人教版（2024）22.1.1 二次函数练习

这是一份人教版（2024）22.1.1 二次函数练习，共17页。试卷主要包含了已知点A，二次函数在内的最小值是，已知二次函数，下列说法正确的是，当时，二次函数的图象大致是，抛物线与抛物线的相同点是等内容，欢迎下载使用。
1．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称B．开口方向相同
C．都经过原点D．互相可以通过平移得到
2．已知点A（1，），B（2，），C（−3，）都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3B．2C．－29D．－30
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线D．有最大值，为－3
5．已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A．B．C．-kD．k
6．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
7．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
8．当时，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同B．对称轴相同
C．开口方向相同D．顶点都在x轴上
10．对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若二次函数的图象经过点，则下列各点中一定在该图象上的是（ ）
A．B．C．D．
12．若抛物线与关于x轴对称，则_________.
13．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝___．
14．已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：______．（填“”、“”或“”
15．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
能力提升
1．如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．图形上任意一点到原点的最大距离是1
C．图形的周长大于
D．图形所围成区域的面积大于2且小于
2．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为______．
3．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是_______________．
4．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是______．
5．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
6．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
拔高拓展
1．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质 分层作业
基础训练
1．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称B．开口方向相同
C．都经过原点D．互相可以通过平移得到
【详解】A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
2．已知点A（1，），B（2，），C（−3，）都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵点A（1，），B（2，），C（−3，）都在二次函数的图象上，
∴点C（−3，）关于对称轴的对称点是C（3，），
∵1＜2＜3，
∴，
故选：B．
3．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3B．2C．－29D．－30
【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29．
故选：C．
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线D．有最大值，为－3
【详解】解：∵二次函数，
∴，解得：，
∴，
∴二次函数，
∵，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
5．已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( )
A．B．C．-kD．k
【详解】解：，
抛物线对称轴为轴，
，
将代入得，
故选：D．
6．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
【详解】解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
7．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
8．当时，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，
故选D．
9．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同B．对称轴相同
C．开口方向相同D．顶点都在x轴上
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），
∴两条抛物线对称轴相同，
故选：B．
10．对于二次函数，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
当时，取得最小值，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故选：C．
11．若二次函数的图象经过点，则下列各点中一定在该图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：把点代入二次函数可得，
∴，
∴二次函数解析式为，
把代入得：，满足在二次函数图象上；
把代入得：，所以不在二次函数图象上；
把代入得：，所以不在二次函数图象上；
把代入得：，所以不在二次函数图象上；
故选A．
12．若抛物线与关于x轴对称，则_________.
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与抛物线关于x轴对称，
∴抛物线的解析式为：．
∴a=4，c=-3，
∴a+c=4-3=1，
故答案为：1．
13．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝___．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，
∴x1＝﹣x2，即x1+x2＝0，
当x＝x1+x2＝0时，y＝﹣2×02+1＝1，
故答案为：1．
14．已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：______．（填“”、“”或“”
【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
15．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
能力提升
1．如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．图形上任意一点到原点的最大距离是1
C．图形的周长大于
D．图形所围成区域的面积大于2且小于
【详解】解：如图所示，
A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意；
B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意；
C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意；
D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意；
故选：C．
2．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为______．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是a和b，
∴，
则抛物线解析式为：，
∴抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
3．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是_______________．
【答案】
【详解】（1）横、纵坐标都为整数的点称为格点，
由图可知，当时，，
直线上的格点坐标为，
故答案为：；
（2）抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，
如图所示：
当时，，即，
当时，，即，
．
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是______．
【详解】由题可知，“黎点”的坐标为，代入，
得，即，
解得，
故坐标为：，．
故答案为：，
5．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
【详解】解：如图所示，
①图形关于y轴成轴对称，故正确；
②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
6．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
拔高拓展
1．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
x
﹣2
1
5
y
m
n
p