2025届福建省福州市台江区数学九上开学预测试题【含答案】

这是一份2025届福建省福州市台江区数学九上开学预测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）分式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠﹣2C．x＝2D．x＝﹣2
2、（4分）如图，正方形ABCD，点E、F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG的长为（ ）
A．B．5C．D．
3、（4分）下列根式中是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
4、（4分）在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(－3，2)
5、（4分）下列命题中，错误的是（ ）
A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n-2）个三角形
B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
6、（4分）下列判定中，正确的个数有（ ）
①一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
A．1个B．2个C．3个D．4个
7、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≤1D．k≤1且k≠0
8、（4分）如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当 = ______ 时，分式的值为0.
10、（4分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而_____．（填“增大”或“减小”）
11、（4分）因式分解：x2+6x＝_____．
12、（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（________）
13、（4分）如图在平面直角坐标系中，，，以为边作正方形，则点的坐标为___________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E、F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点D；若∠ABC＝2∠A，证明：AD＝2CD．
15、（8分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.
16、（8分）如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若D是AC的中点，求BD的长.（结果保留根号）
17、（10分）化简求值：，其中x=．
18、（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知，则________．
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是_____．
21、（4分）已知直线过点和点，那么关于的方程的解是________．
22、（4分）如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点，交于点，连接．若，连接点和的中点，则的长为_______．
23、（4分）对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y  ax2 bx  c(a0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是______________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，点是边上的一点，且，过点作于点，交于点，连接、.
（1）若，求证：平分；
（2）若点是边上的中点，求证：
25、（10分）四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上。
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是_____________；
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负。你认为这个游戏是否公平？请说明理由。
26、（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，过B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒2cm的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t(秒)
(1)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
(2)当t为何值时，△QDP的面积为60cm2？
(3)当t为何值时，PD＝PQ？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
分式中，分母不为零，所以x+2≠0，所以x≠-2
【详解】
解：因为有意义，所以x+2≠0，所以x≠-2，所以选B
本题主要考查分式有意义的条件
2、C
【解析】
如图，连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，列出方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，CF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∵S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，
∴•5•BG=25-•5•1-•5•2-•3•4，
∴BG=，
故选C．
本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3、A
【解析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
B.原式，故B不是最简二次根式；
C.原式，故C不是最简二次根式；
D.原式，故D不是最简二次根式；
故选A．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4、B
【解析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答．
【详解】
根据中心对称的性质，得点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
5、D
【解析】
根据多边形的性质、全等三角形的判定、三角形中线及平行四边形的判定即可依次判断.
【详解】
A. 过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n-2）个三角形，正确；
B. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确；
C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，正确；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选D.
此题主要考查几何图形的判定与性质，解题的关键是熟知多边形的性质、全等三角形的判定、三角形中线及平行四边形的判定.
6、B
【解析】
利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①一组对边平行，一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形；故①错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故②正确；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④正确；
综上所述：②④正确，正确的个数有2个.
故选：．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定及正方形的判定，解题的关键是能够熟练掌握有关的判定定理，难度不大．
7、A
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
根据题意得k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，
解得k≥-1且k≠1．
故选A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8、B
【解析】
在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选B．
本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-2
【解析】
分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．两个条件需同时具备，缺一不可．
【详解】
分式的值为1，
即|x|-2=1，x=±2，
∵x-2≠1，
∴x≠2，
即x=-2，
故当x=-2时，分式的值为1．
故答案为：-2.
此题考查了分式的值为1的条件.由于该类型的题易忽略分母不为1这个条件，所以常以这个知识点来命题．
10、减小
【解析】
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【详解】∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=﹣3，
∴y的值随x的增大而减小，
故答案为减小．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及一次函数的增减性与一次函数的比例系数k之间的关系是解题的关键.
11、x（x+6）
【解析】
根据提公因式法，可得答案．
【详解】
原式＝x（6+x），
故答案为：x（x+6）．
本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
12、-1
【解析】
先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．
【详解】
∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣1．
故答案为：－1．
本题考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
13、或
【解析】
当点C在AB上方时，过点C作CE⊥y轴于点E，易证△AOB≌△BEC（AAS），根据全等三角形的性质可得BE=AO=4，EC=OB=2，从而得到点C的坐标为（2,6），同理可得当点C在AB下方时，点C的坐标为：（-2,-2）.
【详解】
解：如图所示，当点C在AB上方时，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵，，四边形为正方形，
∴∠BEC=∠AOB=90°，BC=AB，
∵∠BCE+∠EBC=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠OBA，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=4，EC=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴此时点C的坐标为：（2,6），
同理可得当点C在AB下方时，点C的坐标为：（-2,-2），
综上所述，点C的坐标为：或
故答案为：或.
本题主要考查坐标与图形以及三角形全等的判定和性质，注意分情况讨论，不要漏解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析
【解析】
根据角平分线的画法和性质解答即可．
【详解】
证明：由题意可得：BD是∠ABC的角平分线，
∵∠ABC＝2∠A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，∠A＝30°，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝2CD，
∵∠DBA＝∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴AD＝2CD．
本题考查了基本作图，关键是根据角平分线的画法和性质证明．
15、2
【解析】
根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a的值代入原式即可求出答案．
【详解】
解：
∴取，原式=.
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．
16、 (1)见解析;(2)2.
【解析】
分析：（1）直接根据勾股定理逆定理判断即可；
（2）先由D是AC的中点求出CD的长，然后利用勾股定理求BD的长即可.
详解：（1）∵AB2=100， BC2=36， AC2=64，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形.
（2）CD=4，在Rt△BCD中，
BD=.
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，勾股定理是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理逆定理是：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
17、
【解析】
首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
原式=


当时，原式．
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
18、（1）详见解析；（1）10+1．
【解析】
（1）先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得AC∥DE，又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形；
（1）四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=1．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】
（1）∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形；
（1）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=1．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=，
∵D是BC的中点，
∴BC=1CD=4，
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4，
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，垂直平分线的性质定理，勾股定理，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
由，即成比例的数的问题中，设出辅助参量表示另外两个量代入求值即可，
【详解】
解：因为，设 则
所以．
故答案为：
本题考查以成比例的数为条件求分式的值是常规题，掌握辅助参量法是解题关键．
20、1
【解析】
阴影部分的面积等于正方形的面积减去和的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积正方形面积的一半即可．
【详解】
解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去和的面积．
而点到的距离与点到的距离的和等于正方形的边长，
即和的面积的和等于正方形的面积的一半，
故阴影部分的面积．
故答案为：1．
本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点．
21、
【解析】
观察即可知关于的方程的解是函数中y=0时x的值.
【详解】
解：∵直线过点
∴当y=0时x=-3
即的解为x=-3
故答案为：
本题考查了一次函数与一元一次方程的问题,掌握函数图像上的点与方程的关系是解题的关键.
22、1
【解析】
由作图可知，MN为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF=6，且AE=BE，由线段中点的定义得到EG为△ABC的中位线，从而可得出结果．
【详解】
解：∵由作图可知，MN为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，=6，
∴．
而是的中位线，
∴．
故答案为：1．
本题考查了基本作图-作已知线段的垂直平分线：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．同时也考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的中位线的性质．
23、或
【解析】
分析：分别把点A、B代入函数的解析式，求出a、b、c的关系，然后根据抛物线的对称轴x=，然后结合图像判断即可.
详解：∵y  ax2 bx  c(a0)经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)
∴a+b+c=-1，a-b+c=1
∴a+c=0，b=-1
则抛物线为：y  ax2 bx –a
∴对称轴为x=
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x=＜0，如图可知，当≤-1时符合题意，所以；当-1＜＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x=＞0，由图可知≥1时符合题意，∴0＜a≤；当0＜＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a的取值范围是：或.
故答案为或.
点睛：本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由四边形是平行四边形，，易证得，又由，可证得，即可证得平分；
（2）延长，交的延长线于点，易证得，又由，可得是的斜边上的中线，继而证得结论．
【详解】
证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（2）如图，延长，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25、（1）（2）不公平.获胜，否则.
【解析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，即转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜的情况数目是否相等．
26、 (1)当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；(2)当t＝时，△QDP的面积为60cm2；(3)当t＝时，PD＝PQ．
【解析】
（1）根据题意用t表示出CP=t，AQ=2t，根据平行四边形的判定定理列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形的面积公式列方程，解方程得到答案；
（3）根据等腰三角形的三线合一得到DH=DQ，列方程计算即可．
【详解】
(1)由题意得，CP＝t，AQ＝2t，
∴QD＝21﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当DQ＝PC时，四边形PCDQ是平行四边形，
则21﹣2t＝t，
解得，t＝7，
∴当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；
(2)在Rt△ABE中，BE＝＝12，
由题意得，×(21﹣2t)×12＝60，
解得，t＝，
∴当t＝时，△QDP的面积为60cm2；
(3)作PH⊥DQ于H，DG⊥BC于G，则四边形HPGD为矩形，
∴PG＝HD，
由题意得，CG＝AE＝5，
∴PG＝t﹣5，
当PD＝PQ，PH⊥DQ时，DH＝DQ，即t﹣5＝(21﹣2t)，
解得，t＝，
则当t＝时，PD＝PQ．
本题考查的是平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分