人教版八年级数学上册重难考点专题03全等三角形的判定(2)(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03全等三角形的判定(2)(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了5＜AD＜4等内容，欢迎下载使用。

知识串讲
（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）
（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定（HL）
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点训练
考点1：用ASA证明三角形全等
典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：△ABC≌△DEF．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≅△AED；
(2)若∠1=40°，求∠3的度数．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：△AEB≌△CFD．
【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“AAS”）；
(2)请完成（1）的证明．
考点2：用AAS证明三角形全等
典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：AB=DC．
【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合
典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．
(1)求证：EF=ED；
(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．
【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．
(1)若∠C=40°，求∠D的度数；
(2)若AD=AC，求证：△DEA≌△ABC．
【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若ma−5n，求a的取值范围．
（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
考点4：添加条件使三角形全等
典例4：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．
(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求∠BAE的度数．
【变式1】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④DA∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
【变式2】（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图，AD=AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明
(2)若添加的条件是OE=OD，证明：△ADB≌△AEC
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
(1)若要使ΔACD≌ΔEBD，应添上条件： ；
(2)证明上题；
(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．
考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等
典例5：（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【变式1】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）将一等腰直角形的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC=90°．
(1)若如图①放置时，已知点A(0,−4)，B(1,0)，求点C的坐标；
(2)若如图②放置时，已知点A(0,0)，B(3,1)，求点C的坐标．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC和△DEF中，有下列四个等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）
【变式3】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
考点6：用HL证明三角形全等
典例6：（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
求证：△ABM≌△DCN．
【变式1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA．
(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．
(1)求证：△ABC≅△EDF；
(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度数．
【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1)求证：△ABM≌△DCN；
(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
考点7：全等性质与HL综合
典例7：（2023·广东肇庆·统考一模）在△ABC中，点D为BC边上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且AE=AF，连接AD，求证S△ABDS△ACD=ABAC．
【变式1】（2023春·山东济宁·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
【变式2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE=CF．
求证：∠ACB=90°．
【变式3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD=CE，求证：
①AB⊥AC；
②DE=BD+CE．
(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝BDD．AB＝DC
2．（2022·四川巴中·中考真题）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB=ACB．∠BAC=90°C．BD=ACD．∠B=45°
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①③去
4．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BF＝CEC．∠A＝∠DD．∠B＝∠E
5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（ ）
A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′
B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′
C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′
D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′
6．（2023秋·四川内江·八年级校考阶段练习）如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（ ）
A．ACB．BCC．AB+BCD．AB
7．（2022秋·北京·八年级北师大实验中学校考期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=6B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C．AB=4，BC=3，∠A=30°D．∠C=90°，AB=8，AC=4
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）如图，AB=DB,∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（ ）
A．∠A=∠DB．∠E=∠CC．∠A=∠CD．BC=BE
9．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知AF=CE， BE//DF，那么添加下列一个条件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（ ）
A．∠AFD=∠CEBB．AD//CBC．AE=CFD．AD=BC
10．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是△ABM≅ △CDN的是（ ）
A．∠M＝∠NB．BM∥DNC．AB＝CDD．MB＝ND
11．（2022·江苏·八年级专题练习）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
13．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过AC和BD的交点O，分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论正确的有（）
①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤图中全等的三角形有9对．
A．5个B．4个C．3个D．2个
14．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
二、填空题
16．（2023秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则________≌△ADC．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．
17．（2023·全国·八年级统考假期作业）有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“________”或用字母表示为“________”.
18．（2023秋·云南大理·八年级统考期中）判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，他们可以分别简写成SSS；SAS；______；______；_______.
19．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，已知D,E是ΔABC中BC边上的两点，且AD=AE，请你再添加一个条件：_______，使ΔABD≌ΔACE
20．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是 _____．
21．（2023·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：_____．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC．
23．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,∠A=∠D，请你填一个直接条件，_________，使ΔAFC≅ΔDEB．
24．（2023春·七年级课时练习）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=______．
25．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝_____时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
三、解答题
26．（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
27．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
28．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC=∠EAC=∠BAD，AC=AE，证明：△ABC≌△ADE．
29．（2023春·山东济南·七年级校考期中）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠C＝∠B．求证：△ACE≌△ABD．
30．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
32．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：△ADB≌△CEA．
33．（2022·陕西·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．求证：AF=DE．
34．（2023春·贵州黔西·八年级校考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm，DE=3cm．
（1）求证△CBE≌△ACD
（2）求线段BE的长

35．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．
(1)证明：BE=DF；
(2)若AB=20，DF=6，求AD的长度；
专题03 全等三角形的判定（2）
考点类型
知识串讲
（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）
（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定（HL）
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点训练
考点1：用ASA证明三角形全等
典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质求出∠BCA=∠EFD，∠A=∠D，根据ASA推出两三角形全等即可．
【详解】解：∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFD，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∠A=∠DAC=DF∠BCA=∠EFD，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握角边角的方法证明三角形全等．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≅△AED；
(2)若∠1=40°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）先根据∠1=∠2和角的和差可得∠EAD=∠BAC，然后运用ASA即可证明结论；
（2）根据已知可得∠1=∠2=40°，然后根据三角形外角的性质可得∠3=∠2=40°即可．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC
在△ABC和△AED中
∠B=∠EAB=AE∠BAC=∠EAD
∴△ABC≅△AEDASA．
（2）解：如图：∵∠1=40°
∴∠1=∠2=40°
∵∠AFD=∠2+∠E，∠AFD=∠3+∠B，
∴∠3=∠2=40°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：△AEB≌△CFD．
【答案】见解析
【分析】先证明∠BEA=∠DFC=90°，再由平行线的性质得∠BAC=∠DCA，利用ASA即可证明△AEB≌△CFD．
【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△AEB和△CFD中，
∠BEA=∠DFCAE=CF∠BAE=∠DCF，
∴△AEB≌△CFDASA．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟练证明三角形全等是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“AAS”）；
(2)请完成（1）的证明．
【答案】(1)①；ASA（②或③；AAS）
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法进行选择即可；
（2）根据“ASA”或“AAS”证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】（1）解：选择①AC=DF，根据ASA证明△ABC≌△DEF；
②AB=DE或③BC=EF，根据AAS证明△ABC≌△DEF；
故答案为：①；ASA．（②或③；AAS）
（2）证明：选择①；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAC=DF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEFASA；
选择②；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFEAB=DE，
∴△ABC≌△DEFAAS；
选择③；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEFAAS．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“ASA”或“AAS”．
考点2：用AAS证明三角形全等
典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF
【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠DAE=∠C，再证明∠D=∠BAC，根据AAS证明△ABC≌△DEA即可．
【详解】证明：∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠C，
∵∠DEC为△ADE的外角，
∴∠DEC=∠DAE+∠D，
∵∠CED=∠BAD，
∴∠DAE+∠D=∠DAE+∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∵AE=BC，
∴△ABC≌△DEAAAS．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，AAS、ASA、SAS、SSS、HL．
【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：AB=DC．
【答案】见解析
【分析】证明△ABC≌△DCE即可．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D，
∵CE⊥AD，
∴∠B=∠DCE=90°，
∵AC=DE，
∴△ABC≌△DCEAAS，
∴AB=DC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解析
【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得证．
【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，
即∠ADE+∠3=∠1+∠B，
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠ADE=∠B，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADEAAS．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．
考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合
典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75°
【分析】（1）由AB∥CD，得到∠ABD=∠BDC再利用AAS证明△ABD≌△EDC，从而得到结论；
（2）由AB∥CD，∠A=135°，求得∠ADC=45°，因为∠BDC=2∠1，得到∠BDC=30°，再根据BD=CD，利用三角形内角和求得最后结果．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
在△ABD和△EDC中∠1=∠2∠ABD=∠BDCAB=ED，
∴△ABD≌△EDCAAS，
∴BD=CD．
（2）∵AB∥CD，∠A=135°，
∴∠ADC=180°−∠A=45°，
∵∠BDC=2∠1，
∴∠BDC=23∠ADC=30°，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=180°−∠BOC2=75°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABD≌△EDC是解题的关键．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．
(1)求证：EF=ED；
(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据E是AC的中点，可得AE=CE，再由CD∥AB，可得∠A=∠ACD，可证明△AEF≌△CED，即可求证；
（2）根据△AEF≌△CED，可得AF=CD=6，即可求解．
【详解】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，
在△AEF和△CED中，
∠A=∠ACDAE=CE∠AEF=∠CED
∴△AEF≌△CEDASA，
∴EF=ED．
（2）∵△AEF≌△CED，
∴AF=CD=6，
∵AB=8，
∴BF=AB−AF=8−6=2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．
(1)若∠C=40°，求∠D的度数；
(2)若AD=AC，求证：△DEA≌△ABC．
【答案】(1)50°
(2)见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=40°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数；
（2）直接利用AAS证明即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，∠C=40°
∴∠DAC=∠C=40°
∵DE⊥AC
∴∠D=90°−∠DAC=50°；
（2）在△DEA和△ABC中
∠DEA=∠B=90°∠DAE=∠CAD=AC
∴△DEA≌△ABCAAS．
【点睛】此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若ma−5n，求a的取值范围．
（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【答案】（1）a