人教版八年级数学上册重难考点微专题04等腰直角三角形常见模型通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题04等腰直角三角形常见模型通关专练特训(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·山东济南·九年级专题练习）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠DCF的度数为（ ）
A．20°B．15°C．30°D．45°
2．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①ΔDEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F．若BE=5，EF=2，则CF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2−2ba+c=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
5．（2023秋·安徽·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点F是AB边的中点，点D，E分别在AC，BC上运动，且∠DFE=90°，连接DE，CF，在此运动变化过程中，下列结论：①图形全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③△DFE是等腰直角三角形．其中错误的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2023·重庆巴南·统考模拟预测）如图，a//b，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=12°，则∠2等于（ ）
A．24°B．30°C．33°D．35°
7．（2023秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，△ADE绕顶点A旋转，连接BD,CE．以下三个结论：①BD=CE；②∠AEC+∠DBC=45°；③BD⊥CE；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
8．（2023秋·广西桂林·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），以下五个结论正确的个数是（ ）
①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF=12SΔABC．
A．2B．3C．4D．5
9．（2017秋·八年级单元测试）如图，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为( )
A．13B．12C．7D．5
10．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为（ ）

A．25B．10C．252D．52
二、填空题
11．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，AD是等腰直角三角形ABC的底边上的中线，以AD为边向右作等边三角形ADE，则∠EAC的度数为 ．
12．（2023秋·重庆·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE=5，CF=3，则EF= ．
13．（2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）△ABC为等腰直角三角形，若A（−4，0），C（0，2），则点B的坐标为 .
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，ABC的高AD、BE交于点F，△ABD是等腰直角三角形，FB=AC，连结CF，则∠CFD= ．
15．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的周长为12，面积为4．以DC为直角边向外作等腰直角三角形DCE（∠DCE=90°），以BC为直角边向外作等腰直角三角形BCF（∠BCF=90°），连接EF，则五边形ABFED的面积为 ．

16．（2023秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在平面直角坐标系中，已知点A(−3，0)，B(1，0)，以AB为斜边画等腰直角三角形△ABC，写出满足条件的所有点C的坐标
三、解答题
17．（2023春·四川内江·九年级四川省隆昌市第二中学校考阶段练习）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：
(1)△ACE≅△BCD；
(2)AE⊥BD．
18．（2023秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，已知△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，连接BD,CE．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由．
19．（2023春·八年级课时练习）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AEB的度数；
(3)探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE．
①∠AEB的度数为 °；
②线段DM，AE，BE之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
20．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．求∠BPC的度数．
21．（2023秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD交于点F，延长BD到点A，使DA=DF，延长BF交AC于点E．
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=12BF．
22．（2023·全国·八年级专题练习）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．
(1)如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
(2)如图②，连接DE，求证：S△ABC＝S△ADE．
23．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数．
24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；
（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；
（4）求证：S△PFC－S△PBE＝12S△ABC．
25．（2023秋·湖北随州·八年级统考期中）关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题．
（1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是 ．
（2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积．
这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝ ．
（3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长．
微专题04 等腰直角三角形常见模型通关专练
一、单选题
1．（2023春·山东济南·九年级专题练习）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠DCF的度数为（ ）
A．20°B．15°C．30°D．45°
【答案】B
【分析】根据一副直角三角板可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，根据DE⊥AB可知AC//DE，进一步可知∠ACD=∠CDE=45°，即可求出∠DCF的度数．
【详解】解：在等腰ΔCDE中，∠CDE=45°，
在直角ΔABC中，∠A=90°，∠ACB=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴AC//DE，
∴∠ACD=∠CDE=45°，
∴∠DCF=60°−45°=15°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握三角板各内角的度数是解题的关键．
2．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①ΔDEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE≌△ADF，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF，判断出④错误．
【详解】解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，∠CAD=∠BAD=BD∠ADF=∠BDE，
∴△BDE≌△ADFASA，故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
又∵∠MDN是直角，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB−BE，CF=AC−AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE>EF，
∴BE+CF>EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F．若BE=5，EF=2，则CF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】A
【分析】证明△AFC≌△BEA，得到BE=AF,CF=AE，即可得解．
【详解】解： ∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠EAC=90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠EAC=90°，
∴∠ACF=∠BAE，
在△AFC和△BEA中：
∠AEB=∠CFA∠ACF=∠BAEAB=AC，
∴△AFC≌△BEAAAS，
∴AF=BE=5,AE=CF，
∴AE=AF−EF=5−3=2，
∴CF=2．
故选：A
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2−2ba+c=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a=b=c，从而得到答案．
【详解】解：∵a2+2b2+c2−2ba+c=0，
∴a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，
∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0，
∴a−b2+b−c2=0，
∵a−b2≥0，b−c2≥0，
∴a−b2=0，b−c2=0，
∴a−b=0，b−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
5．（2023秋·安徽·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点F是AB边的中点，点D，E分别在AC，BC上运动，且∠DFE=90°，连接DE，CF，在此运动变化过程中，下列结论：①图形全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③△DFE是等腰直角三角形．其中错误的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】可证△ACF≌△BCFSAS，△CEF≌△ADFASA，△CDF≌△BEFASA即可判断①；由全等三角形的性质即可判断②③；
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点F是AB边的中点，
∴AF=BF=CF，∠AFC=∠BFC=90°，∠A=∠B=45°，
∴∠ACF=∠A=∠B=∠BCF=45°，
∴△ACF≌△BCFSAS，
∵∠DFE=90°，
∴∠AFD+∠CFD=90°=∠CFE+∠CFD，
∴∠ACF=∠CFE，
又∵CF=AF，∠A=∠ECF=45°，
∴△CEF≌△ADFASA，
同理可证△CDF≌△BEF，故①错误；
∴S△CEF=S△ADF，EF=DF，
∴△DFE是等腰直角三角形，S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF=S△CDF+S△ADF=S△ACF=12S△ABC，故②③正确；
∴错误的只有1个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
6．（2023·重庆巴南·统考模拟预测）如图，a//b，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=12°，则∠2等于（ ）
A．24°B．30°C．33°D．35°
【答案】C
【分析】过点B作BD//a，由平行线的性质可得∠CBD=∠1=12°，由a//b，可得BD//b，继而可得∠2=∠ABD，然后根据三角形ABC是等腰直角三角形和角的和差关系即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BD//a，
∴∠CBD=∠1=12°，
∵a//b，
∴BD//b，
∴∠2=∠ABD，
∵∠ABD=∠ABC−∠CBD=45°−12°=33°，
∴∠2=33°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质，熟记平行线的性质和辅助线的作法是解题的关键．
7．（2023秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，△ADE绕顶点A旋转，连接BD,CE．以下三个结论：①BD=CE；②∠AEC+∠DBC=45°；③BD⊥CE；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】证明△BAD≌△CAE，由此判断①正确；由全等的性质得到∠ABD=∠ACE，求出∠ACE+∠DBC=45°，依据AE≠AC，推出∠AEC≠∠ACE，故判断②错误；设BD交CE于M，根据∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，求出∠BMC=90°，即可判断③正确．
【详解】解：∵△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∵AE≠AC，
∴∠AEC≠∠ACE，
∴∠AEC+∠DBC=45°不成立，故②错误；
设BD交CE于M，
∵∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，
∴∠BMC=90°，
∴BD⊥CE，故③正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理及性质定理是解题的关键．
8．（2023秋·广西桂林·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），以下五个结论正确的个数是（ ）
①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF=12SΔABC．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】证明△AEP≌△CFP（ASA）即可判断①②③；EF不一定是中位线，所以EF≠AP；由S△APE=S△PFC，推出S四边形AFPE=S△APC，即可判断⑤；
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，∠BAP=∠C=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPA+∠APF=90°，∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF；故①②正确；
由△AEP≌△CFP（ASA），
∴EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=12BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP；故④错误；
∵△AEP≌△CFP，
∴S△APE=S△PFC，
∴S四边形AFPE=S△APC，
∵P是BC中点，
∴S△APC=12S△ABC，
∴S四边形AFPE=12S△ABC，故⑤正确；
综上，①②③⑤正确，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解决问题的关键．
9．（2017秋·八年级单元测试）如图，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为( )
A．13B．12C．7D．5
【答案】A
【详解】试题分析：根据已知条件可得：BC=BE=5，则AB=DB=17－5=12，根据三角形三边关系可得：12－5＜AC＜12+5
即7＜AC＜17，根据直角三角形的性质可得：AC＞AB=12，即12＜AC＜17.
考点：(1)、三角形三边关系；(2)、等腰三角形的性质
10．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为（ ）

A．25B．10C．252D．52
【答案】C
【分析】由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=52=25，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出S1+S2=12BC2+12AC2进行计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，
∴BC2+AC2=AB2=52=25，
∵△BEC和△ADC是等腰直角三角形，
∴BE=BC，AD=AC，
∴S1+S2=12BC2+12AC2=12AC2+BC2=252，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，AD是等腰直角三角形ABC的底边上的中线，以AD为边向右作等边三角形ADE，则∠EAC的度数为 ．
【答案】15°/15度
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=45°，再由等边三角形的性质可得∠DAE=60°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∵AD是△ABC的底边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠CAD=45°，
∵以AD为边向右作等边三角形ADE，
∴∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAE−∠CAD=15°．
故答案为：15°
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
12．（2023秋·重庆·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE=5，CF=3，则EF= ．
【答案】2
【分析】证明△AFC≌△BEA，得到BE=AF,CF=AE，即可得解．
【详解】解： ∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠EAC=90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠EAC=90°，
∴∠ACF=∠BAE，
在△AFC和△BEA中：
∠AEB=∠CFA∠ACF=∠BAEAB=AC，
∴△AFC≌△BEA（AAS），
∴AF=BE=5,AE=CF=3，
∴EF=AF−AE=5−3=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
13．（2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）△ABC为等腰直角三角形，若A（−4，0），C（0，2），则点B的坐标为 .
【答案】（2，−2）
【分析】过点B作BT⊥y轴于点T．证明△AOC≅ △CTB，可得结论．
【详解】解：如图中，过点B作BT⊥y轴于点T．
∵A（−4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵∠AOC=∠ACB=∠CTB=90°，
∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∠CBT=90°，
∴∠ACO=∠CBT，
在△AOC和△CTB中，∠AOC=∠CTB∠ACO=∠CBTAC=CB，
∴△AOC≅ △CTB（AAS），
∴AO=CT=4，BT=CO=2，
∴OT=CT−CO=2，
∴B（2，−2），
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，ABC的高AD、BE交于点F，△ABD是等腰直角三角形，FB=AC，连结CF，则∠CFD= ．
【答案】45°
【分析】根据已知得出AD=BD，再利用HL判定△ACD≌△BFD，进而可得CD＝FD，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵AD、BE 是△ABC的高，
∴AD⊥BC，BE⊥AC,
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∵△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
BF=ACAD=BD
∴Rt△ACD≌Rt△BFD，
∴CD＝FD，
又∵∠CDF＝90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴∠CFD＝45°
故答案为45°
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质证得CD＝FD．
15．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的周长为12，面积为4．以DC为直角边向外作等腰直角三角形DCE（∠DCE=90°），以BC为直角边向外作等腰直角三角形BCF（∠BCF=90°），连接EF，则五边形ABFED的面积为 ．

【答案】20
【分析】根据长方形的周长和面积得出CD+BC=6，CD×BC=4，再结合等腰直角三角形，表示出五边形ABFED的面积为SABCD+S△CDE+S△BCF+S△CEF =4+12×CD2+12×BC2+12×CE×CF，再利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为12，面积为4，
∴CD+BC=12×12=6，CD×BC=4，
∵三角形DCE和三角形BCF是等腰直角三角形，
∴五边形ABFED的面积为：
SABCD+S△CDE+S△BCF+S△CEF
=4+12×CD2+12×BC2+12×CE×CF
=4+12CD2+BC2+CD×BC
=4+12CD+BC2−CD×BC
=4+1262−4
=20；
故答案为：20．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握整体思想，灵活运用完全平方公式．
16．（2023秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在平面直角坐标系中，已知点A(−3，0)，B(1，0)，以AB为斜边画等腰直角三角形△ABC，写出满足条件的所有点C的坐标
【答案】(−1，2)或(−1，−2)
【分析】取AB的中点D，推出△ADC，△BDC都是等腰直角三角形，求得CD=AD=BD=2，据此求解即可．
【详解】解，取AB的中点D，连接CD，
∵点A(−3，0)，B(1，0)，
∴AB=4，AD=BD=2，点D的坐标为(−1，0)
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴CD⊥AB，∠CAB=∠CBA=45°，
∴△ADC，△BDC都是等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=2，
∴点C的坐标为(−1，2)或(−1，−2)，
故答案为：(−1，2)或(−1，−2)．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，证明△ADC，△BDC都是等腰直角三角形是解题的关键．
三、解答题
17．（2023春·四川内江·九年级四川省隆昌市第二中学校考阶段练习）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：
(1)△ACE≅△BCD；
(2)AE⊥BD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】先根据SAS判定△ACE≅△ECD即可，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系以及三角形内角和定理可证得AE⊥BD．
【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，
在△ACE和△BCD，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≅△BCDSAS；
（2）∵△ACE≅△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即AE⊥BD．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定以及直角三角形的判定的掌握情况．解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
18．（2023秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，已知△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，连接BD,CE．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BF⊥CE，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，从而得到∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可；
（2）设AC与BF交于点G，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，再由三角形内角和定理，即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS；
（2）解：BF⊥CE， 理由如下：
如图，设AC与BF交于点G，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AGB=∠CGF
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴ BF⊥CE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AEB的度数；
(3)探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE．
①∠AEB的度数为 °；
②线段DM，AE，BE之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)∠AEB=60°；
(3)①90；②AE=BE+2DM
【分析】（1）通过SAS证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）由△ACD≌△BCE得∠ADC=∠CEB=120°，又由∠CED=60°，可得∠AEB=60°；
（3）同（1）的方法可得△ACD≌△BCE，∠CEB=∠ADC=135°即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE；
（2）解：由△ACD≌△BCE得：∠ADC=∠CEB=120°，
∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
（3）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，∠CDE=∠CED=12180°−90°=45°，
又∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴∠BEC=∠ADC=135°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=135°−45°=90°；
故答案为：90；
②由△ACD≌△BCE知：AD=BE，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE，
∴DE=2DM，
∵AE=AD+DE，
∴AE=BE+2DM．
故答案为：AE=BE+2DM．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P．求∠BPC的度数．
【答案】90°
【分析】根据∠BAC=∠DAE=90°，可得∠BAD=∠CAE，可证得△ABD≌△ACE，从而得到∠ABD=∠ACE，再由∠AFB=∠PFC，可得∠BPC=∠BAC=90°．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS；
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AFB=∠PFC，
∴∠BPC=∠BAC=90°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证得△ABD≌△ACE是解题的关键．
21．（2023秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD交于点F，延长BD到点A，使DA=DF，延长BF交AC于点E．
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=12BF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明△FBD≌△ACDSAS，即可得证；
（2）利用△FBD≌△ACD，和BF平分∠DBC，证明△ABE≌△CBEASA，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△DBC是等腰直角三角形，
∴DB=DC,∠BDF=∠CDA=90°，
在△FBD和△ACD中，
BD=DC∠BDF=∠CDADF=AD
∴△FBD≌△ACDSAS，
∴BF=AC；
（2）证明：∵△FBD≌△ACD，
∴∠ACD=∠FBD,AC=BF,
∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠DFB=90°，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠EFC+∠ACD=90°，
∴∠CEF=180°−90°=90°=∠BEA，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
∠ABE=∠CBEBE=BE∠BEA=∠BEC
∴△ABE≌△CBEASA，
∴AE=EC，
∵BF=AC，
∴BF=2CE．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质综合应用．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．同时考查了等腰三角形的性质和角平分线．
22．（2023·全国·八年级专题练习）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．
(1)如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
(2)如图②，连接DE，求证：S△ABC＝S△ADE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝90°，∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，用SAS证得△CAD≌△EAB，即可得；
（2）作DG⊥EA于G，BH⊥AC于H，则∠AGD＝∠AHB＝90°，根据角之间的关系得∠DAG＝∠BAH，根据等腰三角形的性质得AD＝AB，AE＝AC，用AAS证得△ADG≌△ABH，得DG＝BH，即可得．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
AC=AE∠CAD=∠EABAD=AB，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD；
（2）证明：如图②所示，作DG⊥EA于G，BH⊥AC于H，
则∠AGD＝∠AHB＝90°，
∵∠CAE＝90°，
∴∠CAG=∠BAD=90°，
∴∠DAG＝∠BAH，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴AD＝AB，AE＝AC，
在△ADG和△ABH中，
∠AGD=∠AHB∠DAG=∠BAHAD=AB
∴△ADG≌△ABH（AAS），
∴DG＝BH，
又∵S△ABC＝12AC×BH，S△ADE＝12AE×DG，
∴S△ABC＝S△ADE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
23．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数．
【答案】（1）证明见解析，（2）90°．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得AD＝BE；
（2）利用（1）中结论可得∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，又∠CED＝45°，从而∠AEB＝∠CEB﹣∠CED可求．
【详解】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：由（1）可知∠CDE＝∠CED＝45°，∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，
又∵∠CED＝45°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；
（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；
（4）求证：S△PFC－S△PBE＝12S△ABC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】（1）先证明△EPB ≌ △FPA，得AF=BE，再由已知条件即可求证；
（2）根据（1）的结论结合题意即可得证；
（3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证；
（4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA =S△APC，进而可求证．
【详解】（1）如图，连接AP，P是BC中点，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°,
∴AP⊥BC，AP=12BC=PB,
∴ ∠APB=90°，∠BAP=∠ABP=45°,
∵∠EBP=180°−∠ABP=180°−45°=135°,
∠FAP=∠FAB+∠BAP=90°+45°=135°,
∴∠EBP=∠FAP,
∵ ∠EPF=90°,
∴∠EPB+∠BPF=∠BPF+∠FPA,
∴∠EPB=∠FPA,
在△EPB和△FPA中：
∠EBP=∠FAPAP=BP∠EPB=∠FPA
∴ △EPB ≌ △FPA（ASA）,
∴AF=BE,
∵AB=AC,
∴AC+AF=AB+BE,
即CF=AE．
（2）由（1）可知 ：△EPB ≌ △FPA，
∴EP=FP，
∵ ∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形．
（3）如图，连接EF,
∵ △EPB ≌ △FPA
∴∠AFP=∠BEP
∵ △PEF是等腰直角三角形，
∴∠FEP=45°
∴∠FEP=∠FEA+∠BEP=∠FEA+∠PFC=45°
∴即∠FEA＋∠PFC＝45°；
（4）∵ △EPB ≌ △FPA，
∴S△EPB=S△FPA
∴S△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA =S△APC
∵ P是BC中点，
∴ S△APC = 12S△ABC．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25．（2023秋·湖北随州·八年级统考期中）关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题．
（1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是 ．
（2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积．
这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝ ．
（3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长．
【答案】（1）AAS；（2）3；（3）4
【分析】（1）根据题意，可得∠CAD=∠BCE，再由AC＝BC，可根据AAS证得△ACD≌△CBE；
（2）作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，可证得△CDM≌△EDN，得到EN=CM，再根据两平行线间距离处处相等，可得到BM=AD=2，即可求解；
（3）延长BD交AC延长线于点G，可先证得△ACE≌△BCG，从而得到AE=BG，再由AD平分∠BAC，BD⊥AD，可得到△ADG≌△ADB，从而得到DG=BD=2，即可求解．
【详解】解：（1）AAS，理由如下：
∵△ABC是等腰直角，
∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=∠E=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图，作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，
∵AD∥BC，
∴AD⊥DM，即∠MDN=90°，
∴∠CDM+∠CDN=90°，
∵△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，
∴DC=DE，∠EDN+∠CDN=90°，
∴∠EDN=∠CDM，
∵DM⊥BC于M，EN⊥AD，
∴∠DMC=∠DNE=90°，
∴△CDM≌△EDN（AAS），
∴EN=CM，
∵AB⊥BC，AD＝2，BC＝5，
∴BM=AD=2，
∴CM=BC-BM=3，
∴EN=3，
∴S△AED=12AD⋅EN=12×2×3=3 ；
（3）如图，延长BD交AC延长线于点G，
∵∠ACB＝90°，BD⊥AD，
∴∠ADG=∠ACB＝90°，
∴∠G+∠CBG=90°，∠G+∠DAG=90°，
∴∠CBG=∠DAG，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△BCG，
∴AE=BG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAG=∠BAD，
∵AD=AD，
∴△ADG≌△ADB，
∴DG=BD=2，
∴AE=BG=2BD=4．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键