(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第07讲拓展一：异面直线所成角(传统法与向量法)(学生版+解析)

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第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则①②.题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）A． B． C． D．【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（    ）题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．  【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三下·四川德阳·期末）正四面体中，、分别是和的中点，则和所成角的大小是 .【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．(1)求点B到平面的距离；(2)若M为的中点，N为线段上的动点，设异面直线与所成角为，求的最大值及此时的值【变式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则①②.题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合条件根据线面角的定义求得，连接，根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理求解即可.【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，设，则，所以，所以，连接连接，由长方体的性质知，且，所以四边形为平行四边形，所以，则或其补角即为直线与直线所成角，在中，，所以由余弦定理得，即直线与直线所成角的余弦值为.故选：A  【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，由余弦定理求解即可.【详解】分别取的中点，连接，所以，所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），即，设，所以，，所以在中，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由条件可证，则直线与所成的角为，然后结合条件以及余弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】如图，取的中点E，连接．因为分别是的中点，所以．因为四边形是平行四边形，所以．因为N为的中点，所以，所以．故四边形为平行四边形，所以，所以直线与所成的角为．连接，因为点P在平面内的射影为N，所以平面，所以与平面所成的角为，所以．不妨令，则，所以，所以，在中，由余弦定理得．故选：A．【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别为的中点，或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为，余弦定理求解即可.【详解】取AB的中点，的中点，连接，又M，N分别为和的中点，正方体中，，，四边形为平行四边形，有，同理有，则或其补角为AM与BN所成的角，连接EF，设正方体的边长为，则，，，所以，即异面直线AM与BN所成角的余弦值为.故选：A．【变式3】（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ．【答案】/【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF，显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，在中，，，，，，所以直线与直线所成角的正切值为.故答案为：【变式4】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．【答案】【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.【详解】取的中点，连接，如图所示：因为为的中点，为的中点，则根据三角形的中位线定理可得，且.所以为异面直线与所成的角或其补角．因为在中，，，，所以，则.又，所以．又在中，，,所以由余弦定理可得：.又因为在中，，所以由余弦定理可得：.则在中，由余弦定理可得，，所以异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：.题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量法求线线角解决即可.【详解】以为原点，在平面过作的垂线交于，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱中，，，，所以，所以，设异面直线与所成角为，所以.故选：C.【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．  【答案】【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦值即可.【详解】  连接交于点，连接，因为该几何体是一个高为4的正八面体，所以，，，设棱长为，则，，所以在中，，即，解得，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与夹角为，则，因为，所以异面直线与所成角的正弦值，故答案为：.【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ．【答案】【分析】可借助等角定理得到或其补角即异面直线与所成的角，结合余弦定理计算；或借助空间向量的线性运算得到，再利用夹角公式计算.【详解】方法一 ：如图，过点作交圆柱的上底面于点，连接，，则由圆柱的性质易证四边形为矩形，所以，所以或其补角即异面直线与所成的角，在中，，所以，因为为等腰直角三角形，且，所以，所以，又，所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 方法二 ：在中，，所以，，因为为等腰直角三角形，且，所以，易知，所以，，，所以，所以，则异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.【详解】记的 中点分别为，因为，所以，同理，，记，因为，所以，所以，，易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C【变式2】（23-24高三下·四川德阳·期末）正四面体中，、分别是和的中点，则和所成角的大小是 .【答案】/【分析】构造辅助线，利用中位线定理得到是和所成角，然后结合向量数量积的变形即可求解.【详解】取中点，连接，令棱长为，因为、分别是和的中点，所以，，，，所以是和所成角，又，，，所以 ，，，所以，所以，即和所成角的大小为.  故答案为：【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标进行计算即可.【详解】如图所示，建立如下空间直角坐标系，依题可得，,则,所以,故直线与直线所成角的余弦值为,故答案为：.题型03求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可.【详解】因为直线到平面的距离为，所以必有面，即点到平面的距离为，如图建立空间直角坐标系，设，又，则， 设面的法向量为，则，取得，则，解得，即，过作平面的平行平面，与正方体的截面为，分别为线段和线段的中点，则所以在直线上，设，又，则，当时，，当时，，又，所以，则的最小值为.故答案为：【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．(1)求点B到平面的距离；(2)若M为的中点，N为线段上的动点，设异面直线与所成角为，求的最大值及此时的值【答案】(1)(2)；【分析】（1）说明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案；（2）设，表示出N点坐标，即可求得坐标，结合的坐标，根据空间角的向量求法，即可求得的最大值及此时的值.【详解】（1）设的中点为O，连接，而，则，是边长为的等边三角形，故，则，平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又是边长为的等边三角形，的中点为O，故，故以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，又，故点B到平面的距离为；（2）M为的中点，即为O点；N为线段上的动点，设，而，即，故点,故，而，设异面直线与所成角为，则,令，则，故，令，则，即为，当时，取得最小值，即，即时，取得最大值，即的最大值为，此时的值为.【典例3】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，由，可得，再利用线线角的向量求法求解即得.【详解】由平面平面，得，又平面，则平面，平面，则，又，平面，因此平面，而平面，则，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，，由，得，，设异面直线与所成角为，则，令，则，显然函数在上单调递增，此时，，所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.故选：A【点睛】思路点睛：求空间角余弦的最值或范围问题，根据给定条件，选定变量，将该角的余弦建立起变量的函数，求出函数最值或范围即可.【变式1】（23-24高二上·山东潍坊·期末）在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 .【答案】 2 【分析】利用，得出在以为直径的球面上，其时可得出到平面的距离，由直线与平面所成的角为30°，得在以为轴，顶角为的圆锥面上，从而得出的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得与所成角的余弦值，角的范围．【详解】如图，连接，因为，，所以，所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，取的一个方向向量为，，又，所以，所以直线与所成角的范围是，即，故答案为：；．【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案【详解】以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，而，则点P到平面BFE的距离，又，在等腰中，到的高为，则而，于是，解得或，由，得，则，设直线与所成的角为，则，，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故答案为：【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .  【答案】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线与所成角的余弦值最大时点位置，进而求出大小.【详解】  由题可以为原点，建立空间直角坐标系如图所示：则，设，则，设异面直线与所成角为，则，令，则，当时，，当时，，令，则，因为，当时，有最小值，此时有最大值，由得，，则异面直线与所成角的余弦值最大时，即，，所以.故答案为：题型04已知线线角求参数【典例1】（23-24高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .【答案】/【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值.【详解】连接交于点，平面，平面，则，因为四边形为菱形，则，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，易知平面的一个法向量为，因为平面，所以，，设点，其中，则，由已知可得，因为，解得，即点，设点，则，因为，则，可得，且，可得，所以，点，因为平面，、平面，，，且，所以，.故答案为：.【典例2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 .【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围.【详解】设是的中点，则，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设；设，则，设与所成角为，则，，整理得，函数的开口向下，对称轴为，已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则 .【答案】【分析】连接、交于点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得结果.【详解】连接、交于点，则，因为四棱锥为正四棱锥，故底面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，，则，，由已知可得，整理可得，因为，解得，即.故答案为：【变式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .【答案】11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出，从而写出的坐标，由向量共线的性质设，利用向量的加法得出，由异面直线与所成角，利用向量法得出的值，从而得出的值.【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设因为二面角为60°，所以则.设，则从而整理得，解得(舍)，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）直三棱柱中，，则直线 ，，又两条异面所成的角为，则，故选：B.【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解.【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.