(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第2章第05讲直线的一般式方程(学生版+解析)

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第05讲 直线的一般式方程知识点01：直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.【即学即练1】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（    ）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化【即学即练2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知，则边所在直线的方程为（　　）A． B．C． D．知识点03：直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.【即学即练3】（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 .2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.【即学即练4】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ）A． B．C． D．题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ）A．直线倾斜角为B．直线在轴上的截距为C．直线的一个方向向量为D．直线经过第二象限【典例2】（多选）（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ）A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点【典例3】（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为，求实数m的值；(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（　　）A．经过点P（－2，5），且斜率为－的直线的方程是3x－4y＋26＝0B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示【变式2】（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ）A．当时，与轴垂直B．当时，与轴重合C．当时，过原点D．当时，的倾斜角为锐角【变式3】（多选）（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ）A．当时，过坐标原点B．当时，的倾斜角为锐角C．当时，和轴平行D．若直线过点，直线的方程可化为题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·宁夏银川·期末）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为 .（写成一般式方程）【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程．(1)直线的斜率为，且经过点；(2)斜率为，且在轴上的截距为；(3)经过两点, ；(4)在轴上的截距分别为．【变式1】（23-24高二上·海南·期末）已知直线的方向向量为，且经过点，则的方程为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为，且经过点的直线方程为（    ）A． B．C． D．【变式3】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．(1)求边上的中线的直线方程；(2)求边上的高的直线方程(3)求AC边的垂直平分线题型03根据直线平行求参数 【典例1】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ）A．-2 B．-2或1 C．2 D．1【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例3】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ）A．或 B．或C． D．【典例4】（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 .【变式1】（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ）A． B．C．或 D．【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线与平行，则 （    ）A．1 B． C．1或 D．【变式3】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ）A． B．C．或 D．【变式4】（23-24高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ）A． B． C．或 D．题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【典例2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ）A．2 B． C． D．【典例3】（23-24高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .【典例4】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，直线，且，求m的值．【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ）A．或 B．C． D．【变式2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线【典例1】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 .【变式1】（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 .【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）过点与直线垂直的直线的方程是 .题型07直线过定点问题【典例1】（23-24高二上·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　）A．恒过点且不垂直x轴B．恒过点且不垂直y轴C．恒过点且不垂直x轴D．恒过点且不垂直y轴【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限.【典例3】（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ．【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 .【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 .【变式3】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .题型08直线综合【典例1】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ）A．12 B． C．15 D．【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知点，．(1)设，若直线与直线垂直，求的值；(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．【典例3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线的方程为.(1)证明：不论为何值，直线过定点.(2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程.【变式1】（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.【变式3】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ）A． B．C． D．2．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ）A． B． C． D．3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知直线：，：，若，则m的值为（    ）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或34．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（    ）的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.14．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；（2）直线与直线垂直，求的值.B能力提升 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2023高二上·江苏·专题练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）A．； B．；C．； D．；3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .4．（23-24高二下·河北·开学考试）已知圆：，直线：．(1)证明：直线恒过定点．(2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值．课程标准学习目标①理解与掌握直线的一般式方程的形式及条件.会求直线的一般式方程。②能准确的将直线的五种形式的方程进行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.第05讲 直线的一般式方程知识点01：直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.【即学即练1】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（    ）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限【答案】BCD【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确；对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；对于C，直线的一般式方程为，，C错误；对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.故选：BCD知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化【即学即练2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知，则边所在直线的方程为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两点斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解.【详解】,故直线方程为，即，故选:A知识点03：直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.【即学即练3】（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 .【答案】【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解.【详解】设与直线平行的直线方程为，把点代入可得，解得，故所求的直线的方程为，故答案为：．2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.【即学即练4】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案.【详解】直线与直线垂直，设直线的方程是将代入直线中，，解得，故直线的方程为.故选：D.题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ）A．直线倾斜角为B．直线在轴上的截距为C．直线的一个方向向量为D．直线经过第二象限【答案】C【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D.【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；在中，令，解得，即直线过两点，，所以直线的一个方向向量为，故C正确；画出直线的图象如图所示，所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.【典例2】（多选）（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ）A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点【答案】ACD【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可.【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确；，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错；，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确；，则直线方程为，经过原点，故D正确.故选：ACD.【典例3】（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为，求实数m的值；(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．【答案】(1)；(2)；；(3)；(4)【分析】（1）先令，的系数同时为零时得到，即得时方程表示一条直线；（2）由（1）知时的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；（3）由（1）知的系数不为零时，直线在轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；（4）由（1）知，的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线．令，解得或；令，解得或．所以，的系数同时为零时，故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为；（2）当的系数不为0，的系数为0时斜率不存在，由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为；（3）易知且时，直线在轴上的截距存在.依题意，令，得直线在轴上的截距，解得，（舍去）．所以实数的值为；（4）易知且时，直线的斜率存在，方程即，故斜率为.因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以，解得，（舍去）．所以实数的值为．【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（　　）A．经过点P（－2，5），且斜率为－的直线的方程是3x－4y＋26＝0B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示【答案】CD【详解】解析：A选项，由点斜式，得所求直线方程是y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0，错误．B选项，①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点（－3，5），得a＝－8，即直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0，错误．C选项，若直线的斜率不存在，即x1＝x2，且y1≠y2，则直线方程为x＝x1，若直线的斜率存在，则x1≠x2，则直线方程为y－y1＝（x－x1），即（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1），且x＝x1，也满足该方程，C正确．D选项，当方程mx＋n（y－2）＝1中的x＝0，y＝2时，0＝1，不成立，则该直线不过点（0，2），D正确．【变式2】（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ）A．当时，与轴垂直B．当时，与轴重合C．当时，过原点D．当时，的倾斜角为锐角【答案】BC【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误；对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确；对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确；对于D：当时直线，即，斜率，所以的倾斜角为钝角，故D错误；故选：BC【变式3】（多选）（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ）A．当时，过坐标原点B．当时，的倾斜角为锐角C．当时，和轴平行D．若直线过点，直线的方程可化为【答案】AD【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得.【详解】选项A，当时，是方程的解，即过坐标原点，故A正确；选项B，当时，直线的方程可化为，则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当时，由不全为0，，直线的方程可化为，故直线和轴垂直，不平行，故C错误；选项D，直线过点，则，可得，代入直线方程，得，即，故D正确.故选：AD.题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解.【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，所以，整理得的方程为，又点在直线上，且点满足方程，综上所述，的方程为.故选：B.【典例2】（23-24高二上·宁夏银川·期末）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为 .（写成一般式方程）【答案】【分析】根据题设确定直线的斜率及所过的点，应用点斜式写出直线方程.【详解】由题设，所求直线斜率为且过点，所以，所求直线为，即.故答案为：【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程．(1)直线的斜率为，且经过点；(2)斜率为，且在轴上的截距为；(3)经过两点, ；(4)在轴上的截距分别为．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；（2）先求斜截式方程，再化为一般式；（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.【详解】（1）因为，且经过点，由直线的点斜式方程可得，整理可得直线的一般式方程为．（2）由直线的斜率，且在轴上的截距为得直线的斜截式方程为．整理可得直线的一般式方程为．（3）由直线的两点式方程可得，整理得直线的一般式方程为（4）由直线的截距式方程可得，整理得直线的一般式方程为【变式1】（23-24高二上·海南·期末）已知直线的方向向量为，且经过点，则的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用方向向量求出直线斜率，结合点斜式并化简成一般式即可求解.【详解】由题意，因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，所以直线方程为，整理得.故选：B.【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为，且经过点的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直线的点斜式方程求解即可得出答案.【详解】由点斜式方程可得，化简可得：.故选：B.【变式3】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．(1)求边上的中线的直线方程；(2)求边上的高的直线方程(3)求AC边的垂直平分线【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程；（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程；（3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，整理得：.（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为，又，则边上的高的直线方程为，整理得：．（3）因为，，则其中点坐标为，而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：，即.题型03根据直线平行求参数 【典例1】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ）A．-2 B．-2或1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据平行得到方程，求出或，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，两直线都为，两直线重合，舍去；当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求；故选：A【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C【典例3】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可.【详解】直线和直线平行，，解得或，当时，两条直线重合；当时，两条直线平行.综上，.故选：C.【典例4】（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 .【答案】0【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案.【详解】由，可得，即，故或，当时，直线和直线平行，符合题意；当时，直线和直线重合，不合题意，故，故答案为：0【变式1】（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可.【详解】因为直线和平行，所以，解得或；当时，此时直线和平行，满足题意；当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去.综上所述：.故选：A.【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线与平行，则 （    ）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】根据两直线平行可得，解得或，检验均符合题意，得到结果.【详解】直线与平行,所以,即，解得或，当时，直线为；为，两直线不重合.当时，直线为；为，两直线不重合.所以或.故选：C【变式3】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案．【详解】解：直线，，若，则，解得：或当时，与重合，故“” “”，故“”的必要不充分条件是“或”，故选：C．【变式4】（23-24高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得.故选：B.题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】直线与直线相互垂直，则，所以不管为何值，两直线垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.故选：A【典例2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由两直线垂直的关系求解.【详解】因为，所以.故选：C【典例3】（23-24高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .【答案】/【分析】根据直线垂直的充要条件可得a，b关系，然后由基本不等式可解.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，即，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.所以的最大值为.故答案为：【典例4】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，直线，且，求m的值．【答案】6或-1【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，所以，即，解得或.【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值.【详解】直线与直线垂直，则有，解得或，故选：A．【变式2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（    ）A．0或-3 B．0 C．-3 D．3【答案】C【分析】根据直线一般方程的垂直关系可得，求解并检验即可.【详解】因为直线垂直于直线，所以，解得或.当时，直线为，不符合题意，舍去.当时，直线为，直线为，符合题意.所以.故选：C.【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ）A．1 B． C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得.【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为，则两直线，化简得，解得，或.故选：D.【变式4】（23-24高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ．【答案】或【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解得或.故答案为：或题型05由两条直线平行求方程 【典例1】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为，因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，解得，所以直线的方程是.故选：C【典例2】（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为，代入已知点的坐标待定系数可得.【详解】与直线平行的直线的方程可设为，又经过点，所以，解得，故所求直线方程为.故选：C.【典例3】（23-24高二上·上海·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 .【答案】【分析】由直线平行设直线为，将点代入求参数，即可得方程.【详解】设所求直线方程为，将点代入，解得，则所求直线方程为.故答案为：【变式1】（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数.【详解】设与直线平行的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是．故选:A【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案.【详解】由题意可设所求直线方程为，因为在该直线上，所以，得，故该直线方程为，故选：C【变式3】（23-24高二上·上海·期末）已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 .【答案】【分析】分析可知，直线与直线平行，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般方程.【详解】因为，所以，点不在直线上，又因为直线与直线具有相同的法向量，且直线过点，则直线与直线平行，设直线的方程为，则，解得，所以，直线的一般方程为.故答案为：.题型06由两条直线垂直求方程【典例1】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】设垂直于直线的直线方程为，又直线过点，所以，解得，故所求直线的方程为.故选：D.【典例2】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由垂直设出直线方程为，代入已知点坐标求得参数即得．【详解】由题意设直线方程为，代入点坐标得，解得，∴直线方程为．故选：D．【典例3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 .【答案】．【分析】根据垂直关系设出方程，代入点的坐标可得答案.【详解】因为所求直线与直线垂直，所以设所求直线方程为，代入点可得，所以所求直线为.故答案为：【变式1】（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：，因为该直线过点，所以，解得，所以直线方程为：，故选：C【变式2】（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 .【答案】【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得.【详解】由题可设所求直线方程为，代入点，可得，即，所以经过点且与直线垂直的直线方程为.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）过点与直线垂直的直线的方程是 .【答案】【分析】结合两直线垂直的性质计算即可得.【详解】设所求直线方程为，代入得，解得，故该直线为.故答案为：.题型07直线过定点问题【典例1】（23-24高二上·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（　　）A．恒过点且不垂直x轴B．恒过点且不垂直y轴C．恒过点且不垂直x轴D．恒过点且不垂直y轴【答案】B【分析】由直线l的方程，令，对分类讨论即可求解.【详解】由直线l的方程为，令，解得．∴直线恒过点，若，则直线不垂直y轴，若，则直线不垂直于轴，综上所述，恒过点且不垂直y轴.故选：B．【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限.【答案】二【分析】根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果.【详解】直线方程可变形为：，由，求得，直线过定点，因此直线必定过第二象限，故答案为：二.【典例3】（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ．【答案】【分析】将直线转化为，令，解方程即可.【详解】将直线化为，令，解得，故直线的恒过点为.故答案为：【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 .【答案】【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.【详解】令，解得，故经过定点坐标为.故答案为：【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 .【答案】【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解.【详解】由直线，可化为，联立方程组，解得，所以直线恒过定点．故答案为：．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .【答案】（－1，－1）【详解】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.【考查意图】直线过定点.题型08直线综合【典例1】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ）A．12 B． C．15 D．【答案】B【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知直线：与直线，，则，即，故，当且仅当，结合，即时等号成立。故的最小值为，故选：B【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知点，．(1)设，若直线与直线垂直，求的值；(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线垂直即可求解；（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，所以；（2）如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，设夹角为，因为，所以，因为，，所以在中，，所以，因为，所以在中，，所以，所以，易知，设交点坐标为，所以，所以或，所以交点坐标为或，所以直线方程为或，即或.【典例3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线的方程为.(1)证明：不论为何值，直线过定点.(2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可.（2）设出与直线垂直的方程，分别令、求出相对于的值、值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.【详解】（1）证明：直线的方程，可整理为.由，解得，所以直线过定点.（2）由（1）知，直线过定点，设过点且与直线垂直的直线方程为，令，则.令，则.所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.【变式1】（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .【答案】【分析】依题意入射角，设折射角为，求出，即可求出点坐标，再求出所在直线的倾斜角，即可求出斜率，再由点斜式计算可得.【详解】如图，入射角，设折射角为，，，则，，所以，则，，所以，且.该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，则其所在直线的斜率为，直线的方程为，整理得.故答案为：【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)面积的最小值是4，此时直线的方程为2x＋y－4＝0【详解】（1）证明：（m－1）x＋（m＋2）y－3－3m＝0可化为（x＋y－3）m＝x－2y＋3.由得∴直线必过定点（1，2），所以直线一定经过第一象限.（2）解：（解法1）设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－1）（k＜0），∴OA＝1－，OB＝2－k，∴S△AOB＝·OA·OB＝|（1－）（2－k）|＝|－|.∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝ [－]＝ [4＋（－）＋（－k）]≥ [4＋2]＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB面积的最小值是4，此时直线的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0.（解法2）设直线l的方程为＋＝1，其中a＞0，b＞0，∵直线l过点P（1，2），∴＋＝1≥2，当且仅当＝时取等号，∴ab≥8，∴S△AOB＝ab≥4，当＝时取等号.由＝，＋＝1，得a＝2，b＝4，∴直线l的方程为2x＋y－4＝0.【变式3】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)不过定点，证明见解析【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线；（2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；（3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点.【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线，令，解得或；令，解得或，所以，的系数同时为零时，故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为；（2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在，由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为；（3）不过定点，证明如下：证明：当的系数为，的系数不为时斜率为，由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为，此时直线方程为，由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为，由得交点为，若直线过定点，则定点为，将代入方程，得，整理得，解得或，只有当或时，直线过，直线不过定点.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，化简得.故选：C.2．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线方程求出直线的斜率，进而求出倾斜角，最后得出答案.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为，因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以.故选：B.3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知直线：，：，若，则m的值为（    ）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3【答案】B【分析】根据直线平行得到方程，求出或1，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或1，当时，直线：，：，两直线平行，满足要求.当时，直线：，：，两直线重合，舍去，故选：B4．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.【详解】因为，所以，得.故选：D5．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.【详解】设直线的倾斜角为，则，解得，因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半，所以直线倾斜角为，从而，即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：A.6．（上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）.A． B．与重合C． D．与的夹角为【答案】A【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案.【详解】依题意，，所以，与的夹角为，故A正确，B、C、D错误.故选：A7．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】代入，可得两直线为同一直线，可得结果.【详解】当时，直线即直线，直线即直线，所以两直线重合，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.故选：D.8．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（    ）A．4 B．8 C．9 D．【答案】B【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为直线经过点，所以，所以，当且仅当，即、时取等号.故选：B【分析】根据直线垂直列出方程，解出即可.【详解】因为两直线垂直，则，解得或，故答案为：或.12．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围为 ．【答案】[0,3]【分析】由截距得直线线段方程即的关系，用代入法化为关于的二次函数，利用二次函数性质得其范围．【详解】线段方程为，于是，从而，显然当时，取最大值3；当或3时，xy取最小值0．故答案为：．四、解答题13．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程；（2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程.【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即.（2）由于直线的斜率是，且不在直线上.所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.14．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；（2）直线与直线垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可；（2）根据两直线垂直的充要条件计算即可.【详解】（1）因为直线与直线平行，所以，解得，经检验，当时，两直线重合，所以；（2）因为直线与直线垂直，所以，解得或.B能力提升 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果.【详解】由题意知：直线恒过定点；直线与轴分别交于点，；在平面直角坐标系中作出直线如下图所示，结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行；，，倾斜角为，倾斜角为，直线倾斜角的取值范围为.故选：D.则，当且仅当即时取等号，所以的最小值是.故答案为：4．（23-24高二下·河北·开学考试）已知圆：，直线：．(1)证明：直线恒过定点．(2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值．【答案】(1)证明见解析(2)弦长的最小值为，对应的值为．【分析】（1）先整理直线方程可得，由即可得解；（2）先设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大，当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度，根据垂直求得，结合距离公式和弦长公式即可得解.【详解】（1）直线的方程可化为，联立解得故直线恒过定点．（2）可化为，则圆心为，．设圆心到直线的距离为，要使直线被圆截得的线段长度最小，则需最大，当直线垂直于直线时，取得最大值，最大值为的线段长度．因为，所以，解得．由两点间距离公式可得，所以直线被圆截得的最短弦长为．综上，弦长的最小值为，对应的值为．课程标准学习目标①理解与掌握直线的一般式方程的形式及条件.会求直线的一般式方程。②能准确的将直线的五种形式的方程进行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.