(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第二章第十一讲第2章直线和圆的方程重点题型章末总结(学生版+解析)

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第11讲 第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结 题型01直线的倾斜角和斜率 【典例1】（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．【变式1】（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ．题型02直线方程 【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求:(1)边的中线所在直线的方程；(2)边的中垂线所在的直线的方程.【典例2】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数.(1)当时，求直线，之间的距离；(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为．(1)求点的坐标；(2)求边所在直线的方程．【变式1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边的垂直平分线所在直线的方程．【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.(1)求点A和点C的坐标；(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.【变式3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和．(1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程；(2)求线段的垂直平分线的方程．题型03两直线的平行与垂直 【典例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【典例3】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ）A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1【变式2】（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ）A．4 B．-2 C．4或-2 D．3【变式3】（23-24高二上·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．题型04两直线的交点与距离问题 【典例1】（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程．【变式1】（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ）A．2 B． C． D．【变式2】（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ）A． B． C． D．【变式3】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ）A． B． C． D．题型05直线中的对称问题【典例1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 .【典例3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.【变式1】（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【变式3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为.(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.题型06圆的方程 【典例1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ）A． B．C． D．【典例2】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程．【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .题型07切线和切线长问题 【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ）A． B． C．4 D．3【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ．【典例3】（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点．(1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆C的方程为：．(1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；(2)过点作圆C的切线，求切线方程．【变式1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ．【变式2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，（    ）A．或 B．或 C．1或3 D．【变式2】（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆截直线所得的弦长为，则 ．题型09三角形面积问题 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 .【典例2】（23-24高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中．已知圆经过三点， 是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．(1)若，求直线的方程；(2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．【典例3】（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆．(1)过点作圆的切线，求切线的斜率(2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值【变式1】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.(1)求圆的方程；(2)已知直线与圆相交于两点，求的面积.【变式2】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知直线与圆相切.(1)求的值及圆的方程；(2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知圆C的圆心在上，半径为，且与直线相切于点P．(1)求圆的标准方程；(2)若圆在直线下方，且与直线相交于、两点，求三角形的面积．题型10圆与圆的位置关系 【典例1】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【典例2】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ）A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ）A．外离 B．相交 C．内含 D．内切【变式2】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相离C．内含 D．外切题型11两圆公共弦方程和公共弦长 【典例1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.(1)求圆的方程；(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.【典例3】（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．(1)求的面积；(2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．【变式1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．【变式3】（2024高二·全国）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长．第11讲 第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结 题型01直线的倾斜角和斜率 【典例1】（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解．【详解】设以点为切点的切线倾斜角为，因为函数，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，所以.故选：C.【典例2】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．【答案】【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可.【详解】.的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆. 的几何意义为过点和点的直线斜率，点为以点为圆心，为半径的圆周上任一点.结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.设直线的斜率为，则直线方程为：，即.令，解得：或，即的取值范围为，所以的取值范围为.故答案为：【变式1】（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,然后利用点到直线的距离公式即可.【详解】圆的圆心为,半径为，直线：，直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,即，即，故，即,解得.设直线倾斜角为,则,所以.因为，所以,所以直线的倾斜角的取值范围是.故选:C.【变式2】（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ．【答案】【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果.【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示，令，即，由图知，当过点时，最小，将代入，得到，当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍），所以的取值范围是，故答案为：.题型02直线方程 【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求:(1)边的中线所在直线的方程；(2)边的中垂线所在的直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的中点的坐标，即可求出，再由点斜式求出直线方程；（2）首先可知直线的方程，且线段的中点的坐标，从而得到边的中垂线所在的直线的方程.【详解】（1）因为，，，所以的中点，所以，则边的中线所在直线的方程为，即；（2）因为直线的方程为，且线段的中点，所以边的中垂线所在的直线的方程为，即.【典例2】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数.(1)当时，求直线，之间的距离；(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.【详解】（1）由得，解得，此时直线：，：，不重合，则直线，之间的距离为；（2）当时，：，联立，解得，又直线斜率为，故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，即.【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为．(1)求点的坐标；(2)求边所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案；（2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案.【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为联立，解得：，点的坐标为，中点为，设点，，解得，即点的坐标为.（2）直角的斜边为，,边所在直线的方程为,斜率为，边所在的直线方程斜率为，边所在的直线过点，边所在的直线方程为，即.【变式1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边的垂直平分线所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解；（2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解.【详解】（1）因为，，所以边所在直线的斜率为，且，所以边所在直线的方程为，即.（2）因为，，所以的中点为，又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即.【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.(1)求点A和点C的坐标；(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，由，得，故，又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以又所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，由，得，所以点A和点C的坐标为，；（2）由（1）知AC所在直线方程为，所以直线l的斜率为，因为，所以直线l所在的方程为，即，所以直线l的斜截式方程为.【变式3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和．(1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程；(2)求线段的垂直平分线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，结合得斜率，进而由点斜式即可得解.（2）由题意得线段中点为，以及线段的斜率，由直线垂直的代数性质得线段的垂直平分线的斜率，由点斜式即可得解.【详解】（1）由题意点关于轴的对称点为，又，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）因为两点和，所以其中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即.题型03两直线的平行与垂直 【典例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.【详解】当时，直线，则，当时，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据求出的值，即可得出答案.【详解】因为直线与平行，并且直线，所以，.又因为直线与垂直，所以，.所以.故选：B.【典例3】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为直线，，所以当时，，即，即或，所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件，故选：A.【变式1】（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ）A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1【答案】B【分析】由两直线垂直直接计算.【详解】由两直线垂直可知，解得或，故选：B.【变式2】（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ）A．4 B．-2 C．4或-2 D．3【答案】A【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合.【详解】因为，所以，即，得或.当时，，，符合题意；当时，，，，重合.故.故选：A.【变式3】（23-24高二上·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】1【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式即可求得它们之间的距离.【详解】由直线与直线平行，可得，解之得，此时直线可化为，直线与直线平行，则它们之间的距离是故答案为：1题型04两直线的交点与距离问题 【典例1】（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，要使得圆上恒有4个点到直线的距离为1，作出图示，由此列出半径需满足的不等式，即得答案.【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为，要使得圆上恒有4个点到直线的距离为1，需满足直线与圆相交，且与l平行且距离为1的两平行直线与圆也相交，如图示：结合图示可知，圆的半径应大于圆心到直线的距离，即实数r的取值范围是，故选：A【典例3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程．【答案】或【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即∵点到的距离为1，∴，解之得，得的方程为．当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1，∴直线的方程为或．【变式1】（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】求得圆心与半径，求得直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，进而可求动点到直线的最大距离.【详解】由圆，可知圆心的坐标为，半径为，由，可得，所以直线恒过定点．故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为．故选：D.【变式2】（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.【详解】因为，所以，，解得，所以，故两平行直线间的距离．故选：C．【变式3】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案.【详解】令、分别在直线：与：上，设AB的中点M的坐标为，则有：，两式相加得：，所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.故选：CD题型05直线中的对称问题【典例1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则解得即.所以人射光线所在直线的方程为，即.故选：A【典例2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 .【答案】【分析】求出与的交点，再任选另一点，求出其关于的对称点，从而由两点式求出直线方程.【详解】与不平行，故经过与的交点，联立，解得，即在上，取上另一点，设关于直线的对称点为，则有，解得，过两点和，故方程为，即故答案为：【典例3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；（2）根据相关点法分析运算即可.【详解】（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.【变式1】（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.【详解】因为不在直线l：上，所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，则，解得或（舍去），故所求直线方程为：.故选：A【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解.（2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程.（3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可.【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，故点关于直线的对称点的坐标为．（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则由解得，即．由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为，则直线方程为，化简为．（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3，则所求直线方程为，即．【变式3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为.(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解；（2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可；法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解.【详解】（1）由得交点，由直线与直线垂直，则可设直线的方程为，又直线过点，代入得，则，所以直线的方程为；（2）法一：由题意可得直线与直线平行，则可设直线方程为：，由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等，即，得（舍）或，所以直线的方程为.法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，且点在直线上，得，化简得直线的方程为.题型06圆的方程 【典例1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意，，中点为，所以线段的中垂线为，令得，所以，半径，所以圆M的标准方程为．故选：B.【典例2】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.【详解】设经过，，三个点的圆的方程为，由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C.【典例3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程．【答案】【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程．【详解】设圆的方程为，圆心在直线上，得，可得圆的方程为，圆经过点和所以，解得，， 因此，所求圆的方程为．【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案.【详解】由圆可知，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故以为直径的圆的方程为，故选：D【变式2】（23-24高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、，则的中点为，且，所以以线段为直径的圆的方程为，即.故选：B【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .【答案】【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.【详解】若经过点，，则圆心在直线上，又在直线l：上，令，则，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为.故答案为：.题型07切线和切线长问题 【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ）A． B． C．4 D．3【答案】A【分析】先根据切线长度求出为定值，即，设，两个方程联立，利用求的取值范围.【详解】由题意：，即.设，则，代入，得.因为关于的一元二次方程一定有解，所以.故选：A.【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ．【答案】或【分析】根据圆心在直线且是与圆相切的一条定直线，即可根据二倍角公式求解切线斜率，进而可求解.【详解】由得，圆心，半径，显然直线与圆相切，注意到圆心在定直线上，设直线的倾斜角为，则另一条定直线的倾斜角为，且该直线过定点，故该直线为，即．综上，直线为或．故答案为：或【典例3】（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点．(1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由点斜式得方程并化简，直接由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解.（2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.【详解】（1）由题意直线l的斜率为，过点，所以它的方程为，即，圆的圆心坐标、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆C所截得的弦长为.（2）若直线l的斜率不存在，此时它的方程为，圆心到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意；若直线l的斜率存在，此时设它的方程为，若直线l与圆C相切，则圆心到的距离为，解得，所以此时l的方程为，即；综上所述，满足题意的l的方程为或.【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆C的方程为：．(1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；(2)过点作圆C的切线，求切线方程．【答案】(1)或；(2)或．【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【详解】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，直线与圆相交于、两点，且，则，解得或；（2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，切线的斜率存在时，可设切线为，即，由切线的定义可知，，解得，故切线方程为，综上所述，切线方程为或．【变式1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ．【答案】 1 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可.【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则一定在圆上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，又直线斜率为，设该直线的斜率为，显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，化简得直线方程为，故答案为：1；【变式2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 .【答案】【分析】利用圆的一般方程求出圆心和半径，结合圆的性质和勾股定理即可求解.【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为3.因为直线是圆的对称轴，所以经过点.由，得，所以的坐标为.因为圆的半径为3，所以.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）设圆心为，半径为，由，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；（2）由，知点在圆上，由可得求出，得到切线方程.【详解】（1）设圆心为，半径为，由，得，得，所以点坐标为，圆半径，所以圆的标准方程为：.（2）由，知点在圆上，由且，，知，所以过的圆切线方程为：.【变式4】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)经过点的直线与圆相切，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故直线的方程为或.题型08弦长问题 【典例1】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详解】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）已知点在圆上，直线被该圆截得的弦长为2，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距，根据弦长列方程求解可得.【详解】由题知，∴，∵圆心到直线的距离，∴，又，解得.故选：B．【典例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ．【答案】或【分析】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得.【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，此时直线：，所以直线的方程为或.故答案为：或【变式1】（23-24高三上·黑龙江伊春·期末）直线被圆所截弦长等于，则的值为（    ）A．或 B．或 C．1或3 D．【答案】C【分析】利用垂径定理，再用勾股定理，即可求解.【详解】由圆，得到圆心坐标为，半径，∴圆心到直线的距离，又因为直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得：，整理得：，解得：或，则的值为1或3．故选：C．【变式2】（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ．【答案】2【分析】求出圆心及半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.【详解】圆C：的圆心为，半径，圆心到直线l：的距离为，所以弦长为.故答案为：2.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆截直线所得的弦长为，则 ．【答案】【分析】根据题意，得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理列式求解.【详解】由题知圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，故，得．故答案为：.题型09三角形面积问题 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 .【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详解】的圆心为，半径，设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得或，由，所以或，解得或．故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）．【典例2】（23-24高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中．已知圆经过三点， 是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．(1)若，求直线的方程；(2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求出圆心坐标与半径，设直线的方程，利用，可得圆心到直线的距离，即可求直线的方程；（2）设，由点在线段上，得，由，得，依题意线段与圆至多有一个公共点，故，由此入手能求出的面积的最小值．【详解】（1）解：由题意，所以圆心坐标为，半径为，  所以，（为圆心到直线的距离），由题意可知：直线的斜率存在，则设直线的方程，即，所以圆心到直线的距离，所以或，当时，即为轴所在的直线，的方程为，与轴平行，不满足题意，故舍去；所以，所以直线的方程为；（2）解：设，由点在线段上，得，即，由，得，即，依题意，线段与圆至多有一个公共点，故（为点到直线的距离），解得（舍）或，因为是使恒成立的最小正整数，所以，所以圆的方程为．  ①当直线时，直线的方程为，点与原点重合，此时将代入可得，；②当直线的斜率存在时，设的方程为，则的方程为，点，所以，又圆心到的距离为，所以，所以因为，所以．【典例3】（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆．(1)过点作圆的切线，求切线的斜率(2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线的距离列方程求解；（2）求出圆心到直线距离即可得以为底边时，高的最大值，然后求出，进而可得面积最大值.【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到该直线的距离为7，不等于半径，则此时不相切，则切线的斜率存在，设切线方程为，即，则圆心到直线的距离，解得；（2）圆心到直线的距离，，∴三角形面积的最大值为：．【变式1】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.(1)求圆的方程；(2)已知直线与圆相交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可；（2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解.【详解】（1）设圆心坐标为，由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，可得，解得，即圆心坐标为，由于圆与轴相切于点，则半径.所以圆的方程为.（2）依题意，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于两点，所以弦长，所以.【变式2】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知直线与圆相切.(1)求的值及圆的方程；(2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）根据直线与圆的位置关系列式求得，进而可得圆的方程；（2）根据面积关系可得，分和，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】（1）因为圆，可知圆心，半径，且，由题意可得：，解得，此时圆.（2）由（1）可知：圆心，半径，由题意可知：，可得，且，若，则圆心到直线的距离，可得，解得或，此时直线的方程为或；若，则圆心到直线的距离，可得，解得或，此时直线的方程为或；综上所述：直线的方程为或或或.【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知圆C的圆心在上，半径为，且与直线相切于点P．(1)求圆的标准方程；(2)若圆在直线下方，且与直线相交于、两点，求三角形的面积．【答案】(1)或(2)【分析】（1）设圆心，由已知可得出，由直线与圆相切求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；（2）写出圆的方程，点的坐标，求出以及点到直线的距离，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）解：设圆心，因为圆的圆心在上，所以，因为圆与直线相切，所以，得或，且圆的半径为，所以圆的标准方程为或.（2）解：由题意知，圆方程为，，点到直线的距离为，所以，点到直线的距离为，所以．题型10圆与圆的位置关系 【典例1】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【答案】D【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆：，所以圆心，半径为.由点到直线距离公式得：，且，所以.又圆的圆心，半径为：1.所以，.由，所以两圆内含.故选：D【典例2】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与C．内含 D．外切【答案】A【分析】首先得到两圆的圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可判断.【详解】圆的圆心为，半径，圆即，则圆心为，半径，所以，则，所以两圆相交.故选：A题型11两圆公共弦方程和公共弦长 【典例1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长.【详解】由，作差得两圆的公共弦所在直线的方程为．由，得．所以圆心，半径，则圆心到公共弦的距离．所以两圆的公共弦长为．故选：D．【典例2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.(1)求圆的方程；(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.【答案】(1)(2)和圆相交，理由见解析，【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解；（2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得：，所以圆的方程为：（2）由（1）得圆的标准方程为：.∴，，，∵所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ，所以到直线AB的距离所以.两圆公共弦的长.【典例3】（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．(1)求的面积；(2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．【答案】(1)3(2)证明见解析，．【分析】（1）判定三角形形状再求解面积即可.（2）找到圆心和半径求出圆的标准方程，用圆和圆的位置关系判断相交，两圆相减求出公共弦方程即可.【详解】（1）由题意知x轴平分，所以，设，则，解得，所以，所以，所以为直角三角形，因为，，所以．即的面积为3．（2）由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为，所以圆M的方程为，半径．将圆N的方程化为标准方程，得，所以圆心，半径．所以．又，，所以，故圆N与圆M相交．因为，圆M的方程可化为，两方程作差，得．所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为．【变式1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4，则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：.则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：.故选：D【变式2】（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．【答案】【分析】判断两圆相交，再把两圆方程相减消去二次项即得.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，因此圆相交，所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.故答案为：【变式3】（2024高二·全国）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长．【答案】，【分析】先得到点四点共圆，为该圆直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程；直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求得，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出的长.【详解】由切线性质知．四点共圆，且是直径．由知．所求圆的圆心．故所求圆的方程为．圆与圆的方程相减得到两圆公共弦（即所在直线方程为．圆心到直线的距离，．