人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程巩固练习，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：D.
2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案.
【详解】直线过定点，
且斜率，
故该直线不经过第三象限.
故选：C.
3．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）两平行直线，的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】借助两平行线的距离公式即可得.
【详解】即为，
则.
故选：B.
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】点在圆外，则点到圆心距离大于半径，列不等式求解即可.
【详解】圆化成标准方程为，
点在圆O外，则有，
即，解得或.
故选：D．
5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A．8B．5C．2D．1
【答案】A
【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解．
【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，
又圆心坐标为，则，
又半径为，则当最大时，，
此时面积也最大，．
故选：A．
6．（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．3
【答案】A
【分析】判断出最小时点的位置，进而求得此时的值.
【详解】由于是圆的切线，所以，所以，
当时，最小，此时最小.
到直线的距离为，
则时，，，
所以此时三角形是等腰直角三角形，
所以当最小时，则的值为.
故选：A
7．（2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心， 半径，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，，即，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以是锐角，
所以的最大值为.
故选：B.
8．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解.
【详解】
直线即直线，过定点，
直线即直线，过定点，
又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，
即轨迹方程为，圆心，
因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，
所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.
设设圆的半径为，
因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，
，
又因为，即，
即，
所以，即，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】BC
【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值.
【详解】因为方程表示一个圆，
令，
所以由，
化简得，解得.
故选：BC.
10．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】BC
【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，得，即，
若点在圆内，则，解得：．
对照各个选项，可知B、C两项符合题意．
故选：BC．
11．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
【答案】ACD
【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．
【详解】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 .
【答案】
【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，
又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即.
故答案为：.
13．（2024·四川遂宁·模拟预测）点为圆上的动点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，求出临界值，即可得解.
【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为1，
的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，
设过的圆的切线方程为，即．
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得．
的取值范围是．
故答案为：．
14．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】作出示意图，分别为的半径，圆可得，求得圆关于直线的对称圆的方程为，数形结合可求.
【详解】作出示意图如图所示：
由，可得圆心，半径，
由，可得圆心，半径，
由题意可得，
易得圆关于直线的对称圆的方程为，
，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验；
（2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，即，
解得或．
今，则，
今，则，
由题意可得，
解得和，
则所求直线方程为和．
17．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程；
（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为，
因为直线，半径为的圆与相切，
则，因为，解得，因此，圆的方程为.
（2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，
合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
18．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标．
【答案】(1).
(2)直线是否恒过定点，定点坐标为.
【分析】（1）由圆的方程可得圆心的坐标为，则 ，即，然后由点斜式求直线方程即可；（2）设，则过两点且以为圆心的圆的方程为，又圆，两式作差可得：，然后再求解即可.
【详解】（1）由圆的方程可得圆心的坐标为，则 ，即，即过点的圆的切线方程为，即.
（2）设，则过两点且以为圆心的圆的方程为，又圆，
两式作差可得：，
此方程变形可得 ，令 ，可得，
即直线恒过定点.
19．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线在曲面上；
(3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型；
（2）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可.
（3）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案.
【详解】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
即，
也即在平面上到原点距离为定值1，
从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆.
（2）设是直线上任意一点，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上.
（3）直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
∵在曲面上，∴，
整理得，
由题意，对任意的，有恒成立，
∴，且，
∴，或，
不妨取，则，或，
∴，或，
又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
第12讲 第二章 直线和圆的方程
章节验收测评卷
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）两平行直线，的距离等于（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A．8B．5C．2D．1
6．（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．3
7．（2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
10．（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 .
13．（2024·四川遂宁·模拟预测）点为圆上的动点，则的取值范围为 .
14．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
16．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和．
(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；
(2)求线段垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．
17．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.
18．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标．
19．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线在曲面上；
(3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.