北师大版（2024）八年级上册3 轴对称与坐标变化巩固练习

这是一份北师大版（2024）八年级上册3 轴对称与坐标变化巩固练习，共15页。

【学习目标】
1.在同一直角坐标系中，掌握点和图形的平移规律，并用于解决问题；
2.在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系；
3.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识；
4.通过“坐标与轴对称”的探究，让学生掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力.
【要点梳理】
【知识点一】平面直角坐标系中点和图形的平移
（1）点在平面直角坐标系中的平移
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点((x,y+b)或((x,y-b).
特别说明：
(1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减；
(2)、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减；
(3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。
（2）图形在平面直角坐标系中的平移
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,
相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
特别说明：
平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平 移问题可以转化为点的平移问题来解决；
平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。
【知识点二】轴对称定理
定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称)
定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。
定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
【知识点三】平面直角坐标系中对称点坐标
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b);
P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a);
P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)．
【典型例题】
类型一、平面直角坐标系点的平移
1．已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（ ）
A．(11，-17)B．(8，31)C．(15，-21)D．(15，-31)
【答案】C
【分析】利用算术平方根与绝对值非负性的含义先求解的值，再利用点的平移坐标变化规律：左减2加，上加下减，从而可得答案．
解： 和互为相反数，



点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是
故选C
【点拨】本题考查的是算术平方根与绝对值非负性的含义，点的平移，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＞0，n＜0B．m＞1，n＜2C．m＞1，n＜0D．m＞﹣2，n＜﹣4
【答案】D
【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题．
解：由题意，点的坐标为（，），
即：（，），
∵点位于第四象限，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】的顶点A的坐标为(-2，4)，先将沿x轴对折，再向左平移两个单位，此时A点的坐标为( )
A．(2，-4)B．(0，-4)C．(-4，-4)D．(0，4)
【答案】C
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出将△ABC沿x轴对折后顶点A的坐标，再根据平移中点的变化规律即可求出向左平移两个单位后A点的坐标．
解：△ABC的顶点A的坐标为（−2，4），将△ABC沿x轴对折后顶点A的坐标是（−2，−4），再向左平移两个单位，此时A点的坐标为（−2−2，−4），即（−4，−4），
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化−平移，关于x轴对称的点的坐标特点．用到的知识点：平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，−y）．
2．线段是由线段经过平移得到，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为________．
【答案】（-6，2）
【分析】先根据点A、C的坐标判断平移方式，再根据点D的坐标计算出点B的坐标即可．
解：∵点C（-1，3）的对应点为A（-4，7），
∴4-1=3，7-3=4，
∴线段AB向左平移3个单位，向上平移4个单位，
∴D（-3，-2）的对应点B的坐标（-3-3，-2+4），即B（-6，2），
故答案为：（-6，2）．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，掌握坐标的平移变化规律是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段．若点的对应点为，则点的对应点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据点A和其对应点M的坐标即可知道其平移的方式，则点B也应该发生一样的变化．
解：∵、，
2-（-1）=3，5-3=2，
∴线段向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到线段，
∴N（-3+3，-1+2），即N（0，1）
故答案为（0，1）
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内的平移变化，熟练地掌握向左（右）平移横坐标减（加），向上（下）平移纵坐标加（减）是解题的关键．
【变式2】将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是_____
【答案】
【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解．
解：由题意得：
点，先向由平移2个单位，得到，
再向下平移3个单位，得到，
故答案为：．
【点拨】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键．
类型二、坐标与图形的变换——轴对称
3.如图，A、B两点的坐标分别是（2，﹣3）、（﹣4，﹣3）．
（1）请你确定P（4，3）的位置；
（2）请你写出点Q的坐标．

【答案】（1）详见分析；（2）（﹣2，2）．
试题分析：（1）根据点A、B两点的坐标先确定坐标原点，再求得P（4，3）的位置；
（2）根据平面直角坐标系得出Q的坐标．
解：（1）根据A、B两点的坐标可知：x轴平行于A、B两点所在的直线，且距离是3；y轴在距A点2（距B点4）位置处，如图建立直角坐标系，则点P（4，3）的位置，即如图所示的点P；
（2）点Q 的坐标是（﹣2，2）．

举一反三：
【变式1】如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）确定目的地C在营地A的什么方向．

【答案】（1）1000m；（2）北偏东30°方向上．
【分析】
（1）根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=60°，再根据平角的定义得出30°+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可；
（2）根据AC=1000，BC=500，求出∠CAB=30°即可．
解：（1）∵BE∥AD，
∴∠DAB=∠ABE=60°，
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBA=90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵BC=500，AB=，
∴AC2=BC2+AB2，
∴AC==1000m．
（2）∵BC=500，AC=1000，∠ABC=90°，
∴AC=2BC，∠CAB=30°，
∠DAC=∠DAB-∠CAB=60°-30°=30°，
即目的地C在营地A的北偏东30°方向上．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，0），线段BC的位置如图所示，其中B点的坐标为（1，3），点C的坐标为（3，2）．
（1）已知线段CD//y轴，且C，D两点到x轴的距离相等，则点D的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；
（3）求AB与y轴交点E的坐标．

【答案】（1）（3，）；（2）；（3）E（0，）．
【分析】
（1）由题意易知C，D两点关于x轴对称，可求解D点坐标；
（2）设CD交x轴于点F，作BH⊥x轴于点H，由S四边形ABCD=S△ABH+S梯形BHFC+S△AFD可计算求解；
（3）连接OB，由S△AOB=S△AOE+S△EOB=OA•BH，计算可求解OE的长，进而可求解E点坐标．
解：（1）∵CD∥y轴，且C，D两点到x轴的距离相等，
∴C，D两点关于x轴对称，
∵C（3，2），
∴D（3，2）；
故答案为；（3，）；
（2）如图，设CD交x轴于点F，作BH⊥x轴于点H，
则S四边形ABCD=S△ABH+S梯形BHFC+S△AFD
=×5×3+×(3+2)×2+×7×2
=；
（3）连接OB，则S△AOB=S△AOE+S△EOB=OA•BH，
即×4×3＝OE×4+OE×1，
解得OE=，
∵点E在y轴上，
∴E（0，）．
【点拨】本题主要考查三角形的面积，图形与坐标的性质，利用割补法求解图形的面积是解题的关键．
类型三、轴对称综合题（几何变换）
4．如图，在平面直角坐标系中，ABC的各顶点坐标分别为A(4，0)、B(-1，4)、C(-3，1)，在图中画出ABC关于x轴对称的图形，并写出点A、B、C的对应点的坐标．
【答案】作图见分析，，，
【分析】根据题意画出关键点的轴对称点，再连接成轴对称图形，写出对应点的坐标即可．
解：根据题意画出关键点的轴对称点，连接即可得到，如图所示，
∴，，．
【点拨】本题考查了轴对称作图，和写出轴对称变化的点的坐标，数形结合思想是本题的关键所在．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，6），B（-4，2），C（-1，3）．
画出△ABC与y轴对称的△，并写出点的坐标；
在x轴上找出点P(不用求点P的坐标)，使PC+P的值最小，保留必要的作图痕迹．

【答案】(1)画图见分析，B1（4，2）(2)见分析
【分析】
（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于点P，则点P即为所求点．
（1）解：如图，△AB1C1即为所求，B1（4，2）；
（2）如图，点P即为所求．由图可知：PC=PC′，∴PC+PB1=PB1+PC′=B1C′，此时PC+PB1最小．
【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换、最短路径问题，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
【变式2】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．
直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标；
在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2；
求△ABC的面积．
【答案】(1)A1（3，-3），B1（1，-1），C1（4，1）(2)见分析(3)△ABC的面积为5
【分析】
(1 )根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可；
分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
利用割补法求解可得．
（1）根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可得：，，．
（2）如图所示，即为所求
（3）△的面积为：．
【点拨】本题主要考查作图一轴对称变换，关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并得出变换后的对应点，同时考查了割补法求三角形的面积．
类型四、坐标系表示实际问题中点的位置
5．如图，已知的顶点分别为，，．
作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
若点是内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________．
在x轴上找一点P，使得最小（画出图形，找到点P的位置）．

【答案】(1)图见分析，点的坐标为；(2)；(3)见分析．
【分析】
（1）分别找出A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接点即可；
（2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出P的对称点坐标；
（3）过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小．
(1)解：先找出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1．
如图所示，即为所求：
的坐标为．
(2)解：∵P关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成原来的相反数，
∴点P关于y轴对称的点的坐标是．
(3)解：过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小．点P如图所示：
【点拨】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题．关键是掌握画轴对称图形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解决动点问题．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）线段B1B2的长是 ．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】
（1）根据平移的性质即可画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）根据对称性即可画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）根据勾股定理即可得线段B1B2的长．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）线段B1B2的长是＝．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平移与对称的性质、勾股定理的运用．
【变式2】已知点、，在轴上是否存在点使的值最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【分析】作出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P即为所求，利用两点之间距离公式求出即为的最小值.
解：存在，如图，作关于轴对称点，联结交轴于点，

则有最小值，因为两点之间线段最短
∴
【点拨】本题考查的是利用轴对称性质求最短路径问题，坐标与图形.熟练掌握轴对称的性质，找出P点是解题的关键.