(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第2章第10讲2.5.2圆与圆的位置关系(学生版+解析)

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第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系 知识点01：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2、圆与圆的位置关系的判定2.1几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.2.2代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）【即学即练1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ）A．相交 B．外离 C．外切 D．内含知识点02：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．【即学即练2】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ）A． B．5 C． D．知识点03：圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解【即学即练3】（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．知识点04：圆系方程(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；(2) 与圆同心圆的圆系方程为；(3) 过直线与圆交点的圆系方程为 4 过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【典例2】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【典例3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【变式2】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【变式3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离题型02求两圆交点坐标 【典例1】（23-24高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ）A． 和 B．和C．和 D．和【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 .【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标.【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的交点的坐标．题型03由圆的位置关系确定参数 【典例1】（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ）A．1 B．2 C．1 D．2【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 .【典例3】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 .【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 .【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 .【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ．题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知圆．(1)求直线被圆截得弦长；(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．【变式1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三上·江苏·期末）若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: .  题型05相交圆的公共弦方程 【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ．【变式1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 .【变式2】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 .题型06两圆的公共弦长 【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ）A． B． C． D．1【典例2】（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）．A． B． C． D．【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）．A． B． C．4 D．2【变式2】（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .题型07圆的公切线条数【典例1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条．【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.(1)求的值；(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）A． B． C． D． 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）两圆与外切，则r的值为（    ）A． B．C． D．或5．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则（    ）A．3 B．5 C．7 D．96．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．7．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ）A．0 B．±1 C．±2 D．8．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ）A．B． C． D．二、多选题9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ）A．直线的方程为B．圆和圆共有4条公切线C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为10．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含三、填空题11．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．12．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知圆与圆相交于两点，当为直角三角形时，的值为 .四、解答题13．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆方程；(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.14．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，．(1)求两圆公共弦所在的直线方程；(2)求两圆的公共弦长．B能力提升 1．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ）A． B． C． D．3．（2024·河北保定·二模）已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为 .4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P．(1)当且P在第一象限时，求圆P的方程；(2)若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围．课程标准学习目标①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系 知识点01：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2、圆与圆的位置关系的判定2.1几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.2.2代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）【即学即练1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ）A．相交 B．外离 C．外切 D．内含【答案】A【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系.【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部，在圆外部，故两圆一定相交.故选：A.知识点02：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．【即学即练2】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：，显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.故选：C知识点03：圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解【即学即练3】（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．【答案】【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，因为，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆化为一般式得：，，两式相减得，即，所以圆的公切线的方程为.故答案为：知识点04：圆系方程(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；(2) 与圆同心圆的圆系方程为；(3) 过直线与圆交点的圆系方程为 4 过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【答案】A【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，故，所以两圆内含；故选：A【典例2】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为；，则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A.【典例3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离【答案】B【分析】根据两圆的半径关系和两圆心距离进行比较即可得出结果.【详解】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心，所以，，所以，故两圆外切，故选B.【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【答案】A【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论.【详解】由已知得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，故，所以圆与圆相交.故选：A.【变式2】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.【详解】的圆心为，半径为1，的圆心为，半径为1，可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B【变式3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离【答案】B【分析】根据圆的方程求得圆心和半径，再由圆心距和两半径之间的关系可得两圆外切.【详解】易知圆的圆心为，半径为；圆可化为，圆心，半径为；圆心距，所以两圆外切.故选：B题型02求两圆交点坐标 【典例1】（23-24高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ）A． 和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.【详解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以两圆的交点坐标为和,故选:C【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 .【答案】和【分析】联立两圆的方程即可求解.【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，所以交点坐标为故答案为：和【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标.【答案】内切，公共点为【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，则两圆内切，联立，则，则公共点坐标为.【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的交点的坐标．【答案】、【分析】联立两圆方程可得，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.【详解】由题设，，相减可得，所以，解得或，当时，；当时，；所以交点坐标为、.题型03由圆的位置关系确定参数 【典例1】（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可.【详解】易知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由题意得圆与圆只有一个交点，可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或，当两圆内切时，解得或，当两圆外切时，无解，结合选项故选：D【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 .【答案】6或2【分析】根据题意结合两圆的位置关系列式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为；由题意可得：或，且，解得或．故答案为：6或2.【典例3】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 .【答案】或【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，圆的圆心为，半径为，由题意可知，两圆外切或内切，且，若两圆外切，则，即，解得；若两圆内切，则，即，解得.综上所述，或.【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值.【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径，圆化为标准方程为，圆心，半径，由两圆外切，有，即，解得.故答案为：【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 .【答案】【分析】将两个圆的方程化为标准形式，再根据两圆相交得到关于的不等式，解不等式即可.【详解】圆化为标准方程得，则圆心，半径，圆化为标准方程为，则圆心，半径，因为两圆相交，所以，即，解得.故答案为：.【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ．【答案】【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得，的关系，由均值不等式即可求解.【详解】圆：的标准方程为，圆心，半径，圆：的标准方程为，圆心，半径，因为两圆外切，所以，即，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：.故答案为：或.题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可.【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即，圆心在直线上，故，解得，所以圆的方程为.故选：A.【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知圆．(1)求直线被圆截得弦长；(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.【详解】（1）由可得，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得弦长为.（2）设，则，解得，；因为圆与圆相切于原点，且圆过点，所以，，两边平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圆的方程为.【变式1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圆系方程可求圆的方程.【详解】由题可先设出圆系方程：，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得，解得，所以圆的方程为：，故A正确.故选：A.【变式2】（23-24高三上·江苏·期末）若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: .【答案】（或）【分析】分两圆是内切和外切两种情况，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】设圆C的半径为，圆心C到直线的距离为，由题知两圆心连线过点，圆，即，圆心为，半径为1，故圆C的圆心C在x轴上.若两圆内切，则，由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为；若两圆外切，则，由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为；故答案为：（或）.  题型05相交圆的公共弦方程 【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可.【详解】两个圆的方程相减，得，故选：C【典例2】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ．【答案】【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程.【详解】由可得圆心为，半径为，由可得圆心为，半径为，两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为，有，故两圆相交，两圆方程作差为，化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为.故答案为：.【变式1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 .【答案】【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程.【详解】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，由，则，所以圆的方程为，圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.故答案为：【变式2】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 .【答案】【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】圆：和圆：，两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意.故答案为：.题型06两圆的公共弦长 【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，即，圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径，公共弦长．故选：B．【典例2】（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解.【详解】的圆心和半径分别为,，故两圆相交，将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为，又知，，则到直线的的距离，所以公共弦长为，故选:A．【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）．A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案.【详解】由题意知圆，即圆，圆心为，半径，圆，即圆，圆心为，半径，则，即两圆相交，将圆和圆的方程相减，可得直线的方程为，则到直线的距离为，故弦的长为，故选：A【变式2】（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .【答案】【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案.【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，又知，，则到直线的的距离为：，所以公共弦长为，故答案为：.题型07圆的公切线条数【典例1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。【详解】根据题意可知，圆外离，，又．故选：D【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条．【答案】2【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数.【详解】化成标准方程为，圆心，半径，化成标准方程为，圆心，半径，两圆圆心距离，，则两圆相交，因而公切线只有两条．故答案为：2．【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为.故选：C.【变式2】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则 .【答案】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得.【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，由可得，即该圆以为圆心，为半径，圆，圆心为，故有且，解得.故答案为：.题型08圆的公切线方程 【典例1】（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】，所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，又与的图形关于直线对称，设上一点，该点关于直线对称的对称点为，则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为，所以，解得，即，代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图，易知与的公切线，所以，结合图，设，所以点到直线的距离为，解得，所以与的公切线为.故选：B【典例2】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ．【答案】【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.【详解】设圆的圆心为，半径为，则，，设圆的院系为，半径为，则，，所以，所以两圆内切.联立方程，解得，所以两圆的公切线方程为.故答案为：.【变式1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【详解】解：，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.【详解】由题知，两圆半径，所以，故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即；当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或．故选：ABC．题型09圆的公切线长 【典例1】（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .【答案】4【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长.【详解】由题可得，由圆，则圆心为，半径为，由圆，则圆的圆心为，半径为.则两圆心的距离，因为，所以圆与圆相交.如图，设切点为，作于点，所以圆与圆的公切线长为.故答案为：.  【典例2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆．(1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．(2)若两圆外切，求的值及外公切线的长．【答案】(1)两圆相交，理由见解析；(2)，4.【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程；（2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知)【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为，因,时，，因为，故两圆相交．用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：．（2）若两圆外切，则，即，解得．此时，，所以外公切线长为：【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．【答案】【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，由，  所以两圆相交，则.故答案为：【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.(1)求的值；(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.【答案】(1)(2)最大值为3【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值.【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，且，故，即.（2）作于点H，连接PQ，在中，，其中，故，又，当且仅当时取等号，故，即的最大值为3.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】B【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆，则圆心，半径，圆，则圆心,半径，所以两圆圆心距，所以两圆外切.故选：B.2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，故选：C3．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）A． B． C． D． 【答案】A【分析】两圆方程相减即可得解.【详解】两圆相减可得，经检验，该方程满足题意，故公共弦所在直线的方程为.故选：A.4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）两圆与外切，则r的值为（    ）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据两圆相外切列方程，化简求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径也为，因为圆与圆外切，所以,即，解得.故选:C.  5．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则（    ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出.【详解】因为，，所以直线是线段的垂直平分线，所以，解得，所以.故选：A6．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围.【详解】由，则点P在圆上，又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)，两圆半径分别为2、1，所以，所以.故选：A．7．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（    ）A．0 B．±1 C．±2 D．【答案】C【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值可得答案.【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，，因为，所以，所以，解得.故选：C8．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据两圆的位置关系列不等式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A二、多选题9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ）A．直线的方程为B．圆和圆共有4条公切线C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为【答案】ACD【分析】根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意得，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，直线的方程为，即，所以A正确；对于B，因为且，可得，所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确；对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，此时圆的面积为，所以D正确．故选：ACD.10．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含【答案】ABC【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，若和外离，则，解得或，故A正确；若和外切，则，解得，故B正确；当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确；当时，，则和相交，故D错误.故选：ABC．三、填空题11．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．【答案】【分析】判断两圆相交，再把两圆方程相减消去二次项即得.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，因此圆相交，所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.故答案为：12．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知圆与圆相交于两点，当为直角三角形时，的值为 .【答案】2【分析】两圆相减得到直线的方程，根据几何关系得到到直线的距离，从而根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.【详解】与相减得，，即直线的方程为，圆的圆心为，半径为2，因为为直角三角形，所以，【答案】(1)(2)【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解；（2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意两圆，方程相减得，，整理得，即两圆公共弦所在的直线方程为.（2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以两圆的公共弦长为.B能力提升 1．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围.【详解】说明在以为直径的圆上，而又在圆上，因此两圆有公共点，则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以，即，又，解得.故选：B2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件可知圆内切于以线段为直径的圆，或圆在以线段为直径的圆内，由此容易得到的最小值.【详解】如图，已知圆O：的圆心为，半径，若直线上存在两点A，B，使得恒成立，则以为直径的圆要内含或内切圆，点到直线l的距离，所以的最小值为，选B．3．（2024·河北保定·二模）已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为 .【答案】/【分析】由条件计算的轨迹方程，根据圆与圆的位置关系可求出的最大值.【详解】由题意可知：点的坐标为，，由得：点在以为直径的圆上，则圆方程为，设，由，得，整理得，即，设，则点在以为圆心，半径为的圆上，所以的最大值为.故答案为：4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P．(1)当且P在第一象限时，求圆P的方程；(2)若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到，得出轴，求得，进而得到圆的标准方程；（2）根据题意，得到，结合题意，得到对任意的恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由圆，可得圆心，半径，又由且时，，可得轴，所以，则，因为P在第一象限，所以，所以圆P的方程为.（2）解：由圆，可得圆心坐标，因为，所以，要使得圆P与圆恒有公共点，且圆心距为，所以对任意的恒成立，则满足，解得，即实数的取值范围为.课程标准学习目标①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含