初中数学人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习，共18页。试卷主要包含了3一元二次方程的解法等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（ ）
A．两根之和为-23B．两根之积为43
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【知识点3】根据解的情况求参数
【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．14D．−2
【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．k⩽43且k≠0D．k＜2
【知识点4】利用公式法解方程
【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x−1x−2=5．
【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
2．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
3．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（ ）
A．x＝1B．x1＝0，x2＝1C．x＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
5．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
6．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x₁＝0，x₂＝1C．x＝2D．x₁＝‒1，x₂＝2
8．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）
A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0
9．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
10．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0
二．填空题（共6小题）
11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 ．
12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 ．
13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根 ．
14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．
16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）
（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）
18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）用公式法解方程：．
19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．
（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；
（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．
21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
22．（2021秋•柘城县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）若b＝2m﹣1，m+c＝﹣6，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的非零实数根，且b2﹣c2﹣4＝0，求此时方程的根．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
…
6
2
0
0
2
6
…
x
‒2
‒1
0
1
2
3
…
ax2﹣bx
6
2
0
0
2
6
…
2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.3一元二次方程的解法：公式法
【名师点睛】
利用公式法解一元二次方程：
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b²-4ac≥0）叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
【典例剖析】
【知识点1】求根公式的理解
【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42,x2=−b−b2+42，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．ca=−1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的求根公式可得答案．
【详解】
解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−b+b2+42，x2=−b−b2+42，
∴2a=2，4ac=−4
∴a=1,c=−1,
∴则ac=−1，ca=−1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
【变式】（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程3x−1−2x2=0在用求根公式x=−b±b2−4ac2a求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
【答案】D
【解析】
【分析】
先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】
∵3x−1−2x2=0，
∴−2x2+3x−1=0，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【知识点2】判定方程解的个数
【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（ ）
A．x2−1=3B．(x−1)2−4=0
C．x2+x−1=0D．x2+x+1=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式逐个检验即可求解．
【详解】
解：A. x2−1=3，x2−4=0，x1=2,x2=−2，故该选项有解，不符合题意；
B. (x−1)2−4=0，x−1=±2，x1=3,x2=−1，故该选项有解，不符合题意；
C. x2+x−1=0，Δ=1+4=5>0，故该选项有解，不符合题意；
D. x2+x+1=0，Δ=1−4=−30时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ