初中数学人教版（2024）九年级上册24.4 弧长和扇形面积同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.4 弧长和扇形面积同步达标检测题，共33页。试卷主要包含了4圆周角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
1.圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
2.圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【典例剖析】
【例1】如图，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC与AD相交于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）直接写出四边形BCDE 的形状
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE．
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DC=EC．
【例2】（2021•淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 时，四边形ABCD为正方形．
【变式2】（2021秋•诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦城县期中）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则BC的长是（ ）
A．4B．C．D．2
2．（2021秋•韩城市期中）如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．24°B．33°C．38°D．76°
3．（2021秋•柳江区期中）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．55°
4．（2021秋•丹江口市期中）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（ ）
A．43°B．45°C．47°D．50°
5．（2021秋•新洲区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．35°D．50°
6．（2022春•永丰县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．3﹣4B．2C．6﹣2D．3
7．（2021秋•拱墅区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
8．（2021秋•五华区校级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．（2019秋•东海县期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
10．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•滨湖区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE＝55°，则∠BOD＝ °．
12．（2019秋•江阴市期中）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 ．
13．（2018秋•江都区校级期中）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝ °．
14．（2022春•东台市期中）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠AOC＝50°，则∠D的度数 ．
15．（2022春•定远县期中）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，则半圆O的直径AB是 ．
16．（2021秋•海陵区校级月考）如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，设AB＝a，CD＝b，则a2+b2＝ ．
17．（2019•无锡模拟）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝6，则线段BQ的长为 ．
18．（2021•安乡县二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB＝20°，则∠E＝ ．
三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•台江区期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
20．（2021秋•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D在AB上，且AD＝AC，CD的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCE；
（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度数．
21．（2021秋•陵城区期中）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
22．（2021•黄冈一模）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.4圆周角
【名师点睛】
1.圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
2.圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【典例剖析】
【例1】如图，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC与AD相交于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）直接写出四边形BCDE 的形状
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【解析】
【分析】
（1）利用同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明即可；
（2）利用线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，证明一组邻边相等的平行四边形是菱形即可.
【详解】
（1）连接BD，
∵AB=CD，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）如图，连接OB，OD，
∵AB=BC=CD，
∴AB=BC=CD，∠ADB=∠BDC，
∵OB=OD，
∴OC是线段BD的垂直平分线，
∴BD⊥EC，
∵∠ADB=∠BDC，
∴DE=DC，
∴DE=BC，
∵DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵BC=CD，
∴四边形DEBC是菱形，
故答案为：菱形．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，线段的垂直平分线，平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握圆的性质，灵活运用菱形的判定是解题的关键．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE．
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DC=EC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BD，AE，利用圆周角定理证明∠AED=∠EAB，即可证明DE∥AB；
（2）根据圆内接四边形对角相等以及邻补角性质得到∠CDE=∠ABE，再根据平行线的性质可得到∠CED=∠CDE，即可证明DC=EC．
【详解】
（1）证明：连接BD，AE，
∵ AD=BE，
∴AD=BE．
∴∠ABD=∠EAB，
∵ AD=AD，
∴∠ABD=∠AED，
∴∠AED=∠EAB，
∴DE∥AB；
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA＋∠ABE=180°，
又∠EDA＋∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED=∠ABE．
∴∠CED=∠CDE．
∴DC=EC．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
【例2】（2021•淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 60° 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 45° 时，四边形ABCD为正方形．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出结论；
（2）①先判断出点D是AE的中点，再利用DF∥AC，点F是CE的中点，即可得出AC＝AE，即可得出结论；
②先判断出AD＝CD，∠ADC＝90°，进而得出∠ACD＝45°，再判断出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠CDE＝∠ABC，
在△CDE和△ABC中，，
∴△CDE≌△ABC（AAS）；
（2）如图，①连接AF，
∵AC是直径，
∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵四边形OCFD是菱形，
∴DF∥AC，OD∥CE，
∵OA＝OC，
∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵DF∥AC，
∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵∠AFC＝90°，
∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
∵AC＝CE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠E＝60°；
故答案为：60°；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵AC＝CE，CD⊥AE，
∴∠DCE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∴∠E＝45°．
故答案为：45°．
【变式2】（2021秋•诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；
【解析】（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦城县期中）如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则BC的长是（ ）
A．4B．C．D．2
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而利用直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，求出即可．
【解析】∵直径AB＝4，
∴∠ACB＝90°，
∵点C在⊙O上，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，
∴BC＝＝＝2，
故选：C．
2．（2021秋•韩城市期中）如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．24°B．33°C．38°D．76°
【分析】利用圆周角定理直接求解即可．
【解析】∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝76°，
∴∠C＝38°，
故选：C．
3．（2021秋•柳江区期中）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．55°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝55°，
∴∠BDC＝∠CAB＝55°，
故选：D．
4．（2021秋•丹江口市期中）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（ ）
A．43°B．45°C．47°D．50°
【分析】利用圆周角定理，求出∠AOB即可解决问题．
【解析】∵OA＝OB，
∴ABO＝∠OAB＝43°，
∴∠AOB＝180°﹣43°﹣43°＝94°，
∴∠ACB＝∠AOB＝47°，
故选：C．
5．（2021秋•新洲区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．35°D．50°
【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得结论．
【解析】如图，连接OD，BD．
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故选：B．
6．（2022春•永丰县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．3﹣4B．2C．6﹣2D．3
【分析】延长BA、DC交于E，根据圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D＝180°，求出∠D＝90°，∠EBC＝90°，∠E＝30°，根据直角三角形的性质得出EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，设BC＝x，则BE＝x，EC＝2x，求出AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，根据DE＝AD得出2+2x＝×，求出x，再求出AD即可．
【解析】延长BA、DC交于E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠D＝90°，∠EBC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠E＝30°，
∴EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，
设BC＝x，则BE＝x，EC＝2x，
∵AB＝3，CD＝2，
∴AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，
∵DE＝AD，
∴2+2x＝×，
解得：x＝3﹣4，
即AD＝＝6﹣2，
故选：C．
7．（2021秋•拱墅区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．
【解析】过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，
∴DH＝＝，
∴BD＝BH+DH＝，
故选：B．
8．（2021秋•五华区校级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理判断即可．
【解析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
9．（2019秋•东海县期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【解析】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，
∴AC＝CD'＝CD，
故①正确；
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵AC＝CD'，故②正确；
∴＝，
由折叠得：＝，
∴+＝；
故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，
∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CD不平分∠ACB，
故④错误；
故选：A．
10．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°
【分析】如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α，可得结论．
【解析】如图，连接AC，CD，DE．
∵＝，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∵＝＝，
∴AC＝CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•滨湖区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE＝55°，则∠BOD＝ 110 °．
【分析】首先根据邻补角的定义求得∠BCD的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得∠A的度数，再利用圆周角定理求得∠BOD的度数．
【解析】∵∠DCE＝55°，
∴∠BCD＝125°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案为：110．
12．（2019秋•江阴市期中）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 55° ．
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故答案为：55°．
13．（2018秋•江都区校级期中）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝ 90 °．
【分析】设∠A为x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．
【解析】设∠A为x，则∠B为2x，∠C为3x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
则x+3x＝180°，
解得，x＝45°，
∴∠B＝2x＝90°，
∴∠D＝90°，
故答案为：90．
14．（2022春•东台市期中）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠AOC＝50°，则∠D的度数 115° ．
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，再利用互余计算出∠A＝65°，然后根据圆内接四边形的性质确定∠D的度数．
【解析】连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝∠AOC＝×50°＝25°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
∵∠D+∠A＝180°，
∴∠D＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
15．（2022春•定远县期中）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，∠CAB＝20°，OE⊥CD，OE＝，则半圆O的直径AB是 4 ．
【分析】在等腰△ACD中，顶角∠A＝20°，易求得∠ACD＝80°；根据等边对等角，可得：∠OCA＝∠A＝20°，由此可得，∠OCD＝60°，即可解决问题．
【解析】∵AC＝AD，∠CAB＝20°，
∴∠ACD＝∠ADC＝80°；
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB＝20°；
∴∠OCD＝60°，
∴OE＝OC•sin60°．
∴＝OC×，
∴OC＝2，
∴直径AB＝2OC＝4，
故答案为：4．
16．（2021秋•海陵区校级月考）如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，设AB＝a，CD＝b，则a2+b2＝ 36 ．
【分析】如图，过点O作OM⊥AB于点M交CD于点N．证明△AMO≌△ONC（AAS），推出OM＝CN＝b，再根据OA2＝AM2+OM2，可得结论．
【解析】如图，过点O作OM⊥AB于点M交CD于点N．
∵AB∥CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，
∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，
∴∠AOM＝∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴OM＝CN＝b，
∵OA2＝AM2+OM2，
∴32＝（a）2+（b）2，
∴a2+b2＝36．
故答案为：36．
17．（2019•无锡模拟）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝6，则线段BQ的长为 3 ．
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解析】连接AQ，BQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝6，
∴2BQ2＝36，
∴BQ＝3．
故答案为：3
18．（2021•安乡县二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，AC＝BC，AD与CB交于点E．∠DAB＝20°，则∠E＝ 25° ．
【分析】在Rt△BDE中，求出∠BDE即可解决问题．
【解析】∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠DAB＝20°，
∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DBE＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
∴∠E＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•台江区期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠DEB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可．
【解析】（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°，
∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
20．（2021秋•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D在AB上，且AD＝AC，CD的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCE；
（2）若AB＝4，CE＝2，求∠BCE的度数．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB＝90°，再根据直角三角形的性质及三角形的内角和即可推导得解；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接EF，则CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，根据勾股定理得出EF＝2＝CE，即可得到∠ECF＝∠EFC＝45°，结合∠ACB＝90°，OA＝OC，进而得出∠BCE+CAB＝45°，由（1）知∠CAB＝2∠BCE，据此即可得解．
【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠CBA＝90°﹣∠CAB，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB＝180°，
∴2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB＝180°，
∴2∠BCE+2（90°﹣∠CAB）+∠CAB＝180°，
∴2∠BCE﹣∠CAB＝0，
∴∠CAB＝2∠BCE；
（2）解：如图所示，连接CO并延长交⊙O于点F，连接EF，
∵AB与CF都是圆的直径，AB＝4，
∴CF＝AB＝4，∠CEF＝90°，
∵CE＝2，
∴，
∴EF＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCE＝∠ACB﹣∠ECF＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠BCE+∠CAB＝45°，
又∵∠CAB＝2∠BCE，
∴∠BCE+2∠BCE＝45°，
∴∠BCE＝15°．
21．（2021秋•陵城区期中）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB＝DC；
（2）设⊙O的半径为r，则AB＝2r，CE＝2r﹣2，根据勾股定理得到（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，解方程即可得解．
【解析】（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
22．（2021•黄冈一模）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2；
（2）AB+BC＝BM，理由如下：
在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．