人教版八年级数学上册重难考点微专题01全等三角形的九大模型通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题01全等三角形的九大模型通关专练特训(原卷版+解析)，共66页。试卷主要包含了平移模型，对称模型，不共点旋转模型，多垂直模型，手拉手模型，倍长中线模型，截长补短模型，平行线+中线模型等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）
已知：______，______．
求证：△ABC≌△DEF．
3．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE＝CF，
乙：添加AC∥DF，
丙：添加∠A＝∠D．
(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；
(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
4．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
二、对称模型
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A=∠D=90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．
6．（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
7．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知：如图，AC、BD交于点O，AB=CD，请你再添加一个条件（不再添加其他辅助线，不再标注或使用其他字母），使OB=OC，并给出证明．
8．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC．现给出下列条件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
三、不共点旋转模型
9．（2021秋·河南许昌·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，请你在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A=∠D，你选的条件的序号是________．
证明：
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC和△DEF中，点C、E、B、F在同一条直线上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求证：△ABC≌△DEF．
11．（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，从①AF∥DE，②AF=DE中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)
12．（2022秋·八年级单元测试）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，∠A=∠E．请你添加一个条件，证明：AC=EF．
(1)你添加的条件是_____________；
(2)请你写出证明过程．
四、多垂直模型（含一线三等角）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．
(1)求证：△ABC≌△EBD；
(2)求证：AF⊥DE
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
16．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
五、手拉手模型
17．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．
(1)求证：△FAC≌△BAE；
(2)图中△BAE可以通过一次变换得到△FAC，请你说出变换过程．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度数．
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．
(1)求证：AP=BD；
(2)求证：EC平分∠BEP；
(3)设AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
20．（2020秋·辽宁抚顺·九年级校考期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
六、倍长中线模型
21．（2023春·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：
如图①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是__________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．SSA
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
(3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求线段BF的长．
【拓展提升】
(4)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于点E，F．求证：BE+CF>EF．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF∥AD交CA延长线于P，交AB于F，求证：
(1)△APF是等腰三角形；
(2)BF=CP
(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．
24．（2022春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．
七、截长补短模型
25．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
26．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，ED＝EC，求证：AE＋AC＝CD．
27．（2022秋·重庆江北·八年级统考期末）在等边ΔABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，点D为ΔABC外一点，且∠MDN=60∘，∠BDC=120∘，BD=CD
(1)如图1，点M、N在边AB、AC上，∠BDN=90∘，BM=3，求CN的长；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，∠BDN≠90∘．试猜想BM，CN，MN之间的数量关系，并加以证明；
28．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．
八、平行线+中线模型
29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
30．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
31．（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
32．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
九、角平分线+垂直模型
33．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.

34．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
微专题01 全等三角形的九大模型通关专练
一、平移模型
1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
【答案】添加条件AB=ED，证明见解析（答案不唯一）
【分析】根据题意可得∠B=∠D，∠BAC=∠DEF=90°，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．
【详解】解：添加条件AB=ED，证明如下：
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∠B=∠DAB=ED∠BAC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EDFASA．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）
已知：______，______．
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】①，④或②，③或②，④；证明见解析
【分析】根据题意选取2个条件，根据全等三角形的判定，即可求解．
【详解】已知：①④
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．
∴△ABC≌△DEF．
已知∶ ②③
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
∠ACB＝∠F，∠A＝∠D，BC＝EF．
∴△ABC≌△DEF．
已知∶②④
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF．
∴△ABC≌△DEF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE＝CF，
乙：添加AC∥DF，
丙：添加∠A＝∠D．
(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；
(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
【答案】(1)甲、丙
(2)选甲的做法，证明见解析
【分析】（1）通过（2），即可得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法：SSS、SAS，对甲、丙两个同学的说法分别进行分析，即可得出结论．
【详解】（1）解：说法正确的是：甲、丙，
（2）选甲的做法，
证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
选丙的做法，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)见解析
【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
AC=DFAB=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
二、对称模型
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A=∠D=90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】根据题意可知BC=BC，∠A=∠D=90°，再利用AAS定理判定△ABC≌△DBC即可．
【详解】解：添加的条件：∠ABC=∠DBC，证明如下：
在△ABC和△DBC中，∠A=∠D∠ABC=∠DBCBC=BC，
∴△ABC≌△DBCAAS．
（答案不唯一）
若是AB=DB（或AC=DC），则判定△ABC≌△DBC的理由是HL，
若是∠ACB=∠DCB，则判定△ABC≌△DBC的理由是AAS．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
【答案】△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，证明见解析
【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理SSS证得△ABD≌△ACD；根据SAS证得△ABE≌△ACE；根据SSS证得△BDE≌△CDE．
【详解】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS；
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，
∴△ABE≌△ACESAS；
∴BE=CE，
∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，
∴△BDE≌△CDESSS．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
7．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知：如图，AC、BD交于点O，AB=CD，请你再添加一个条件（不再添加其他辅助线，不再标注或使用其他字母），使OB=OC，并给出证明．
【答案】AC=DB或∠ABC=∠DCB或∠A=∠D或∠ABO=∠DCO
【分析】要证明OB=OC，根据等腰三角形的中等角对等边，也可以根据三角形全等，对应边相等即可A．
【详解】证明：方法一∵AB=CD，BC=CB，若AC=DB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△BCO中，OB=OC；
方法二：∵AB=CD，BC=CB，若∠ABC=∠DCB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△BCO中，OB=OC；
方法三：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠A=∠D，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OB=OC；
方法四：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠ABO=∠DCO，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OB=OC
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC．现给出下列条件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
【答案】见解析
【分析】添加∠B=∠C，由AAS证明△ABE≌△ACD即可．
【详解】解：添加∠B=∠C，使得△ABE≌△ACD，
证明：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠C∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、不共点旋转模型
9．（2021秋·河南许昌·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，请你在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A=∠D，你选的条件的序号是________．
证明：
【答案】②，证明见解析
【分析】由全等三角形的判定方法即可得出△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠D．
【详解】解：选②∠ACB=∠DFE（答案不唯一）
证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSAS；
∴∠A=∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC和△DEF中，点C、E、B、F在同一条直线上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵BF=CE，
∴BF+BE=CE+BE，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSSS．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．
11．（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，从①AF∥DE，②AF=DE中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)
【答案】①，②；过程见解析
【分析】根据AB∥CD可知∠B=∠C，结合AB=CD，再添加AF=DE， 不能证明三角形全等，所以添加条件①，证明∠CED=∠AFB，利用AAS证明△ABF≌△DCE，可得出结论②，即可求解．
【详解】解：你选的补充条件是①，结论是②，理由如下，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵AF∥DE，
∴∠CED=∠AFB，
在△ABF与△DCE中，
∠B=∠C∠AFB=∠CEDAB=CD，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE．
故答案为：①，②．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2022秋·八年级单元测试）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，∠A=∠E．请你添加一个条件，证明：AC=EF．
(1)你添加的条件是_____________；
(2)请你写出证明过程．
【答案】(1)∠C=∠F（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）可以添加∠C=∠F，即可；
（2）根据AD=EB，可得AB=ED，再利用角角边证得△ABC≅△EDF，即可求证．
（1）
解∶添加的条件是∠C=∠F
故答案为：∠C=∠F（答案不唯一）；
（2）
证明：∵AD=EB
∴AD−BD=EB−BD，
即AB=ED．
在△ABC与△EDF中
∠C=∠F∠A=∠EAB=ED
∴△ABC≌△EDFAAS
∴AC=EF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
四、多垂直模型（含一线三等角）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)DE=BD−CE，证明见解析；
(2)DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
【分析】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CABAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE−AD，
∴DE=BD−CE．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
如图1时，DE=BD+CE，
如图2时，DE=BD−CE，
如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．
(1)求证：△ABC≌△EBD；
(2)求证：AF⊥DE
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠ABE=90°，
∴∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
AB=BE∠ABE=∠DBEBC=BD，
∴△ABC≌△EBDSAS
（2）证明：∵△ABC≌△EBD，
∴∠BAC=∠BED，
∵∠BED+∠D=90°，
∴∠BAC+∠D=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AF⊥DE．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．
【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝12BC•DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6•AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F∠ACE=∠CBFAC=CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S△BCD＝12CD•BF＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
五、手拉手模型
17．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．
(1)求证：△FAC≌△BAE；
(2)图中△BAE可以通过一次变换得到△FAC，请你说出变换过程．
【答案】(1)见解析
(2)△FAC和△BAE可以通过旋转而相互得到，△BAE以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC
【分析】（1）通过正方形的性质得到等角和等边，然后判断全等即可；
（2）根据旋转的定义直接解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ACDE和四边形ABGF是正方形，
∴AF=AB，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠FAC=∠BAE，
在△FAC和△BAE中，
AF=AB∠FAC=∠BAEAC=AE，
∴△FAC≌△BAESAS；
（2）解：△FAC和△BAE可以通过旋转而相互得到，△BAE以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC．
【点睛】此题考查正方形的性质和全等三角形、旋转性质，解题关键是找准全等三角形判定条件来证明全等．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△AEB≌△ADC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由△AEB≌△ADC，得到∠AEB=∠ADC=110°，再利用∠BED=∠AEB−∠AED即可得解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△AEB≌△ADCSAS．
（2）解：如图，

∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=110°．
∴∠BED=∠AEB−∠AED=50°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．
(1)求证：AP=BD；
(2)求证：EC平分∠BEP；
(3)设AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)a−3b=2c
【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，即∠BCD=∠ACP，再证△BCD≌△ACP，即可证得AP=BD；
（2）过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，由△BCD≌△ACP，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，CM=CN，再由角平分线的判定可得，EC平分∠BEP；
（3）过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，在EB上截取一点F，使得AE=EF，在EP上截取一点G，使得ED=EG，连接AF，DG，先证△BAF≌△CAE，推导得BE=BF+EF=CE+AE=c+a，同法可证，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，最后根据三角形面积关系，得出BE=3PE，则可得到答案．
【详解】（1）证明：∵等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，
∴∠ACB=∠DCP=60°，∠BCP=180°，
∴∠ACD=180°−∠DCP−∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，
∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，
∴∠BCD=∠ACP，
∵等边△ABC，等边△DCP，
∴BC=AC，DC=PC，
在△BCD与△ACP中，
∵BC=AC∠BCD=∠ACPCD=CP，
∴△BCD≌△ACPSAS，
∴AP=BD．
（2）证明：如图1，过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，
∵（1）中已证△BCD≌△ACP，
又∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴EC平分∠BEP．
（3）a−3b=2c，理由如下：
如图2，过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，在EB上截取一点F，使得AE=EF，在EP上截取一点G，使得ED=EG，连接AF，DG，
∵△BCD≌△ACP，
∴∠BDC=∠APC，
∵∠DBC+∠BDC=∠DCP，
又∵等边△DCP，
∴∠DCP=60°，
∴∠DBC+∠BDC=60°，
∵∠BDC=∠APC，
∴∠DBC+∠APC=60°，
即∠AEB=60°，
∵AE=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠FAE=60°，AF=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，BA=CA，
∴∠BAC−∠FAC=∠FAE−∠FAC，
即∠BAF=∠CAE，
在△BAF与△CAE中，
∵BA=CA∠BAF=∠CAEAF=AE，
∴△BAF≌△CAESAS，
∴BF=CE．
∵AE=EF=a，CE=c，
∴BE=BF+EF=CE+AE=c+a，
同法可证，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，
∵BP=4CP，
∴BC=3CP．
∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴S△BECS△ECP=12×BE×CM12×PE×CN=BCCP=3，
∵（2）中已证CM=CN，
∴BEPE=3，
∴c+a=3b+c，
即a−3b=2c．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大．
20．（2020秋·辽宁抚顺·九年级校考期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；
(2)成立，理由见详解．
【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；
（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．
(1)
解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
(2)
解：（1）中结论仍成立，理由如下：
由题意可得如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
六、倍长中线模型
21．（2023春·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：
如图①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是__________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．SSA
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
(3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求线段BF的长．
【拓展提升】
(4)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于点E，F．求证：BE+CF>EF．
【答案】(1)B
(2)2(3)8
(4)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△EDB；
（2）利用三角形的三边关系进行求解即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDBSAS，推出△BFM为等腰三角形，得到BM=BF=AC，即可得解；
（4）延长ED到点G，使DG=ED，连接GF,GC，易得EF=FG，证明△DBE≌△DCGSAS，得到BE=CG，在△CGF中，CG+CF>GF，即可得出结论．
【详解】（1）解：在△ADC和△EDB中
CD=BD∠CDA=∠BDEAD=DE，
∴△ADC≌△EDBSAS，
故选：B；
（2）由（1）得：△ADC≌△EDB，
∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE∴2故答案是：2（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图所示：
∵AE=EF，EF=5，
∴AC=AE+EC=5+3=8，
∵AD是△ABC中线，
∴CD=BD，
在△ADC和△MDB中，
DC=DB∠ADC=∠MDBDA=DM，
∴△ADC≌△MDBSAS，
∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠BFD=∠CAD=∠M，
∴BF=BM=AC=8；
（4）解： 延长ED到点G，使DG=ED，连接GF,GC，如图所示：
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=∠GDF=90°，
∵FD=FD，
∴△FDE≌△FDGSAS，
∴EF=GF，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
ED=GD∠BDE=∠GDCBD=CD，
∴△DBE≌△DCGSAS，
∴BE=CG，
在△CGF中，CG+CF>GF，
∴BE+CF>EF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据OA=OB，OC=OD，∠AOC+∠BOD=180°即可证明；
（2）延长OP至E，使PE=OP，先证△BPE≌△DPO，推出BE=OD，∠E=∠DOP，进而推出BE∥OD，再证△EBO≌△COA，即可推出OE=AC，由此可证AC=2OP．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°−∠AOB−∠COD=360°−90°−90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形．
（2）证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴ BP=PD，
∵在△BPE和△DPO中，
PE=PO∠BPE=∠DPOBP=DP，
∴ △BPE≌△DPOSAS，
∴ BE=OD，∠E=∠DOP，
∴ BE∥OD，
∴ ∠EBO+∠BOD=180°，
又∵ ∠BOD+∠AOC=180°，
∴ ∠EBO=∠AOC，
∵ BE=OD，OD=OC，
∴ BE=OC，
在△EBO和△COA中，
OB=AO∠EBO=∠AOCBE=OC
∴ △EBO≌△COASAS，
∴ OE=AC，
又∵ OE=2OP，
∴ AC=2OP．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF∥AD交CA延长线于P，交AB于F，求证：
(1)△APF是等腰三角形；
(2)BF=CP
(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)PA=2
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据平行线的性质可得∠2=∠P,∠1=∠3，等量代换可得∠3=∠P，根据等腰三角形的判定定理即可得证；
（2）延长FE至Q，使得EQ=EF，连接CQ，证明△EBF≌△ECQ，得出∠BFE=∠Q，CQ=BF，根据∠BFE=∠3，∠3=∠P，得出∠Q=∠P，则CQ=CP，即可得出CP=BF；
（3）根据AP=AF，BF=CP，得出AB=AC+2AP，代入数据即可求解．
（1）
解：如图，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2
∵EF∥AD
∴∠2=∠P,∠1=∠3
∴∠3=∠P，
∴AF=AP
∴△APF是等腰三角形；
（2）
证明：如图，延长FE至Q，使得EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
又∠FEB=∠QEC，
∴△EBF≌△ECQ
∴∠BFE=∠Q，CQ=BF
又∵∠BFE=∠3，∠3=∠P
∴∠Q=∠P
∴CQ=CP，
∴CP=BF；
（3）
∵△APF是等腰三角形
∴AP=AF，
又BF=CP，
∴AB=BF+AF=PC+AP=AC+AP+AP=AC+2AP，
即AB=AC+2AP，
∵AB=12，AC=8，
∴12=8+2AP，
∴PA=2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2022春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．
【答案】见解析
【分析】先通过延长CD到F使DF=CD，连接AF，构造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性质可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代换和等角对等边就可推出AE=BC．
【详解】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BCD中，
AD=BD∠ADF=∠BDCDF=DC，
∴△ADF≌△BDC（SAS），
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
又∵∠AED=∠B
∴∠AED=∠BCD，
∵△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠AED=∠F ，
∴AE=AF，
∵BC=AF，
∴AE=BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点．
七、截长补短模型
25．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
【答案】(1)120°
(2)10
【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据∠AFC=180−∠FAC−∠FCA=180−12=120°，即可解决问题；
（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≅△AGF(SAS)，推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≅△CEF(ASA)，推出CG=CE=4，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AE、CD分别为ΔABC的角平分线，
∴∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠BCA，
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠AFC=180−∠FAC−∠FCA=180°−12×120°=120°；
（2）解：在AC上截取AG=AD=6，连接FG．
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°，
在△ADF和△AGF中，
AD=AG∠DAF=GAFAF=AF，
∴△ADF≅△AGF(SAS)，
∴∠AFD=∠AFG=60°，
∴∠GFC=∠CFE=60°，
在△CGF和△CEF中，
∠GFC=∠EFCCF=CF∠GCF=∠ECF，
∴△CGF≅△CEF(ASA)，
∴CG=CE=4，
∴AC=AG+GC=10．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
26．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，ED＝EC，求证：AE＋AC＝CD．
【答案】见解析
【分析】过点E作EF//BC，交AC于F，先利用AAS证明△EBD≌△CFE，由此可得BD=EF，而易得△ABC与△AEF都为等边三角形，故BD=EF=AE，AC=BC，代入BD+BC=CD即可得证．
【详解】证明：过点E作EF∥BC，交AC于F，如图所示：
则∠FEC＝∠ECD，△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠AFE＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD＝∠FEC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，
在△EBD和△CFE中，
∠DBE=∠EFC∠D=∠FECED=EC，
∴△EBD≌△CFE（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
∵CD＝BD+BC，
∴CD＝AE+AC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质与定理，并找到正确的辅助线作法是解题的关键．
27．（2022秋·重庆江北·八年级统考期末）在等边ΔABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，点D为ΔABC外一点，且∠MDN=60∘，∠BDC=120∘，BD=CD
(1)如图1，点M、N在边AB、AC上，∠BDN=90∘，BM=3，求CN的长；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，∠BDN≠90∘．试猜想BM，CN，MN之间的数量关系，并加以证明；
【答案】(1)3
(2)CN+BM=MN，证明见解析
【分析】（1）由题目所给条件，可证得ΔMBD≅ΔNCD(ASA)，则BM=CN=3．
（2）延长AB至点P，使得BP=CN，连接PD，则可证得ΔPBD≅ΔNCD(SAS)，由全等三角形性质得DP=DN，∠BDP=∠CDN，可推导得∠MDP=∠MDN，可证得MP=MN，即CN+BM=MN．
（1）
由题意知∠BDN=90∘，∠MDN=60∘，∠BDC=120∘
故∠BMD=∠BDN−∠MDN=90∘−60°=30°
∠CDN=∠BDC−∠BDN=120∘−90°=30°
∴∠BMD=∠CDN
由∵BD=CD
∴∠CBD=∠DCB
又∵ΔABC为等边三角形
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠DCB
即∠ABD=∠ACD
在ΔMBD和ΔNCD中
{∠ABD=∠ACDBD=CD∠BMD=∠CDN
∴ΔMBD≅ΔNCD(ASA)
∴BM=CN=3
（2）
如图所示，延长AB至点P，使得BP=CN，连接PD
在ΔPBD和ΔNCD中
{BD=CD∠DBP=∠DCNBP=CN
∴ΔPBD≅ΔNCD(SAS)
∴DP=DN，∠BDP=∠CDN
∵∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDP=60°
即∠MDP=60°
∴∠MDP=∠MDN
在ΔPMD和ΔNMD中
{MD=MD∠MDP=∠MDNPD=ND
∴ΔPMD≅ΔNMD(SAS)
∴MP=MN
∴CN+BM=MN
【点睛】本题考查了全等三角形的判断及性质，全等三角形的判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．“截长法”和“补短法”是证明线段和差关系的重要方法.无论用哪一种方法都是要将证明线段的和差关系问题转化为证明线段相等的问题，而添加辅助线，构造全等三角形是通向结论的桥梁．
28．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．
【答案】见解析.
【分析】设AB、CD交于点O，在CM上截取CE=BD，连接AE、AD，先由三角形内角和定理证明∠ABD=∠ACD，再证明△ABD≌△ACE得出AD=AE，由等腰三角形的性质得出DM=EM，即可得出结论．
【详解】证明：如图，设AB、CD交于点O，在CM上截取CE=BD，连接AE、AD，
∵∠BDC=∠BAC，∠BOD=∠AOC，
∴∠ABD=∠ACD；
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABD＝∠ACEBD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
∵AM⊥CD，
∴DM=EM，
∴BD+DM=CE+EM=CM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识,利用截长补短法作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
八、平行线+中线模型
29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【答案】见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE，
∵BD=CE，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴∆EMD≅∆CME，
∴MD=ME．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
30．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE=12AC，即可得出结果．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCDPF=QC，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCDPF=QC，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=12AC．
∵AC=6，∴DE=3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
31．（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
【答案】(1)详见解析
(2)ED＝2
【分析】（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
又∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，∠DPF=∠Q∠PDF=∠QDCPF=CQ，
∴△DPF≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；
（2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC，
可得AE＝EF，
由（1）知，△DPF≌△DQC
∴FD＝CD，
∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD，
∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，
∵AC＝BC＝4，
∴2ED＝4，
∴ED＝2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
32．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析
【分析】如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,
【详解】如图(1)延长DE到F使得EF=DE
在△DCE和△FBE中,
{EF=DE∠DEC=∠FEBBE=EC
∴△DCE≌△ FBE（SAS)
∴∠CDE=∠F,BF=DC
∵∠BAE=∠CDE
∴BF=AB
∴AB= CD
如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F
在△ABE和△FCE中
{∠B=∠ECFBE=EC∠BAE=∠F
∴△ABE≌△ FCE(AAS),
∴AB=FC
∵∠BAE=∠CDE
∴∠F=∠CDE
∴CD=CF
∴AB=CD
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明
九、角平分线+垂直模型
33．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.

【答案】见解析.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长BD交CA的延长线于F，
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠BAC=90° , ∠ACE+∠AEC=90°
∵∠BDC=90°
∴∠BDC=∠FDC=90°
∴∠ABF+∠BED=90°
∵∠AEC=∠BED
∴∠ACE=∠ABF
∵AB=AC
∴ΔACE≌ΔABF(ASA)
∴CE=BF
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵CD=CD
∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)
∴BD=FD=12BF
∴BD=12CE
∴CE=2BD
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．
34．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝12AD，见解析；（2）△BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝12AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝12AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝12BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝12AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝12∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．