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人教版八年级数学上册重难考点专题01轴对称(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题01轴对称(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)，共60页。
知识串讲
（一）轴对称
（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）尺规作图
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（1）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（四）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点训练
考点1：轴对称图形
典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．我C．中D．华
考点2：轴对称图形的实际应用
典例2：（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB交OM于点C，交ON于点D，连接PC、PD，若∠MON=40°，则∠CPD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式3】（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子，第一步沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B'处，若∠GB'C'=35°，则∠BOG=（ ）
A．65°B．62.5°C．55°D．52.5°
考点3：垂直平分线的性质
典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（ ）
A．12B．13C．19D．31
【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
【变式3】（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
考点4：垂直平分线的判定
典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=DFC．DF=EFD．AF⊥DE
【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵MB=MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．只有①
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
考点5：垂直平分线的实际应用
典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2B．12C．5D．7
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处
C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处
考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）
典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．
(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．
【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题
(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;
(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．
【变式3】（2023春·上海普陀·七年级统考期末）小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点Q；
③作直线PQ，交直线a于点C．
试说明PQ⊥a的理由：
解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=__________=BQPQ=PQ，
所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下说理过程）
同步过关
一、单选题
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③②B．③②①C．③①②D．②①③
7．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．
有下列4个结论：
①莱洛三角形是轴对称图形；
②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；
③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；
④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．
12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．
13．（2023秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线l是正五边形ABCDE的一条对称轴，连接AC，则∠CAH的度数是______．
14．（2023春·吉林·七年级校考阶段练习）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是______．
15．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,则α,β,γ的关系为_______．
三、解答题
17．（2023春·吉林长春·七年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画△ABC的高线AD．
(2)在图②中，画△ABC的中线BE．
(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6
18．（2023秋·北京石景山·八年级统考期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA=______，PA=PB，
∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．
20．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期中）如图所示，已知AD是△ABC的高，AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°．
(1)用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求△ABE的面积．
21．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC，其中AB=AC．
(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周长．
22．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）尺规作图：如图，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（2023秋·广东佛山·九年级西樵中学校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请画出AB边垂直平分线DE，与AB相交于D，与BC相交于E；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接AE，若∠B=20°，求∠CAE的度数．
24．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，
(1)在AC 边上作一点E，连接DE，将ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，点A的对应点F恰好落在射线BC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，FD平分∠EFB，∠AEF=160°，求∠B的度数．
25．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得S△ADE=14S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
专题01 轴对称
考点类型
知识串讲
（一）轴对称
（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）尺规作图
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（1）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（四）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点训练
考点1：轴对称图形
典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．我C．中D．华
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．
考点2：轴对称图形的实际应用
典例2：（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB交OM于点C，交ON于点D，连接PC、PD，若∠MON=40°，则∠CPD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】D
【分析】由题意可得∠BDN=∠PDN=12∠BDP，∠ACM=∠PCM=12∠ACP，由三角形的内角和定理可得∠ODC+∠OCD=140°，由对顶角相等可得∠BDN+∠ACM=140°，从而得到∠BDP+∠ACP=280°，最后由三角形的内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
∠BDN=∠PDN=12∠BDP，∠ACM=∠PCM=12∠ACP，
∵∠MON=40°，∠DOC+∠ODC+∠OCD=180°，
∴∠ODC+∠OCD=180°−40°=140°，
∵∠ODC=∠BDN，∠OCD=∠ACM，
∴∠BDN+∠ACM=140°，
∴∠BDP+∠ACP=280°，
∵∠BDP+∠PDC=180°，∠ACP+∠PCD=180°，
∴∠PDC+∠PCD=360°−280°=80°，
∵∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，
∴∠CPD=100°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，熟练掌握对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【分析】根据题意可得∠AOC=∠BOD，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOC=35°
∴∠BOD=35°，
∵PD⊥CD，
∴∠OBD=90°−∠BOD=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子，第一步沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B'处，若∠GB'C'=35°，则∠BOG=（ ）
A．65°B．62.5°C．55°D．52.5°
【答案】B
【分析】根据折叠得出∠OB'C'=∠B=90°，求出∠OB'G=55°，根据平行线的性质得出∠B'OB=180°−55°=125°．根据折叠得出∠BOG=12∠B'OB=62.5°．
【详解】解：根据折叠可知，∠OB'C'=∠B=90°，
∵∠GB'C'=35°，
∴∠OB'G=55°，
∵AB∥CD，
∴∠B'OB=180°−55°=125°．
由折叠可知，∠BOG=12∠B'OB=62.5°，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
考点3：垂直平分线的性质
典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EC=EA，再利用△BCE的周长为12即可求解．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=12，
∵AB=7，
∴BC=5，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（ ）
A．12B．13C．19D．31
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BE=AE，继而可证得△BEC的周长=BC+AC．
【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于E，
∴BE=AE，
∴△BEC的周长为：BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=7+12=19．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长．掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，∠B=∠BAD=35°．根据三角形的内角和定理即可求得∠DAC=50°．
【详解】根据题意，可知AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°．
∴∠ADC=70°．
在△ADC中，∠C=60°，∠ADC=70°
∴∠DAC=180°−60°−70°=50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握以上性质是解题的关键．
【变式3】（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，从而可以证明；③假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，条件不足，故错误；④连接BD、CD，证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△BED≌Rt△CFD，得出BE=CF，AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．
【详解】如图所示，连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
故①正确；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴DE=12AD．
同理DF=12AD，
∴DE+DF=AD．
故②正确；
∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=60°．
假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，
∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．
∵DM⊥BC，
∴BC∥DE．
∴∠ABC=∠E=90°．
又∵∠ABC的度数是未知的，
∴不能判定DM平分∠ADF．
故③错误；
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE=CF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考点4：垂直平分线的判定
典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=DFC．DF=EFD．AF⊥DE
【答案】B
【分析】根据作图可得AD=AE,DF=EF，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得AD=AE,DF=EF，故A，C正确；
∴A,F在DE的垂直平分线上，
∴AF⊥DE，故D选项正确，
而DF=EF不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵MB=MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A选项错误，不合题意；
②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B选项正确，符合题意；
③处的依据是：两点确定一条直线；故C选项错误，不合题意；
综上可知，选项D错误，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．只有①
【答案】B
【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．
【详解】解：∵AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADCHL，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，
∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，故①正确，②正确；
∵BC=CD，AB=AD，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC平分BD，故③正确；
根据现有条件无法证明∠ADB=∠CDB，即无法证明DB平分∠ADC，故④错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】根据“边边边”证明△ABD≅△CBD可判断①；根据垂直平分线的性质可判断②；由三角形面积计算公式可判断③；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“边角边”定理判断△ADM≅△CDE，可得DM=DE，由线段和差关系可得AM+CN=MN从而可判断④．
【详解】解：①在△ABD和△CBD中，
AB=CBBD=BDAD=CD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，故①正确；
②∵AB=BC，AD=DC，
BD垂直平分AC，故②正确；
③∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD的面积=12×AC⋅BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≅△CDE(SAS)，
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC−∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≅△EDN(SAS)，
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线，理解“筝形”的性质和添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点5：垂直平分线的实际应用
典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
【答案】A
【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴木凳应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．
【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2B．12C．5D．7
【答案】B
【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC+FB最小，最小值等于AB，即可求得ΔBCF的周长的最小值．
【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴A，C关于直线DE为对称，
∴F和D重合时，FC+FB最小，
即ΔBCF的周长的最小值，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DC=DA，
∴FC+FB的最小值=DC+DB=AB=7，
∴ΔBCF的最小周长=FC+FB+BC=7+5=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处
C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，
∴发射塔应建在线段AB垂直平分线上．
∵发射塔到两条高速公路OC，OD的距离相等，
∴发射塔应建在∠COD的平分线上．
∴发射塔应建在∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）
典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．
(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要尺规作直线m，n所夹锐角的角平分线和线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求作；
（2）利用尺规作过点P的垂线即可．
【详解】（1）如图，点P即为所求作；
（2）如图：直线n即为所作．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意、熟练掌握尺规作角平分线与线段垂直平分线的方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．
【答案】答案见解析
【分析】作线段AB的中垂线交AB于一点D，则中垂线与直线l的交点为C为所求．
【详解】解：以点B为圆心，AB的长为半径作圆，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，
两圆交点分别为M、N，
连接MN交AB于一点D，延长MN交l于一点C，
此时直线CD为AB的垂直平分线，
即CA=CB（线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等），
如图所示：
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，准确找到线段AB的中垂线是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题
(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;
(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形三条高所在的直线交于一点作图即可；
（2）先以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于E，再分别以E、A为圆心，AC长为半径画弧交于F，连接CF交AB于D，线段CD即为所求．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
【点睛】本题考查三角形的高的性质及尺规作图作法，熟记相关性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·上海普陀·七年级统考期末）小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点Q；
③作直线PQ，交直线a于点C．
试说明PQ⊥a的理由：
解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=__________=BQPQ=PQ，
所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下说理过程）
【答案】BP；AQ；SSS，证明见解析；
【分析】连接AP、BP、AQ、BQ．证明△APQ≌△BPQ（SSS）．可得∠ACP=∠BCP，再证明△ACP≌△BCP，可得∠ACP=∠BCP，AC=BC，结合∠ACP+∠BCP=180°，可得∠ACP=∠BCP=90°，从而可得答案．
【详解】解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=BPAQ=BQPQ=PQ，
∴△APQ≌△BPQ（SSS）．
∴∠ACP=∠BCP，
∵PC=PC，PA=PB，
∴△ACP≌△BCP，
∴∠ACP=∠BCP，AC=BC，
∵∠ACP+∠BCP=180°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴PQ是AB的中垂线；
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握线段的垂直平分线的作图是解本题的关键．
同步过关
一、单选题
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念知B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
5．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断①④；根据等腰三角形和等边三角形的性质即可判断②③．
【详解】解：①两个全等三角形由于位置不确定，则不一定成轴对称，说法错误；
②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，说法错误；
③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线，说法正确；
④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，说法正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，三线合一定理，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
6．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③②B．③②①C．③①②D．②①③
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出△ABC的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做AB,BC的中垂线，利用交点确定圆心，再画出△ABC的外接圆，进行判断即可．
【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴画出△ABC的外接圆，在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．即可得到∠APB=∠ACB，
∵外心是三角形三边的中垂线的交点，
∴先作AB,BC的中垂线，利用交点确定圆心O，再点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆，然后在弧ACB上取一点P，连接AP，BP，即可．
∴作图的顺序为：③①②；
故选C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
7．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，进而判断得出答案．
【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的是：①②③⑤⑥，共5个．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
【答案】C
【分析】先根据翻折性质和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的两锐角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．
【详解】解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，
∵AD=CD=CF，
∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，
∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，
∵∠CDF=∠CFD，
∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，
解得：∠A=36°，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．
有下列4个结论：
①莱洛三角形是轴对称图形；
②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；
③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；
④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质、扇形面积和弧长公式，平行线间的距离判断即可．
【详解】解：① 由题意可知，莱洛三角形是轴对称图形，故①正确；
② ∵在图1中，莱洛三角形是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧构成的，
∴点A到弧BC上任意一点的距离都相等，故②正确；
③ 设等边三角形ABC的边长为a，作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝60°
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝90°
∴AD＝AB×sin60 °＝32a
∴△ABC的面积＝12BC×AD=34a2
∴莱洛三角形的周长＝3×60πa180=πa，圆的周长＝πa，
∴莱洛三角形的周长与圆的周长相等，
分别以A、B、C为圆心的扇形面积都是60πa2360=πa26，
∵莱洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中莱洛三角形面积为
3×πa26－2×34a2＝πa2−3a22
圆形的面积为π(a2)2=πa24
∴莱洛三角形的面积与圆的面积不相等；
故③错误；
④∵夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，
∴使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，
故④错误，
故正确说法为①②，
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，扇形面积公式，弧长公式等知识，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．
【答案】76°
【分析】依据邻补角的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】解：如图，由折叠性质可知∠3=∠1+∠2，
∴∠1=∠3-∠2=180°-∠1-∠2，
∠2=180°-2∠1=180°-2×52°=76°．
故答案为：76°．
【点睛】本题考查邻补角的性质以及折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．
12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．
【答案】50°
【分析】根据折叠得出∠DEF＝∠HEF＝65°，求出∠DEF，再根据平角的定义即可求出答案．
【详解】解：由翻折的性质可得∠DEF＝∠HEF＝65°，
则∠DEH＝130°，
则∠AEH＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查折叠的性质，能根据折叠得出∠DEF=∠HEF=65°是解题的关键．
13．（2023秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线l是正五边形ABCDE的一条对称轴，连接AC，则∠CAH的度数是______．
【答案】18°/18度
【分析】根据正五边形的性质解答．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠ABC=180°×(5−2)5=108°
∴∠BCA=180°−108°2=36°，
∴∠ACH=108°−36°=72°，
根据对称的性质，∠AHC=90°，
∴∠CAH=90°−72°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟悉轴对称的性质和五边形的性质是解题的关键．
14．（2023春·吉林·七年级校考阶段练习）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是______．
【答案】55°/55度
【分析】根据题意可得CD∥AB，∠AED=∠AED'，由平角的定义求出∠AED的度数，即可利用平行线的性质求出∠EAB的度数．
【详解】解：由题意得：CD∥AB，∠AED=∠AED'，
∵∠CED'=70°，
∴∠AED=∠AED'=180°−∠CED'2=55°，
∴∠EAB=∠AED=55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确根据题意得到CD∥AB，∠AED=∠AED'是解题的关键．
15．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
【答案】6
【分析】由折叠的性质得出∠DAE=30°，AD=BD，根据直角三角形的性质可得出AH，BH的长，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】解：
过点A作AH⊥BC于H点
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵将ΔABC折叠，使得点B与点A重合，
∴∠DAE=30°，AD=BD，
∵DE=1，
∴AD=3，
∴AB=23，
∴AH=12AB=3，
∴BH=3AH=3×3=3，
∵
AH⊥BC
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,则α,β,γ的关系为_______．
【答案】γ=2α+β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【详解】解：如图，
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,
故答案为：γ=2α+β.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
三、解答题
17．（2023春·吉林长春·七年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画△ABC的高线AD．
(2)在图②中，画△ABC的中线BE．
(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格线即可知，AD和BC互相垂直，AD即为△ABC的高线；
（2）根据矩形的对角线互相平分可知点E为AC的中点，BE为△ABC的中线；
（3）因为根据S∆ABF=12×AF×BF ，即可得出S∆ABF面积为6；
（1）
如图①，AD为△ABC的高线；
（2）
如图②，BE为△ABC的中线；
（3）
如图③，△ABF的面积为6；
【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题．
18．（2023秋·北京石景山·八年级统考期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA=______，PA=PB，
∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，三线合一．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．
【答案】∠B=70°，BC=10、AD=15
【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，
∴AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，
又∵AB=15，DE=10，∠D=70°．
∴∠B=70°，BC=10，AD=15，
【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
20．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期中）如图所示，已知AD是△ABC的高，AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°．
(1)用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求△ABE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）作线段BC的中垂线，交BC于点E，连接AE，即为所求；
（2）先求出△ABC的面积，利用中线平分面积，即可得解．
【详解】（1）解：如图，作线段BC的中垂线，交BC于点E，连接AE，即为所求；
（2）解：∵AB=6,AC=8,∠CAB=90°，
∴S△ABC=12×AB×AC=12×6×8=24，
∵AE为BC边的中线，
∴S△ABE=12S△ABC=12．
【点睛】本题考查三角形的中线．熟练掌握连接顶点与对边中线的线段是三角形的中线，三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．
21．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC，其中AB=AC．
(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）根据题意作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，AB=AC
∵BC=7，AC=9，
∴△BCE的周长=BE+EC+CB
=BE+AE+BC
=AB+BC
=7+9
=16．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）尺规作图：如图，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析.
【详解】试题分析：利用角平分线的作法作出∠A的平分线，再作出线段BC的垂直平分线，这两条平分线的交点即为点P的位置．
试题解析：
23．（2023秋·广东佛山·九年级西樵中学校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请画出AB边垂直平分线DE，与AB相交于D，与BC相交于E；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接AE，若∠B=20°，求∠CAE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据三角形内角和求出∠CAB，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而有∠B=∠BAE，可得∠CAE．
【详解】解：（1）如图，DE即为所作；
（2）∵∠B=20°，∠C=90°，
∴∠CAB=70°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE=20°，
∴∠CAE=70°-20°=50°．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等边对等角，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，得到线段相等．
24．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，
(1)在AC 边上作一点E，连接DE，将ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，点A的对应点F恰好落在射线BC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，FD平分∠EFB，∠AEF=160°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【分析】（1）以D为圆心DA为半径画圆交BC于一点即为F点，连接AF作AF的垂直平分线交AC 于一点即为点E，即可得到答案；
（2）根据邻补角关系求出∠FEC，即可得到∠EFC，再根据角平分线求出∠EFD，根据折叠得到∠BAC ，最后根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【详解】（1）解：以D为圆心DA为半径画圆交BC于一点即为F点，连接AF作AF的垂直平分线交AC 于一点即为点E，如图所示：
（2）解：∵∠AEF=160°，
∴∠FEC=180°−160°=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EFC=90°−20°=70°，
∵FD平分∠EFB，
∴∠EFD=12∠EFC=35°，
∵ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，
∴∠BAC=∠EFD=35°，
∴∠B=90°−∠BAC=55°．
【点睛】本题考查垂直平分线作图，垂直平分线的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是将折叠转换成轴对称进行求解．
25．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得S△ADE=14S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点E为线段AC的中点时，S△ADE=14S△ABC，首先以点A和点C为圆心，以大于12AC的相同长为半径，分别在线段AC两侧画弧，其弧的交点分布于线段AC的两侧，连接两交点，交线段AC于点E，此点即为所求点，然后连接DE．
【详解】解：如图，点E即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作图正确的出线段AC的中点．
已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：
①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．
③分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN；分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；与直线MN交于点O；
已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：
①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．
③分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN；分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；与直线MN交于点O；
知识串讲
（一）轴对称
（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）尺规作图
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（1）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（四）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点训练
考点1：轴对称图形
典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．我C．中D．华
考点2：轴对称图形的实际应用
典例2：（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB交OM于点C，交ON于点D，连接PC、PD，若∠MON=40°，则∠CPD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式3】（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子，第一步沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B'处，若∠GB'C'=35°，则∠BOG=（ ）
A．65°B．62.5°C．55°D．52.5°
考点3：垂直平分线的性质
典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（ ）
A．12B．13C．19D．31
【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
【变式3】（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
考点4：垂直平分线的判定
典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=DFC．DF=EFD．AF⊥DE
【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵MB=MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．只有①
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
考点5：垂直平分线的实际应用
典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2B．12C．5D．7
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处
C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处
考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）
典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．
(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．
【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题
(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;
(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．
【变式3】（2023春·上海普陀·七年级统考期末）小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点Q；
③作直线PQ，交直线a于点C．
试说明PQ⊥a的理由：
解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=__________=BQPQ=PQ，
所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下说理过程）
同步过关
一、单选题
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③②B．③②①C．③①②D．②①③
7．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．
有下列4个结论：
①莱洛三角形是轴对称图形；
②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；
③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；
④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．
12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．
13．（2023秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线l是正五边形ABCDE的一条对称轴，连接AC，则∠CAH的度数是______．
14．（2023春·吉林·七年级校考阶段练习）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是______．
15．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,则α,β,γ的关系为_______．
三、解答题
17．（2023春·吉林长春·七年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画△ABC的高线AD．
(2)在图②中，画△ABC的中线BE．
(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6
18．（2023秋·北京石景山·八年级统考期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA=______，PA=PB，
∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．
20．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期中）如图所示，已知AD是△ABC的高，AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°．
(1)用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求△ABE的面积．
21．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC，其中AB=AC．
(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周长．
22．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）尺规作图：如图，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（2023秋·广东佛山·九年级西樵中学校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请画出AB边垂直平分线DE，与AB相交于D，与BC相交于E；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接AE，若∠B=20°，求∠CAE的度数．
24．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，
(1)在AC 边上作一点E，连接DE，将ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，点A的对应点F恰好落在射线BC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，FD平分∠EFB，∠AEF=160°，求∠B的度数．
25．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得S△ADE=14S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
专题01 轴对称
考点类型
知识串讲
（一）轴对称
（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）尺规作图
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（1）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（四）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点训练
考点1：轴对称图形
典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．我C．中D．华
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．
考点2：轴对称图形的实际应用
典例2：（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB交OM于点C，交ON于点D，连接PC、PD，若∠MON=40°，则∠CPD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】D
【分析】由题意可得∠BDN=∠PDN=12∠BDP，∠ACM=∠PCM=12∠ACP，由三角形的内角和定理可得∠ODC+∠OCD=140°，由对顶角相等可得∠BDN+∠ACM=140°，从而得到∠BDP+∠ACP=280°，最后由三角形的内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
∠BDN=∠PDN=12∠BDP，∠ACM=∠PCM=12∠ACP，
∵∠MON=40°，∠DOC+∠ODC+∠OCD=180°，
∴∠ODC+∠OCD=180°−40°=140°，
∵∠ODC=∠BDN，∠OCD=∠ACM，
∴∠BDN+∠ACM=140°，
∴∠BDP+∠ACP=280°，
∵∠BDP+∠PDC=180°，∠ACP+∠PCD=180°，
∴∠PDC+∠PCD=360°−280°=80°，
∵∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，
∴∠CPD=100°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，熟练掌握对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【分析】根据题意可得∠AOC=∠BOD，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOC=35°
∴∠BOD=35°，
∵PD⊥CD，
∴∠OBD=90°−∠BOD=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子，第一步沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B'处，若∠GB'C'=35°，则∠BOG=（ ）
A．65°B．62.5°C．55°D．52.5°
【答案】B
【分析】根据折叠得出∠OB'C'=∠B=90°，求出∠OB'G=55°，根据平行线的性质得出∠B'OB=180°−55°=125°．根据折叠得出∠BOG=12∠B'OB=62.5°．
【详解】解：根据折叠可知，∠OB'C'=∠B=90°，
∵∠GB'C'=35°，
∴∠OB'G=55°，
∵AB∥CD，
∴∠B'OB=180°−55°=125°．
由折叠可知，∠BOG=12∠B'OB=62.5°，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
考点3：垂直平分线的性质
典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EC=EA，再利用△BCE的周长为12即可求解．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
∴△BCE的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=12，
∵AB=7，
∴BC=5，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（ ）
A．12B．13C．19D．31
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BE=AE，继而可证得△BEC的周长=BC+AC．
【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于E，
∴BE=AE，
∴△BEC的周长为：BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=7+12=19．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长．掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．35°D．30°
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，∠B=∠BAD=35°．根据三角形的内角和定理即可求得∠DAC=50°．
【详解】根据题意，可知AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°．
∴∠ADC=70°．
在△ADC中，∠C=60°，∠ADC=70°
∴∠DAC=180°−60°−70°=50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握以上性质是解题的关键．
【变式3】（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，从而可以证明；③假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，条件不足，故错误；④连接BD、CD，证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△BED≌Rt△CFD，得出BE=CF，AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．
【详解】如图所示，连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
故①正确；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴DE=12AD．
同理DF=12AD，
∴DE+DF=AD．
故②正确；
∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=60°．
假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，
∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．
∵DM⊥BC，
∴BC∥DE．
∴∠ABC=∠E=90°．
又∵∠ABC的度数是未知的，
∴不能判定DM平分∠ADF．
故③错误；
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE=CF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考点4：垂直平分线的判定
典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=DFC．DF=EFD．AF⊥DE
【答案】B
【分析】根据作图可得AD=AE,DF=EF，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得AD=AE,DF=EF，故A，C正确；
∴A,F在DE的垂直平分线上，
∴AF⊥DE，故D选项正确，
而DF=EF不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵MB=MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A选项错误，不合题意；
②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B选项正确，符合题意；
③处的依据是：两点确定一条直线；故C选项错误，不合题意；
综上可知，选项D错误，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．只有①
【答案】B
【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．
【详解】解：∵AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADCHL，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，
∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，故①正确，②正确；
∵BC=CD，AB=AD，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC平分BD，故③正确；
根据现有条件无法证明∠ADB=∠CDB，即无法证明DB平分∠ADC，故④错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】根据“边边边”证明△ABD≅△CBD可判断①；根据垂直平分线的性质可判断②；由三角形面积计算公式可判断③；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“边角边”定理判断△ADM≅△CDE，可得DM=DE，由线段和差关系可得AM+CN=MN从而可判断④．
【详解】解：①在△ABD和△CBD中，
AB=CBBD=BDAD=CD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，故①正确；
②∵AB=BC，AD=DC，
BD垂直平分AC，故②正确；
③∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD的面积=12×AC⋅BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≅△CDE(SAS)，
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC−∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≅△EDN(SAS)，
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线，理解“筝形”的性质和添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点5：垂直平分线的实际应用
典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
【答案】A
【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴木凳应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．
【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2B．12C．5D．7
【答案】B
【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC+FB最小，最小值等于AB，即可求得ΔBCF的周长的最小值．
【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴A，C关于直线DE为对称，
∴F和D重合时，FC+FB最小，
即ΔBCF的周长的最小值，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DC=DA，
∴FC+FB的最小值=DC+DB=AB=7，
∴ΔBCF的最小周长=FC+FB+BC=7+5=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（ ）
A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处
C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，
∴发射塔应建在线段AB垂直平分线上．
∵发射塔到两条高速公路OC，OD的距离相等，
∴发射塔应建在∠COD的平分线上．
∴发射塔应建在∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）
典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．
(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要尺规作直线m，n所夹锐角的角平分线和线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求作；
（2）利用尺规作过点P的垂线即可．
【详解】（1）如图，点P即为所求作；
（2）如图：直线n即为所作．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意、熟练掌握尺规作角平分线与线段垂直平分线的方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．
【答案】答案见解析
【分析】作线段AB的中垂线交AB于一点D，则中垂线与直线l的交点为C为所求．
【详解】解：以点B为圆心，AB的长为半径作圆，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，
两圆交点分别为M、N，
连接MN交AB于一点D，延长MN交l于一点C，
此时直线CD为AB的垂直平分线，
即CA=CB（线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等），
如图所示：
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，准确找到线段AB的中垂线是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题
(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;
(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形三条高所在的直线交于一点作图即可；
（2）先以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于E，再分别以E、A为圆心，AC长为半径画弧交于F，连接CF交AB于D，线段CD即为所求．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
【点睛】本题考查三角形的高的性质及尺规作图作法，熟记相关性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·上海普陀·七年级统考期末）小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点Q；
③作直线PQ，交直线a于点C．
试说明PQ⊥a的理由：
解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=__________=BQPQ=PQ，
所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下说理过程）
【答案】BP；AQ；SSS，证明见解析；
【分析】连接AP、BP、AQ、BQ．证明△APQ≌△BPQ（SSS）．可得∠ACP=∠BCP，再证明△ACP≌△BCP，可得∠ACP=∠BCP，AC=BC，结合∠ACP+∠BCP=180°，可得∠ACP=∠BCP=90°，从而可得答案．
【详解】解：连接AP、BP、AQ、BQ．
在△APQ与△BPQ中，AP=BPAQ=BQPQ=PQ，
∴△APQ≌△BPQ（SSS）．
∴∠ACP=∠BCP，
∵PC=PC，PA=PB，
∴△ACP≌△BCP，
∴∠ACP=∠BCP，AC=BC，
∵∠ACP+∠BCP=180°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴PQ是AB的中垂线；
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握线段的垂直平分线的作图是解本题的关键．
同步过关
一、单选题
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念知B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
5．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断①④；根据等腰三角形和等边三角形的性质即可判断②③．
【详解】解：①两个全等三角形由于位置不确定，则不一定成轴对称，说法错误；
②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，说法错误；
③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线，说法正确；
④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，说法正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，三线合一定理，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
6．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③②B．③②①C．③①②D．②①③
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出△ABC的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做AB,BC的中垂线，利用交点确定圆心，再画出△ABC的外接圆，进行判断即可．
【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴画出△ABC的外接圆，在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．即可得到∠APB=∠ACB，
∵外心是三角形三边的中垂线的交点，
∴先作AB,BC的中垂线，利用交点确定圆心O，再点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆，然后在弧ACB上取一点P，连接AP，BP，即可．
∴作图的顺序为：③①②；
故选C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
7．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，进而判断得出答案．
【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的是：①②③⑤⑥，共5个．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
【答案】C
【分析】先根据翻折性质和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的两锐角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．
【详解】解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，
∵AD=CD=CF，
∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，
∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，
∵∠CDF=∠CFD，
∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，
解得：∠A=36°，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．
有下列4个结论：
①莱洛三角形是轴对称图形；
②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；
③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；
④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质、扇形面积和弧长公式，平行线间的距离判断即可．
【详解】解：① 由题意可知，莱洛三角形是轴对称图形，故①正确；
② ∵在图1中，莱洛三角形是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧构成的，
∴点A到弧BC上任意一点的距离都相等，故②正确；
③ 设等边三角形ABC的边长为a，作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝60°
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝90°
∴AD＝AB×sin60 °＝32a
∴△ABC的面积＝12BC×AD=34a2
∴莱洛三角形的周长＝3×60πa180=πa，圆的周长＝πa，
∴莱洛三角形的周长与圆的周长相等，
分别以A、B、C为圆心的扇形面积都是60πa2360=πa26，
∵莱洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中莱洛三角形面积为
3×πa26－2×34a2＝πa2−3a22
圆形的面积为π(a2)2=πa24
∴莱洛三角形的面积与圆的面积不相等；
故③错误；
④∵夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，
∴使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，
故④错误，
故正确说法为①②，
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，扇形面积公式，弧长公式等知识，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．
【答案】76°
【分析】依据邻补角的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】解：如图，由折叠性质可知∠3=∠1+∠2，
∴∠1=∠3-∠2=180°-∠1-∠2，
∠2=180°-2∠1=180°-2×52°=76°．
故答案为：76°．
【点睛】本题考查邻补角的性质以及折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．
12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．
【答案】50°
【分析】根据折叠得出∠DEF＝∠HEF＝65°，求出∠DEF，再根据平角的定义即可求出答案．
【详解】解：由翻折的性质可得∠DEF＝∠HEF＝65°，
则∠DEH＝130°，
则∠AEH＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查折叠的性质，能根据折叠得出∠DEF=∠HEF=65°是解题的关键．
13．（2023秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线l是正五边形ABCDE的一条对称轴，连接AC，则∠CAH的度数是______．
【答案】18°/18度
【分析】根据正五边形的性质解答．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠ABC=180°×(5−2)5=108°
∴∠BCA=180°−108°2=36°，
∴∠ACH=108°−36°=72°，
根据对称的性质，∠AHC=90°，
∴∠CAH=90°−72°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟悉轴对称的性质和五边形的性质是解题的关键．
14．（2023春·吉林·七年级校考阶段练习）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是______．
【答案】55°/55度
【分析】根据题意可得CD∥AB，∠AED=∠AED'，由平角的定义求出∠AED的度数，即可利用平行线的性质求出∠EAB的度数．
【详解】解：由题意得：CD∥AB，∠AED=∠AED'，
∵∠CED'=70°，
∴∠AED=∠AED'=180°−∠CED'2=55°，
∴∠EAB=∠AED=55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确根据题意得到CD∥AB，∠AED=∠AED'是解题的关键．
15．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
【答案】6
【分析】由折叠的性质得出∠DAE=30°，AD=BD，根据直角三角形的性质可得出AH，BH的长，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】解：
过点A作AH⊥BC于H点
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵将ΔABC折叠，使得点B与点A重合，
∴∠DAE=30°，AD=BD，
∵DE=1，
∴AD=3，
∴AB=23，
∴AH=12AB=3，
∴BH=3AH=3×3=3，
∵
AH⊥BC
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,则α,β,γ的关系为_______．
【答案】γ=2α+β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【详解】解：如图，
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,
故答案为：γ=2α+β.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
三、解答题
17．（2023春·吉林长春·七年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画△ABC的高线AD．
(2)在图②中，画△ABC的中线BE．
(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格线即可知，AD和BC互相垂直，AD即为△ABC的高线；
（2）根据矩形的对角线互相平分可知点E为AC的中点，BE为△ABC的中线；
（3）因为根据S∆ABF=12×AF×BF ，即可得出S∆ABF面积为6；
（1）
如图①，AD为△ABC的高线；
（2）
如图②，BE为△ABC的中线；
（3）
如图③，△ABF的面积为6；
【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题．
18．（2023秋·北京石景山·八年级统考期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA=______，PA=PB，
∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，三线合一．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．
【答案】∠B=70°，BC=10、AD=15
【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，
∴AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，
又∵AB=15，DE=10，∠D=70°．
∴∠B=70°，BC=10，AD=15，
【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
20．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期中）如图所示，已知AD是△ABC的高，AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°．
(1)用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求△ABE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）作线段BC的中垂线，交BC于点E，连接AE，即为所求；
（2）先求出△ABC的面积，利用中线平分面积，即可得解．
【详解】（1）解：如图，作线段BC的中垂线，交BC于点E，连接AE，即为所求；
（2）解：∵AB=6,AC=8,∠CAB=90°，
∴S△ABC=12×AB×AC=12×6×8=24，
∵AE为BC边的中线，
∴S△ABE=12S△ABC=12．
【点睛】本题考查三角形的中线．熟练掌握连接顶点与对边中线的线段是三角形的中线，三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．
21．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC，其中AB=AC．
(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）根据题意作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，AB=AC
∵BC=7，AC=9，
∴△BCE的周长=BE+EC+CB
=BE+AE+BC
=AB+BC
=7+9
=16．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）尺规作图：如图，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析.
【详解】试题分析：利用角平分线的作法作出∠A的平分线，再作出线段BC的垂直平分线，这两条平分线的交点即为点P的位置．
试题解析：
23．（2023秋·广东佛山·九年级西樵中学校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请画出AB边垂直平分线DE，与AB相交于D，与BC相交于E；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接AE，若∠B=20°，求∠CAE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据三角形内角和求出∠CAB，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而有∠B=∠BAE，可得∠CAE．
【详解】解：（1）如图，DE即为所作；
（2）∵∠B=20°，∠C=90°，
∴∠CAB=70°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE=20°，
∴∠CAE=70°-20°=50°．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等边对等角，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，得到线段相等．
24．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，
(1)在AC 边上作一点E，连接DE，将ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，点A的对应点F恰好落在射线BC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，FD平分∠EFB，∠AEF=160°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【分析】（1）以D为圆心DA为半径画圆交BC于一点即为F点，连接AF作AF的垂直平分线交AC 于一点即为点E，即可得到答案；
（2）根据邻补角关系求出∠FEC，即可得到∠EFC，再根据角平分线求出∠EFD，根据折叠得到∠BAC ，最后根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【详解】（1）解：以D为圆心DA为半径画圆交BC于一点即为F点，连接AF作AF的垂直平分线交AC 于一点即为点E，如图所示：
（2）解：∵∠AEF=160°，
∴∠FEC=180°−160°=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EFC=90°−20°=70°，
∵FD平分∠EFB，
∴∠EFD=12∠EFC=35°，
∵ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，
∴∠BAC=∠EFD=35°，
∴∠B=90°−∠BAC=55°．
【点睛】本题考查垂直平分线作图，垂直平分线的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是将折叠转换成轴对称进行求解．
25．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得S△ADE=14S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点E为线段AC的中点时，S△ADE=14S△ABC，首先以点A和点C为圆心，以大于12AC的相同长为半径，分别在线段AC两侧画弧，其弧的交点分布于线段AC的两侧，连接两交点，交线段AC于点E，此点即为所求点，然后连接DE．
【详解】解：如图，点E即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作图正确的出线段AC的中点．
已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：
①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．
③分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN；分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；与直线MN交于点O；
已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
作法：
①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．
③分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN；分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；与直线MN交于点O；
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