高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案，共81页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。


知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 .
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（23-24高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 .
【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求.
【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（ ）
A．22B．C．D．29
【变式2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ．
【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【典例2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（ ）
A．(0，34，10)B．(-3，19，7)C．44D．23
【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则 .
【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．
【变式2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．
【典例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．

【变式1】（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
【典例2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（ ）
A．B．C．8D．12
【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ．
【变式3】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ．
题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．
【典例3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .
【典例4】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ．
【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .

【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
题型07空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A．2B．
C．或D．2或
【典例2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 .
【典例3】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【典例4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
【变式2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
【变式3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量．
(1)计算和;
(2)求与夹角的余弦值．
【变式4】（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，．
(1)求向量，，；
(2)求向量与所成角的余弦值．
题型08空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
【典例3】（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量方向上的投影向量.
【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．
【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ．
【变式1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式2】（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 .
题型11易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，夹角的余弦值；
(2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围.
【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【变式2】（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）

A．B．
C．D．
10．（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值2D．的最小值
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 .
12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．
四、解答题
13．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，

4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .
5．（23-24高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ．
C新定义题型
1．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且．
(1)用向量方法求的长；
(2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关．
2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行（）
垂直（）
（均非零向量）
第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 .
【答案】
【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算.
【详解】因为在正方体中，是的中点，，
根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】先求出和的坐标，再由列方程可求得结果.
【详解】因为，，
所以，
，
因为，
所以，解得，
故选：C
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得.
【详解】向量，则，
，
所以，的夹角的余弦值为.
故选：C
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（23-24高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得.
【详解】依题意，，所以，
所以.
故选：D
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 .
【答案】
【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;
利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.
【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；
由空间直角坐标系可知： ,故B正确；
由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；
点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，
故选：BCD
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可.
【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
，即
，即C正确,
故选：C.
【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求.
【答案】，，，，
【分析】
利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解.
【详解】
由题意，
，
，
，
，
.
【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）.
【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（ ）
A．22B．C．D．29
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标公式即可求值.
【详解】由，，
得，，
所以．
故选：C．
【变式2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
【详解】依题意，.
故答案为：
【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）由，可得，.
，故
（2），，可得，，故
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可.
【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
，即
，即C正确,
故选：C.
【典例2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（ ）
A．(0，34，10)B．(-3，19，7)C．44D．23
【答案】C
【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可.
【详解】，
所以.
故选：C
【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则 .
【答案】
【分析】
根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解.
【详解】
由题意得，，
则.
故答案为：
【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】
利用空间向量的坐标运算法则，以及空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）由，可得，.
，故
（2），，可得，，故
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．
【答案】C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】
如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，得，
故可设，，，即.
由于直线与平面平行，则，
得：，即：，，.
，
，
可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.
故选：C
【典例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．

【答案】 /
【分析】根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，利用二次函数求最值.
【详解】因为平面平面，且平面平面，
因为，所以平面，且，
如图，建立空间直角坐标系，
，，
设，，，,，
，得，，，
所以，
,，
，
当时，取得最小值.

故答案为：；
【变式1】（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，即，然后计算出，由二次函数性质得最小值，从而得出值，即得点坐标．
【详解】设，即，
，
时，取得最小值，此时点坐标为．
故选：C．
【变式2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解.
【详解】
如图，设，,
，
因为
所以当时，有最小值，
当或时，都取得最大值，
故选:D.
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
【答案】
【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标.
【详解】设，∵，
则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ，
所以，则，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：.
故答案为：
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
【答案】D
【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模.
【详解】由，
由，.
所以.
故选：D
【典例2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解.
【详解】因为，，所以，
因为与垂直，所以，所以，
解得，所以，所以.
故选：B.
【变式1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（ ）
A．B．C．8D．12
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】由于，
则，
于是.
故选：B
【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量加法求出坐标，再根据空间向量模的计算公式即可求解.
【详解】已知空间向量，
则，
则．
故答案为：．
【变式3】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可.
【详解】由，
有．
故答案为：
题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值.
【详解】设，，且，，
∴，，又，
∴，即．
∵，
∴，
当且仅当时等号成立.
故选：B
【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.
【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
设，则，
，又，所以，
即，则．
当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，
所以，，
，
当时，，当时，，
所以线段的长度的取值范围是．
故答案为：
【典例3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求向量的坐标，由模的坐标运算求在，所构成的平面内的投影向量的长度，由二次函数求最值即可求得的最小值．
【详解】空间中以O点为原点，以，方向为轴正方向，垂直于，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，设，
由，得，即，
由是单位空间向量可得，，
在，所构成的平面内的投影向量的坐标为，可得其模长为；
设，由，得，
则，
，
当，的最小值是2，所以 ，
若，，，，
，
，
当时，最小值为．
同理，若，，最小值为.
若，，，
，
，
当时，最小值为．
同理，若，，最小值为.
综上所述：的最小值是．
故答案为：；.
【典例4】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值．
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直.
过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.
因为，所以
以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
当，的长最小，且最小值为．
故答案为：．
【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可.
【详解】
依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
所以，
即，所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.
故选：B
【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可.
【详解】
如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，
则，，
，当时取得最大值.
故选：B
【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .

【答案】
【分析】先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点T，,再建系根据两点间距离求解即可.
【详解】延长，与的延长线交于点， 是正方形，
，
易得，又,平面,平面,所以平面，
则平面，．E关于面MNPQ的对称点T,
易知，

以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
，E， P，分别为，的中点,
，，则.
故答案为: .
【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
【详解】是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
题型07空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A．2B．
C．或D．2或
【答案】C
【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案.
【详解】由题意，向量，
得，解得或，
故选：C
【典例2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 .
【答案】
【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值.
【详解】由题意可得：，
当时，则，
因为，则，当且仅当，即时等号成立，
所以；
当时，；
综上所述：的最大值为，
故答案为：.
【典例3】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解.
【详解】（1）;
（2）,
则；
（3），则
【典例4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可.
【详解】设，
则，
所以，
既然求最大值，必有，令，
则
，
当，即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，，且与夹角为，
则，，，
所以，
由题可知，解得.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可；
（2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案.
【详解】（1）由题意，，，
所以，；
（2）由（1）可知，
又，所以，即与的夹角为.
【变式3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量．
(1)计算和;
(2)求与夹角的余弦值．
【答案】(1),
(2)．
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）由题可得
．
（2）由题可得，
，
,与夹角的余弦值为．
【变式4】（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，．
(1)求向量，，；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程组求解即可；
（2）根据向量的坐标与数量积运算，利用公式求解即可.
【详解】（1）因为，，，且，，
所以不为，
所以，解得，，，
所以，，.
（2）由（1）可得，，
所以，
，，
所以向量与所成角的余弦值.
题型08空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
故选：C
【典例2】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为，
即，
所以.
故答案为：
【典例3】（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量方向上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可；
（2）利用投影向量公式计算即可.
【详解】（1）由题意，，，
因为，
所以，即，
得.
（2）由题意，，，
所以向量在向量上上的投影向量为：.
【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．
【答案】/
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由已知可得，，
所以，向量在上的投影向量的模为
.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】
【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可.
【详解】由投影向量的定义可知，
，
故答案为：
【变式3】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
【答案】
【分析】根据空间向量投影向量的坐标运算即可得答案.
【详解】空间向量，则向量在向量上的投影向量是：
.
故答案为：.
题型09空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系.
【详解】因为，所以，由题意可得，
所以，则．
故选：BC
【典例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，.
(1)判断的形状；
(2)若，求的值.
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)2
【分析】（1）由空间向量的模长公式可计算的，，结合勾股定理可判断；
（2）由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可.
【详解】（1），，
同理，，
，且，
所以是等腰直角三角形.
（2），又，
，解得.
所以的值为2.
【变式1】（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.
【详解】∵，且空间向量满足，
∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.
故选：A.
【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4B．C．4或D．5
【答案】A
【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.
【详解】由题设，且，则，可得.
故选：A
【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 .
【答案】9
【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．
【详解】
因为空间向量，，且，
所以设，即
可得，解得，，
所以，，则，
所以.
故答案为：.
题型10空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解．
【详解】，
，
由与互相垂直，
有，
解得或．
故选：C．
【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，所以，解得.
故选：D.
【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ．
【答案】/
【分析】由已知可得，代入坐标即可求出实数m的值.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，解得．
故答案为：
【变式1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】，∴，解得，
故选：A．
【变式2】（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用，可得，从而可求解.
【详解】由题意得因为，
所以，解得，故A正确.
故选：A.
【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 .
【答案】
【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解.
【详解】已知向量，若，则，解得.
故答案为：.
题型11易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得.
【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线，
于是，解得，此时，而，即与不共线，
所以x的取值范围是.
故选：C
【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，夹角的余弦值；
(2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出向量，的坐标，再利用向量夹角公式求解即可；
（2）利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答.
【详解】（1）因为，，，所以，，
所以，
即，夹角的余弦值为；
（2），，
因为与的夹角是钝角，所以且与不共线，
当时，即，解得，
当与共线时，存在实数t，有，于是得，
解得，因此与不共线，则，
所以k的范围是.
【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果.
【详解】因为空间向量与夹角为钝角，
所以，得到，即，
由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围.
【详解】由向量，，可得，
因为，可得，解得，
所以，所以与，
又因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可.
【详解】因为，，，
所以，，
所以.
故选：B
2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知空间向量，且共线，则（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】B
【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可.
【详解】因为共线，则存在实数，使得，则，解得.
故选：B.
3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角.
【详解】∵，
，
∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为．
故选：C.
4．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案.
【详解】，，
因为，所以，解得.
故选：A.
5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
【答案】D
【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模.
【详解】由，
由，.
所以.
故选：D
6．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.
【详解】，
故在上的投影向量为.
故选：D
7．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解．
【详解】，
，
由与互相垂直，
有，
解得或．
故选：C．
8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，
则，所以，
所以，
，
由图可知，，
所以为锐角等价于，
所以
又，解得.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D .
【详解】由题意可知：，
所以，
则，，，
易知为钝角，所以.
综上A、C、D三项正确，B项错误.
故选：ACD
10．（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值2D．的最小值
【答案】AB
【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项.
【详解】A.若，则，得，故A正确；
B.若，则，即，得
，解得：，故B正确；
CD.，当时，的最小值2，故CD错误；
故选：AB
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 .
【答案】
【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
，
所以.
故答案为：
12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．
【答案】/
【分析】
令，根据题设，，进而有，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果.
【详解】由题设，，则，，
令，则，所以，则，
故，
所以
，
故当时，取得最小值，此时坐标为.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.
（2）利用投影向量的意义求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
由与垂直，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以在上的投影向量为.
14．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求；
（2）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（3）已知若，且与垂直，求．
【答案】（1） ；（2）；（3） ．
【分析】（1）先根据已知条件求出的坐标，然后可求出其模；
（2）由已知设，再由可求出的值，从而可求出向量的坐标；
（3）根据题意列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出向量．
【详解】（1），则
故．
（2）因为向量与共线，故可设．
由，得，故，
所以．
（3）因为，且与垂直，
所以，
化简得，解得．
故．
B能力提升
1．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（ ）
A．8B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，，计算，即可得出结论.
【详解】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，
以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，
则由题意可得，.
所以，
故，即，
因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点，
即上底面每条棱的中点即为所求点；
同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点，
，
即与正方形切于个点，
即右侧面每条棱的中点即为所求点；
同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个.
故选：C
2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解.
【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴，
过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，得，设，
则.
因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等.
当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有5个元素；
当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有3个元素；
当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有9个元素；
当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，
所以，
即，共有9个元素；
综上，当时，中的元素数量最少.
故选：B
3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．
故答案为：.
4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求向量的坐标，由模的坐标运算求在，所构成的平面内的投影向量的长度，由二次函数求最值即可求得的最小值．
【详解】空间中以O点为原点，以，方向为轴正方向，垂直于，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，设，
由，得，即，
由是单位空间向量可得，，
在，所构成的平面内的投影向量的坐标为，可得其模长为；
设，由，得，
则，
，
当，的最小值是2，所以 ，

因为，则，，，，
设，，
因为，，，
所以，即，
由，得，则，，，
则，，
则
，
所以当，时，取得最小值；
当或，时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
C新定义题型
1．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且．
(1)用向量方法求的长；
(2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关．
【答案】(1)
(2)线性无关．
【分析】（1）设长为，建立空间直角坐标系后由计算即可得；

①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
【答案】(1)
(2)①；②3
【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；
②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.
【详解】（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
由，知，
由，知：
，
，解得，
则．
课程标准
学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义
②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算
③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明
利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行（）
垂直（）
（均非零向量）