高中2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案

这是一份高中2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案，共95页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，即学即练5，即学即练6，即学即练7，即学即练8等内容，欢迎下载使用。
+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）

知识点01：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
【即学即练1】（2024高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.
(1)；
(2)；
(3).
知识点02：两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点与点间的距离是，则实数 .
知识点03：点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
【即学即练3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则
知识点04：两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
知识点05：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
【即学即练5】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为 .
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
【即学即练6】（23-24高一下·新疆哈密·期中）直线关于点A(1,2)的对称直线方程为
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
【即学即练7】（23-24高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【即学即练8】（23-24高一上·湖南岳阳·期末）直线关于直线对称的直线方程为 .
题型01求直线交点坐标
【典例1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 .
【变式1】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为( )
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ．
题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系
【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.
(1)，；
(2)，.
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否平行：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】（2024高二·江苏·专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
题型03由直线交点的个数求参数
【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【典例2】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为
【典例3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是 .
【变式1】（多选）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·上海金山·期末）已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是 .
【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可）
题型04由直线的交点坐标求参数
【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（ ）
A．7，1B．1，7
C．D．
【典例2】（多选）（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【变式1】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 .
题型05三线围成三角形问题
【典例1】（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A．2B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．
【典例3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 .
【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？
【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线，直线，直线．
(1)若与的倾斜角互补，求m的值；
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
题型06直线交点系方程及其应用
【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【典例3】（23-24高一下·全国·课后作业）已知两直线和.
（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；
（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.
【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
【变式2】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程．
【变式3】（2024高二·全国·专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
题型07求两点间的距离公式
【典例1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（ ）
A．5B．C．3D．
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 .
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为
【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 .
题型08距离公式的应用
【典例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．B．3C．D．4
【典例2】（2034高二·全国）已知，为实数，代数式的最小值是 .
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .
【变式2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 .
题型09求点到直线的距离
【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）
A．B．C．或D．或
【典例2】（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ）
【典例3】（23-24高二上·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 .
【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 .
题型10已知点到直线的距离求参数
【典例1】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【典例2】（多选）（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【典例3】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知直线；
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（ ）
A．2B．3C．5D．7
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
题型11求点关于直线的对称点
【典例1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型12求到两点距离相等的直线方程
【典例1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【典例2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
题型13直线关于直线对称
【典例1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 .
题型14平行线间的距离问题
【典例1】（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A．B．C．12D．14
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【典例2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）（1）设，，，，求证：对于任意，，.
（2）假设阆中七里、江南两镇在一平面直角坐标下的坐标为，，嘉陵江所在的直线的方程为，若在嘉陵江边上建一座供水站使之到，两镇的管道最短，问供水站应建在什么地方？此时为多少？
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（ ）
A．B．C．1D．
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（ ）
A．17B．C．14D．7
3．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．24B．0C．20D．
6．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A．B．C．D．5
7．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线一定相交
10．（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 .
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
四、解答题
13．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）已知直线l过直线和的交点P.
(1)若直线l过点，求直线l的斜率；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程；
(3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程.
14．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知直线，且，
(1)求的值；
(2)直线过点与交于，，求直线的方程.
B能力提升
1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
C新定义题型
1．（2024高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，．
(1)若点是平面xOy上的点，试证明：．
(2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
课程标准
学习目标
①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。
②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。
③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。
④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。
1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；
2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；
3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；
4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；
第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式
（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式
+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）

知识点01：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
【即学即练1】（2024高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)相交，交点为；
(2)重合；
(3)平行.
【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系；
（2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系.
【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交.
（2）由，显然，即方程无解，故与重合.
（3）由，显然，即方程无解，故与平行.
知识点02：两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点与点间的距离是，则实数 .
【答案】或
【分析】通过两点之间的距离公式求解即可.
【详解】∵，
∴，解得或；
故答案为：或
知识点03：点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
【即学即练3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
知识点04：两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】平行直线和之间的距离.
故选：A
知识点05：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
【即学即练5】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为 .
【答案】
【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点坐标为，
则，解得，
所以对称点为，
故答案为：
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
【即学即练6】（23-24高一下·新疆哈密·期中）直线关于点A(1,2)的对称直线方程为
【答案】
【分析】在所求直线上取点，关于点A(1,2)对称的点的坐标为，代入直线，可得直线方程.
【详解】解：在所求直线上取点，关于点A(1,2)对称的点的坐标为，
代入直线，可得
即.
故答案为：.
【点睛】本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，比较基础.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
【即学即练7】（23-24高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【详解】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B
【即学即练8】（23-24高一上·湖南岳阳·期末）直线关于直线对称的直线方程为 .
【答案】
【分析】结合点斜式求得直线方程.
【详解】直线的斜率为，
直线关于直线对称的直线的斜率为，
点是直线上一点，
点关于直线对称点为，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故答案为：
题型01求直线交点坐标
【典例1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可.
【详解】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交点坐标为：.
故选：B.
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 .
【答案】
【分析】
通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标.
【详解】联立，解得.
直线和的交点为.
故答案为：
【变式1】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标.
【详解】因为与互相垂直，
所以，所以，
所以，解得，
所以交点坐标为，
故选：B.
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ．
【答案】
【分析】联立两条直线的方程可得交点.
【详解】由题意可得，解得，
交点坐标为.
故答案为：
题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系
【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)相交，
(2)重合
【分析】（1）联立方程求出交点坐标；
（2）化简得到，可得两直线重合.
【详解】（1）解方程组，得，
所以这两条直线相交，交点坐标是.
（2）由化为方程可知，
所以有无数多个解，
故与重合，
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)相交，交点坐标为
(2)平行
(3)重合
【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标；
（2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行；
（3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断.
【详解】（1）由，解得，
因此直线和相交，交点坐标为．
（2）因为，，
由，
得，矛盾，
由此可知方程组无解，因此直线与平行．
（3）由，
得，
说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直线与重合．
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否平行：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)平行
(4)不平行
【分析】利用直线方程系数的关系即可作出判断.
【详解】（1）∵，
∴平行；
（2）即直线，
∵，
∴平行；
（3）即直线，
∴平行；
（4）∵，
∴不平行.
【变式2】（2024高二·江苏·专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.
【分析】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．
【详解】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
（2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.
题型03由直线交点的个数求参数
【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
【典例2】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为
【答案】4
【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.
【详解】若方程组有无穷多组解，
即两条直线重合,即
,
则
故答案为：4
【典例3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线，
则方程组的解就是两直线的交点，
要使得两直线只有一个交点，则满足，
即，解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，以及两直线位置关系的应用，其中解答中把方程组的解转化为两直线的位置关系是解答的关键，注重考查转化思想，以及计算能力.
【变式1】（多选）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值.
【详解】由整理可得.
因为集合，.
（1）直线过点，则，解得，
此时，直线与直线不平行；
（2）若直线与平行，则，解得.
综上所述，或.
故选：BD.
【变式2】（23-24高二上·上海金山·期末）已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是 .
【答案】m≠4
【分析】把给出的方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．
【详解】方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，
由mx+4y﹣2＝0，得y，此直线的斜率为．
由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1．
若方程组有唯一解，
则两直线的斜率不等，即，
∴m≠4．
故答案为m≠4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题．
【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可）
【答案】，3，（写出一个即可）
【分析】
根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解.
【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；
当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，
若两直线平行，则，解得.
若两直线不平行时，过点，即，解得或，
此时，不过点，方程组无解.
综上，的取值为.
故答案为：，3，（写出一个即可）
题型04由直线的交点坐标求参数
【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（ ）
A．7，1B．1，7
C．D．
【答案】B
【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，.
【详解】将点代入直线的方程可得，解得；
将代入直线的方程可得，解得；
故选：B
【典例2】（多选）（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】AC
【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解.
【详解】联立方程，
解得 ，
因为交点在第四象限，
可得，解得
故选：AC.
【变式1】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到两直线的交点坐标，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】联立，解得，故两直线的交点为.
因为交点在第一象限，所以，解得.
故选：A
【变式2】（23-24高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.
【详解】直线与直线的交点为，
所以.
故选：A.
【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 .
【答案】
【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果.
【详解】由题设，可得，
所以.
故答案为：
题型05三线围成三角形问题
【典例1】（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】AD
【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果．
【详解】因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与，都不平行，
且直线不过与的交点，
直线与，都不平行时，，且，
联立，解得，
即直线与的交点坐标为，
代入直线中，得，故可知，
结合选项可知实数m的取值可以为2或，
故选：AD
【典例2】（23-24高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．
【答案】或或
【分析】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值.
【详解】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．
当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为，
若，则.
若，则..
若三线共点，由解得，设，
将代入，
得，
综上所述，或或.
【典例3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．
(1)若，且过点，求a、b的值；
(2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解.
（2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解.
【详解】（1）因为：，：，且，所以，
又直线过点，所以，所以，
即，即，解得或
所以或；
（2）因为，则：，：，
①当时，由得，
此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
④当，，交于一点时，，则由,解得
所以与的交点，将M代入到方程得，解得；
综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为．
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 .
【答案】
【分析】分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可
【详解】当三条直线交于一点时：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或.
当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，
当时，，即，当时，，解得：，
当时，，不成立，
综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形，
∴实数m的取值集合是.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？
【答案】当时，三条直线不能围成三角形.
【分析】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形，列式求解即可.
【详解】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形，
当时，，即，经验证符合题意；
当时，，，经验证符合题意；
当时，，无解；
当三条直线交于一点时，则由 ，解得：，
将点代入直线，
整理为，解得：或.
综上可知：当时，三条直线不能围成三角形.
【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线，直线，直线．
(1)若与的倾斜角互补，求m的值；
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
【答案】(1)
(2)0，，.
【分析】（1）根据题意得，进而求解得答案；
（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.
【详解】（1）解：因为与的倾斜角互补，
所以，
直线变形为，故
所以，解得
（2）解：由题意，若和垂直可得：，解得，
因为当时，，，，构不成三角形，
当时，经验证符合题意； 故；
同理，若和垂直可得：，解得，舍去；
若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；
故m的值为：0，，.
题型06直线交点系方程及其应用
【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】
首先求直线所过定点，再判断选项.
【详解】，
，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限
故选：A
【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
【典例3】（23-24高一下·全国·课后作业）已知两直线和.
（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；
（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.
【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）.
【分析】（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求；
（2）利用点斜式即求或设直线系方程即得.
【详解】（1）∵，
∴两直线相交，
联立两直线方程得
解得即两直线交点为.
（2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即.
解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为，
整理得，
∴，∴，
整理得所求直线方程为.
【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
【答案】
【分析】
设交点系方程，结合直线过求方程即可.
【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过，
所以，故直线的方程为.
故答案为：
【变式2】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程．
【答案】
【详解】法一：解方程组得
所以两条直线的交点坐标为．
又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即．
法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①，
又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得．
【变式3】（2024高二·全国·专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【答案】2x+y+8＝0．
【分析】设出所求的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，由它的斜率为 2，求出λ 的值，即得所求的直线方程．
【详解】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2，
解得 λ，
∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
题型07求两点间的距离公式
【典例1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据两点间距离公式求出答案.
【详解】A，B两点间的距离为.
故选：B
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 .
【答案】10
【分析】
根据题意，由两点间距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】，，
则两点间的距离为：.
故答案为：10.
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为
【答案】-1或
【分析】利用两点之间的距离公式求解即可.
【详解】∵点和间的距离为5，
∴，
即，解得或，
故答案为：或.
【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 .
【答案】3
【分析】
利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【详解】
因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.
故答案为：3.
题型08距离公式的应用
【典例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】
根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】
，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则
的最小值为，此时
故选：C．
【典例2】（2034高二·全国）已知，为实数，代数式的最小值是 .
【答案】10
【分析】
根据两点间距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题可得到答案.
【详解】
设点，
则
，
当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立.
故答案为：10.
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .
【答案】2
【分析】表示点到点与点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】表示点到点与点的距离之和，
即，如图所示：
由图象知：，
当点在线段上时，等号成立.
所以取得最小值为2.
故答案为：2.
【变式2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 .
【答案】
【分析】
由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得.
【详解】
函数，
即为点至和的距离之和，
点关于轴对称的点为，
所以,
由图形易得最小值为.
故答案为: .
题型09求点到直线的距离
【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．
【详解】因为点到直线的距离相等，
所以，即，
化简得，解得或.
故选：C.
【典例2】（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ）
A．B．2C．0D．
【答案】AC
【分析】解法1：利用点到直线距离公式得到方程，求出斜率的值；
解法2：分直线与平行和直线经过的中点两种情况，求出答案.
【详解】解法1：点到的距离相等，即，
解得或；
解法2：直线过定点，线段的斜率为，
直线与平行时，点到直线的距离相等，此时；
直线经过的中点时，点到直线的距离相等，
此时，
综上，或.
故选：AC.
【典例3】（23-24高二上·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 .
【答案】/0.8
【分析】转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解.
【详解】表示点到点距离的平方，又点在直线上，
问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，
，
所以得最小值为.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解.
【详解】根据题意，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为.
故选：C.
【变式2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 .
【答案】或
【分析】设直线上的点为，再根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设直线上的点为，
点直线的距离为，
原点到l的距离为，
所以，解得或，
所以此点的坐标为或.
故答案为：或.
题型10已知点到直线的距离求参数
【典例1】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
【典例2】（多选）（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即，
故选：BD.
【典例3】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知直线；
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论；
（2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得．
【详解】（1）由直线方程可得，，
，
直线l过恒过定点.
（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，
则过与定点的直线的斜率为，所以，
所以．
【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（ ）
A．2B．3C．5D．7
【答案】D
【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.
【详解】点到直线的距离为4，
可得，解得.
故选：D.
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】由点 到直线 的距离为1，
可得，解得，
又因为，所以.
故选：C.
【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
【答案】或
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得，，
即，解得或.
故答案为：或.
题型11求点关于直线的对称点
【典例1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可.
【详解】设所求对称点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为.
故选：D.
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用已知直线与已知点，求得过该点并垂直于已知直线的直线方程，联立求交点，利用中点坐标公式，建立方程组，解得答案.
【详解】由直线方程，则其斜率，
与直线垂直的直线斜率，
设直线过，可得其直线方程，整理可得，
联立可得，解得，交点坐标，
设关于直线对称点坐标，则，解得，
所以关于直线对称点坐标.
故答案为：.
【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为，
故选：B
题型12求到两点距离相等的直线方程
【典例1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意，
当直线的斜率存在时，设为，
则可设直线方程为：，即，
由于点与点到直线的距离相等，
则，解得，
故直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
故选：C．
【典例2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
【变式1】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断.
【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等，
又的中点为，
则过点的直线为AD选项；
又的斜率为，则B选项符合条件.
故选：ABD
【变式2】（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
题型13直线关于直线对称
【典例1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.
【详解】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
【典例2】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果.
【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为，
在上取一点，设它关于直线的对称点为，
则有，整理得，解得，即，
由，，可得所求直线方程为，即，
故选：C.
【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【答案】9x－46y＋102＝0
【解析】求出直线上任一点如关于直线的对称点的坐标，再求出直线和的交点的坐标，由可得对称直线的方程．
【详解】解：在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
，解得，∴.
设直线m与直线l的交点为N，则
由，得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为，
化简得：9x－46y＋102＝0.
【点睛】本题考查直线关于直线对称的直线方程，解题方法是求出已知直线上任一点的对称点坐标，再求得已知直线与对称轴的交点坐标，由这两点得对称直线的方程．
【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.
【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，
则，解得，
∵点在直线上，即，
∴，化简得，即为所求直线方程.
故选：B.
【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求两直线交点，再在上找一点（不同于交点）做关于的对称点，然后利用对称点与交点求出直线方程即为答案.
【详解】由题知直线与直线交于点，且点在上，
设点关于对称的点的坐标为，则解得
则直线的方程为，即关于对称的直线方程为．
故选：
【点睛】考查对称知识，求直线关于直线对称，转化成点与点关于直线对称，也可以利用求轨迹方程的方法，到角公式等.
【变式3】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 .
【答案】
【分析】利用对称点的中点在对称轴上以及对称点线段与对称轴斜率互相垂直列出方程组，消去即可.
【详解】设对称的直线方程的点为，对称点为，
直线斜率为1，
则有，消去得，
故答案为：
题型14平行线间的距离问题
【典例1】（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A．B．C．12D．14
【答案】BD
【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
【详解】将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选：BD．
【典例2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ．
【答案】
【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得.
【详解】平行直线及之间的距离.
故答案为：
【典例3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则 ．
【答案】10
【分析】根据两直线平行求得参数，再结合两平行线之间的距离公式求得，即可求得结果.
【详解】由题可得：，解的，
此时方程为：；方程为：；
则，即，解的或，
又，所以；
故.
故答案为：.
【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（ ）
A．或4B．4C．或6D．或16
【答案】D
【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以，
因为直线与直线间的距离为2，
所以，解得或.
故选：D.
【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】由直线与直线互相平行，得，
则直线与直线的距离为：.
故答案为：
【变式3】（23-24高二上·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 .
【答案】或2
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线，，
所以两平行线间的距离为，解得或，
故答案为：2或
题型15直线关于点对称的直线
【典例1】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）与直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】解析：
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选:D.
【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题.
【典例3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 .
【答案】
【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解.
【详解】设直线关于点对称的直线方程为，
在上任取一点，
则点关于点对称的点的坐标为，
由题意可知点在直线上，
故，整理可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
【变式1】（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案
【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ．
【答案】
【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于的对称点，再代入直线方程即可得到答案.
【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即，
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）直线关于定点对称的直线方程是 ．
【答案】
【分析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】在直线上取点，点关于的对称点为
过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线．
故答案为：
题型16将军饮马问题
【典例1】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【答案】B
【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【详解】如图所示：
由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，
三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则，解得，即，
对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；
对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；
对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.
故选：B.
【典例2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程.
【详解】若是关于的对称点，则，
设饮马点为，如下图示，

由图知：，当且仅当共线时等号成立，
所以.
故选：C
【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.
【详解】，
，
设，，，
则为点分别到点，的距离之和，
点关于轴的对称点的坐标为，
连接，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故选：B.
【变式2】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）（1）设，，，，求证：对于任意，，.
（2）假设阆中七里、江南两镇在一平面直角坐标下的坐标为，，嘉陵江所在的直线的方程为，若在嘉陵江边上建一座供水站使之到，两镇的管道最短，问供水站应建在什么地方？此时为多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）供水站建在点处，此时为.
【分析】（1）设出三点的坐标，计算，利用证得结论成立.
（2）先求得关于的对称点，求得直线的方程，联立直线的方程和直线的方程，由此求得点的坐标，并求得的最小值.
【详解】（1）设，，，则，
，.
因为对于平面上的任意三点，，，总有，
所以.
（2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取直线上异于点的一点，则，
因此，供水站建在点处时，才能使得取得最小值，设，则的中点在直线上，且，则解得，即，所以直线的方程为，解方程组，得，所以点的坐标为，故供水站建在点处. 此时为.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.
【详解】原点到直线间的距离是：.
故选：A
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（ ）
A．17B．C．14D．7
【答案】D
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，，解得（舍去）.
故选：D.
3．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点Q，根据斜率和中点坐标得到关于a，b的方程组，求出即可．
【详解】设点关于直线的对称点Q，
则，解得：．
所以.
故选：A．
4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立方程组可解得答案.
【详解】联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为.
故选：B.
5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．24B．0C．20D．
【答案】C
【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得；
垂足在直线上，所以，
垂足在直线上，所以，
所以.
故选：C
6．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.
【详解】由得，即，
直线：，所以直线过定点，
所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，
且最大值为.
故选：B.
7．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意知，
，
设，
则的几何意义为的值，
如图，作点关于x轴的对称点，连接，
与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为.
而，
即的最小值为，
所以的最小值为.
故选：D
8．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在直线方程为，即．
故选：B．
二、多选题
9．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线一定相交
【答案】ACD
【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确.
【详解】对于，两条直线的方程分别为与，
当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；
对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误；
对于，当，则，解得，故正确；
对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确.
故选：ACD.
10．（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解.
【详解】直线被截得的线段长为，
两平行直线的距离直线和的夹角为，
又直线的倾斜角为，直线的倾斜角可能是或.
故选:AC.
三、填空题
11．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 .
【答案】
【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
【详解】（1）直线l过直线和的交点P，
由，解得，即点，又直线l过点，
所以直线l的斜率.
（2）直线l与直线垂直，则直线l的斜率，方程为，
所以直线l的一般式方程为：.
（3）原点到直线l的距离为1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程：，
由原点到直线l的距离为1，得，解得，直线l的方程：，
所以直线l的方程为：或.
14．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知直线，且，
(1)求的值；
(2)直线过点与交于，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
（2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线的斜率，进而可求解方程.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，符合题意，
当时，，，与重合，不满足题意．
综上，．
（2）由（1）得，，
所以两直线之间的距离为，而，
所以直线与均垂直，
由于，所以，
故直线方程为
B能力提升
1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，由，关于直线对称，联立方程求出点的坐标，求出，分类讨论求解最大值即可.
【详解】设点，因为，关于直线对称，
所以，可得：.
所以，，所以.
当时，；
当时，，此时，所以.
当时，，此时，
所以，故.
综上所述：，故的最大值为.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解.
【详解】由题意得，
；
因为可化为，所以与的距离为．
因为，所以．
（2）
设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即，
所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），
联立方程和，解得，
所以即为同时满足条件的点.
C新定义题型
1．（2024高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，．
(1)若点是平面xOy上的点，试证明：．
(2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】本题的关键是理解折线距离的定义．
（1）证明
．
所以．
（2）先考虑相异两点A，B的特殊情况，当A，B两点横坐标或者纵坐标相同时，AB即是平行于y轴或者x轴的直线段，符合条件的C点即为AB的中点（这属于折线的特殊情况——直线）．当A，B两点的横、纵坐标各异，即，时，不妨设，下面讨论，两种情况．
假设，则由条件①可得，
故，，即，．
又由条件②，即，
去掉绝对值符号可得，
即，也即．
同理，假设，当，时，
可得．
【反思】取点使，，验知此时点同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C满足题意，且所有符合条件的点C是线段AB的中点．
课程标准
学习目标
①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。
②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。
③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。
④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。
1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；
2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；
3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；
4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；