0，
∴（y﹣1）2＝25，
则y﹣1＝±5，
解得y1＝6，y2＝﹣4；
（3）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2=−23．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【变式5-2】（2022秋•莲湖区校级月考）解方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；
（2）14x2﹣x﹣4＝0；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用直接开平方法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝4x+3，
x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±23，
∴x1＝3+23，x2＝3﹣23；
（2）14x2﹣x﹣4＝0，
x2﹣4x＝16，
x2﹣4x+4＝16+4，即（x﹣2）2＝20，
∴x﹣2＝±25，
∴x1＝2+25，x2＝2﹣25；
（3）4（x﹣1）2﹣36＝0，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（4）（x+1）（x﹣2）＝4，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5-3】用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）．
（3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；
（4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0，
x2+4x＝6，
配方，得x2+4x+4＝6+4，
（x+2）2＝10，
开方，得x+2=±10，
x1＝﹣2+10，x2＝﹣2−10；
（2）（x+4）2＝5（x+4），
（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0，或x+4﹣5＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（3）3x2﹣1＝4x，
3x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，x=−b±b2−4ac2a=4±282×3，
解得：x1=2+73，x2=2−73；
（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，
（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，
x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
【变式5-4】解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2y2+4y＝y+2； （4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）把x+1看作整体，利用完全平方公式变形，开方求出解即可．
【解答】解：（1）配方得：x2﹣4x+4＝7，
整理得：（x﹣2）2＝7，
开方得：x﹣2＝±7，
解得：x1＝2+7，x2＝2−7；
（2）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=4±276=2±73，
解得：x1=2+73，x2=2−73；
（3）方程移项得：2y2+4y﹣（y+2）＝0，
变形得：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，即（y+2）（2y﹣1）＝0，
所以y+2＝0或2y﹣1＝0，
解得：y1＝﹣2，y2=12；
（4）方程分解得：（x+1+2）2＝0，即（x+3）2＝0，
所以x+3＝0，
解得：x1＝x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式5-5】一元二次方程有多种解法，如因式分解法、开平方法、配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣4x﹣1＝0；
②x（2x+1）＝8x﹣3；
③x2+3x+1＝0；
④x2﹣9＝4（x﹣3）．
【分析】①用配方法求解即可；
②利用因式分解法求解即可；
③利用公式法求解即可；
④利用因式分解法求解即可．
【解答】解：①x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2=±5，
x1＝2+5，x2＝2−5；
②x（2x+1）＝8x﹣3，
2x2﹣7x+3＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1=12，x2＝3；
③x2+3x+1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−3±52，
∴x1=−3+52，x2=−3−52；
④x2﹣9＝4（x﹣3），
（x+3）（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+3﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
题型六 用十字相乘法解一元二次方程
【例题6】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝9B．x1＝﹣1，x2＝9
C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝﹣9
【分析】根据已知方程得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：x2+10x+9＝0
∵（x+1）（x+9）＝0，
∴x+1＝0或x+9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣9，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【变式6-1】（2023•河东区二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
【分析】先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式6-2】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣4B．x1＝﹣3，x2＝4
C．x1＝3，x2＝﹣4D．x1＝3，x2＝4
【分析】利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2+7x+12＝0，
（x+3）（x+4）＝0，
x+3＝0或x+4＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式6-3】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（ ）
A．x＝1B．x＝0C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．
【变式6-4】用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）2x2﹣5x﹣3＝0；
（4）2x2+15x+7＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x﹣1）（x+7）＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣7．
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
（3）∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（2x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1=−12，x2＝3．
（4）∵2x2+15x+7＝0，
∴（2x+1）（x+7）＝0，
∴x1=−12，x2＝﹣7．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-5】（2023春•宁明县期中）阅读理解题：
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），
例如：分解因式x²﹣8x+12，x²＝x•x，12＝（﹣2）×（﹣6），
按下图排列：xx＜−26交叉相乘，乘积相加等于﹣8x，
得到x²﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：x²+4x﹣12；
（2）先分解因式，再求值：（a²+2a）²﹣2（a²+2a）﹣3，其中a＝2．
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解．
（2）先运用十字相乘法进行因式分解，再代入求解．
【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6）．
（2）（a2+2a）2﹣2（a2+2a）﹣3
＝（a2+2a+1）（a2+2a﹣3）
＝（a+1）2（a2+2a﹣3）．
当a＝2时，
原式＝（2+1）2×（22+4﹣5）
＝9×3
＝27．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解决本题的关键．
【变式6-6】阅读下列材料：
（1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项： 7x+（﹣5x）＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．
试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0；
②x2﹣5x﹣6＝0；
③3x2﹣2x﹣1＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）（2）（3）（4）利用十字相乘法因式分解求解．
【解答】解：①∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣7）（x﹣3）＝0，
∴x﹣7＝0，x﹣3＝0，
∴x1＝7，x2＝3；
②∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0，x+1＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1；
③∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x﹣1＝0，3x+1＝0，
∴x1＝1，x2=−13；
④∵2x2+x﹣6＝0，
∴（x+2）（2x﹣3）＝0，
∴x+2＝0，2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2=32．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解，属于中考常考题型．
题型七 用换元法解一元二次方程
【例题7】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）
A．±5B．5
C．﹣5D．以上答案都不对
【分析】设a2+b2＝x，则方程化为（x+3）（x﹣3）＝16，求出x的值，再得出选项即可．
【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，
设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16，
x2﹣9＝16，
x2＝25，
x＝±5，
当x＝5时，a2+b2＝5，
当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5，
∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，
∴此时不行，
即a2+b2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式7-1】（2022春•海门市校级期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．﹣1或3
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t﹣3）＝6，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t﹣3）＝6，
整理，得（t﹣4）（t+3）＝0，
解得t1＝4，t2＝﹣3（舍去）．
则x2+y2＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式7-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．3或4
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣1）＝12，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则：
t（t﹣1）＝12．
整理，得（t﹣4）（t+3）＝0．
所以t﹣4＝0或t+3＝0．
所以t＝4或t＝﹣3（舍去）．
即x2+y2的值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式7-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 ．
【分析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0，可得y1＝8，y2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0
∴（y﹣8）（y+2）＝0，
解得：y1＝8，y2＝﹣2，
即 a2+b2＝8或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【变式7-4】阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则
（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
解方程：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0．
【分析】将x2+1视为一个整体，然后设x2+1＝y，则原方程化为y2﹣y﹣6＝0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】解：（x2+1）2﹣（x2+1）﹣6＝0，
设x2+1＝y，
则原方程化为y2﹣y﹣6＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣2，
当y＝3时，x2+1＝3．
解得：x＝±2；
当y＝﹣2时，x2+1＝﹣2，
此方程无解．
因此原方程的解为x1=2，x2=−2．
【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．
【变式7-5】（2023•青海一模）提出问题：
为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．
当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．
延伸拓展：
（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．
【分析】（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解．
【解答】解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，
∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4，
设m+3n＝t，
则t（t﹣2）＝2t﹣4，
整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0，
解得：t＝2，
∴m+3n＝2，
∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5．
【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解题技巧提炼
左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚.
解题技巧提炼
用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单.
解题技巧提炼
运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误．
解题技巧提炼
因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程．
解题技巧提炼
选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．
解题技巧提炼
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
解题技巧提炼
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
解题技巧提炼
左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚.
解题技巧提炼
用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单.
解题技巧提炼
运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误．
解题技巧提炼
因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程．
解题技巧提炼
选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．
解题技巧提炼
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
解题技巧提炼
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
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