人教版八年级数学上册重难考点专题03多边形及其内角和(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03多边形及其内角和(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了边形等内容，欢迎下载使用。

知识串讲
（一）多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为n(n−3)2．
（二）多边形的内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关概念
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为(n−2)⋅180∘n，每一个外角为360°n．
考点训练
考点1：多边形的概念解析
典例1：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三棱柱有六条棱B．圆锥的侧面展开图是三角形
C．两点之间，线段最短D．各边相等的多边形是正多边形
【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2】（2022春·山东淄博·七年级校考阶段练习）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
考点2：多边形对角线条数问题
典例2：（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则m−kn=______．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了______________次电话；
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作__________条对角线；同样，经过B点可以作__________条；经过C点可以作__________条；经过D点可以作__________条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有___________条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条对角线；
图3共有_____________条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_____________条对角线．(用含n的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有__________________对角线.
【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形______的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有______条对角线，将n边形分成______个三角形，一个n边形共有______ 条对角线．
考点3：多边形分割的三角形个数问题
典例3：（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成_______个三角形．
【变式1】（2023秋·四川达州·七年级校考期末）每一个多边形都可分割 (分割方法如图)成若干个三角形.根据这种方法八边形可以分割成____个三角形.用此方法n边形能分割成____个三角形.
【变式2】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）从n边形的一个顶点出发画对角线，可以将这个n边形分割成__________个三角形．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
考点4：多边形的内角和问题
典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是________．
【变式1】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）如图，正八边形ABCDEFGH，连接BE，CG交于点I，则∠EIG=___________°．
【变式2】（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°；
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为____________．
考点5：多边形截角后的边数、内角和问题
典例5：（2023秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．
【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____．
【变式2】（2023春·江苏·七年级校考周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为3600°，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示）
【变式3】（2023春·上海·八年级专题练习）将一个多边形截去一个角后所得的多边形内角和为2880°，则原多边形的边数为 _____．
考点6：正多边形的内角和问题
典例6：（2023春·江苏·七年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，AE的延长线与CD的延长线交于点G，则∠G的度数为__________．
【变式1】（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1=30°，则∠2+∠3的度数为______度．
【变式2】（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为一边，在正五边形内作正方形ABMN，则∠CBM=______________度．
【变式3】（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图∠ABC等于___________度．
考点7：正多边形的外角和问题
典例7：（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED交于点F，则∠AFD=_______.
【变式1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则该正多边形的边数为______．
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
【变式3】（2023·陕西西安·校考三模）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=200°，则∠1+∠2+∠3=________．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：（2023春·上海·八年级专题练习）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________．
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于1000°，原多边形的边数是______．
【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）小明在将一个多边形的内角逐个相加时，把其中一个内角多加了一次，错误地得到内角和为840°，则这个多边形的边数是___________．
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）小明同学在计算一个多边形（每个内角小于180°）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是2018°，则少算了这个内角的度数为________．
考点9：多边形内角和的实际应用
典例9：（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）一机器人以3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为____s．
【变式1】（2023秋·河南新乡·八年级校考期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，则∠5=__________°．
【变式2】（2022·广东河源·统考二模）如图，小江沿一个五边形的广场小道按一定方向 跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是______．
【变式3】（2022秋·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为___．
考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为________．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都等于150°， 则这个多边形是_________边形；如果一个多边形的对角线条数是14条，则这个多边形的内角和是____________
【变式2】（2023秋·河北廊坊·九年级校联考期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
（1）若a=6，b的值为___；
（2）若b=30，a的值为___．
【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为_______________°．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
2．（2023·云南红河·统考一模）正八边形的每一个内角的度数为( )
A．120°B．60°C．135°D．45°
3．（2023秋·北京·八年级黄冈中学北京朝阳学校校考阶段练习）正多边形的一个内角等于150º，则该多边形是正（ ）边形
A．9B．10C．11D．12
4．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）四边形ABCD中，若∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数为( )
A．80°B．90°C．170°D．20°
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，一机器人在平地上按图中的程序行走，要使机器人行走的路程大于10m，则a的值可能是（ ）
A．90°B．45°C．36°D．24°
6．（2022·河北·校联考一模）定县开元寺塔，又名料敌塔，位于河北省定州市，建于北宋至和二年（1055年），为第一批全国重点文物保护单位，因塔位于开元寺内，故通称“开元寺塔”（如图1）．此塔为八角形楼阁建筑，塔身十一级，底级俯视图为正八边形（如图2），则该正八边形的每个内角的度数为（ ）
A．45°B．75°C．105°D．135°
7．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
8．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如果一个多边形的内角和等于2160°，那么这个多边形的边数是( )
A．14B．13C．12D．11
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是( )
A．7B．8C．9D．10
10．（2023秋·江西新余·八年级新余市第一中学阶段练习）一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n，则n的值是（ ）
A．30°B．120°C．135°D．108°
11．（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）n边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．8
12．（2010·四川眉山·中考真题）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．以上都有可能
13．（2023秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠BDE+∠DEC =（ ）
A．335°B．135°C．255°D．150°
14．（2023春·八年级单元测试）如果一个多边形的内角和等于360度，那么这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
15．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
二、填空题
16．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）a个六边形、b个五边形共有___________条边．
17．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出___________条对角线．
18．（2011·湖北恩施·中考真题）已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______．
19．（2023秋·广东深圳·七年级深圳中学校考期末）过十五边形的一个顶点可以作________________ 条对角线．
20．（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中，延长BA，EF交于点O，则∠BOE=______°．
21．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝_____．
22．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若n边形内角和为1260°，则这个n边形的对角线共有__________．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，∠A=35°，去掉∠A后得到一个六边形BCDENM，则∠1+∠2的度数为______．
24．（2023·上海·九年级专题练习）如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线
25．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________
三、解答题
26．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
27．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，求这个正多边形的边数．
28．（2023秋·全国·七年级专题练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．
29．（2022·全国·八年级专题练习）已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
30．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求(n−m)t的值．
31．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数．
32．（2023春·全国·八年级专题练习）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
(1)猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；
(3)如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ．
33．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y
(1)∠ABC+∠ADC= （含x，y的式子直接填空）；
(2)如图1，x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，若x+y=120°，∠DFB=20°，求x、y的值
34．（2023春·全国·八年级专题练习）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和
=180°−∠ACB+180°−∠CAB+180°−∠ABC．
=540°−∠ACB+∠ABC+∠CAB=540°−180°=360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
35．（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
专题03 多边形及其内角和
考点类型
知识串讲
（一）多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为n(n−3)2．
（二）多边形的内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关概念
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为(n−2)⋅180∘n，每一个外角为360°n．
考点训练
考点1：多边形的概念解析
典例1：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三棱柱有六条棱B．圆锥的侧面展开图是三角形
C．两点之间，线段最短D．各边相等的多边形是正多边形
【答案】C
【分析】利用三棱柱的特点，圆锥的侧面展开图，线段公理以及正多边形的概念判断即可．
【详解】解：A选项三棱柱一共有９条棱，所以此项错误；
B选项圆锥的侧面展开图是一个扇形，不是三角形，所以此项错误
C选项两点之间线段最短，所以此项正确；
D选项各边都相等，各角也相等的图形叫正多边形，所以此项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查棱的概念，圆锥侧面展开图，正多边形的概念以及线段公理，熟练掌握正多边形的概念，线段公理，棱的概念及圆锥侧面展开图并正确辨析是解决本题的关键．
【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
∴属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
【变式2】（2022春·山东淄博·七年级校考阶段练习）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正多边形的定义判断即可．
【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
【答案】C
【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形.
【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键．
考点2：多边形对角线条数问题
典例2：（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则m−kn=______．
【答案】216
【分析】根据m边形从一个顶点发出的对角线有(m−3)条，从而可求得m的值；又根据n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n的值；再根据k边形共有对角线kk−32条，从而可求得k的值，代入即可求出代数式的值．
【详解】解：∵m边形从一个顶点发出的对角线有(m−3)条，
∴m=7+3=10，
又∵n边形没有对角线，
∴n=3，
又∵k边形有2条对角线，
∴kk−32=2，
∴k=4，k=−1（舍去）
∴m−kn=10−43=216．
故答案为：216．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n边形从一个顶点发出的对角线有(n−3)条，共有对角线nn−32条．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了______________次电话；
【答案】1225
【分析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数，根据对角线条数公式代入即可求解．
【详解】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数
∴人数n和通话次数S间的关系为S=n+nn−32=n22−n2
∴当n=50时，S=5022−502=1225
故答案为1225．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数的公式nn−32，熟记相关公式是本题的关键，
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作__________条对角线；同样，经过B点可以作__________条；经过C点可以作__________条；经过D点可以作__________条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有___________条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条对角线；
图3共有_____________条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_____________条对角线．(用含n的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有__________________对角线.
【答案】 1 1 1 1 2 5 9 nn−32 35
【分析】(1)根据对角线的定义,四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,
(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,
(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有nn−32条对角线,
(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
【详解】(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,
(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,
(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有nn−32条对角线,
(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形______的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有______条对角线，将n边形分成______个三角形，一个n边形共有______ 条对角线．
【答案】 任意不相邻 n−3 n−2 nn−32
【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可．
【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线，将n边形分成n−2个三角形，一个n边形共有nn−32条对边线．
故答案为：任意不相邻，n−3，n−2，nn−32．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识．
考点3：多边形分割的三角形个数问题
典例3：（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成_______个三角形．
【答案】n−2/−2+n
【分析】先从特殊的四边形开始，例举过四边形，五边形，六边形的一个顶点出发的对角线可以把多边形分割后得到的三角形的数量，总结可得过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成n−2个三角形．
【详解】解：从四边形一个顶点作对角线可得2个三角形，
从五边形一个顶点作对角线可得3个三角形，
从六边形一个顶点作对角线可得4个三角形，
⋯
从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成n−2个三角形；
故答案为：n−2．
【点睛】此题主要考查了图形变化类，熟记过n边形的同一个顶点作对角线，可以做n−3条对角线，可以把n边形分成n−2个三角形．
【变式1】（2023秋·四川达州·七年级校考期末）每一个多边形都可分割 (分割方法如图)成若干个三角形.根据这种方法八边形可以分割成____个三角形.用此方法n边形能分割成____个三角形.
【答案】 6 (n-2)
【分析】根据图中提示，找出规律．四边形一点可画一条对角线，分成两个三角形，五边形一点可画两条对角线，能分成三个三角形，则n边形一点可画n-3条对角线，可分n-2个三角形.
【详解】解：八边形可以分割成6个三角形．用此方法n边形能割成(n-2)个三角形.
故答案为:6, (n-2).
【点睛】观察图中已知条件，找出边数与对角线，三角形的关系.
【变式2】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）从n边形的一个顶点出发画对角线，可以将这个n边形分割成__________个三角形．
【答案】n−2/−2+n
【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成n−2个三角形，据此即可解答．
【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成n−2个三角形．
故答案为：n−2．
【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为n−2是解答本题的关键．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
【答案】2025
【分析】从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形，
∴n−2=2023，
∴n=2025，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成(n−2)个三角形．
考点4：多边形的内角和问题
典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是________．
【答案】65°/65度
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=310°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，最后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=310°，
∴∠BCD+∠CDE=540°−310°=230°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=12∠BCD+∠CDE=115°，
∴∠CPD=180°−110°=65°．
故答案是：65°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
【变式1】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）如图，正八边形ABCDEFGH，连接BE，CG交于点I，则∠EIG=___________°．
【答案】67.5
【分析】由正八边形的性质可得出∠D=∠BCD=∠DEF=∠F=∠FGH=135°，∠CGF=∠CGH=12∠FGH=67.5°，CD∥BE，BC=DE，可推出四边形BCDE是等腰梯形，从而结合等腰梯形的性质和四边形内角和定理得出∠DEB=∠CBE=45°，进而可求出∠FEB=∠DEF−∠DEB=90°，最后再次利用四边形内角和定理即可求出∠EIG的大小．
【详解】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠D=∠BCD=∠DEF=∠F=∠FGH=(8−2)×180°8=135°．
又由正八边形性质可知：CD∥BE，BC=DE，∠CGF=∠CGH=12∠FGH=67.5°，
∴四边形BCDE是等腰梯形，
∴∠DEB=∠CBE=360°−∠D−∠BCD2=45°，
∴∠FEB=∠DEF−∠DEB=90°，
∴∠EIG=360°−∠FEB−∠F−∠CGF=67.5°．
故答案为：67.5．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等腰梯形的判定和性质，多边形的内角和等知识．掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°；
【答案】360
【分析】连接AD，根据三角形内角和定理可知∠E+∠F=∠MAD+∠ADM进而可得结果；
【详解】解：如图，连接AD；
∵∠AMD=∠EMF
∴∠E+∠F=∠MAD+∠ADM
∵∠BAM+∠B+∠C+∠CDM+∠MAD+∠ADM=360°
∴∠BAM+∠B+∠E+∠F+∠C+∠CDM=360°
故答案为：360．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，正确构造辅助线是解本题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为____________．
【答案】210°/210度
【分析】根据多边形的内角和定理可求得∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，进而可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5−2×180°=540°，∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，
∴∠1+∠2=720°−510°=210°，
故答案为：210°
考点5：多边形截角后的边数、内角和问题
典例5：（2023秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．
【答案】14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为15+1=16；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为15−1=14；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____．
【答案】3或4或5
【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．
【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．
【变式2】（2023春·江苏·七年级校考周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为3600°，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示）
【答案】21或22或23
【分析】先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．
【详解】解：设新多边形的边数为n，则(n−2)⋅180°=3600°，
解得n=22，
多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
所以，22−1=21，或22+1=23，
所以原来多边形的边数为21或22或23．
故答案为：21或22或23．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论．
【变式3】（2023春·上海·八年级专题练习）将一个多边形截去一个角后所得的多边形内角和为2880°，则原多边形的边数为 _____．
【答案】17或18或19
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n-2）•180°=2880°解得：n=18，
则多边形的边数是17或18或19．
故答案为：17或18或19．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
考点6：正多边形的内角和问题
典例6：（2023春·江苏·七年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，AE的延长线与CD的延长线交于点G，则∠G的度数为__________．
【答案】30度/30°
【分析】根据正六边形可得∠F=∠CDE=∠FED=(6−2)×180°6=120°，AF=EF，从而得到∠FAE=∠FEA=180°−120°2=30°，∠EDG=180°−120°=60°，得到∠AED=120°−30°=90°，根据三角形内外角和关系即可得到答案；
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠F=∠CDE=∠FED=(6−2)×180°6=120°，AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA=180°−120°2=30°，∠EDG=180°−120°=60°，
∴∠AED=120°−30°=90°，
∴∠G=90°−60°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查正六边形的性质，三角形内外角关系，解题的关键根据正六边形得到相应角度的关系．
【变式1】（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1=30°，则∠2+∠3的度数为______度．
【答案】102
【分析】根据正多边形内角和公式n−2·180°（n≥3且n为整数）分别求出内角即可求解．
【详解】解：∵四边形、五边形、六边形的各内角相等，
∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°，
∴∠2+∠BAC=90°，∠3+∠BCA=90°，
∵∠1+∠ABC=360°−108°−120°=132°，
∵∠1=30°，
∴∠ABC=132°−30°=102°，
∴∠BAC+∠BCA=180°−102°=78°，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠BAC=90°+90°=180°，
∴∠1+∠2=180°−78°=102°，
故答案为：102．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式和三角形的内角和，求出正多边形的内角是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为一边，在正五边形内作正方形ABMN，则∠CBM=______________度．
【答案】18
【分析】分别求出正五边形与正方形每个内角的度数，作差即可．
【详解】解：∵多边形ABCDE为正五边形，多边形ABMN为正方形，
∴ ∠CBA=5−2×180°5=108°，∠MBA=90°，
∴ ∠CBM=∠CBA−∠MBA=108°−90°=18°．
故答案为：18
【点睛】本题考查了正多边形内角的计算，熟记多边形内角和公式是解题关键．
【变式3】（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图∠ABC等于___________度．
【答案】18
【分析】根据题意，这是一个正五边形，由正五边形外角得到每一个内角度数为180°−360°5=108°，结合五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，由图可知正五边形一个内角为一个直角与∠ABC拼成，从而列等式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，这个图形是正五边形，
∴正五边形一个内角度数为180°−360°5=108°，
∵五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，
∴ ∠ABC=108°−90°=18°，
故答案为：18．
【点睛】本题考查正五边形内角与外角性质，根据题意，得到正五边形的每一个内角度数及构成是解决问题的关键．
考点7：正多边形的外角和问题
典例7：（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED交于点F，则∠AFD=_______.
【答案】18°/18度
【分析】延长AB交DF于H，根据正多边形的外角为360°n，结合三角形的外角性质可求得∠AHF=72°，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．
【详解】解：如图，延长AB交DF于H，
则∠HBD=∠HDB= 360°10 =36°，
∴∠AHF=∠HBD+∠HDB=72°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AFD=90°−∠AHF=18°，即x=18，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查正多边形的外角和定理、三角形的外角性质、直角三角形两锐角互余，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．
【变式1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则该正多边形的边数为______．
【答案】12/十二
【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
【详解】设多边形的每个外角为n，则其内角为：5n，
n+5n=180°
解得：n=30°，
即这个多边形是：360°30°=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
【答案】90
【分析】根据题意可得小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
∵360°÷40°=9，
∴小明共转了9次，
∵一次沿直线前进10米，
∴他第一次回到出发地A点时，一共走了10×9=90米．
故答案为：90．
【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，解题的关键是能够理解题意，熟知多边形的外角和是360°．
【变式3】（2023·陕西西安·校考三模）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=200°，则∠1+∠2+∠3=________．
【答案】200°/200度
【分析】先求出与∠A和∠B相邻的外角的度数和，然后根据外角和定理即可求解．
【详解】解：∵ ∠A+∠B=200°，
∴与∠A和∠B相邻的外角的度数和是：180°×2−200°=160°，
∴ ∠1+∠2+∠3= 360°−160°=200°．
故答案为：200°．
【点睛】此题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：（2023春·上海·八年级专题练习）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________．
【答案】139°/139度
【分析】n边形的内角和是n−2⋅180°，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数．
【详解】解：∵2021°÷180°=11⋯41°，
∴少加的内角是：180°−41°=139°．
故答案为：139°．
【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于1000°，原多边形的边数是______．
【答案】8/八
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则(n−2)×180−x=1000
180⋅n=1360+x
∵n为正整数，0＜x＜180
∴当n=8，去掉的角的度数为180°⋅8−1360°=80°，
∴多边形的边数为8，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度．
【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）小明在将一个多边形的内角逐个相加时，把其中一个内角多加了一次，错误地得到内角和为840°，则这个多边形的边数是___________．
【答案】6
【分析】设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝840°﹣x，
n＝6，
∴这个多边形的边数是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）小明同学在计算一个多边形（每个内角小于180°）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是2018°，则少算了这个内角的度数为________．
【答案】142°/142度
【分析】n边形的内角和是n−2⋅180°，少计算了一个内角，结果得2018°，则内角和是n−2⋅180°与2018°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程n−2⋅180°≥2018°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n，
依题意有n−2⋅180°≥2018°，
解得：n≥131990，
则多边形的边数n＝14；
多边形的内角和是14−2⋅180＝2160°；
则未计算的内角的大小为2160°−2018°＝142°．
故答案为142°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
考点9：多边形内角和的实际应用
典例9：（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）一机器人以3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为____s．
【答案】16
【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【详解】解：360°÷45°=8，
则所走的路程是：6×8=48m，
则所用时间是：48÷3=16s，
故答案为：16．
【点睛】题目主要考查多边形的外角和及有理数的乘除法的应用，熟练掌握运用多边形外角的定理是解题关键．
【变式1】（2023秋·河南新乡·八年级校考期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，则∠5=__________°．
【答案】80
【分析】根据多边形外角和等于360°，即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360°-75°×2-65°×2=80°，
故答案为80．
【点睛】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于360°是解题的关键．
【变式2】（2022·广东河源·统考二模）如图，小江沿一个五边形的广场小道按一定方向 跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是______．
【答案】360°/360度
【分析】根据多边形的外角和等于360度即可求解．
【详解】小江跑完一圈，身体转过的角度为五边形的外角和，而任何多边形的外角和为360度，所以小江身体转过的角度之和为360度．
故答案为：360度．
【点睛】考查了多边形的外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．
【变式3】（2022秋·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为___．
【答案】36°
【分析】根据题意先判断图形的形状，再根据多边形的外角和定理和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由图可知：形成的最中间的图形为正五边形，
∴正五边形的外角和为360°，
∴∠ACB=360°÷5=72°，
∴∠BAC=180°-72°-72°=36°
故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为________．
【答案】8/八
【分析】多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，内角是外角的3倍，从中建立方程求出一个外角的度数，再利用多边形的外角和为360°求边数即可．
【详解】解：设多边形的一个外角的度数是x°，列方程，得
3x+x=180，
解得：x=45，
多边形的边数为：360°÷45°=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，抓住内外角的关系列方程求出一个外角的度数是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都等于150°， 则这个多边形是_________边形；如果一个多边形的对角线条数是14条，则这个多边形的内角和是____________
【答案】 12/十二 900°/900度
【分析】多边形的每个内角都等于150°，可求出对应角的外角，根据外角和定理即可求解；一个多边形的对角线条数是14条，根据多边形的边数为n，则对角线的条数为n(n−3)2，由此即可求解．
【详解】解：（1）多边形的每个内角都等于150°，
∴对应的外角为180°−150°=30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°30°=12，
故答案为：12；
（2）设多边形的边数为n，
∴对角线的条数为n(n−3)2=14，解方程得，n1=−4（舍去），n2=7，
∴多边形的边数是7，
∴该七边形的内角和为180°×(7−2)=900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题主要考查多边形的知识，理解并掌握多边形的内角和定理，外角和定理，对角线的计算公式是解题的关键．
【变式2】（2023秋·河北廊坊·九年级校联考期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
（1）若a=6，b的值为___；
（2）若b=30，a的值为___．
【答案】 36 5
【分析】（1）根据正多边形的性质，所有边都相等，可求出边数，根据正多边形的内角和定理可求出每个内角度数，由此即可求解；
（2）根据正多边形的性质，外角和等于360°，且每个外角都相等，可求出边数，由此即可求解．
【详解】解：（1）60÷6=10，
∴图形是正十边形，
∴每个内角的度数是180°×(10−2)10=144°，
∴b=180°−144°=36°，
故答案为：36；
（2）360÷30=12，
∴图形是正十二边形，
∴边长为60÷12=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，内角和定理，外角和定理，理解和掌握正多边形的性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为_______________°．
【答案】108
【分析】根据正多边形内角和外角的性质求解．
【详解】解：如图，正五边形的内角：∠4=∠5=15×5−2×180°=108°，
正五边形的外角：∠1=∠2=15×360°=72°，
根据三角形内角和定理，得∠3=180°−∠1−∠2=180°−72°−72°=36°，
因此∠AOB=360°−∠4−∠5−∠3=360°−108°−108°−36°=108°，
故答案为：108．
【点睛】本题考查正多边形，解题的关键是掌握正多边形内角和外角的性质．正n边形的每个内角都等于1nn−2⋅180°，每个外角都等于360°n．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，列方程求解即可，n边形的内角和为n−2⋅180°．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得：
n−2⋅180=1440，
解得：n=10．
所以此多边形的边数为10边．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和的公式．
2．（2023·云南红河·统考一模）正八边形的每一个内角的度数为( )
A．120°B．60°C．135°D．45°
【答案】C
【分析】根据多边形内角和定理：(n﹣2)180°(n≥3且n为正整数)求出正八边形的内角和，然后求出每一个内角的度数．
【详解】解：∵内角正八边形的内角和：(8﹣2)•180°＝1080°，
∴每一个内角的度数1080°÷8＝135°．
故选C．
【点睛】本题考查多边形内角和，熟记多边形边形内角和定理是解题的关键．
3．（2023秋·北京·八年级黄冈中学北京朝阳学校校考阶段练习）正多边形的一个内角等于150º，则该多边形是正（ ）边形
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角等于150°，
∴它的外角是：180°-150°=30°，
∴它的边数是：360°÷30°=12．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
4．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）四边形ABCD中，若∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数为( )
A．80°B．90°C．170°D．20°
【答案】A
【详解】解：∵四边形的内角和为360°，∠A+∠C+∠D=280°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°
＝80°，
故选：A．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，一机器人在平地上按图中的程序行走，要使机器人行走的路程大于10m，则a的值可能是（ ）
A．90°B．45°C．36°D．24°
【答案】D
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列出不等式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是右转a°，
∴多边形的边数＝360°÷a°＝360a，
∴360a×1＞10，即：a＜36，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
6．（2022·河北·校联考一模）定县开元寺塔，又名料敌塔，位于河北省定州市，建于北宋至和二年（1055年），为第一批全国重点文物保护单位，因塔位于开元寺内，故通称“开元寺塔”（如图1）．此塔为八角形楼阁建筑，塔身十一级，底级俯视图为正八边形（如图2），则该正八边形的每个内角的度数为（ ）
A．45°B．75°C．105°D．135°
【答案】D
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n-2）·180°（n为正多边形的边数，n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【详解】解：∵正八边形的内角和为n−2×180°=6×180°=1080°，
∴该正八边形的每个内角的度数为1080°÷8=135°．
故选：D
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：多边形内角和等于（n-2）·180（n为正多边形的边数，n≥3，且n为整数）．
7．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解．
【详解】设这个多边形的边数为n，
由题意得n−2·180°=2×360°+180°
解得：n=7
故选C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式n−2·180°，以及外角和360°，是解题的关键．
8．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如果一个多边形的内角和等于2160°，那么这个多边形的边数是( )
A．14B．13C．12D．11
【答案】A
【分析】根据多边形内角和公式列方程求解即可
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：n−2⋅180=2160，
解得：n＝14，
即这个多边形的边数是14，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成n−2个三角形，由题意，得n−2=8，解得n=10．
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
10．（2023秋·江西新余·八年级新余市第一中学阶段练习）一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n，则n的值是（ ）
A．30°B．120°C．135°D．108°
【答案】C
【详解】由题意可得：90∘+90∘+90∘+2n=180∘⋅(5−2)，解得n=135∘.
故选C.
11．（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）n边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：由题意可得：(n−2)⋅180=720，
解得：n=6．
所以，多边形的边数为6．
故选：C
【点睛】此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
12．（2010·四川眉山·中考真题）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．以上都有可能
【答案】D
【详解】解：根据内角和可得：多边形的边数=1620°÷180°+2=11，
又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；
另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；
还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．
综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，
故选：D．
【点睛】考点：多边形的内角和
13．（2023秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠BDE+∠DEC =（ ）
A．335°B．135°C．255°D．150°
【答案】C
【分析】先由三角形内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A=105°，再根据四边形内角和定理即可求出∠BDE+∠DEC =360°-105°=255°.
【详解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=105°，
∵∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°，
∴∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n-2）•180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．
14．（2023春·八年级单元测试）如果一个多边形的内角和等于360度，那么这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【详解】考点：多边形内角与外角．
专题：计算题．
分析：根据多边形的内角和定理得到（n-2）?180°=360°，解方程即可．
解答：解：∵（n-2）?180°=360°，
解得n=4，
∴这个多边形为四边形．
故选A．
点评：本题考查了多边形的内角和定理：多边形的内角和为（n-2）?180°．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．11B．12C．11或12D．10或11或12
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
二、填空题
16．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）a个六边形、b个五边形共有___________条边．
【答案】6a+5b
【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算．
【详解】解：∵a个六边形有6a条边，b个五边形有5b条边，
∴a个六边形、b个五边形共有6a+5b条边，
故答案为：6a+5b.
【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边．
17．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出___________条对角线．
【答案】5
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出n−3条对角线可得答案．
【详解】从八边边形ABCDEFGH的一个顶点出发，最多可以引出对角线的条数是8−3=5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式．
18．（2011·湖北恩施·中考真题）已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______．
【答案】6
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是120º，
∴这个正多边形的一个外角为：180º-120º=60º，
∵多边形的外角和为360º，
∴360º÷60º =6，
则这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
19．（2023秋·广东深圳·七年级深圳中学校考期末）过十五边形的一个顶点可以作________________ 条对角线．
【答案】12
【详解】减去这个顶点本身和相邻的2个顶点，15-1-2=12.
20．（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中，延长BA，EF交于点O，则∠BOE=______°．
【答案】60
【分析】根据多边形的外角和为360°，求出正六边形的每个外角的度数，最后根据三角形内角和即可求出结果．
【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，多边形的外角和为360°，
∴∠OAF=∠OFA=360°6=60°，
∴∠BOE=180°-∠OAF-∠OFA=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，三角形的内角和，根据多边形外角和求出∠OAF=∠OFA=60°，是解题的关键．
21．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60°，则∠BAC＝_____．
【答案】60°或120°．
【分析】分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°即可得出结果．
【详解】解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
∵∠DOC＝60°，
∴∠EOD＝120°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，
∵∠F＝60°，
同理：∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠BAC＝∠DAE＝120°，
综上所述，∠BAC的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题考查了三角形高线的定义，四边形的内角和等知识，掌握相关定理，能分类讨论是解题关键．
22．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若n边形内角和为1260°，则这个n边形的对角线共有__________．
【答案】27条
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】由题意得：
（n-2）×180=1260，
解得：n=9，
从这个多边形的对角线条数：9×62=27，
故答案为27条．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，∠A=35°，去掉∠A后得到一个六边形BCDENM，则∠1+∠2的度数为______．
【答案】215°
【分析】利用五边形的内角和得到∠B+∠C+∠D+∠E的度数，进而让六边形的内角和减去∠B+∠C+∠D+∠E的度数即为所求的度数.
【详解】解：∵五边形的内角和为5−2×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°−∠A，
∵六边形的内角和为6−2×180°=720°，
∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=720°，
∴∠1+∠2=720°−∠B+∠C+∠D+∠E
=720°−540°−∠A
=180°+∠A，
∵∠A=35°，
∴∠1+∠2=180°+35°=215°.
即∠1+∠2的度数为215°.
故答案为：215°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理：多边形的内角和为n−2·180°（n为多边形的边数，n大于等于3且n为整数）.利用整体思想表示出∠B+∠C+∠D+∠E并最终用∠A表示出∠1+∠2是解题的关键.
24．（2023·上海·九年级专题练习）如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线
【答案】11
【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．
【详解】设多边形的边数为n，则有
(n-2)•180＋360=2520，
解得：n=14，
14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，
故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．
25．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________
【答案】360∘ 或540∘或720∘.
【分析】从一个五边形中剪去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形，再根据多边形的内角和的公式求解.
【详解】分三种情况：
①若剩余部分的多边形是四边形，则内角和为360°，
②若剩余部分的多边形是五边形，则内角和为(5−2)×180∘=540∘，
③若剩余部分的多边形是六边形，则内角和为(6−2)×180∘=720∘，
故答案为：360∘ 或540∘或720∘.
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形的剪切问题，培养空间的想象能力非常重要.
三、解答题
26．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
【答案】（1）1800°；（2）8
【分析】（1）根据内角和公式，可得答案；
（2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-360°=720°，再解方程即可．
【详解】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2）•180°-360°=720°，
解得：n=8．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
27．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，求这个正多边形的边数．
【答案】8
【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角,再根据多边形的外角和等于360°即可求出正多边形的边数.
【详解】设多边形的每个外角的度数为n°，则内角为3n°，
n+3n=180，
解得n=45，
即这个多边形的数是：36045=8．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
28．（2023秋·全国·七年级专题练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．
【答案】130°
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果.
【详解】设这个内角度数为x°，边数为n，
则（n-2）×180°-x=2570°，
n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，
∵0°＜x＜180°，
解得16.2＜n＜17.2，
又∵n为正整数，
∴n=17，
则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．
【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值.
29．（2022·全国·八年级专题练习）已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ACD＝∠ABD＝90°，再由四边形的内角和为360°可得结论；
（2）根据（1）中的结论并结合平角的定义可得结论．
【详解】证明：（1）∵DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∴∠A+∠1＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠A+∠1＝180°，
∴∠A＝∠2．
【点睛】本题考查了垂直的定义，四边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义．
30．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求(n−m)t的值．
【答案】-1
【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．
【详解】依题意有n=4+3=7，
m=6+2=8，
t=63÷7=9，
则(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．
【点睛】本题考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线，一共有nn−32条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形．这些规律需要学生牢记．
31．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数．
【答案】9.5°
【分析】根据平行线的性质求出∠BED=∠CDE=119°，利用角平分线得到∠BEF，求出∠AEF，根据三角形外角的性质求出∠F即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BED=∠CDE=119°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF=12∠BED=59.5°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=120.5°，
∵∠AEF+∠F=∠AGF，∠AGF=130°，
∴∠F=∠ADF-∠AEF=130°-120.5°=9.5°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的计算，三角形的外角的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
32．（2023春·全国·八年级专题练习）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
(1)猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；
(3)如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ．
【答案】(1)∠1+∠2=∠A+∠C，理由见解析
(2)133°
(3)2∠O=∠C−∠A，理由见解析
【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）先根据四边形内角和定理求出∠ABC+∠ADC=150°，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠ODC=75°，即可求∠BOD的度数；
（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的的数量关系．
【详解】（1）解：猜想：∠1+∠2=∠A+∠C，理由如下：
∵∠1+∠ABC=∠2+∠ADC=180°，
∴∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=∠A+∠C；
（2）解：∵∠A=58°，∠C=152°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=150°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC=12∠ABC，∠ODC=12∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC=12∠ABC+∠ADC=75°，
∴∠BOD=360°−∠OBC+∠ODC+∠C=133°；
（3）解：∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC=2∠FDO=2∠ODC，∠EBC=2∠EBO=2∠CBO，
由（1）可知：∠FDO+∠EBO=∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O=∠A+∠C，
∴∠C−∠A=2∠O．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，邻补角互补，角平分线的定义，解决本题的关键是证明（1）中结论并应用（1）中结论求解．
33．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y
(1)∠ABC+∠ADC= （含x，y的式子直接填空）；
(2)如图1，x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，若x+y=120°，∠DFB=20°，求x、y的值
【答案】(1)360°−x−y
(2)DE⊥BF，理由见解析
(3)40°，80°
【分析】（1）利用四边形的内角和进行计算即可；
（2）由（1）可知∠ABC+∠ADC=180°，由角平分线的定义得到∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，再证明∠CDE=∠CBF，再由∠DGC=∠BGE，推出∠BEG=∠C=90°，即可证明DE⊥BF；
（3）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理，得出∠DFB=12y−12x=20° ，进而得出x，y的值．
【详解】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=x，∠C=y，
∴∠ABC+∠ADC=360°−x−y．
故答案为：360∘−x−y．
（2）解：DE⊥BF，理由如下：
∵x=y=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−x−y=180°，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，
又∵∠CBM=180°−∠ABC=180°−180°−∠ADC=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠DGC=∠BGE，
∴∠BEG=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠ADC+∠ABC=360°−x−y，
∵∠CDN=180°−∠ADC，∠CBM=180°−∠ABC，
∴∠CDN+∠CBM=360°−∠ADC+∠ABC=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF=12∠CDN，∠CBF=12∠CBM，
∴∠CDF+∠CBF=12∠CDN+∠CBM=12x+y，
如图2，连接DB，
∴∠CBD+∠CDB=180°−∠C=180°−y，
∴∠FBD+∠FDB=∠CDF+∠CBF+∠CBD+∠CDB=180°−y+12x+y=180°−12y+12x
∴∠DFB=180°−∠FBD−∠FDB=12y−12x=20° ，
∴x+y=120°12y−12x=20°，
解得x=40°y=80°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，正确应用角平分线的定义是解题关键．
34．（2023春·全国·八年级专题练习）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和
=180°−∠ACB+180°−∠CAB+180°−∠ABC．
=540°−∠ACB+∠ABC+∠CAB=540°−180°=360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°
(2)135°
【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；
（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用180°减去一个外角的度数，即为内角度数．
【详解】（1）解：四边形标定字母如图所示，连接CG，
四边形分为两个三角形，
∴四边形内角和为180°×2=360°，
外角和为：180°−∠BAG+180°−∠ACE+180°−∠CEG+180°−∠EGA
=720°−∠BAG+∠ACE+∠CEG+∠EGA，
=720°−360°，
=360°；
五边形标定字母如图所示，连接DA，DB，
五边形分为三个三角形，
∴五边形内角和为180°×3=540°，
外角和为：180°−∠ABC+180°−∠BCD+180°−∠CDE+180°−∠DEA+180°−∠EAB
=900°−∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA+∠EAB，
=900°−540°，
=360°；
当为n边形时，可以分为(n−2)个三角形，
∴n边形内角和为(n−2)×180°；
外角和为定值360°；
故答案为：内角和分别为：360°、540°、180°(n−2)；
外角和分别为：360°、360°、360°；
（2）解：方法一：(8−2)×180°÷8=135°，
方法二：180°−360°÷8=135°．
【点睛】题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键．
35．（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）2∠P＝∠D+∠B．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A＋∠D＝∠C＋∠B；
（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①＋②，可得2∠P＝∠D＋∠B．
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形
五边形
…
…
…
…
n边形
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名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形
五边形
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