人教版八年级数学上册重难考点专题05全等三角形单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题05全等三角形单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023秋·全国·八年级期末）全等三角形是（ ）
A．面积相等的三角形B．角相等的三角形
C．周长相等的三角形D．完全重合的三角形
2．（2018秋·四川·八年级统考期末）如图，点B在AE上，且∠1=∠2，若要使ΔABC≌ΔABD，可补充的条件不能是（ ）
A．∠C=∠DB．AE平分∠CADC．BC=BDD．AC=AD
3．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2022秋·天津和平·八年级统考期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．a12MN
5．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出∠AOB的平分线OCB．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
C．画线段AB=3cmD．用三角尺过点P作AB的垂线
7．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（ ）
A．6B．10C．12D．24
8．（2022秋·海南三亚·八年级校考期末）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·八年级课时练习）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7
10．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
第II卷（非选择题）
11．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，两个三角形全等，则∠α等于__________．
12．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM=PN，所以OP平分∠AOB，理由是______．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）角的内部到角两边距离相等的点在_______上．
14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则∠FAE＋∠AEF的度数是_________．
15．（2022春·七年级单元测试）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
17．（2022秋·北京·八年级北京市第九中学校考期中）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证：BE∥DF．
18．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期中）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）（如图）已知∆ABE≌∆ACD，求证：∠BAD=∠CAE．
20．（2022·广东广州·统考二模）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
21．（2023春·八年级课时练习）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
22．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
(1)求证：CF=AE；
(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．
23．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC上一点，AB=BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE．
(1)若∠C=50°，求∠CAE的度数；
(2)求证：DE=AD．
24．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD，CD=AD，BD平分∠ABC交AC于点P．CE平分∠ACB，交BD于点O，交AB于点E．
（1）试说明：AC平分∠BAD；
（2）在BC上截取BF=BE，若∠BOC=120°，则线段BE、BC、CP有何数量关系？请说明理由．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，BC=4cm,AE∥BC,AE=4cm，点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度连续做往返运动，点M从点A出发沿线段AE以1cm/s的速度运动至点E．M、N两点同时出发，连结MN,MN与AC交于点D，当点M到达点E时，M、N两点同时停止运动，设点M的运动时间为t(s)．
(1)当t=3时，线段AM的长度=___________cm，线段BN的长度=___________cm．
(2)当BN=AM时，求t的值．
(3)连接AN，当△ABN的面积等于△ABC面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．
(4)当△ADM≌△CDN时，直接写出所有满足条件的t值．
专题05 全等三角形单元过关（基础版）
考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023秋·全国·八年级期末）全等三角形是（ ）
A．面积相等的三角形B．角相等的三角形
C．周长相等的三角形D．完全重合的三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义即可求解．
【详解】解：全等三角形是指能够完全重合的三角形．
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟知全等三角形的定义是解题的关键．
2．（2018秋·四川·八年级统考期末）如图，点B在AE上，且∠1=∠2，若要使ΔABC≌ΔABD，可补充的条件不能是（ ）
A．∠C=∠DB．AE平分∠CADC．BC=BDD．AC=AD
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法即可依次判断．
【详解】A、∵∠1=∠2，∠C=∠D,
∴∠CAB＝∠DAB，
又AB=AB，
根据AAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；
B、AE平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
又AB=AB，∠1=∠2
根据AAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；
C、∵∠1＝∠2，1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ABD＝180°，
∴∠ABC＝∠ABD，
又BC=BD、AB=AB，
根据SAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；
D、根据AC=AD和AB=AB，∠ABC＝∠ABD不能推出ΔABC≌ΔABD，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，∠B=∠E，
∴AC=AF， EF=BC，∠BAC=∠EAF，∠EFA=∠ACF，故①④错误；故②正确；
∴∠BAC−∠BAF=∠EAF−∠BAF，
∴∠EAB=∠FAC，故③错误；
∴正确的个数是1个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
4．（2022秋·天津和平·八年级统考期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．a12MN
【答案】D
【分析】由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案.
【详解】解：由角平分线的作图可得：a>12MN，
故选D
【点睛】本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键.
5．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．
【详解】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AC的距离即为BD长是解决问题的关键．
6．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出∠AOB的平分线OCB．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
C．画线段AB=3cmD．用三角尺过点P作AB的垂线
【答案】B
【分析】根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图
【详解】根据尺规作图的定义，指用没有刻度的直尺和圆规作图，
A用量角器画出∠AOB的平分线OC，借助了量角器，不符合题意
B借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α,符合题意；
C画线段AB=3cm，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意；
D. 用三角尺过点P作AB的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．
7．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（ ）
A．6B．10C．12D．24
【答案】C
【分析】由角平分线的性质可得CD=ED，即可得AC=BC=BE结合三角形的周长即可得△ADE的周长=AC+AE=AB，进而可求解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED，
∴BC=BE，
∵AC=BC，
∴AC=BE，
∵△ADE的周长等于10，
∴AB=△ADE的周长为AD+ED+AE=AC+AE=BE+AE=10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形，求得“△ADE的周长=AB”是解题的关键．
8．（2022秋·海南三亚·八年级校考期末）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定方法，观察已知三角形与选项中的三角形的边角是否满足SSS或SAS或ASA或AAS即可判断．
【详解】解：A、已知的三角形中的两边是两边及两边的夹角，而选项中是两边及一边的对角，故两个三角形不全等，不符合题意；
B、已知图形中b是50°角的对边，而选项中是邻边，故两个三角形不全等，不符合题意；
C、已知图形中40°角与58°角的夹边是c，而选项中是a，故两个三角形不全等，不符合题意；
D、已知图形中，∠C=180°−∠A−∠B=62°，则依据SAS即可证得两个三角形全等，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（2022秋·八年级课时练习）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7
【答案】D
【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解．
【详解】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
AD=CD∠ADE=∠CDBDE=BD，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
10．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
第II卷（非选择题）
11．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，两个三角形全等，则∠α等于__________．
【答案】58°．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠α=58°．
【详解】解：如图所示：∵两个三角形全等，
∴∠α=58°，
故答案为：58°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
12．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM=PN，所以OP平分∠AOB，理由是______．
【答案】角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上
【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．
【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN
∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．
【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．
13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）角的内部到角两边距离相等的点在_______上．
【答案】角的平分线
【分析】根据角平分线性质的逆定理解答即可．
【详解】∵角平分线性质的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
∴答案为角的平分线
故答案为角的平分线．
【点睛】本题考查了角平分线性质的逆定理，熟练记忆定理是本题的关键．
14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则∠FAE＋∠AEF的度数是_________．
【答案】120°
【分析】∠FAE+∠AEF可转化为∠FAE+∠EBC+∠C，由∠EBC=∠BAD，所以又可转化为∠FAE+∠BAD+∠C，进而可求解．
【详解】在等边△ABC中,∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
则∠FAE+∠AEF
=∠FAE+∠EBC+∠C
=∠FAE+∠BAD+∠C
=60°+60°
=120°.
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定(SAS)和性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定(SAS)和性质.
15．（2022春·七年级单元测试）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
【答案】135
【分析】如图，利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS，
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【答案】2或6/6或2
【分析】设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出CP=CQ，列出关于t的方程，求解即可．
【详解】解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，
∴斜边CP=CQ，
分两种情况：
①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，
图1
∵AP=t，BQ=2t，
∴CP=AC−AP=8−t，CQ=BC−BQ=10−2t，
∵CP=CQ，
∴8−t=10−2t，
∴t=2；
②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，
图2
∵CP=AC−AP=8−t，CQ=2t−10，
∴8−t=2t−10，
∴t=6；
综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．
17．（2022秋·北京·八年级北京市第九中学校考期中）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证：BE∥DF．
【答案】见解析
【分析】求出AB=CD，证△ABE≌△CDF，推出∠ABE =∠D即可．
【详解】证明：∵AC=BD，
∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD．
在△ABE与△CDF中，
AE=CFAB=CDBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE =∠D，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
18．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期中）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．
【答案】见解析
【分析】利用AAS证明△ACE≌△ABF，即可解决问题．
【详解】证明：∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE＝BF，
∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF﹣∠EAF＝∠BAE﹣∠EAF，
∴∠CAE＝∠BAF，
在△ACE和△ABF中．
∠C=∠B∠CAE=∠BAFCE=BF，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACE≌△ABF．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）（如图）已知∆ABE≌∆ACD，求证：∠BAD=∠CAE．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的对应角相等证明．
【详解】解：证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
20．（2022·广东广州·统考二模）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
【答案】见解析
【分析】直接利用SAS判定△ADC≌△BEC全等即可．
【详解】∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中，
AC＝CB∠A=∠BAD＝BE，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴DC＝EC．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握SAS定理．
21．（2023春·八年级课时练习）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
【答案】见详解
【分析】过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，然后易得PE=PD=PF，进而根据角平分线的判定定理可求证．
【详解】证明：过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，如图所示：
∵AP平分∠MAC，
∴PE=PD，
同理可证：PE=PF，
∴PD=PE=PF，
∴BP平分∠MBN．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定定理，熟练掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
22．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
(1)求证：CF=AE；
(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）由角平分线的性质可得DE=DC，证明Rt△AED≌Rt△FCDHL，进而结论得证；
（2）证明△BED≌△BCDAAS，可得BE=BC，根据AB=BE+AE计算求解即可．
【详解】（1）证明：（1）∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△AED和Rt△FCD中，
∵AD=DFDE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△FCDHL，
∴CF=AE．
（2）解：由（1）可得CF=AE=3，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
∵∠DEB=∠C∠EBD=∠CBDBD=BD，
∴△BED≌△BCDAAS，
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10，
∴AB的长为10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．
23．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC上一点，AB=BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE．
(1)若∠C=50°，求∠CAE的度数；
(2)求证：DE=AD．
【答案】(1)20°
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）证明△ABD≌△EBD(SAS)，即可解决问题．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC=40°，
∵AB=BE，BD是∠ABC的角平分线，
∴BD⊥AE，∠ABD=∠CBD= 12∠ ABE=20°，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADB=90°−20°=70°，
∴∠CAE=90°−70°=20°；
（2）证明：在△ABD和△EBD中，
AB=EB∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
24．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD，CD=AD，BD平分∠ABC交AC于点P．CE平分∠ACB，交BD于点O，交AB于点E．
（1）试说明：AC平分∠BAD；
（2）在BC上截取BF=BE，若∠BOC=120°，则线段BE、BC、CP有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BC=BE+CP，见解析．
【分析】（1）由CD=AD得到∠DAC=∠DCA，再根据平行线的性质得到∠BAC=∠DCA，从而得到∠BAC=∠DAC；
（2）先证明△BOE≅△BOF得到∠BOE=∠BOF，再证明∠POC=∠FOC=60°，接着证明△POC≅△FOC得到CP=CF，从而得到BC=BF+CF=BE+CP．
【详解】解：（1）∵ CD=AD，
∴ ∠DAC=∠DCA，
∵ AB//CD，
∴ ∠BAC=∠DCA，
∴ ∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD，
故答案为：AC平分∠BAD；
（2）BC=BE+CP．
理由如下：
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠CBP，
在△BOE和△BOF中，
BE=BF∠EBO=∠FBOBO=BO，
∴ △BOE≅△BOF SAS，
∴ ∠BOE=∠BOF，
∵ ∠BOC=120°，
∴ ∠BOE=∠POC=60°，
∴ ∠BOF=60°，
∴ ∠FOC=60°，
∴ ∠POC=∠FOC，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ECA=∠ECB，
在△POC和△FOC中，
∠POC=∠FOCOC=OC∠OCP=∠OCF，
∴ △POC≅△FOC ASA，
∴ CP=CF，
∴ BC=BF+CF=BE+CP，
故答案为：BC=BE+CP．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，选择恰当的判定条件是解题的关键．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，BC=4cm,AE∥BC,AE=4cm，点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度连续做往返运动，点M从点A出发沿线段AE以1cm/s的速度运动至点E．M、N两点同时出发，连结MN,MN与AC交于点D，当点M到达点E时，M、N两点同时停止运动，设点M的运动时间为t(s)．
(1)当t=3时，线段AM的长度=___________cm，线段BN的长度=___________cm．
(2)当BN=AM时，求t的值．
(3)连接AN，当△ABN的面积等于△ABC面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．
(4)当△ADM≌△CDN时，直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)3，2
(2)t的值为43或4
(3)t=1或3
(4)83
【分析】（1）根据点M、N的运动速度和运动方向计算；
（2）分0≤t≤2、2＜t≤4两种情况，根据题意列式计算即可；
（3）根据三角形面积公式列方程，解方程得到答案；
（4）分0＜t≤2、2＜t≤4两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解】（1）解：当t=3时，
线段AM=3×1=3cm，
点N的运动路程为3×2=6cm>4cm，
∴BN=6−4=2cm，
故答案为：3，2；
（2）由题意得，AM=t
当0