人教版八年级数学上册重难考点专题03乘法公式(知识串讲+11大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03乘法公式(知识串讲+11大考点)特训(原卷版+解析)，共52页。

知识串讲
（一）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc
（二）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
考点训练
考点1：平方差公式——图形面积探究公式
典例1：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）下列图形中，能借助其面积“形象”解释平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形（如图②），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）

A．aa+b=a2+abB．aa−b=a2−ab
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a2−b2=a−ba+b
【变式2】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A．a−b2=a2−2ab+b2 B．a2−b2=a+ba−b
C．a2+b2=a+ba−b D．a+b2=a2+2ab+b2
【变式3】（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，有两张长方形纸片A,B，它们的长分别是a和a−3，宽分别是a−3,3(a>6)，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）

A．(a−3)2=a2−6a−9B．aa+3=a2+3a
C．aa−3=a2−3aD．a+3a−3=a2−9
考点2：平方差公式——识别
典例2：（2023春·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（ ）
A．3x+7y3x−7yB．5m−nn−5m
C．−0.2x−0.3−0.2x+0.3D．−3n−mn3n−mn
【变式1】（2022秋·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【变式2】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能进行平方差计算的是（ ）
A．x+y−x−yB．2a+b2a−b
C．−3x−y−y+3xD．a2+ba2−b
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）(3x+4y)(3x-4y)的结果是哪两个数的平方差（ ）
A．a，bB．x，yC．4y，3xD．3x，4y
考点3：平方差公式——计算
典例3：在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．2a+2b3a−2bB．a+b−a−b
C．−m+nm−nD．12a+bb−12a
【变式1】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）计算(a−2b)(−a−2b)等于（ ）
A．a2−4ab−4b2 B．−a2−4ab−4b2C．4b2−a2D．a2−4b2
【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考期中）如果有理数a、b同时满足(a2+b2+3)(a2+b2−3)=16，那么a2+b2的值为( )
A．±5B．5C．−5 D．以上答案都不对
【变式3】下列计算错误的是（ ）
A．x+yx−y=x2−y2B．x−42=x2−8x+16
C．xx−2y=x2−2xyD．x+y2=x2+y2
考点4：平方差公式——巧用公式计算
典例4：（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）用简便方法计算：14×6.162−4×1.042的结果为（ ）
A．3.36B．4.26C．5.16D．5.06
【变式1】（2021·河北·统考三模）用简便方法计算，将2019×2021变形正确的是（ ）
A．2019×2021=20202−12B．2019×2021=2020−12
C．2019×2021=20202+12D．2019×2021=2020+12
【变式2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002−7B．1002−72
C．1002+2×100×7+72D．1002−2×100×7+72
【变式3】（2021·河北·九年级专题练习）用简便方法计算106×94时，变形正确的是（ ）．
A．1002−6B．1002−62
C．1002+2×100+6D．1002−2×100+4
考点5：完全平方公式——图形面积探究公式
典例5：（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
【变式1】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x−35=0，即xx+2=35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx−n=0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程x2+mx−n=0的正数解为（ ）

A．x=7B．x=5C．x=3D．x=2
【变式2】（2023春·河北承德·七年级统考期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a+b2−a−b2=4ab．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（ ）

A．a−b2=a2−2ab+b2B．a2−b2=a+ba−b
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a−ba+2b=a2+ab−2b2
【变式3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）

A．a−b2=a2−2ab+b2B．a+b2=a2+2ab+b2
C．a+ba−b=a2−b2D．ba−b=ab−b2
考点6：完全平方公式——识别
典例6：（2022春·四川雅安·七年级雅安中学校考阶段练习）下列各式，是完全平方公式的有（ ）
①a2-a+14 ②x2+xy+y2 ③116m2+m+9 ④4a2-2ab+b2 ⑤14a2b2-2ab+4 ⑥m4-2mn+n4
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a)B．(b+m)(m-b)
C．(-x-b)(x-b)D．(a+b)(-a-b)
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
【变式3】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）运用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2计算x+132，则公式中的2ab对应的是（ ）
A．13xB．23xC．xD．3x
考点7：完全平方公式——计算
典例7：下列运算错误的是（ ）
A．x+2x−2=x2−4B．−x−2−x+2=x2−4
C．−x−2x+2=−x2−2x−4D．−x+22−x=4−x2
【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算(2x+5)(2x−5)正确的是（ ）
A．4x2−25B．2x2−25C．25−4x2D．4x2−20x+25
【变式2】若4x2−20x+______=2x_2，则横线上分别应填（ ）
A．52、−5B．52、+5C．102、+10D．102、−10
【变式3】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）一个圆的半径为rcm，增加3cm后，这个圆的面积增加了（ ）cm2
A．6π2r+9π2B．6πr+9πC．3π2r+32D．6π2r2+3
考点8：完全平方公式——构造完全平方
典例8：（2023春·浙江金华·七年级校考期中）如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．±3D．3
【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）若x2−2m−3x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．−5C．7D．7或−1
【变式2】（2023春·四川雅安·七年级校考期中）若x2+2(m−1)x+9是完全平方式，则m的值为( )
A．±6B．−2或4C．−2D．4
【变式3】（2023春·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）若关于x的代数式x2−kx+36是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18B．−12C．±6D．±12
考点9：完全平方公式——变形式求值
典例9：（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（ ）
A．1B．13C．17D．25
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若x满足x−20222023−x=0.25，则(x−2022)2+(2023−x)2=（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．−0.25
【变式2】阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，对式子作这样变形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1，因为x+22≥0，所以x+22+1≥1，当x=−2时，x+22+1=1，因此x2+4x+5的最小值是1．类似地，代数式x2−6x+4的最小值为（ ）
A．−9B．−5C．−3D．4
【变式3】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）已知x+y=5且xy=6，则x−y2的值是（ ）
A．25B．12C．5D．1
考点10：乘法公式在几何中的应用
典例10：（2023春·山东济南·七年级统考期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）

A．3B．19C．21D．28
【变式1】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b，如果a−b=2，ab=4，那么阴影部分的面积为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【变式3】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2=16，点B是线段CG上一点，设CG=6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5B．4C．8D．10
考点11：乘法公式与化简求值
典例11：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）先化简，再代入求值：3(a−b)2+(a−b)(a+b)−(2a+b)2．其中a=15，b=−2．
【变式1】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)化简：a−b+c+c−a−b−a+b；
(2)若a2+b2−2a−8b+17=0，求△ABC的周长．
【变式2】先化简，再计算：
y−x(x+y)2+x−2yx2−3xy+y2÷−y，其中，x=1,y=−1．
【变式3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：(a+2b)2+a+2ba−2b−2a⋅a，其中a=−1，b=12.
同步过关
一、选择题
1．（2023·云南·一模）若m2−n2=16，m+n=13，则m−n的值为（ ）
A．−12B．12C．1D．2
2．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是（ ）
A．−4xB．4xC．116x4D．116x2
3．（2023·湖北恩施·校考二模）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9B．（2a2b3）2＝4a4b6
C．﹣2a（a+3）＝﹣2a2+6aD．（a+2b）2＝4a2﹣b2
4．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．a3⋅a4=a12B．−2a23=−8a6
C．(a+3)⋅(a−3)=a2−6a−9D．(a+b)2=a2+b2
5．（2022春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．3a2−a2=3B．a⋅a−1=1(a≠0)
C．(−3ab2)2=−6a2b4D．(a+b)2=a2+b2
6．（2023·八年级单元测试）2+1×22+1×⋅⋅⋅×22n+1的值是（ ）
A．24n−1B．24n+1C．22n−1D．2n−1
7．（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．(2a+b)(2b−a) B．(−a−b)(a+b) C．(a−b)(b−a)D．(a+b)(b−a)
8．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）运用乘法公式计算(4+x)(x−4)的结果是（ ）
A．x2−16B．16−x2C．x2+16D．x2−8x+16
9．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2+ab的值为（ ）
A．5B．7C．9D．13
10．（2023·安徽·九年级统考学业考试）已知P=715m−1，Q=m2−815m(m为任意实数)，则P，Q的大小关系为( )
A．P＞QB．P=QC．P＜QD．P≤Q
二、填空题
11．已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为 ．
12．（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：
503×497= ；1.02×0.98=
13．（2023春·湖北·八年级阶段练习）计算：（3﹣2）2018（3+2）2019= ．
14．（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）x2+axy+y2是一个完全平方式，则a= ．
15．（2022秋·上海·七年级专题练习）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
16．（2023春·七年级单元测试）若把代数式 x2−2x−5化为(x−m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=
三、解答题
17．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）先化简，再求值：m(m−4)−(m−4)2，其中m=1．
（1）求xy的值；
（2）求x+y2的值；
（3）设y=kxx≠0，是否存在实数k，使得(3x−y)2−(x−2y)(x+2y)+6xy化简为28x2?若能，请求出满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
19．（2023春·吉林长春·九年级东北师大附中校考阶段练习）先化简，再求值：(3x+2y)2−(3x+y)(3x−y)，其中x=1，y=2．
20．（2023·四川达州·七年级统考期末）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）
自主探索：
（1）仔细观察图形，完成下列问题
①图②中的阴影部分的面积为_____；
②观察图②，请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是_____；
知识运用：
（2）若x-y=5，xy=114，根据（1）中的结论，求（x+y）2的值；
知识延伸
（3）根据你探索发现的结论，完成下列问题：
设A=x−2y−34，B=x+2y-3
计算（A-B）2-（A+B）2的结果．
21．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：当x−2+(y+1)2=0时，求[(3x+2y)(3x−2y)+(2y+x)(2y−3x)]+4x的值．
22．（1）你能求出(a−1)(a99+a98+a97+⋅⋅⋅+a2+a+1)的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值.(a−1)(a+1)=________；(a−1)(a2+a+1)=________；(a−1)(a3+a2+a+1)=________；…由此我们可以得到：(a−1)(a99+a98+⋅⋅⋅+a+1)=________.
（2）利用（1）的结论，计算：22019+22018+22017+⋅⋅⋅+22+2+1.
23．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．
验证：
(1)(−5)2−(−3)2的结果是4的几倍？
(2)设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；
(3)证明：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
24．比较下列算式结果的大小．（在横线上填“>”“6)，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（ ）

A．(a−3)2=a2−6a−9B．aa+3=a2+3a
C．aa−3=a2−3aD．a+3a−3=a2−9
【答案】D
【分析】根据题意可知图1长方形的面积为a+3a−3，再根据题意可知图2的面积为a2−32，最后利用平方差公式a+ba−b=a2−b2解答即可．
【详解】解：∵两张长方形纸片A,B，它们的长分别是a和a−3，宽分别是a−3,3(a>6)，
∴图1的长方形的长为a+3，宽为a−3，
∴长方形的面积为a+3a−3，
∵图2的面积是一个边长为a的正方形，剪去一个边长为3的正方形，
∴图2的面积为a2−32，
∴a+3a−3=a2−32，
即a+3a−3=a2−9，
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2解题的关键．
考点2：平方差公式——识别
典例2：（2023春·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（ ）
A．3x+7y3x−7yB．5m−nn−5m
C．−0.2x−0.3−0.2x+0.3D．−3n−mn3n−mn
【答案】B
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
【详解】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
【变式1】（2022秋·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【答案】D
【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
D选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能进行平方差计算的是（ ）
A．x+y−x−yB．2a+b2a−b
C．−3x−y−y+3xD．a2+ba2−b
【答案】A
【分析】利用平方差公式逐一判断即可．
【详解】解：A选项结果为−x+y2 ，故不能运用平方差计算，故A正确．
其他选项都可以用平方差公式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2 ．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）(3x+4y)(3x-4y)的结果是哪两个数的平方差（ ）
A．a，bB．x，yC．4y，3xD．3x，4y
【答案】D
【分析】利用平方差公式的结构判断即可．
【详解】解：(3x+4y)(3x−4y)=(3x)2−(4y)2,
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式，做题关键是熟练掌握平方差公式．
考点3：平方差公式——计算
典例3：在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．2a+2b3a−2bB．a+b−a−b
C．−m+nm−nD．12a+bb−12a
【答案】D
【分析】利用平方差公式的特点判断即可．
【详解】解：A：两项不相同，不能运用平方差公式，不符合题意；
B：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
C：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；
D：12a+bb−12a，符合平方差公式的特点，符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查了平方差公式：a+ba−b=a2−b2，熟练掌握平方差计算公式是解题的关键．
【变式1】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）计算(a−2b)(−a−2b)等于（ ）
A．a2−4ab−4b2 B．−a2−4ab−4b2C．4b2−a2D．a2−4b2
【答案】C
【分析】把−a−2b变形后再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：原式=−a−2ba+2b
=−a2−4b2
=4b2−a2,
故选：C．
【点睛】本题考查多项式乘法的应用，熟练掌握平方差公式及符号的变化是解题关键．
【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考期中）如果有理数a、b同时满足(a2+b2+3)(a2+b2−3)=16，那么a2+b2的值为( )
A．±5B．5C．−5 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】将a2+b2看成整体，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：∵(a2+b2+3)(a2+b2−3)=16
∴a2+b22−9=16
∴a2+b2=5（负值舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3】下列计算错误的是（ ）
A．x+yx−y=x2−y2B．x−42=x2−8x+16
C．xx−2y=x2−2xyD．x+y2=x2+y2
【答案】D
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行解答即可．
【详解】解：A、x+yx−y=x2−y2，正确，本选项不符合题意；
B、x−42=x2−8x+16，正确，本选项不符合题意；
C、xx−2y=x2−2xy，正确，本选项不符合题意；
D、x+y2=x2+2xy+y2≠x2+y2，错误，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解答本题的关键．
考点4：平方差公式——巧用公式计算
典例4：（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）用简便方法计算：14×6.162−4×1.042的结果为（ ）
A．3.36B．4.26C．5.16D．5.06
【答案】C
【分析】利用积的乘方的逆用和平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：14×6.162−4×1.042
=122×6.162−22×1.042
=12×6.162−2×1.042
=3.082−2.082
=3.08+−2.08
=5.16，
故选C．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用和平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1】（2021·河北·统考三模）用简便方法计算，将2019×2021变形正确的是（ ）
A．2019×2021=20202−12B．2019×2021=2020−12
C．2019×2021=20202+12D．2019×2021=2020+12
【答案】A
【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.
【详解】2019×2021=(2020−1)(2020+1)=20202−1，故答案选择：A.
【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征.
【变式2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002−7B．1002−72
C．1002+2×100×7+72D．1002−2×100×7+72
【答案】B
【分析】利用平方差公式进行简便运算．
【详解】解：107×93=(100+7)×(100−7)=1002−72．
故选：B．
【点睛】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式．
【变式3】（2021·河北·九年级专题练习）用简便方法计算106×94时，变形正确的是（ ）．
A．1002−6B．1002−62
C．1002+2×100+6D．1002−2×100+4
【答案】B
【分析】观察算式中数的特点：106×94=(100+6)(100−6)，符合平方差公式，利用平方差公式变形计算即可．
【详解】106×94=(100+6)(100−6)=1002−62，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的结构特点，会利用平方差公式简便运算是解答的关键．
考点5：完全平方公式——图形面积探究公式
典例5：（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】B
【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：∵大正方形面积为49，
∴大正方形边长为7，
在直角三角形中，x2+y2=72=49，
故说法①正确；
∵小正方形面积为4，
∴小正方形边长为2，
∴x−y=2，故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴4×12xy+4=49，
∴2xy+4=49，故说法③正确；
∴2xy=45，
∵x2+y2=49，
∴x2+y2+2xy=49+45，
∴x+y2=94，
解得：x+y=94或x+y=−94（负值不符合题意，舍去），
∴x+y=94，故说法④错误；
∴说法正确的是①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的面积，等积变换，完全平方公式的应用．解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
【变式1】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x−35=0，即xx+2=35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx−n=0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程x2+mx−n=0的正数解为（ ）

A．x=7B．x=5C．x=3D．x=2
【答案】D
【分析】由x2+mx−n=0可得x(x+m)=n，画出方程x2+mx−n=0的拼图过程，由面积之间的关系得m2=25，4n=81−25，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：m2=25，4n=81−25=56，
解得：m=5，n=14.
∴x+x+m2=x+x+52=81，
∴x=2，x=−7（舍去）
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
【变式2】（2023春·河北承德·七年级统考期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a+b2−a−b2=4ab．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（ ）

A．a−b2=a2−2ab+b2B．a2−b2=a+ba−b
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a−ba+2b=a2+ab−2b2
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
【详解】解：阴影部分的面积：a−b2，
还可以表示为：a2−2ab+b2，
∴此等式是a−b2=a2−2ab+b2．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
【变式3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）

A．a−b2=a2−2ab+b2B．a+b2=a2+2ab+b2
C．a+ba−b=a2−b2D．ba−b=ab−b2
【答案】A
【分析】根据题意得阴影部分的另一条为(a−b)，则阴影部分的面积为：(a−b)(a−b)=(a−b)2=a2+2ab+b2，即可得．
【详解】解：根据题意得，阴影部分的另一条为(a−b)，
则阴影部分的面积为：(a−b)(a−b)=(a−b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，解题的关键是．
考点6：完全平方公式——识别
典例6：（2022春·四川雅安·七年级雅安中学校考阶段练习）下列各式，是完全平方公式的有（ ）
①a2-a+14 ②x2+xy+y2 ③116m2+m+9 ④4a2-2ab+b2 ⑤14a2b2-2ab+4 ⑥m4-2mn+n4
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①a2−a+14=a−122是完全平方公式；
②x2+xy+y2不是完全平方公式；
③116m2+m+9不是完全平方公式；
④4a2-2ab+b2不是完全平方公式；
⑤14a2b2−2ab+4=12ab−22是完全平方公式；
⑥m4-2mn+n4不是完全平方公式；
∴完全平方公式一共有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a)B．(b+m)(m-b)
C．(-x-b)(x-b)D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
【详解】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a）B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b）D．（3a﹣2b）（3a+2b）
【答案】B
【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
【详解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A选项不符合；
B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B选项符合；
C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项不符合；
D、原式=9a2-4b2，所以D选项不符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．
【变式3】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）运用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2计算x+132，则公式中的2ab对应的是（ ）
A．13xB．23xC．xD．3x
【答案】B
【分析】利用完全平方公式计算x+132即可得到答案．
【详解】(x+13)2=x2+23x+19，所以公式中的2ab是23x．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，属于基础题，熟记公式a+b2=a2+2ab+b2即可解题．
考点7：完全平方公式——计算
典例7：下列运算错误的是（ ）
A．x+2x−2=x2−4B．−x−2−x+2=x2−4
C．−x−2x+2=−x2−2x−4D．−x+22−x=4−x2
【答案】D
【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、x+2x−2=x2−4，本选项不符合题意；
B、−x−2−x+2=−x2−4=x2−4，本选项不符合题意；
C、−x−2x+2=−x+22=−x2−2x−4，本选项不符合题意；
D、−x+22−x=x+2x−2=x2−4，本选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算(2x+5)(2x−5)正确的是（ ）
A．4x2−25B．2x2−25C．25−4x2D．4x2−20x+25
【答案】A
【分析】运用平方差公式计算时，找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】解：(2x+5)(2x−5)
＝4x2−25，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【变式2】若4x2−20x+______=2x_2，则横线上分别应填（ ）
A．52、−5B．52、+5C．102、+10D．102、−10
【答案】A
【分析】根据完全平方公式解答即可.
【详解】解：4x2−20x+25=2x2−20x+52=2x−52；
故选：A.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解题的关键.
【变式3】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）一个圆的半径为rcm，增加3cm后，这个圆的面积增加了（ ）cm2
A．6π2r+9π2B．6πr+9πC．3π2r+32D．6π2r2+3
【答案】B
【分析】根据圆的面积公式可以用相应的代数式表示出新圆的面积比原来圆的面积增加了多少；
【详解】由题意可得：
新圆的面积比原来圆的面积增加了：
π(r+3)2−πr2=6rπ+9π平方厘米；
故选B
【点睛】本题考查列代数式, 解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
考点8：完全平方公式——构造完全平方
典例8：（2023春·浙江金华·七年级校考期中）如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．±3D．3
【答案】C
【分析】完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍．
【详解】解：∵x2−2mx+9=x2−2mx+32是关于x的完全平方式，
∴−2mx=±2⋅x⋅3，
∴m=±3，
故选C．
【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）若x2−2m−3x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．−5C．7D．7或−1
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】∵x2−2(m−3)x+16是完全平方式，
∴−(m−3)=±4，
解得：m=7或m=−1，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2】（2023春·四川雅安·七年级校考期中）若x2+2(m−1)x+9是完全平方式，则m的值为( )
A．±6B．−2或4C．−2D．4
【答案】B
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值
【详解】解：∵x2−2(m−1)x+9=x2−2(m−1)x+32，
∴−2(m−1)x=±2⋅x⋅3，即m−1=±3，
解得：m=−2或m=4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
【变式3】（2023春·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）若关于x的代数式x2−kx+36是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18B．−12C．±6D．±12
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：∵ x2−kx+36是一个关于x的完全平方式，
∴ x2−kx+36=x+62或x2−kx+36=x−62，
∴ k=−12或k=12．
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
考点9：完全平方公式——变形式求值
典例9：（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（ ）
A．1B．13C．17D．25
【答案】B
【分析】根据x2+y2=x+y2−2xy,代入数值即可．
【详解】解：x2+y2
=x+y2−2xy
=5×5−2×6
=25−12
=13
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟悉完全平方公式的结构，以及掌握整体代入思想是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若x满足x−20222023−x=0.25，则(x−2022)2+(2023−x)2=（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．−0.25
【答案】B
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵x−20222023−x=0.25，
∴2023x−x2−2022×2023+2022x=0.25，
∴−x2+4045x−2022×2023=0.25，
∴−x2+4045x=2022×2023+0.25，
∵x−20222+2023−x2
=x2+20222−4044x+20232+x2−4046x
=2x2−8090x+20222+20232
=−2−x2+4045x+20222+20232
=−2×2022×2023−0.5+20222+20232
=2022−20232−0.5
=1−0.5
=0.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
【变式2】阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，对式子作这样变形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1，因为x+22≥0，所以x+22+1≥1，当x=−2时，x+22+1=1，因此x2+4x+5的最小值是1．类似地，代数式x2−6x+4的最小值为（ ）
A．−9B．−5C．−3D．4
【答案】B
【分析】参照样例利用公式变形即可得到答案．
【详解】解：x2−6x+4
=x2−6x+9−5
=x−32−5
∵x−32≥0，
∴x2−6x+4≥−5，即x2−6x+4有最小值，为−5．
故选：B．
【点睛】本题考查求代数式的最值，完全平方公式的应用，解题的关键是参照样例对代数式进行变形．
【变式3】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）已知x+y=5且xy=6，则x−y2的值是（ ）
A．25B．12C．5D．1
【答案】D
【分析】根据x−y2=x+y2−4xy，然后再把题中已知条件代入即可求解．
【详解】解：∵x+y=5且xy=6，
∴x−y2=x+y2−4xy=52−4×6=1，故D正确．
故选：D．
【点睛】利用完全平方公式变形式详解，熟记完全平方公式，式子的变形要注意变形前后的相等关系．
考点10：乘法公式在几何中的应用
典例10：（2023春·山东济南·七年级统考期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）

A．3B．19C．21D．28
【答案】B
【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到(x+y)2=64，(x−y)2=6，两式相加可得x2+y2=35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD=x，EF=y，AE=x+y=8，
∴(x+y)2=64，
∴x2+y2+2xy=64，
∵点H为AE的中点，
∴AH=EH=4，
∵图2的阴影部分面积=(x−y)2=x2+y2−2xy=6，
∴(x+y)2+(x−y)2=64+6，
∴x2+y2=35，
∴图1的阴影部分面积=x2+y2−12×4⋅x−12×4⋅y
=x2+y2−2x+y
=35−2×8
=19，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
【变式1】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b，如果a−b=2，ab=4，那么阴影部分的面积为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式的变形求出a2+b2−ab=4，再根据S阴影=S△BCD+S正方形CGFE−S△BGF进行求解即可．
【详解】解：∵a−b=2，ab=4，
∴a2+b2−ab
=a2−2ab+b2+ab
=(a−b)2+ab
=22+4
=8，
∴S阴影=S△BCD+S正方形CGFE−S△BGF
=12a2+b2−12b(a+b)
=12a2+b2−12ab−12b2
=12a2+12b2−12ab
=12(a2+b2−ab)
=12×8
=4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确推出S阴影=12a2+b2−ab是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】大长方形的长=2x+y，大长方形的宽=x+2y，根据阴影部分的面积=大长方形的面积−5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于30，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．
【详解】解：由题意知，大长方形的长=2x+y，
大长方形的宽=x+2y，
则大长方形的周长=2[(2x+y)+(x+2y)]=30，
化简得x+y=5，
∵阴影部分的面积=大长方形的面积−5个小长方形的面积，
∴38=(2x+y)(x+2y)−5xy，
化简得x2+y2=19，
∵x+y=5，
∴(x+y)2=52，
即x2+2xy+y2=25，
把x2+y2=19代入得，
19+2xy=25，
解得xy=3，
则一张小长方形的面积=xy=3．
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的乘法，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．
【变式3】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2=16，点B是线段CG上一点，设CG=6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5B．4C．8D．10
【答案】A
【分析】设BC=a,BE=b，从而可得a2+b2=16，a+b=6，∠CBE=90°，再利用完全平方公式可得ab=10，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：设BC=a,BE=b，
由题意得：∠CBE=90°，S1+S2=a2+b2=16，BE+BC=BC+BG=CG=6，
即a+b=6，
∴2ab=a+b2−a2+b2=62−16=20，
∴ab=10，
∴所需防滑瓷砖的面积为12BE⋅BC=12ab=5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
考点11：乘法公式与化简求值
典例11：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）先化简，再代入求值：3(a−b)2+(a−b)(a+b)−(2a+b)2．其中a=15，b=−2．
【答案】−10ab+b2，8
【分析】分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：3(a−b)2+(a−b)(a+b)−(2a+b)2
=3a2−6ab+3b2+a2−b2−4a2−4ab−b2
=−10ab+b2，
当a=15，b=−2时，原式=−10×15×(−2)+(−2)2=8．
【点睛】本题考查了整式的混合运算及求代数式的值，涉及完全平方公式与平方差公式的运用，合并同类项法则，有理数的混合运算等知识，熟练运用这些知识并准确运算是关键．
【变式1】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)化简：a−b+c+c−a−b−a+b；
(2)若a2+b2−2a−8b+17=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)a−b
(2)9
【分析】（1）根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，然后去绝对值，即可；
（2）对a2+b2−2a−8b+17=0进行化简，求出a，b的值，然后根据三角形三边的关系，确定c的值，即可．
【详解】（1）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+c>b，a+b>0，
∴a−b+c>0，
∵c−a2×5×4
通过观察归纳，得20172+20162>2×2017×2016
故答案为：>，>，>，>；
（2）由（1）中规律可知：a2+b2>2ab(a≠b)；
（3）∵(a−b)2=a2+b2−2ab，
当a≠b时，
∵(a−b)2>0
∴a2+b2−2ab>0，
即a2+b2>2ab．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用及不等式的性质，解题的关键是熟知完全平方公式的特点．
25．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数（1、2、1）恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数；第四行的四个数恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数，根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答：
（1）图中第六行括号里的数字分别是 ；（请按从左到右的顺序填写）
（2）（a+b）4＝ ；
（3）利用上面的规律计算求值：（23）4﹣4×（23）3+6×（23）2﹣4×23+1．
（4）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．
【答案】(1) 5，10，10，5；(2) a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；(3) 181；(4)0
【分析】（1）根据“杨辉三角”规律确定出第六行括号里的数字即可；
（2）根据“杨辉三角”中的系数确定出原式展开结果即可；
（3）原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果．
（4）当x=0，先求出a2019=1，当x=1时，代入原式计算，即可求出答案.
【详解】解：（1）根据图中规律：第六行括号里的数字分别为：5，10，10，5；
（2）(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（3）原式＝(−23)4+4×(−23)3+6×(−23)2+4×(−23)+1=(−23+1)4=181；
（4）当x＝0时，a2019=1，
当x＝1时，a1+a2+a3+……+a2017+a2018+a2019=1，
∴a1+a2+a3+……+a2017+a2018=1−1=0；
【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解本题的关键.