人教版八年级数学上册重难考点专题02与三角形有关的角(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题02与三角形有关的角(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共79页。

知识串讲
（一）三角形内角（和）
（1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
（2）推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（二）三角形外角
（1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）三角形的外角与内角的关系：
①三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（三）三角形内、外角角平分线模型
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点训练
考点1：三角形内角和定理的证明
典例1：（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥ABB．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BCD．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【变式2】（2023·广东佛山·校考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2：三角形内角和定理的应用——平行线
典例2：（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，给出以下结论： ①∠2=∠EAB； ②AC平分∠DAB； ③∠1+∠2=90°； ④BC∥AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023·湖北荆门·校联考一模）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【变式3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线
典例3：（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【变式1】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CA平分∠BCG，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
【变式2】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=4.8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【变式3】（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分线交CD于点M，连接BM，若∠CBM＝38°，则∠AMB的度数是（ ）
A．51B．73C．75D．90
考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题
典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【变式1】（2022秋·贵州黔西·八年级统考期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A=85°，则∠MGE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．85°D．95°
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【变式3】（2023·山东济南·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
考点5：三角形内角和定理的综合应用
典例5：（2023春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．当AB与DE垂直时， ∠BAE=150° B．当BC与DE平行时，∠BAE=120°
C．当AC与DE垂直时，∠BAE=60° D．当BC与AE平行时， ∠BAE=45°
【变式1】（2023·江西·模拟预测）如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线，设∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之间的数量关系是（ ）
A．α+β=γB．2α+β=γC．α+2β=γD．α+2β=2γ
【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．55B．65C．75D．80
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B 和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA= 120°，∠ECA=125° ，则∠A的度数是（ ）
A．65°B．80°C．85°D．90°
考点6：直角三角形的两个锐角互余
典例6：（2023春·安徽·七年级期中）如图，直线a ∥ b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A．100°B．105°C．110°D．120°
【变式1】（2023·安徽宿州·统考一模）将含30°角的直角三角板ABC如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，则∠ABQ的度数为（ ）
A．120°B．130°C．150°D．160°
【变式2】（2023·广东深圳·统考一模）一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，则∠ABD的度数为（ ）
A．5∘B．15∘C．20∘D．25∘
【变式3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
考点7：三角形外角的定义与性质
典例7：（2023·贵州黔南·统考一模）如图，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，则∠F的度数是（ ）
A．24°B．30°C．40°D．60°
【变式1】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，CD∥EF，直线AB与直线CD,EF分别相交于点G，H，GM平分∠CGH交EF于点M．若∠GME=150°，则∠GHF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．60°D．50°
【变式2】（2022秋·云南德宏·八年级统考期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，则∠ADB的度数为（ ）
A．96°B．100°C．106°D．110°
【变式3】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，l1∥l2，则（ ）
A．∠α+∠β−∠γ=180°B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β=2∠γD．∠α+∠β=∠γ
考点8：三角形内外角角平分线规律
典例8：（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
【变式3】（2023秋·黑龙江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC=（ ）
A．45°B．60°C．50°D．无法确定
同步过关
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．75B．90C．100D．105
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BC⊥AE于点C，CD//AB，∠B=60°，则∠ECD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）一副三角板如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．135°B．145°C．150°D．165°
4．（2023春·全国·七年级专题练习）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．40°C．45°D．44°
5．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°, ∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）
A．90°B．60°C．80°D．100°
6．（2023春·福建三明·九年级统考开学考试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O， AB∥OC，CD与OA交于点E，已知∠A=30°，则∠DEO的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( )
A．锐角三角形B．等腰直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
8．（2023春·山东威海·七年级统考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如图放置，若EF//MN，∠1=100°，则∠2=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．116°C．26°D．104°
10．（2023·山东菏泽·中考真题）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
11．（2022春·山东东营·七年级统考期中）给出下列命题：
（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角
（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形
（3）三角形的最小内角不能大于60°
（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
其中真命题的个数是 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2023春·八年级课时练习）如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．30°
D．45°
13．（2023·广西百色·统考一模）如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
14．（2023秋·安徽马鞍山·八年级统考期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
15．（2023秋·湖北孝感·八年级校考阶段练习）四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
16．（2023·北京·九年级专题练习）在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是_____．
17．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．
18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35°，则∠BCD的度数为______．
19．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．
20．（2023秋·重庆渝中·八年级统考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为_____．
21．（2023秋·安徽安庆·八年级校考期末）如图，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，则∠C等于_______.
22．（2023春·七年级课时练习）已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为_________.
23．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A=_________.
24．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，P是△ABC 的∠ABC 和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠P=40° ，则∠A= __________．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)．
三、解答题
26．（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．
27．（2023秋·八年级课时练习）说出下列图形中∠1和∠2的度数：
28．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．
29．（2023秋·广东·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度数．
30．（2023·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
31．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．
32．（2023秋·全国·八年级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
33．（2023春·陕西西安·七年级统考期中）如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）
（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD,EF⊥CD分别交AB、CD于点E、F，射线EP、EQ分别从EC、EF同时开始绕点E顺时针旋转，分别与直线AB交于点M、N，射线EP每秒转10°，射线EQ每秒转5°，点O是∠PMN、∠MNQ角平分线的交点．设旋转时间为t秒（0