人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法特训(原卷版+解析)

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2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法【名师点睛】直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【典例剖析】【知识点1】直接开平方法【例1】（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（       ）A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0【变式】（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x的方程(x−9)2=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（       ）A．m>3 B．m≥3 C．m>−4 D．m≥−4【知识点2】配方法【例2】（2022·浙江宁波·八年级期中）用配方法解方程x2+4x−5=0时，配方结果正确的是（       ）A．(x+2)2=−1 B．(x+2)2=−9 C．(x+2)2=1 D．(x+2)2=9【变式2】（2022·内蒙古赤峰·一模）将一元二次方程x2−6x+5=0化成(x+ℎ)2=k的形式，则k等于（       ）A．−5 B．4 C．9 D．14【知识点3】直接开平方法或配方法解方程【例3】（2022·全国·九年级）解方程：4x−12−9=0．【变式3.1】（2022·广东惠州·七年级期中）解方程14(2x−1)2=4 ．【变式3.2】（2022·全国·九年级）解方程：x2−2x−7=0．【知识点4】配方法的应用【例4】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．当a＝2时，A＝______，B＝______．猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．验证 请证明嘉淇猜测的结论．【变式4】（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法如：①利用配方法分解因式：a2+6a−16．解：原式=a2+6a+9−9−16=a+32−25=a+3+5a+3−5=a+8a−2②M=2a2+b2−2ab−2a+2，利用配方法求M的最小值．解：原式=a2−2ab+b2+a2−2a+1+1=a−b2+a−12+1 ∵a−b2≥0，a−12≥0，∴M≥1，∴当a=b=1时，M取得最小值，且最小值为1．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解：x2−14x+33；(2)若N=12x2+3y2+2xy+2y−1，求N的最值．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•白云区一模）方程（x+1）2＝9的解为（　　）A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣42．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（　　）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣23．（2021秋•平顶山期末）方程（x﹣3）2＝4的根为（　　）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝7，x2＝﹣14．（2021秋•厦门期末）方程（x﹣1）2＝0的根是（　　）A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣15．（2021秋•鄂州期末）关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是3，则m的值是（　　）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣96．（2022•武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝67．（2022•大同模拟）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）A． B． C． D．8．（2022春•杭州月考）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（　　）x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1A．① B．② C．③ D．④9．（2021秋•曾都区期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　）A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5） C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣510．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　）A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关二．填空题（共6小题）11．（2022春•通州区校级月考）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 　 　．12．（2022•柳江区一模）一元二次方程4x2﹣81＝0的解是 　 　．13．（2022春•大观区校级期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以写成（x+h）2＝k的形式，则 　 　．14．（2022春•东台市期中）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a+b的值为 　 　．15．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝　 　．16．（2020•日照二模）对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，﹣）＝　 　；若min{（x+1）2，x2}＝4，则x＝　 　．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•滨湖区期中）解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）x2﹣6x﹣8＝0．18．（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．19．（2020秋•魏都区校级月考）用适当的方法解方程：（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0；（2）2x2﹣6x+1＝0．20．（2021秋•隆昌市校级月考）阅读材料：选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2.例如：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣4x+9配成完全平方式；（2）将x4+x2y2+y4分解因式；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．21．（2019春•正定县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．22．（2021春•高青县期末）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法【名师点睛】直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【典例剖析】【知识点1】直接开平方法【例1】（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（       ）A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0【答案】B【解析】【分析】根据一个实数的平方非负得关于m的不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，∴m+1≥0，∴m≥﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【变式】（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x的方程(x−9)2=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（       ）A．m>3 B．m≥3 C．m>−4 D．m≥−4【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵(x−9)2=m+4，且方程(x−9)2=m+4可以用直接开平方法求解，∴m+4≥0，∴m≥−4．故选：D．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．【知识点2】配方法【例2】（2022·浙江宁波·八年级期中）用配方法解方程x2+4x−5=0时，配方结果正确的是（       ）A．(x+2)2=−1 B．(x+2)2=−9 C．(x+2)2=1 D．(x+2)2=9【答案】D【解析】【分析】用配方法对方程进行配方后对比选项即可．【详解】x2+4x−5=0移项得：x2+4x=5，配方得：x2+4x+4=5+4，合并得：(x+2)2=9，故选 D．【点睛】本题考查了二元一次方程的配方法，熟练运用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2是解题关键．【变式2】（2022·内蒙古赤峰·一模）将一元二次方程x2−6x+5=0化成(x+ℎ)2=k的形式，则k等于（       ）A．−5 B．4 C．9 D．14【答案】B【解析】【分析】先将常数项移到右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9，计算即可．【详解】解：∵x2−6x+5=0x2-6x=-5x2-6x+9=-5+9(x-3)2=4∴k=4，故选：B．【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．【知识点3】直接开平方法或配方法解方程【例3】（2022·全国·九年级）解方程：4x−12−9=0．【答案】x1=52，x2=−12【解析】【分析】由原方程得到x−12=94，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【详解】解：由原方程，得：x−12=94，直接开平方，得：x−1=±32，解得：x1=52，x2=−12．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．【变式3.1】（2022·广东惠州·七年级期中）解方程14(2x−1)2=4 ．【答案】x1=52，x2=−32【解析】【分析】首先两边同时乘以4可得(2x−1)2=16，再两边直接开平方即可得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．【详解】解：14(2x−1)2=4，方程两边同时乘以4得：(2x−1)2=16，两边直接开平方得：2x−1=±4，即2x−1=4或2x−1=−4，解得x1=52，x2=−32．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．【变式3.2】（2022·全国·九年级）解方程：x2−2x−7=0．【答案】x1=1+22，x2=1−22【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程即可．【详解】解：x2−2x−7=0x2−2x+1=7+1(x−1)2=8x−1=±22∴x=1±22即x1=1+22，x2=1−22．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解答本题的关键是掌握配方法．【知识点4】配方法的应用【例4】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．当a＝2时，A＝______，B＝______．猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．验证 请证明嘉淇猜测的结论．【答案】1，-2；11，9；证明见解析【解析】【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．当a＝2时，A＝3×22−2+1=12−2+1=11,B＝2×22+2−1=9．此时都有A＞B, 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：∵A−B=3a2−a+1−2a2−a+2 =a2−2a+3=a−12+2 而a−12≥0, 则a−12+2≥2, ∴A−B≥2＞0, 即A＞B.【点睛】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.【变式4】（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法如：①利用配方法分解因式：a2+6a−16．解：原式=a2+6a+9−9−16=a+32−25=a+3+5a+3−5=a+8a−2②M=2a2+b2−2ab−2a+2，利用配方法求M的最小值．解：原式=a2−2ab+b2+a2−2a+1+1=a−b2+a−12+1 ∵a−b2≥0，a−12≥0，∴M≥1，∴当a=b=1时，M取得最小值，且最小值为1．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解：x2−14x+33；(2)若N=12x2+3y2+2xy+2y−1，求N的最值．【答案】(1)x−3x−11(2)-2【解析】【分析】（1）根据题意，利用配方法将x2−14x+33转化成x−72−16，再结合平方差公式解答；（2）由题意，利用配方法将N=12x2+3y2+2xy+2y−1转化为12x+2y2+y+12−2，再根据平方的非负性解答．(1)解：原式=x2−14x+49−49+33 =x−72−16 =x−7+4x−7−4 =x−3x−11(2)∵N=12x2+4xy+4y2+y2+2y+1−1−1=12x+2y2+y+12−2 又∵x+2y2≥0，y+12≥0，∴N≥−2，∴N的最小值为−2．【点睛】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式，平方的非负性等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•白云区一模）方程（x+1）2＝9的解为（　　）A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程（x+1）2＝9，开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，解得：x1＝2，x2＝﹣4．故选：A．2．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（　　）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解关于c的方程．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4．故选：B．3．（2021秋•平顶山期末）方程（x﹣3）2＝4的根为（　　）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝7，x2＝﹣1【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程（x﹣3）2＝4，开方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得：x1＝5，x2＝1．故选：B．4．（2021秋•厦门期末）方程（x﹣1）2＝0的根是（　　）A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1【分析】两边直接开平方即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，则x1＝x2＝1，故选：B．5．（2021秋•鄂州期末）关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是3，则m的值是（　　）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【分析】将x＝3代入方程求解即可．【解答】解：将x＝3代入方程，得：32﹣m＝0，解得m＝9，故选：C．6．（2022•武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．故选：C．7．（2022•大同模拟）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程移项得：y2﹣y＝，配方得：y2﹣y+＝，整理得：（y﹣）2＝．故选：B．8．（2022春•杭州月考）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（　　）x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1A．① B．② C．③ D．④【分析】观察解方程步骤，找出出错的步骤即可．【解答】解：用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1，出现错误的是④．故选：D．9．（2021秋•曾都区期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　）A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5） C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5【分析】一元二次方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2开方得3x+1＝±（2x﹣5），故选：C．10．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　）A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关【分析】利用配方法将2x2+4x+5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．【解答】解：∵2x2+4x+5＝2（x2+2x+1）﹣2+5＝2（x+1）2+3≥3，∴原式一定为正数．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2022春•通州区校级月考）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 　x1＝3，x2＝﹣3　．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：x2﹣9＝0，移项得，x2＝9，解得，x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．12．（2022•柳江区一模）一元二次方程4x2﹣81＝0的解是 　　．【分析】先移项，再将二次项系数化为1，继而两边开方即可．【解答】解：∵4x2﹣81＝0，∴4x2＝81，∴x2＝，∴，故答案为：．13．（2022春•大观区校级期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以写成（x+h）2＝k的形式，则 　（x﹣）2＝　．【分析】方程利用完全平方公式化简，即可得到结果．【解答】解：原方程可以化为：x2﹣x＝，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+＝+，配方，得（x﹣）2＝．故答案为：（x﹣）2＝．14．（2022春•东台市期中）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a+b的值为 　7　．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x+5＝0，∴x2﹣8x＝﹣5，则x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，则a+b＝﹣4+11＝7，故答案为：7．15．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝　　．【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．故答案为：．16．（2020•日照二模）对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，﹣）＝　﹣　；若min{（x+1）2，x2}＝4，则x＝　2或﹣3　．【分析】根据新定义运算即可求出答案．【解答】解：∵﹣π+2＞﹣，∴min{﹣π+2，﹣}＝﹣，由于（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，当2x+1＞0时，即x＞，∴min{（x+1）2，x2}＝x2，∴x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），当2x+1＜0时，∴x＜，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝1（舍去）或x＝﹣3，当2x+1＝0时，此时x＝，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2＝x2，此时x2≠4，不符合题意，综上所述，x＝2或x＝﹣3．故答案为：﹣，2或﹣3．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•滨湖区期中）解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）x2﹣6x﹣8＝0．【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程；（2）利用配方法解一元二次方程．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，x﹣3＝±5，x＝±5+3，∴x1＝8，x2＝﹣2；（2）x2﹣6x﹣8＝0，x2﹣6x＝8，x2﹣6x+9＝8+9，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，x＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．18．（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝+，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2+x＝﹣，配方得：x2+x+＝﹣，即（x+）2＝，开方得：x+＝±，解得：x1＝，x2＝．19．（2020秋•魏都区校级月考）用适当的方法解方程：（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0；（2）2x2﹣6x+1＝0．【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝27，（2x﹣1）2＝9，开方，得2x﹣1＝±3，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（2）2x2﹣6x+1＝0，2x2﹣6x＝﹣1，x2﹣3x＝﹣，配方，得x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，开方，得x﹣＝，解得：x1＝，x2＝．20．（2021秋•隆昌市校级月考）阅读材料：选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2.例如：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣4x+9配成完全平方式；（2）将x4+x2y2+y4分解因式；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．【分析】（1）仿照阅读材料进行配方即可；（2）先拆项，再三一分组，局部进行配方，再从整体上用平方差公式分解因式；（3）先分组，进行配方，再利用偶次方的非负性，可得a＝b，b＝c，从而确定三边相等．【解答】解：（1）x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5；（2）x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）；（3）此三角形为等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴此三角形为等边三角形．21．（2019春•正定县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　﹣2　）2+　1　；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．故答案为：﹣2，1．22．（2021春•高青县期末）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9．（2）x2﹣2x﹣35＝x2﹣2x+1﹣1﹣35＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）＝（x+5）（x﹣7）．（3）△ABC为等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．