(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第一章第十二讲第1章空间向量与立体几何章节验收测评卷(学生版+解析)

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A． B． C． D．7．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ）A． B． C． D．8．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）  A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（     ）.A． B．C． D．10．下面四个结论正确的是（ ）A．若三个非零空间向量满足，则有B．若空间四个点，，则三点共线．C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．已知向量，，若，则为钝角．11．如图，正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（    ）  A．对任意的点，总有B．存在点，使得平面平面C．线段上存在点，使得D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．  13．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．16．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.17．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．  (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．18．如图，在三棱柱中，，，O为BC的中点，平面ABC.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，，点M在线段上，是否存在点M使得锐二面角的大小为，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由.19．若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：；②加法运算：；③数量积运算：；④向量的模：，对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于，判断下列各组向量是否线性相关：①；②；(2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于中的任意两个元素，均有，第12讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于平面的对称点是即可得出答案.【详解】点关于平面的对称点是，,故选：A.2．如图，在三棱锥中，设，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解.【详解】连接，.故选：C3．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2【答案】A【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果.【详解】由已知可得, ，则，故选：A4．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量基本定理求解即可.【详解】设向量在基底下的坐标为，则，又向量在基底下的坐标为，则，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐标为.故选：B.5．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，不满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，满足题意.故选：D.6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可.【详解】取的中点，连接，，因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，，为等边三角形，则，，，，所以，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D7．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可.【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：  则，设，所以，，设平面的法向量为，则，令，则．于是，则点到平面距离之和为，设，则，，因为，所以，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递增，所以当时，取到最小值为.故选：B8．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得.【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，  于是，，又为的中点，则，，,，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（     ）.A． B．C． D．【答案】CD【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可.【详解】设正方体的棱长为2，对A：建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，故A错误；对B：建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，故B错误；对C：建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，故C正确；对D：建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，故D正确.故选：CD.10．下面四个结论正确的是（ ）A．若三个非零空间向量满足，则有B．若空间四个点，，则三点共线．C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．已知向量，，若，则为钝角．【答案】BC【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；  对于B中，因为，则，即，又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确；对于C中，由是空间的一组基底，且，令，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以可以作为一个空间基底，所以C正确；对于D中，若为钝角，则，且与不共线，由，解得，当时与平行时，由，解得，当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误.故选：BC11．如图，正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（    ）  A．对任意的点，总有B．存在点，使得平面平面C．线段上存在点，使得D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为【答案】AD【分析】连接，由正方体可得，再由平面，可得平面，从而可判断A；取棱的中点，连接，易知，，结合面面平行判定定理可得平面平面，根据面面关系即可判断B；连接，将沿翻折，使之与在同一个平面内，根据线线关系确定取得最小值的情况，即可判断C；取棱的中点，连接，，确定，的最小值，再分析直线与平面所成角的余弦值的最小值，或者建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，直线的方向向量，根据空间坐标运算求线面夹角正弦值，从而得余弦值，即可判断D．【详解】选项A：如图1，连接，  因为分别为棱的中点，所以，因为正方体，所以四边形为正方形，则，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；选项B：如图2，取棱的中点，连接，  则易知，，而平面，平面，故平面，又平面，平面，同理平面，因为，平面，所以平面平面，但平面与平面相交，所以平面与平面不平行，故B错误．选项C：如图3，连接，  易知，，将沿翻折，使之与在同一个平面内，易知当为线段的中点，且时，取得最小值，此时，（当为线段的中点时，，易知平面，故当时，最小值为2）,故C错误；选项D：解法一  如图4，取棱的中点，连接，，  则平面，所以直线与平面所成角为．又，的最小值为，又，所以的最小值为．在中，，所以的最大值为，所以的最小值为，所以直线与平面所成角的余弦值的最小值为，故D正确．解法二  如图5，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，  则，设，则，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，当时，取得最大值，此时取得最小值，故D正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．  【答案】2【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可.【详解】底面为菱形，，，，为棱的中点, ，，解得.故答案为：.13．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．  【答案】/【分析】取交点于点，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，，可得，则，由求出平面的一个法向量，由点到平面的距离公式可得，再由，可得点到平面的距离的最小值.【详解】  取交点于点，因为直四棱柱的所有棱长都为，所以，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以，，，，，，设平面的法向量为，则有，令，则，，所以，因为点在四边形及其内部运动，所以设，，又因为，所以，即，则，设点到平面的距离为，则有，又因为，所以时，，即点到平面的距离的最小值为 .故答案为：.14．如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为 ．【答案】【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到坐标，进而得到的坐标，从而得到侧棱.【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，则，，，由三棱柱可知，即，所以，，，即，所以，，所以，所以，故这个三棱柱的侧棱长为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．直三棱柱中，，，为中点，为中点，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则，以、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，0，、，2，、，0，、，0，、，0，、，0，、，1，、，0，、，，易知平面的一个法向量为，，故，平面，故平面；（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，，直线与平面夹角的正弦值为；（3）由（1）知，，设平面的法向量为，则，取，，平面与平面夹角的余弦值为．16．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)点到平面的距离为.【分析】（1）先证四边形为正方形，得到，再证平面，从而得到，即可证明平面；（2）建系，设边长，写出相应点和向量的坐标，求出两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的长度，再利用点到平面的距离公式，求出点到平面的距离.【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为正方形，所以，因为，，，所以平面，所以，因为，所以，又因为平面所以平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，，所以，设二面角的大小为，则，解得，所以，平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.17．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．  (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．【答案】(1)存在，点M的位置见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出点M的坐标，再依据，利用向量的数量积列出等式计算即可；（2）设出点T的坐标，根据平面向量基本定理，求出点T的坐标，再直接求体积即可.【详解】（1）因为四棱台的上、下底面都是正方形，且底面ABCD，所以可以以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系，则，假设在底面内存在点M，满足平面CPQ，则可设，有，则，即，所以，，故在底面内存在点，满足平面CPQ.（2）设，因为点T在平面CPQ内，所以可设，(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，，点M在线段上，是否存在点M使得锐二面角的大小为，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在；答案见解析【分析】（1）易证，，从而知平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证；（2）取的中点，连接，作于，连接，由几何关系证得为直线与平面所成的角，再求正弦即可；（3）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求二面角可得关于的方程，解之即可．【详解】（1）证明：因为，，O为BC的中点，所以，又因为平面，平面，所以，而平面，所以平面，平面，，（2）取的中点，连接，作于，连接，在三棱柱中，由题意可得，又平面，平面平面，所以，而平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，因为，，所以，可得，在中，，所以，即，所以；（3）在中，，，所以，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，②；(2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于中的任意两个元素，均有，【答案】(1)①线性相关，②线性相关(2)线性无关，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；（3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.【详解】（1）对于①，假设与线性相关，则存在不全为零的实数使得，则，即，可取，所以线性相关，对于②，假设线性相关，则存在不全为零的实数使得，则，得，可取，所以线性相关.（2）假设线性相关，则存在不全为零的实数，使得，则，因为线性无关，所以，得，矛盾，所以向量线性无关.（3）设，则，所以，又，所以，当且仅当同时成立时，等号成立，所以.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解.