(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第2章第08讲2.4.2圆的一般方程(知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

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第08讲 2.4.2圆的一般方程 知识点01：圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.【即学即练1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内【即学即练2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值．【变式1】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ）A．－1 B．0 C． D．1题型02求圆的一般方程 【典例1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 .【典例3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为.(1)求的面积；(2)求的外接圆的方程.【变式1】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ．【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程．题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ．【变式2】（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 .题型04点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ．【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ．题型05圆过定点问题 【典例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ）A． B． C． D． 【典例2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．【变式2】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ．【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 .【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .题型08圆的对称问题【典例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ）A．0 B． C．2 D．【典例2】（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .【变式1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 .【变式2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .题型09圆的综合问题 (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；(2)若圆与关于直线对称，求的标准方程．【变式2】（23-24高二上·江西抚州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题：(1)已知，，若，求点的轨迹方程；(2)已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.题型10圆的实际应用 【典例1】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．  (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.【典例2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和.(1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程；(2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值.课程标准学习目标①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。②能准确的判定圆的存在所满足的条件。③会判断点与圆的位置关系。④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.圆的标准方程圆的一般方程方程（）圆心半径第08讲 2.4.2圆的一般方程 知识点01：圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.【即学即练1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得.【详解】依题意，，解得或，所以实数的取值范围为.故选：B知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内【即学即练2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .【答案】【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.【详解】圆的标准方程为，由于点在圆外，所以，解得，故答案为：题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据方程表示圆的条件可得结果.【详解】因为方程表示一个圆，所以，即，所以或，故选：C.【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值．【答案】【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解.【详解】解：由题意可知，则方程可化为.所以，即，解得或，当时，方程为，方程配方得，不符合题意；当时，方程为，方程配方得，符合题意；综上所述，.【变式1】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由计算即可得.【详解】，即.故选：D.【变式2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ）A．－1 B．0 C． D．1【答案】BC【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值.【详解】因为方程表示一个圆，令，所以由，化简得，解得.故选：BC.题型02求圆的一般方程 【典例1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.【详解】设经过，，三个点的圆的方程为，由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C.【典例2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 .【答案】【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，由题意得:，解得：故所求圆的方程为，即.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点到点的距离，即半径为，所以圆的方程为，即.故答案为：【典例3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为.(1)求的面积；(2)求的外接圆的方程.【答案】(1)13；(2).【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积；（2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可.【详解】（1），直线的方程为，即，所以点到直线的距离，所以的面积；（2）设的外接圆的方程为，则，解得，所以的外接圆的方程为.【变式1】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．【答案】【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.【详解】设所求圆的一般方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，则所求圆的一般方程为：，.故答案为：.【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ．【答案】【分析】设圆的方程为，根据圆过点，，，代入求解.【详解】解：设圆的方程为，因为圆过点，，，所以，解得，所以圆的方程为，即.故答案为：【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程．【答案】【分析】设过三点的圆的方程为：，代入求解即可.【详解】设过三点的圆的方程为：， 则解得所求圆的方程为.题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解.【详解】由，得，故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为.故选：D.【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .【答案】【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径.【详解】由可得，所以半径为，故答案为：【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ．【答案】【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标.【详解】圆的方程是，即，所以圆心的坐标为.故答案为：【变式2】（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 .【答案】【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解.【详解】设圆的半径为r，则由题意，故，将圆一般式化为标准式得，则，故答案为：2.题型04点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D.【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ．【答案】【分析】根据点在圆外列不等式，由此求得的取值范围.【详解】方程表示圆，则，由于点在圆的外部，所以，综上所述，的取值范围是.故答案为：【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是.【详解】易知圆可化为，可得，即；又在圆外部，可得，解得；可得.故选：B.【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ．【答案】【分析】根据方程表示圆可得，由点在圆外可得，解不等式组即可.【详解】由在圆的外部，得，解得，或，故答案为：题型05圆过定点问题 【典例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.【详解】圆的方程化为，由得或，故圆恒过定点．故选：D．【典例2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.【答案】(1)；(2)定点坐标为，证明见解析.【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论【详解】（1）当，，故，，所以此时圆的标准方程为.（2）设点是圆上任意一点，因为是圆的直径，所以，即，所以圆的方程为：，则，，等式恒成立，定点为，所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．(1)当取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得.【详解】（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时，方程表示圆.（2）证明：方程变形为，由于取任何值，上式都成立，则有，解得或，所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 .【答案】（0，－2）和（0，1）【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.【变式2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点.【详解】将原方程整理得，即，方程表示圆心在，半径为的圆，将原方程整理为关于k的方程：，由解得即圆过定点.【变式3】（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.【答案】(1)，且(2)过定点和，证明见解析.【分析】（1）由题意可令得抛物线与轴交点是，得出方程，再由根的判别式求解即可.（2）设出所求圆的一般方程，根据题意可分别令和令代入得出与的关系，从而得出含的圆的一般方程，再用恒等思想求解即可.【详解】（1）令得抛物线与轴交点是；令，由题意，且，解得，且．即实数的取值范围，且．（2）设所求圆的一般方程为，由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，∴圆的方程为（，且）．把圆的方程改写为，令，解得或，故圆过定点和．题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程.【详解】设，由题意可知，所以，又因为，所以，化简可得，所以的轨迹方程为，故选：A.【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0【详解】（1）设线段AP的中点为M(x，y).由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y).∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.（2）设线段PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．【答案】【分析】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.【详解】因为，所以直线过点，直线过点，因为，所以，设，所以，所以，所以，化简可得：.故答案为：.【变式2】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ．【答案】【分析】设出点，结合距离公式计算即可得.【详解】设，由题意可得，化简可得，即.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .【答案】【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解.【详解】方法一：设点，，，，，由题意可知：，，，整理得：，三点不共线，，，应去除.直角顶点的轨迹方程为：.方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心，为半径的圆上(不能和B、C重合)，故A的轨迹方程为.题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解.【详解】由题意可知：直线：过定点，圆：，即，可知圆心为，半径，取线段的中点，则，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，  可得，当且仅当在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.【典例2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 .【答案】【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得.【详解】设点，由，得，整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，点到直线：的距离为，所以点到直线最大距离为.故答案为：【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ．【答案】/【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.【详解】设点，由实数满足可得：点在以原点为圆心，以为半径的圆上，设点，则的几何意义为动点到定点的距离，由，则点在圆外，结合图形可知，.的最大值是.故答案为：.  【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设的重心为，则，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又，的最小值是.法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，即，化简得，点的轨迹方程为，设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，又，故得最小值为.故选：C.【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解.【详解】如下图所示：圆的圆心为原点，半径为，因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，由垂径定理可知，，则，所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，则.当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，故的最大值为.故选：B.【变式3】（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .【答案】【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可.【详解】如图所示，因为圆：的参数方程为，所以设点，则的中点，所以，当时，取得最大值为.故答案为：.题型08圆的对称问题【典例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ）A．0 B． C．2 D．【答案】D【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可.【详解】圆关于直线对称,即圆心在直线上，由，得圆心，则，得.故选：D【典例2】（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .【答案】4【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】由，得，所以曲线表示的是以为圆心的圆，因为直线是曲线的一条对称轴，所以直线过点，所以，即当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为．故答案为：题型09圆的综合问题 【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．(1)试求动点P的轨迹方程(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程.（2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解.【详解】（1）由动点满足，得，化简得，所以动点P的轨迹方程是.（2）设点，由轴于点，且是中点，得，即，由（1）知，，因此，整理得.所以点M的轨迹方程是.【典例2】（23-24高二上·安徽·期中）一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：(1)已知点，，若，求动点M的轨迹方程；(2)已知点N在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）设，求出、，代入化简可得答案；（2）设，，求出、，代入化简，再由点N在圆上，两个方程对比可得答案.【详解】（1）设，则，，故，故，化简得；（2）设，，故，，∵，故，即，而点N在圆上，即，对照可知，，解得，故存在定点，使得．【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点．(1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据点A在曲线上求解；进而得到点A的坐标，然后设△ABC的外接圆方程为，将A，B，C的坐标代入求解；（2）根据线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，求出圆的方程，再判断点A，C在圆内即可；（3）根据平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上一点，由最小求解.【详解】（1）因为点A的坐标满足，则，解得或（舍），故，设的外接圆的方程为，则，解得，故的外接圆的方程为，又是锐角三角形，所以的最小覆盖圆的方程为；（2）因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为，又，故点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为；（3）因为平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上的一点，则，当，即时，取得最大值，故平面图形W的最小覆盖圆的方程为．【变式1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆．(1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；(2)若圆与关于直线对称，求的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解.（2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解.【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．因为，所以可设的一般式方程为，将代入，解得，故的一般式方程为．（2）设的圆心为，由与关于直线对称，可得，解得所以的标准方程为．课程标准学习目标①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。②能准确的判定圆的存在所满足的条件。③会判断点与圆的位置关系。④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.圆的标准方程圆的一般方程方程（）圆心半径